九年级数学月考试卷及答案
2024-2025学年云南省昆明八中九年级上学期9月月考数学试题及答案
昆明八中2024-2025学年上学期9月学情监测初三年级 数学试卷考试时间：80分钟 满分：100分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题2分，共30分）1. 2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至2024年4月26日，累计发送旅客超280000人次，数据“280000”用科学记数法表示应为（ ）A. 428010×B. 42810×C. 52.810×D. 60.2810× 2. 如图的图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=°，则BAF ∠的度数为（ ）A. 17.5°B. 35°C. 55°D. 70°4. 下列运算正确的是（ ）A. 6m m m ⋅=B. ()33mn mn =C. ()326m m =D. 63m m m ÷= 5. 如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ≌△△的条件是（ ）A. BD CD =B. AB AC =C. B C ∠=∠D. BAD CAD ∠=∠ 6. 学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x ，22x −，33x ，44x −， ，1010x −， ，请你写出第n 个单项式（用含n 的式子表示）为（ ）A. n nx −B. ()1n n nx −C. ()11n n nx +−D. ()21n n nx +−7. 若方程240x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m >B. 4m <C. 2m ≥D. 5m ≤8. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A ．科普，B ．文学，C ．体育，D ．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误．．的是（ ）A. 样本容量为400B. 类型D 所对应的扇形的圆心角为36°C. 类型C 所占百分比为30%D. 类型B 的人数为120人9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，若60AOB ∠=°，1AB =，则AD 的长为（ ）A. √3B.C. 2D. 110. 把多项式328x x −因式分解的最后结果是（ ）A. ()324x x −B. ()224x x − C. 22(2)x x − D. 2(2)(2)x x x +− 11. 关于函数25y x =−−，下列说法不正确的是（ ）A. 图象是一条直线B. y 的值随着x 值的增大而减小C. 图象不经过第一象限D. 图象与x 轴的交点坐标为()5,0−12. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若100D ∠=°，则AOC ∠的度数为（ ）A. 80°B. 140°C. 150°D. 160°13. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A. ()245120x −=B. ()220145x −=C. ()245120x +=D. ()220145x +=14. 如图，点A 在x 轴上，90,30,6OAB B OB ∠=°∠=°=，将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转120°得到OA B ′′△，则点B ′的坐标是（ ）A. ()3−B. (C. ()D. (3,− 15. 如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向矩形移动，直到AB 与EF 重合，设s x 时，ABC 与矩形重叠部分的面积为2m y ，则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每题2分，共8分）16. 计算：2422x x x +=++____________． 17.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________．18. 有一个正多边形，它的内角和等于外角和，那么这个正多边形的边数是__________．19. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x （单位：环）及方差2s （单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择__________．三、解答题（62分）20. 计算：()2012π 3.143− ．21. 已知：如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC EF AD BE A E ==∠=∠，，．求证：ABC EDF △≌△．22. 甲、乙两名学生到离校2.1km “荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min 后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？23. 如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，BE AC ∥，AE BD ，EO 与AAAA 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 是矩形；（2）若10OE =，8AE =，求菱形ABCD 的面积．24. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元．（1）求a ，b 的值；（2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草(100)x x ≤千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y （元）最大？最大利润为多少？ 25. 如图，直角三角形ABC 中，90C ∠=°，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．（1）证明：BC 是O 的切线；（2）4BD =，2BE =，求AB 的长．的的26. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()3,0A −和点C ，与y 轴交于点AA (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间动点（不包括点A ，点C ）．备用图（1）求抛物线解析式；（2）动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标． 的的昆明八中2024-2025学年上学期9月学情监测初三年级 数学试卷考试时间：80分钟 满分：100分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题2分，共30分）1. 2023年11月26日，云南省丽江至香格里拉铁路开通运营，迪庆藏族自治州结束了不通铁路的日子．据中国铁路昆明局集团消息，截至2024年4月26日，累计发送旅客超280000人次，数据“280000”用科学记数法表示应为（ ）A. 428010×B. 42810×C. 52.810×D. 60.2810×【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成10n a ×的形式，其中≤<110a ，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【详解】解：5280000 2.810=×，故选：C ．2. 如图的图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A ．不中心对称图形，故此选项不符合题意；B ．不中心对称图形，故此选项不符合题意；C ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D ．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．3. 如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=°，则BAF ∠的度数为（ ）A. 17.5°B. 35°C. 55°D. 70°【答案】B【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=°，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=°，故B 正确．故选：B ．4. 下列运算正确的是（ ）A. 6m m m ⋅=B. ()33mn mn =C. ()326m m =D. 63m m m ÷=【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、67m m m ⋅=，原式计算错误，不符合题意；B 、()333mn m n =，原式计算错误，不符合题意；C 、()326m m =，原式计算正确，符合题意；D 、633m m m ÷=，原式计算错误，不符合题意；故选：C ．5. 如图，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD ≌△△的条件是（ ）A. BD CD =B. AB AC =C. B C ∠=∠D. BAD CAD ∠=∠【答案】B【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定方法是关键．根据全等三角形的判定定理SSS 、SAS 、AAS 、ASA 分别进行分析即可．【详解】解：A 、由BD CD =，12∠=∠，AD AD =，可利用SAS 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；B 、AD AD =，AB AC =，12∠=∠是边边角，则ABD △与ACD 不一定全等，故此选项符合题意； C 、由B C ∠=∠，12∠=∠，AD AD =，可利用AAS 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；D 、由BAD CAD ∠=∠，AD AD =，12∠=∠，可利用ASA 定理判定ABD ACD △≌△，故此选项不合题意；故选：B ．6. 学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x ，22x −，33x ，44x −， ，1010x −， ，请你写出第n 个单项式（用含n 的式子表示）为（ ）A. n nx −B. ()1n n nx −C. ()11n n nx +−D. ()21n n nx +− 【答案】C【解析】【分析】根据单项式的规律即可得到结论．【详解】()111x x +=−， ()2122122x x +=−−， ()3133313x x +=−，…第n 个单项式为：()11n n nx +−，故选：C ． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是理清题意，找到数字间的规律．7. 若方程240x x m ++=没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m >B. 4m <C. 2m ≥D. 5m ≤ 【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．根据判别式的意义得到24410m −××<，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x m ++=没有实数根．∴0∆<，即24410m −××<，解得，4m >，故选：A ．8. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A ．科普，B ．文学，C ．体育，D ．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误．．的是（ ）A. 样本容量为400B. 类型D 所对应的扇形的圆心角为36°C. 类型C 所占百分比为30%D. 类型B 的人数为120人【答案】C【解析】【分析】根据A 类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项A ；利用360°乘以10%可判断选项B ；利用C 类型的人数除以样本总人数可判断选项C ；利用B 类型所在百分比乘以样本总人数即可判断选项D ．【详解】解：10025%400÷=，则样本容量为400，选项A 说法正确； 36010%36°×=°，则选项B 说法正确；140100%35%400×=，则选项C 说法错误； ()125%35%10%400120−−−×=（人），则选项D 说法正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，若60AOB ∠=°，1AB =，则AD 的长为（ ）A. √3B.C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先证明AOB 是等边三角形，得出1OB AB ==，再由矩形的性质得出=22BD BO =，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC BD ，相交于点O ， ∴1,2ACBD OA OB BD ===, 又60AOB ∠=°， ∴AOB 是等边三角形，∴1OB AB ==，∴=22BD BO =，AD ∴=故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，注意：矩形的对角线互相平分且相等．10. 把多项式328x x −因式分解的最后结果是（ ）A. ()324x x −B. ()224x x − C. 22(2)x x −D. 2(2)(2)x x x +− 【答案】D【解析】【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．【详解】解：32()()()2824222x x x x x x x −=−=+−； 故选D ．11. 关于函数25y x =−−，下列说法不正确的是（ ）A. 图象是一条直线B. y 的值随着x 值的增大而减小C. 图象不经过第一象限D. 图象与x 轴的交点坐标为()5,0−【答案】D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，对各个选项逐一判断即可． 【详解】解： 函数25y x =−−， ∴A 正确，不符合题意；y 的值随着x 值的增大而减小，故选项B 正确，不符合题意；该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C 正确，不符合题意；图象与x 轴的交点坐标为( 2.5,0)−，故选项D 不正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．12. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若100D ∠=°，则AOC ∠的度数为（ ）A. 80°B. 140°C. 150°D. 160°【答案】D【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出B ∠，再根据圆周角定理求出AOC ∠．【详解】解： 四边形ABCD 内接于O ，180D B ∴∠+∠=°，100D ∠=° ，80B ∴∠=°，由圆周角定理得：2160AOC B ∠=∠=°，故选：D ．13. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A. ()245120x −=B. ()220145x −=C. ()245120x +=D. ()220145x +=【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如2(1+)m x n =的方程即可．【详解】根据题意，得220(1)45x +=．故选：D ．14. 如图，点A 在x 轴上，90,30,6OAB B OB ∠=°∠=°=，将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转120°得到OA B ′′△，则点B ′的坐标是（ ）A. ()3−B. (C. ()D. (3,− 【答案】D【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点B ′作B C x ′⊥轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到60,6COB OB OB ′′∠=°==，进而求出,OC B C ′的长，即可得出结果。
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级(上)月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为( )A. (x−3)2=14B. (x−3)2=4C. (x+3)2=14D. (x+3)2=42.一元二次方程(x−5)2+1=0的根的情况是( )A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根3.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 18cm4.在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是( )A. ▵ACD的外心B. ▵ACD的内心C. ▵ABC的外心D. ▵ABC的内心5.已知⊙O的半径是1，弦AB=3，点C为⊙O上的一点(不与点A、B重合)，则∠ACB的度数为( )A. 60∘B. 30∘C. 60∘或120∘D. 30∘或150∘6.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC=PD=BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO=AB；(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.方程x2=4的解是_____．8.已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与⊙O的位置关系为______．9.若x=2是一元二次方程x2−mx+8=0的一个根，则m的值是______．10.某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程______．11.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．12.一元二次方程x2+3x−1=0的两个根分别是a和b，则(a−2)(b−2)=______．13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若∠ADC= 64∘，则∠AEC=______°．14.如图，在▵ABC中，AB=8，DE⊥AB于D，若▵ABC的外心O在线段DE上．∠BOC=120∘，则DE=______．15.如图，在直角坐标系中，点B(−7,0)，C(7,0)，AB−AC=2，则▵ABC的内切圆圆心M的横坐标为______．16.在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=n∘，点D在AB上，CD=1AB，若点D是AB的中点，则n的取值范围2是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
2023-2024学年河南省郑州实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年河南省郑州实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是()A. B.C. D.、b、c为常数2.若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为()A. B.0 C.2 D.或23.输一组数，按下程序进行计，输出结果表：/空格x206207208/空出析格中的据，估计方程一个数解x的大致范围为()A.B.C.D.4.关于x的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是()A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为()A. B.C. D.6.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是()A. B.C. D.7.如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为()A. B.C. D.8.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为()A. B. C. D.9.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若，则四边形EFGH为矩形；②若，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.310.如图，菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且若，则的面积为()A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知m是关于x的方程的一个根，则______.12.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______.13.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是4cm，6cm，，垂足为E，则AE的长是______14.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且，，则______.15.如图，在菱形ABCD中，，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，，，则______.三、解答题：本题共8小题，共64分。
2024-2025学年上海新版九年级数学下册月考试卷906
2024-2025学年上海新版九年级数学下册月考试卷906考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -42、不等式组的最小正整数解为（）A. 1B. 2C. 3D. 43、将抛物线y=（x+1）2-1向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线是（）A. y=x2B. y=（x+2）2C. y=（x-2）2D. y=（x-2）2-24、若数据2，2，6，4，x的平均数为3.6，则这组数据的众数为（）A. 2B. 4C. 2和6D. 4和25、元旦期间；小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高1.2米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角a=30°，则电线杆AB的高为（）A. 米B. 米C. 米D. 米6、计算的结果是（）A. +B.C.D. -7、下列各组中是同类项的是（）A. x与yB. 3ab与3abcC. 2mn与-2mnD. 4x2y与4xy2评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、若|m+2|+|n-3|+|f-4|=0，则|m|+n+f= ．9、如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD=130°，则∠ADP= ．10、将二次函数y=x2-2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为 ______ ．11、已知△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为．12、如果+（b+1）2=0，则a2007+b2007= ．13、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF= 厘米．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)14、．（判断对错）15、到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上．16、因为的平方根是±，所以=±17、如果y是x的反比例函数，那么当x增大时，y就减小18、分数中有有理数，也有无理数，如就是无理数．（判断对错）19、判断正误并改正：+=．（判断对错）评卷人得分四、证明题(共1题，共8分)20、已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，E是弧BC的中点，求证：∠EAD=∠EAO．评卷人得分五、作图题(共3题，共18分)21、求不等式-≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．22、（2015•眉山）如图；在方格网中已知格点△ABC和点O．（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．23、在数轴上表示下列有理数：，|-2.5|，-22；-（+2），并用“＜”将它们连接起来比较它们的大小：．评卷人得分六、多选题(共3题，共6分)24、（2016秋•西陵区校级期中）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB延长线交P，⊙O的半径为5，则BP的长为（）A.B.C. 10D. 525、根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A. |a|＞|b|B. |a|＜|b|C. |c|＜|b|D. |a|＜|0|26、如图，在平面直角坐标系上，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB∥y轴，点B（1，3），将△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，恰好有一反比例函数y=图象恰好过点D，则k的值为（）A. 6B. -6C. 9D. -9参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【分析】此题易直接用根与系数的关系求出两根之积为4；= = =4。
九年级数学月考试题(含答案)
第五次月考一 选择题（共10小题，每小题３分，计30分）1. 如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A.43 B.34 C.53 D.542. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3. .在△ABC 中，AB =AC =4，BC =2，则4cos B 等于( )A.1B.2C.15D.4154. 如果∠A 为锐角，且cos A =41，那么∠A 的范围是 A . 0°<∠A ≤30° B.30°<∠A <45° C. 45°<∠A <60°D.60°<∠A <90°5 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工。
从AC 上的一点B ，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A. 500sin55°米B. 500cos55°米C. 500tan55°米D. 500tan35°米6. 下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ）A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21x D.y =a 2x7. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示， 则ａ、ｂ、ｃ满足（ ）Ａ. a ＜0，b ＜0，c ＞0 B. a ＜0，b ＜0， c ＜0 C. a ＜0，b ＞0，c ＞0 D. a ＞0，b ＜0， c ＞0 8. 下列说法错误的是 ( )BACA.二次函数y =3x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大B.二次函数y =－6x 2中，当x =0时，y 有最大值0C.a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9. 在同一坐标系中，作y =x 2，y =－21x 2，y =31x 2的图象，它们的共同特点是( ) A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而增大C.都是关于y 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而减小D.都是关于y 轴对称的抛物线，有公共的顶点10. 已知a <－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)(a +1，y 3)都在函数y =x 2的图象上，则( )A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 3二 填空题（共6小题，每小题３分，计18分）11. 如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD=12. 某段公路每前进100 m ，就升高4 m ，则路面的坡度约为_____13. 如果由点A 测得点B 在北偏西20°的方向，那么由点B 测得点A 的方向是______ 14. 若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______15. 写出一个开口向上，顶点是y 轴上的二次函数的表达式：16. 在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______ 三 解答题（共8小题，计52分，解答应写出过程）17（本题满分6分）求值：sin 245°- cos60°+ tan60°·cos 230°18.（本题满分10分）如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21 3.55y x =-+运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？19. （本小题满分12 分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：（1）在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MCE =α；（2）量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN = m ； （3）量出测倾器的高度AC = h ．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN ．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案： （1）在图②中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当字母）； （2）写出你设计的方案．x20. （本小题满分12 分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米;(1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式.(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升)21（本小题满分12 分）如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈1.8，64.3≈1.9，36.4≈2.1．）（1）（2）参考答案：一、1. A 2.B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. D 10. C二、11．5 12. 1∶24.98 13. 南偏东20° 14. ≠±2 15. 21y x =+ 16. y =36－x 2三、17. 解：原式= 2212- （2分）=112244-+= （6分） 18.解：⑴ ∵抛物线 21 3.55y x =-+的顶点为（0，3.5） ∴最大高度为3.5米 (4分) ⑵ 在21 3.55y x =-+中 当 3.05y =时 213.05 3.55x =-+ ∴2 2.25x = ∴ 1.5x =±又∵x ＞0 ∴ 1.5x = …………………… (8分) 当 2.25y =时 212.25 3.55x =-+ ∴2 6.25x = ∴ 2.5x =± 又∵x ＜0 ∴ 2.5x =- …………………… （11分） 故运动员距离篮框中心水平距离为 1.5+2.5 = 4 …………………… （12分） 19.解：（1）正确画出示意图． （4分） （2）① 在测点A 处安置测倾器，测得此时山顶M 的仰角 ∠MCE = α；② 在测点A 与小山之间的B 处安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角 ∠MDE = β；③ 量出测倾器的高度AC = BD = h ，以及测点A 、B 之间的距离AB = m ． 根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN ． （12分）20.解：(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m .∵抛物线顶点在(0，0)上，对称轴为y 轴, ∴设此抛物线的表达式为y =ax 2(a ≠0). 依题意：C (－5，－m )，A (－10，－m －3).∴⎩⎨⎧-=---=-.)10(3,)5(22a m a m ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴.1,251m a ∴抛物线表达式为y =2125x -8分 (2)∵洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，|m |=1, ∴从警戒线开始再持续2.01=5(小时)到拱桥顶. 12分（1） （2）21解：（1）如图，建立直角坐标系， …………2分 设二次函数解析式为 y ＝ax 2＋c …………3分 ∵ D （－0.4，0.7），B （0.8，2.2）， …………4分∴ ⎩⎨⎧．＝＋，＝＋2.264.07.016.0c a c a …………5分∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝2.0528c a∴绳子最低点到地面的距离为0.2米． …………7分 （2）分别作EG ⊥AB 于G ，FH ⊥AB 于H …………8分 AG ＝21（AB －EF ）＝21（1.6－0.4）＝0.6． 在Rt △AGE 中，AE ＝2， EG ＝22AG AE －＝226.02 ＝64.3≈1.9． …………11分∴ 2.2－1.9＝0.3（米）．∴ 木板到地面的距离约为0.3米． …………12分。
吉林省长春市吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(解析版)
吉林省第二实验学校2023-2024学年度下学期九年级第一次月考数学试题本试卷包括三道大题、共24小题。
共6页。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1、答题前、考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2、答题时、考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区城内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择題（每小题3分，共24分）1. 的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据相反数定义解答即可．【详解】解：的相反数是．故选B ．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键．2. 历时七年的建设，全长407000米的济南至郑州高速铁路于2023年12月8日10时58分实现全线贯通运营，济南至郑州最快1小时43分可达，济郑高铁的开通将结束两个人口亿级的大省没有高铁直连的历史．将407000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将407000用科学记数法表示为，1212-2-121212-440.710⨯54.0710⨯60.40710⨯44.0710⨯10n a ⨯110a ≤<54.0710⨯3. 若，则“□”内应填的运算符号为（ ）A. +B. ﹣C. ×D. ÷【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了整式的有关计算，根据合并同类项法则与单项式与单项式相乘，单项式与单项式相除法则，先分别计算这两个单项式的和差积商，然后根据计算结果进行判断即可．【详解】解：，，，，“□”内应填的运算符号为：÷，故选：D ．4. 如图是正方体的展开图，将它折叠成正方体后“龙”字的对面是（ ）A. 学B. 业C. 进D. 步【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z ”字两端是对面，即可解答．熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】解：“龙”字的对面是“进”．故选：C ．5. 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）A. 木工弹线B. 泥工砌墙C. 弯路改直D.射击瞄准3322a a = 33323a a a =+ 3332a a a -=33622⋅=a a a 330222a a a ÷==∴【分析】本题考查两点之间线段最短定理．根据题意利用两点之间线段最短定理逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解： ∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程即利用了“两点之间线段最短”，∴C 选项符合题意；故选：C ．6. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据坡角的概念可知，然后利用正弦函数的定义列式即可．【详解】解：由题意得，∴，∴，故选：B ．7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A.B. C. D.18︒AC AB 150tan18︒150sin18︒1502cos18︒150tan18︒18C ∠=︒18C ∠=︒sin sin18150AB AB C AC ∠=︒==150sin18AB =︒ABC AF BF =90AFD FBC ∠+∠=︒DF AB ⊥BAF CAF ∠=∠【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A 、C ，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B ．由已知条件无法判断选项D ．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，∴，，故选项A 、C 正确，∴，∵，，∴，故选项B 正确，由已知条件无法得到，故选项D 中说法不一定正确．故选：D ．8. 如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线上，轴，过点A 作轴于D ，连接，与相交于点C ，若，则k 值为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质；由点A 在双曲线上可设，证明，利用相似三角形的性质求出的DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥AFD BFD ∠=∠FBC FBD ∠=∠90FBD BFD ∠+∠=︒90AFD FBC ∠+∠=︒BAF CAF ∠=∠6y x =k y x=AB x ∥AD x ⊥OB AD 2AC CD =6y x =6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ODC BA ∽，可得，进而可求k 的值．【详解】解：设，则，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D ．二、填空题（每小题3分，18分）9. 因式分解______．【答案】【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则__．【答案】1【解析】【分析】根据判别式与根的关系得到，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得，，解得．故答案为1．11. 2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭OD m =AB x ∥C ODC BA ∽ 12OD CD BA CA ==22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6318k m m =⋅=221x x -+=()21x -221x x -+=220x x m -+=m =2(2)40m --=()2Δ240m =--=1m =小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满载人数为x 人，则根据题意x 的值为______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，根据“2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人”列方程求解即可．【详解】解：设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，由题意得：，解得：，故答案为：18．12. 如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A ，则________．【答案】##36度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键．【详解】连接，∵多边形是正五边形，∴，∵，∴，∵直线与相切于点A，()26x -()26x -()232660x x +-=18x =ABCDE O PA O PAB ∠=36︒OB OA ，AOB ∠OAB ∠∠PAB OB OA ，ABCDE 360725AOB ︒∠==︒OA OB =()1180542OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒PA O∴，∴．故答案为：．13. 如图，在平行四边形中，以C 为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为______．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了位似图形的性质；根据位似图形的性质可得，，根据等高的三角形的面积比等于底边之比可得，，结合平行四边形的面积为20计算即可．【详解】解：如图，连接，∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，∴，，∴，，90OAP ∠=︒905436BAP ∠=︒-︒=︒36︒ABCD ABCD PECF ,BP DP PECF PBE △PDF △23CE CB =23CF CD =2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = PECF CP PECF ABCD 23CE CB =23CF CD =2CE BE=2CF FD =∴，，∴，∴，故答案为：10．14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A 在第二象限可得答案．【详解】解：∵以A 为顶点的抛物线经过原点，∴，，∵点B 在x 轴负半轴，∴，由题意得：，，∴，∴，∴，∴，∵点A在第二象限，2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = 2220PCE PCF PBE PDF PECF S S S S S =+=+= 平行四边形10PBE PDF S S += A A 2()y x h k =-+x B C A B C A B AOBC ABC h 30h -<<AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>1428h +>()2y x h k =--+AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>14BC AC AO OB ++=-148OB ->1428h +>3h >-∴，∴，故答案为：．三、解答题（共78分）15. 先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当，时原式．16. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A 、B 、C 、D 四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率．【答案】【解析】分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；画树状图得出所有等可能的情况数以及小明和小张在同一区域观看比赛的情况数，再利用概率公式得出答案．【详解】解：画树状图如图：【0h <h -3<<0h -3<<0()()()222a b a b a a b -+--2a =-1b =252ab b -12-()()()222a b a b a a b -+--22224222a ab ab b a ab=+---+252ab b =-2a =-1b =()25212110212=´-´-´=--=-14由树状图得：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种，∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．17. 阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．市教育局向中小学生推出“童心读书会”分享活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加分享活动．乙同学的速度是甲同学的速度的倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．【答案】甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点，列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解，（米/分钟），答：甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟．18. 如图，在中，，平分交于点D ，以点D 为圆心，为半径作圆交于点E ．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查圆的切线的判定，角平分线的性质，切线长定理，构造直角三角形利用勾股定理解题是解题的关键．（1）过点作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明；41164= 1.290x 1.2x x 1.2x 120018004 1.2x x+=75x =75x =1.2 1.27590x =⨯=90ABC 90ABC ∠=︒CD ACB ∠AB BD AB D AC 5AC =3BC =AE 1D DF AC ⊥F BD FD =（2）利用勾股定理求出，设半径为，利用切线长定理求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出半径，即可求出答案．【小问1详解】解：过点作于，，，平分交于点D ，，是圆的半径，与相切；【小问2详解】解：设半径为，，，是圆的切线，，，，，在，，解得，．19. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98．八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．抽取的七、八年级学生测试成绩统计表AB x 3CF BC ==2AF =AD AB x =-D DFAC ⊥F 90ABC ∠=︒AB BC ∴⊥ CD ACB ∠AB BD DF ∴=DF ∴∴D AC x 90,3,5ABC BC AC ∠=︒==4AB ∴==AC BC 、3BC CF ∴==2AF AC CF ∴=-=4AB = 4AD AB BD x ∴=-=-Rt AFD △22(4)2x x -=+32x =431AE ∴=-=8085x ≤<8595x ≤<95100x ≤≤年级平均数中位数众数“优秀”等级所占百分比七89.489a 八89.4b 86根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．【答案】（1）、、；（2）七年级的学生测试成绩更好，理由见解析；（3）人【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键．（1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值；（2）根据中位数或众数分析即可；（3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可．【小问1详解】解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为，即，由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人，“合格”等级有人，30%30%=a b =m =8988202800a b m 8989a =1030%3⨯=∴10352--=八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、，中位数为，即，，故答案为：、、；【小问2详解】解：七年级的学生测试成绩更好，理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）；【小问3详解】解：人，答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人．20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，按步骤完成下列问题：（1）如图1，已知点、A 、均在格点上，求作点A 关于直线的对称点，连结；（2）如图2.的顶点均在格点上，格点是边上一点，请在线段上找一点，连结，使；（3）如图3.的顶点均在格点上，求作点关于直线的对称点．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质等，将知识融入到作图过程中，是解题的关键．（1）根据轴对称的性质结合网格特点作图即可；（2）取格点G 、H ，连接与交于点F ，由可得，则，然后可得，则此时；∴86902%100%20%10m =⨯=∴8690882+=88b =20m =898820453500280028001010⨯+⨯=2800ABC M N MN A 'AA 'BCD △E BC BC F EF EF CD PQR Q PR Q 'GH BD BG DH ∥BGF DHF ∽12BF BG DF DH ==12BF BE FD EC=-EF CD（3）取格点S 、T 、K ，构造，与交于点L ，根据全等三角形的性质可得，根据网格作，延长交于，则，由可得，即点与点Q 关于直线对称．【小问1详解】如图，将点A 向上平移3个单位到上，再向右平移3个单位，即得；【小问2详解】如图，在过B ，D 的水平格线上取格点G ，H ，使，，连接交于点F ，连接即是；【小问3详解】如图，取格点S 、T 、K ，使，，将边向右平移3个单位得到线段，连接并延长交于点，点就是所求作．21. 图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据．摄氏温度值010203040华氏温度值32506886104Rt Rt PSR QTK ≌PR QK 90QLR ∠=︒IJ PR ∥QK IJ 'Q 'QLR QQ J ∽QR RJ ='QL LQ ='Q PR MN 'A 1BG =2DH =GH BD EF 5QT PS ==2TK SR ==PR IJ QK IJ 'Q 'Q ℉℃/℃x /y ℉（1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接；（2）求y 与x 之间的函数解析式；（3）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度．【答案】（1）见解析 （2） （3）该温度区间的最大温差是摄氏度【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用；（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；（2）由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式，然后进行验证即可；（3）分两种情况：当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时；当摄氏温度大于其对应的华氏温度时；分别列出温差关于摄氏温度值的函数关系式，结合一次函数的增减性求出该温度区间，然后计算即可．【小问1详解】解：如图所示：9325y x =+40【小问2详解】由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，设，代入得：，解得：，∴，代入其余数据进行验证，均满足该关系式，∴y 与x 之间的函数解析式为；【小问3详解】当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而增大，∴；()0y kx b k =+≠()()0,32,10,50321050b k b =⎧⎨+=⎩9532k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩9325y x =+9325y x =+9325y x x =+≥40x ≥-94323255w y x x x x =-=+-=+432165w x =+=20x =-405>w 20x -40≤≤-当摄氏温度大于其对应的华氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而减小，∴；∴当任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16时，，∴该温度区间的最大温差是摄氏度．22. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E ，F 分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．（1）小宋的探究思路如下：延长到点G ，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．【模型应用】：（2）如图2，在矩形中，，点F 为中点，，求的长．【拓展提升】：（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）证明，可得，，再证9325x y x >=+40x <-194323255w x y x x x =-=--=--1432165w x =--=60x =-405-<1w 6040x -≤<-6020x -≤≤-()206040---=，BC CD 45EAF ∠=︒EF BE DF ，，CB BG DF =AG ADF ABG ≌AEF AEG △≌△,,,EF BE DF 6,2AD DF ==BE =ABCD 4,3AD AB ==CD 45FAE ∠=︒BE ()tan a DAF a b b∠=<45DAF BAE ∠+∠=︒tan BAE ∠=EF BE DF =+31511BE =b a a b -+()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠，可得，则；设，则，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）如图作辅助线，构造正方形，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例计算的长即可；（3）如图2作辅助线，设，，，则，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再根据正切函数的定义计算即可．【详解】解：（1）延长到点G ，使，连接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案为：，；（2）如图2，延长，至M 、N ，使四边形是正方形，延长到点H ，使，连接，延长交于P ，连接，()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △AMND MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △MP BE DF a =AD b =MP x =FN b a =-PN b x =-PF x a =+Rt PNF △MP CB BG DF =AG ABCD AB AD =90ABC D ∠=∠=︒90ABG D ∠=∠=︒()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠45EAF ∠=︒45DAF BAE ∠+∠=︒45BAG BAE EAG ∠+∠=∠=︒EAF EAG ∠=∠()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+6,2AD CD DF ===4CF =2BG =BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △222CE CF EF +=()()222642x x -+=+3x =3BE =EF BE DF =+3AB DC AMND NM MH DF =AH AE MN PF∵，点F 为中点，∴，∴，设，则，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如图2作辅助线，∵，∴设，，∴，设，则，由（2）得：，在中，由勾股定理得，4,3AD AB ==CD 113222DF CD AB ===35422FN =-=MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △222PN NF PF +=()22253422x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2011x =BC MN ∥ABE AMP ∽AB BE AM MP =320411BE =1511BE =()tan a DAF a b b∠=<DF a =AD b =FN b a =-MP x =PN b x =-PF x a =+Rt PNF △222PN NF PF +=∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．23. 在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E 出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D 停止．连接，将线段绕点E 顺时针旋转得到线段．连接．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用表示线段的长度；（2）连接，求的值；（3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值；（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t 的值．【答案】23. 当时，；当时， 24.25. ，1， 26. ，【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当点E 在线段上时， ；当点E 在线段上时，；()()()222b x b a x a -+-=+2b ab x a b-=+2tan tan b abb a a b a bMP BAE MAP AM b ∠===-+=-+∠b a a b-+ABCD 5AD =7AB =4tan 3DAB ∠=E AB 4AE =P EA AD -PE PE 90︒EF PF t AP AC tan CAB ∠F ABCD t DE DE PF 1:2403t ≤≤43AP t =-433t <≤34AP t =-2581515269104636427AE 43AP t =-AP 34AP t =-（2）过点C 作延长线于点G ，解即可；（3）分类讨论：当时，点F 落在上，点F 落在上；当时，点F 落在上，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．【小问1详解】解：①当点E 在线段上时，即时，；②当点E 在线段上时，当时，．【小问2详解】解：过点C 作延长线于点G ，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，在，由，∴，设，由勾股定理得：，解得：，∴，∴中，．【小问3详解】CG AB ⊥ABC 403t ≤<AC BD 433t <≤AC 12OF PO =12OP FO =AE 403t ≤≤43AP t =-AP 433t <≤34AP t =-CG AB ⊥ABCD ,5BC AD AD BC ==∥,7DC AB DC AB =∥=CBG DAB ∠=∠Rt CBG △tan tan CBG DAB ∠=∠43CG BG =4,3CG x BG x ==()()222345x x +=1x =4,3CG BG ==Rt CAG △42tan 735CG CAB AG ∠===+解：由旋转知，，当时，点F 落上，如图1，由得，，解得：；点F 落在上时，如图2，过点D 作于点H ，同（1）可求，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，解得： 当时，点F 落在上，过点P ，F 分别作AB 的垂线，垂足为M ，N ，在3EP EF t ==90PEF ∠=︒403t ≤≤AC 2tan 5CAB ∠=3245EF t AE ==815t =BD DH AB ⊥3,4AH DH ==734BH =-=DHB △45DBA ∠=︒FE BE =33t =1t =433t <≤AC由，得：，∴，可证：，∴，在中，，∴ ，解得．综上所述：t 的值为，1，．小问4详解】①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线）由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，∵，∴，设，则，，，∵，∴，而，【34AP t =-4tan 3DAB ∠=()()4334,3455PM t AM t =-=-()3329434555ME t t =--=-PME ENF △≌△,NF ME EN PM ==Rt AFN △2tan 5FN FAN AN ∠==32925512165455t t -=+-15269t =8151526912OF PO =2MS PO SN OF ==4,1DH HE ==OS DH ∥4OS SE =34AP t a =-=34,55AM a PM KN XS EN a =====345ME a =-34744555FK FN KN a a a =-=--=-OX FK ∥28143315OX FK a ==-145MN ME EN a =+=+∴ ，∵， ，∵，∴，解得：，∴，∴；②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）同理可得： ，解得：，∴，∴．综上所述：或．【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解决本题的关键．24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点、都是该抛物线上的点，、的横坐标分别为，，当点、不重合时，连结．（1）求该抛物线的解析式；（2）当时，求点的坐标；（3）当线段与对称轴为相交时，设其交点为，当不与或重合时，以为一边构造矩形，其中，同时使得点在的同侧．1413315SN MN a ==+4144113155315SE SN EN a a a =-=+-=-8144823155315OS OX XS a a a =+=-+=-4OS SE =41182315315a a -=-2021a =203421t -=10463t =12OP FO =27331144444355535a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦289a =28349t -=6427t =10463t =642723y x bx =-++1x =P Q P Q m 4m -P Q PQ PQ =P PQ 1x =M M P Q MQ MQGN MN MP =Q G N 、、1x =①当抛物线在矩形的内部任意一点的纵坐标恒为负数时，求的取值范围；②当矩形被轴分为面积相等的两部分时，直接写出的值．【答案】（1）（2）点坐标为或 （3）①或；②【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，过点作于点，连接，则，求得的长，可得，则，依题意，，构造方程，解方程，即可求解；（3）①当在的左两边，两种情况分别画出图形，分别求得，根据建立方程，②当在的右侧时，分别表示出，进而解方程，求得的值，结合图象，即可得出的范围；②设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，同样分两种情况，根据中点坐标公式得出的纵坐标为，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴解得：，∴抛物线解析式为【小问2详解】解：∵、的横坐标分别为，，∴的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，的MQGN m MQGN x m 223y x x =-++P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭m <5m >m =m =PQ 2T P 2PA x ⊥=A AT PA AT ⊥,AT PA 2AT PA =PT =PQ =P 1x =,AP AB AP AB =P 1x =BQ m m S MQGN S x S 023y x bx =-++1x =12b x =-=-2b =223y x x =-++P Q m 4m -PQ 2T过点作于点，连接，则∴，∵∴的纵坐标分别为∴的纵坐标为∴∴∴依题意，∴∴即解得：，当时，∴，P 2PA x ⊥=A AT PA AT⊥2PA m =-223y x x =-++,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+T ()()2221234243412m m m m m m ⎡⎤-++--+-+=-+-⎣⎦()22234124AT m m m m m =-++--+-=-+2AT PA=PT =PQ =PT ==52PA =522m -=12m =-12m =-()2221723141424y m m m ⎛⎫=-++=--+=---+= ⎪⎝⎭17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，∵,，∴，∵关于对称，设，则解得：，∴当在时，符合题意，∴点的坐标为或；【小问3详解】解：如图所示，当在的左边时，当点在轴上时，过点作于点，连接，则，设交轴于点，则，72,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭25AT PA ==713544-=-132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,P Q 132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),Q a b 1713242,224a b -+==-933,24a b ==-93,234Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭P Q P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭P 1x =N x P 1PA x ⊥=A AM PA AM ⊥AM x B BM MN ⊥同（2）可得，即，∵，∴，∵，，，∴，∴∴∴，解得：所以当点在轴的下方时，则；当在的右侧时，如图所示，同理可得，与轴的夹角的正切为，则2AM PA =1tan 2PMA ∠=1PA m =-22AM m =-90,90PMN PMA NMB MNB ∠=︒∠=︒-∠=∠90A MBN ∠=∠=︒PM NM =PAM MBN ≌22BN AM PA BM===AB BM =AP=2123m m m -=-++m =m =N x m <P 1x =PQ y 121tan tan 2PMA QMP ∠=∠=∵，∴，∵，∴，∴，则又∵∴解得：（舍去）或1PA m =-22AM m =-()2,23P m m m -++()21,41M m m -++241BM m m =--21112222QB BM m m ==--()143BQ m m =--=-2113222m m m -=--1m =5m =所以当点在轴的下方时，则；综上所述或，②当在的左侧时，设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，如图所示，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，∴又∵N x 5m>m <5m >P 1x =S MQGN S x ,N Q 1x =,C D CN BS DQ∥∥NS QS =∴由（2）可得的纵坐标分别为，则由①可得，∵∴∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，∵在轴上，∴，解得：（舍去），当在的右侧时，如图所示，∵，CB DB=,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+()24,65Q m m m --+-2CN AM PA ==CA CM PA==1PA m=-22CN m=-N 32m -()2223132m m m m m -++--=-++224326532,22m m m m m m S ⎛⎫-+--+--++ ⎪⎝⎭S x 22653202m m m m -+--++=m =m =P 1x =()24,65Q m m m --+-则，∴，∴，即同理可得则∴的纵坐标为∵在轴上，∴解得：，综上所述，．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求锐角的正切值，全等三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．()143DQ mm =--=-226DM QD m ==-()21,6526M m m m -+--+()2141m m -++，PAM MCN≌1PA MC m ==-N ()2241132m m m m m -++--=-++S x 2265320m m m m -+--++=m =m =m =m =。
南京市南师附中2023年九上月考数学试卷+答案
南京市南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上）1．将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为A ．2，9B ．2，7C ．2，－9D ．2x 2，－9x2．下列说法：①三点确定一个圆；②等腰三角形的外心一定在三角形内；③长度相等的弧是等弧；④圆的切线垂直于半径．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，数轴上点A 、B 表示方程(3x －9)2－37＝0的两个根a 、b （a ＞b ），它们在数轴上的对应点的位置可以是 A ．B ．C ．D ．4．若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为A ．B ．C ．D ．AB 0A B 0AB 0AB5．如图，PA 、PB 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线，切点为A 、B ，连接AB 交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ．若∠AO 1C ＝60°，∠BO 2D ＝40°，则∠P 的度数为A ．128°B ．129°C ．130°D ．131°6．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都相等，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置．．．上） 7．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为x ，则根据题意列出的方程是 ▲ ．8．设x 1、x 2是方程x 2－5x ＋m ＝0的两个根．若x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 9．已知⊙O 的半径是3．若OP ＝3，过点P 的直线记为l ，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是 ▲ ．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠A ＝24°，则∠O ＝ ▲ °．11．如图，⊙O 的弦AB 、半径OC 延长线交于点D ，且BD ＝OA ．若∠AOC ＝105°，则∠D ＝ ▲ °．（第5题） （第6题）O 1PABO 2C D A CBAOBCODABC（第10题）（第11题）12．下表是某同学求代数式ax 2＋bx （a ，b 为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程ax 2＋bx ＝6的根是 ▲ ．x －2 －1 0 1 2 3 … ax 2＋bx6226…13．如图，在⊙O 中，P 为弦AB 与弦CD 的交点．若∠APC ＝84°，⌒AC的度数为74°，则⌒BD 的度数为 ▲ °．14．如图，点C 是AE 的中点，在AE 同侧分别以AC 、CE 为直径作半⊙B 、半⊙D ． 直线l ∥AE ，与两个半圆依次相交于F 、M 、N 、G 不同的四点．若AE ＝10，FG ＝x ，MN ＝y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ▲ ．15．如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上两点，过P 、Q 向CD 作垂线，垂足分别为E 、F ，向CB 作垂线，垂足分别为M 、N ，PM 、QF 交于点H ．若四边形EPHF ，HFCM ，HMNQ 均是边长为3的正方形，则AB ＝ ▲ ．16．如图，已知⊙O 和射线AB ，∠OAB ＝90°，动点P 在⊙O 上，动点Q 在射线AB 上，PQ ＝32 cm ．若AQ 的最小值为20 cm ，最大值为36 cm ，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．ABCDOPACEG N M F lBD（第14题）（第13题） （第16题）（第15题）ABCDPQ NMFE H ABQOP三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2－6x ＋3＝0；（2）x (x －2)＝x －2．18．（7分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长AD 、BC 交于点E ，∠DCB ＝100°，∠B ＝50°． 求证：△CDE 是等腰三角形．19．（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 是△ACD 的外接圆，∠CAP＝∠B ．求证：直线AP 与⊙O 相切．20．（7分）等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝8 cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B移动．过点P 作平行于BC ，AC 的直线与AC ，BC 分别交于R 、Q ．当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，求AP 的长．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根为2． （1）用m 的代数式表示n ；（2）求证：关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根．A BCDEO（第18题） BCDAOP（第19题）RQPC B A （第20题）22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，D 是CA 延长线上一点，∠BAD的平分线交⊙O 于点E ．不使用圆规，请你仅用．．一把不带刻度的直尺作出∠BAC 的平分线，并说明理由．23．（8分）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 切小圆于点M 、N ． （1）求证AB ＝AC ；（2）若两圆半径分别为3和5，则BC ＝ ▲ ．24．（9分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为H ，BC ⊥AB ，交AD 延长线于点C ．（1）求证：D 是AC 的中点；（2）若AB ＝6，AC ＝213，求⊙O 的半径．25．（8分）第19届亚运会于9月23日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为40元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低5元，日销售量增加10件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ABCDEO （第22题）OABCMN（第23题） OAB CDH（第24题）26．（9分）如图，一个边长为8 m 的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，点G ，E ，F 分别在CD ，AD ，AB 上，且DG ＝1 m ，AE ＝AF ＝x ，在△AEF ，△DEG ，五边形EFBCG 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）五边形EFBCG 的面积为 ▲ ．（结果用含有x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？27．（9分）（1）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点．求作⊙O ，使得⊙O 过点A ，且与BC 相切．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CBA ＝30°，AC ＝1，D 是边AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt △ABC 的直角边上存在不同的点分别和点A 、D 构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的AD 的长的取值范围．ABFG D CE （第26题）A CB AC B AC B（第27题） （备用图1） （备用图2）九年级数学学科作业参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 C A D C C C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．200(1＋x)2＝282 8．3 9．0≤d≤3 10．48 11．2512．x1＝－2，x2＝3 13．94 14．y＝10－x15．15 16．7三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题8分）解：（1）移项，得x2－6x＝－3．配方，得x2－6x＋9＝－3＋9，(x－3)2＝6．··········································································· 2分由此可得x－3＝±6，∴x1＝3＋6，x2＝3－6．····································································· 4分（2）x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2) (x－1)＝0．···················································································· 6分x－2＝0或x－1＝0，∴x1＝2，x2＝1．·················································································· 8分18．（本题7分）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDA＋∠B＝180°．∵∠B＝50°，∴∠CDA＝180°－50°＝130°．································································· 2分∴∠CDE＝180°－∠CDA＝180°－130°＝50°． ············································ 3分∵∠DCB＝100°，∴∠CDE＋∠E＝100°．∴∠E＝50°．······················································································· 6分∴∠E＝∠CDE．∴CD＝CE．∴△CDE是等腰三角形．······································································· 7分19．（本题7分）证明：连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE ．∴ ∠ACE ＝90°．∴ ∠E ＋∠EAC ＝90°． ··········································································· 2分 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠B ＝∠D ． ∵ ⌒AC＝ ⌒AC ， ∴ ∠E ＝∠D ． ∵ ∠CAP ＝∠B ，∴ ∠CAP ＝∠E ． ·················································································· 4分 ∵ ∠E ＋∠EAC ＝90°， ∴ ∠CAP ＋∠EAC ＝90°．∴ ∠OAP ＝90°． ··················································································· 6分 ∴ OA ⊥OP ． ∵ 点A 在⊙O 上，∴ PC 是⊙O 的切线． ············································································ 7分20．（本题7分）解：设动点P 从A 点出发移动x cm 时，□PQCR 的面积等于16 cm 2．根据题意，得x (8－x )＝16． ······································································· 4分 解这个方程，得x 1＝x 2＝4．答：当□PQCR 的面积等于16 cm 2时，AP 的长为4 cm ． ································ 7分21．（本题8分）解：（1）∵ 2为一元二次方程x 2＋mx ＋n ＋1＝0的一根，∴ 4＋2m ＋n ＋1＝0． ············································································· 1分 ∴ n ＝－2m －5． ··················································································· 3分 （2）∵ b 2－4ac ＝m 2－4n ＝m 2－4(－2m －5)＝m 2＋8m ＋20 ······························· 5分＝(m ＋4)2＋4＞0． ······························································ 7分∴ 关于y 的一元二次方程y 2＋my ＋n ＝0总有两个不相等的实数根． ················ 8分22．（本题8分）作法：1．作直径EF 交⊙O 于F ； ···································································· 2分 2．连接AF ，则AF 是∠BAC 的平分线． ······················································ 3分 理由是：∵ EF 是⊙O 的直径，∴ ∠EAF ＝90°．BC D AOPEA B C DEOF即 ∠EAO ＋∠OAF ＝90°． ∵ AE 平分∠BAD ， ∴ ∠DAE ＝∠EAO ． ∴ ∠CAF ＝∠OAF ．∴ AF 是∠BAC 的平分线． ······································································ 8分23．（本题8分）解：（1）连接OM 、ON 、OA ． ····································································· 1分∵ 大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于点M 、N ， ∴ OM ⊥AB ，ON ⊥AB ，OM ＝ON ．∴ ∠AMO ＝∠ANO ＝90°，AM ＝12AB ，AN ＝12AC ．∵ OA ＝OA ， ∴ △AMO ≌△ANO ． ∴ AM ＝AN ．∴ AB ＝AC ． ···················································································· 6分 （2）9.6． ··························································································· 8分 （直接用切线长定理不扣分）24．（本题9分）证明：如图，连接BD ．∵ AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ， ∴ D 是 ⌒AB 的中点． ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ． ∴ AD ＝BD ． ························································································ 2分∴ ∠BAD ＝∠ABD ． ∵ BC ⊥AB ， ∴ ∠ABC ＝90°．∴ ∠BAD ＋∠C ＝90°，∠ABD ＋∠DBC ＝90°． ∴ ∠C ＝∠DBC ． ∴ BD ＝CD ． ∴ AD ＝CD ．即D 为AC 的中点． ················································································· 5分 （2）如图，连接OA ．∵ 半径OD ⊥AB ，垂足为H ，AB ＝6， ∴ AH ＝3．∵ D 是AC 的中点，AC ＝213， ∴ AD ＝13．OA BCM NO AB CD H∴ DH ＝2． ·························································································· 6分 在Rt △OAF 中，OH 2＋AH 2＝OA 2． 设OD ＝OA ＝r ，则OH ＝r －2，∴ (r －2)2＋32＝r 2． ··············································································· 8分 ∴ r ＝134．即⊙O 的半径为134． ················································································· 9分25．（本题8分）解：设每件售价应定为x 元，根据题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20． ············································· 4分 整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解这个方程，得x 1＝50，x 2＝60． ······························································· 7分 ∵ 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， ∴ x 2＝60不合题意，舍去．答：每件售价应定为50元． ······································································ 8分26．（本题9分）解：（1）－12x 2＋12x ＋14． ················································································ 2分（2）根据题意，得4×[20×12x 2＋20×(2－12x )＋10×(－12x 2＋12x ＋14)]＝715． ········ 6分整理，得4x 2－4x ＋1＝0．解这个方程，得x 1＝x 2＝12． ······································································· 8分答：当AE ＝AF ＝12米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．27．（本题9分）解：（1）作△BAC 的角平分线AM ； ·································································· 2分过点M 作MO ⊥BC ，MO 与AB 交于点O ； ··················································· 4分 以O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 为所求作圆． ······································· 5分 （2）当存在2个点时，0＜AD ＜43；当存在3个点时， AD ＝43； 当存在4个点时，43＜AD ＜2； 当存在1个点时，AD ＝2． ········································································ 9分。
扬州市梅岭中学九年级下第一次月考数学试卷含答案解析
2022-2023江苏省扬州市梅岭中学九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．64的立方根是（）A．±8 B．±4 C．8 D．42．下列运算中，正确的是（）A．a2+a2=2a4B．a2•a3=a6C．a6÷a3=a2D．（ab2）2=a2b43．图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．若等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8=0的两根，则此三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或85．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．106．如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（）A．70° B．80°C．65°D．60°7．如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂红，使图中红色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n二、填空题（（每小题3分，共30分）9．单项式﹣2πa2bc的系数是．10．（3分）比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为米（科学记数法表示）．11．若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为．12．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为．13．甲、乙、丙三个同学，各有5次数学阶段考试成绩，算得每个同学5次数学成绩的平均成绩都是132分，其方差分别为S甲2=38，S乙2=10，S丙2=26，则在这三个同学中，数学成绩最稳定的是同学．14．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为．15．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需要一块圆形纸板做底面，那么这块圆形纸板的半径为cm．16．若α为锐角，且，则m的取值范围是．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为（结果保留根号）．18．如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是．三、解答题19．计算：（﹣）﹣2﹣16÷（﹣2）3+（π﹣tan60°）0﹣2cos30°（2）解方程：﹣=1．20．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．21．一副风景画的长90cm，宽40cm（如图是其尺寸图），现要制作一个画框把它装入其中便于悬挂，制作的画框的四周的宽度一样，且要求风景画的面积是整个挂画面积的72%．（1）在该图基础上画出挂画的大致图；（2）求画框四周的宽度．22．如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）23．（1）如图1，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．（2）已知：如图2，AB为⊙C的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．若AB=2，求PA的长．24．元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小．经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为与，它们与m的关系图象如图所示，其中其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值．（1）求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙．（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么．（3）品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由．25．为了解某校学生的体重情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：体重分组情况组别体重（kg）A x＜40B 40≤x＜50C 50≤x＜60D 60≤x＜70E x≥70根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的体重众数在组，中位数在组．（2）样本中，女生体重在E组的人数有人．（3）已知该校共有男生1600人，女生1500人，若男生体重x≥70（kg），女生体重x≥60（kg），则称为超重，请估计该校体重超重的学生约有多少人？26．如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是；（2）d=，m=，n=；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？27．在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．28．小明在课间用橡皮筋将两支规格相同的铅笔垂直放置在桌面上（如图）．小明发现：当铅笔左右平行移动时，橡皮筋的交点到桌面的距离保持不变．于是该班数学兴趣小组进行了如下探究：（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P1，过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1，已知AB=CD=a，则PQ=，P1Q1=．（用含a的代数式表示）（2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．（3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P1，过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1．连结AQ1交BD于点P2，过点P2作P2Q2∥CD 交BC于点Q2，…，已知AB=a，CD=b，则点P1的纵坐标为点P n的纵坐标为（直接用含a、b、n的代数式表示）2022-2023江苏省扬州市梅岭中学九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．64的立方根是（）A．±8 B．±4 C．8 D．4【分析】根据开立方的方法，求出的值，即可判断出64的立方根是多少．【解答】解：∵=4，∴64的立方根是4．故选：D．2．下列运算中，正确的是（）A．a2+a2=2a4B．a2•a3=a6C．a6÷a3=a2D．（ab2）2=a2b4【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a2+a2=2a2，故本选项错误；B、应为a2•a3=a5，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a3，故本选项错误；D、（ab2）2=a2b4，正确．故选D．3．图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．故选C．4．若等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8=0的两根，则此三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．6或8【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得，x1=2，x2=4；当底为2，腰为4时，4﹣2＜4＜4+2，能构成三角形，等腰三角形的周长为10；当底为4，腰为2时，2+2=4，不能构成三角形．故此等腰三角形的周长为10．故选B．5．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选：C．6．如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（）A．70° B．80°C．65°D．60°【分析】首先根据平行线的性质得出∠1=∠4=140°，进而得出∠5的度数，再利用三角形内角和定理以及对顶角性质得出∠3的度数．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1=140°，∴∠1=∠4=140°，∴∠5=180°﹣140°=40°，∵∠2=70°，∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°，∵∠3=∠6，故∠3的度数是70°．故选：A．7．如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂红，使图中红色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（）A．B．C．D．【分析】由白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况（第二行中第4个，还有第四行中第3个），∴使图中红色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是： =．故选：A8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，∵∠OAB=30°，∴OA=OB，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），则OE=﹣a，BE=，OF=b，AF=，∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∴∠OBE=∠AOF，又∵∠BEO=∠OFA=90°，∴△BOE∽△OAF，∴==，即==，解得：m=﹣ab，n=，故可得：m=﹣3n．故选A．二、填空题（（每小题3分，共30分）9．单项式﹣2πa2bc的系数是﹣2π．【分析】根据单项式系数的定义来判断，单项式中数字因数叫做单项式的系数．【解答】解：根据单项式系数的定义，单项式﹣2πa2bc的系数是﹣2π，故答案为：﹣2π．10．（3分）比例尺1：300 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为 1.2×105米（科学记数法表示）．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是整数数位减1．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：设实际距离约为x厘米，∵比例尺为1：300 0000，∴4：x=1：3000000，∴x=12000000厘米=120000米=1.2×105米．故答案为：1.2×105．11．若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为2．【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式就可求出比例系数．【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．12．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为90°．【分析】由△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．【解答】解：如图：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴OB=OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．13．甲、乙、丙三个同学，各有5次数学阶段考试成绩，算得每个同学5次数学成绩的平均成绩都是132分，其方差分别为S甲2=38，S乙2=10，S丙2=26，则在这三个同学中，数学成绩最稳定的是乙同学．【分析】根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立【解答】解：∵s甲2＞s丙2＞s乙2，∴成绩相对稳定的是乙．故答案为：乙．14．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为3．【分析】过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM即可．【解答】解：过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，∵OM过O，OM⊥AB，∴AM=AB=×8=4，在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM===3，故答案为：3．15．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需要一块圆形纸板做底面，那么这块圆形纸板的半径为6cm．【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【解答】解：，解得r=6．16．若α为锐角，且，则m的取值范围是．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为（结果保留根号）．【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，∴S扇形ADF=S△ABC，即： =×AC×BC，又∵AC=BC=1，∴AF2=，∴AF=．故答案为．18．如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是＜t＜3．【分析】根据点P的横坐标表示出AB，由点C的横坐标大于3列出不等式求解即可．【解答】解：∵点P（t，0），AB∥y轴，∴点A（t， t），B（t，﹣t），∴AB=|t﹣（﹣t）|=|t|，∵t＞0时，点C的横坐标为t+t=t，∵点（3，0）在正方形ABCD内部，∴t＞3，且t＜3，解得t＞且t＜3，∴＜t＜3；故答案为：＜t＜3．三、解答题19．计算：（﹣）﹣2﹣16÷（﹣2）3+（π﹣tan60°）0﹣2cos30°（2）解方程：﹣=1．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=9+2+1﹣3=9；（2）去分母得：2+x2+2x=x2﹣4，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．20．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x﹣1=0的根，那么m2+3m﹣1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．【解答】解：原式=÷=•==；∵m是方程x2+3x﹣1=0的根．∴m2+3m﹣1=0，即m2+3m=1，∴原式=．21．一副风景画的长90cm，宽40cm（如图是其尺寸图），现要制作一个画框把它装入其中便于悬挂，制作的画框的四周的宽度一样，且要求风景画的面积是整个挂画面积的72%．（1）在该图基础上画出挂画的大致图；（2）求画框四周的宽度．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）设画框四周的宽度为xcm，则整个挂画的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）设画框四周的宽度为xcm，则整个挂画的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm．由题意得（90+2x）×（40+2x）72%=90×40，解得：x1=﹣70（舍去），x2=5．答：画框四周的宽度为5cm．22．如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）【分析】过点A，C作出21°，45°所在的直角三角形，设出河宽，利用相应的三角函数表示出SE，BT的长，利用等量关系SC=AT，把相关数值代入即可求得河宽．【解答】解：作AS⊥PQ，CT⊥MN，垂足分别为S，T．由题意知，四边形ATCS为矩形，∴AS=CT，SC=AT．设这条河的宽度为x米．在Rt△ADS中，因为，∴．（3分）在Rt△BCT中，∵∠CBT=45°，∴BT=CT=x．（5分）∵SD+DC=AB+BT，∴，（8分）解得x=75，即这条河的宽度为75米．（10分）（其它方法相应给分）23．（1）如图1，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．（2）已知：如图2，AB为⊙C的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．若AB=2，求PA的长．【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE=FC；（2）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°；连结BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=．【解答】证明：（1）连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠DAC，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF；解：（2）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，可得△PAC是等边三角形，得∠P=60°．如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=．又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=．24．元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小．经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为与，它们与m的关系图象如图所示，其中其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值．（1）求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙．（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么．（3）品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由．【分析】（1）把m=200，p甲=0.5代入中求得得k甲=100，然后根据p乙始终为0.4，得到，从而求得k乙的值即可；（2）当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，代入可得甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．（3）根据当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．然后据m﹣100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．从而确定哪家更优惠．【解答】解：（1）把m=200，p甲=0.5代入中，得k甲=100．由于p乙始终为0.4，即，∴k乙=0.4m．（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．（3）由上可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．据m﹣100=0.6m，得m=250．即当m=250时，在两家商场购买花钱一样多．再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．25．为了解某校学生的体重情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：体重分组情况组别体重（kg）A x＜40B 40≤x＜50C 50≤x＜60D 60≤x＜70E x≥70根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的体重众数在B组，中位数在C组．（2）样本中，女生体重在E组的人数有2人．（3）已知该校共有男生1600人，女生1500人，若男生体重x≥70（kg），女生体重x≥60（kg），则称为超重，请估计该校体重超重的学生约有多少人？【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．【解答】解：∵B组的人数为12，最多，∴众数在B组，男生总人数为4+12+10+8+6=40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，∴中位数在C组；（2）女生身高在E组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%，∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%=2人；（3）×1600+（15%+5%）×1500=540（人）．答：估计该校体重超重的学生约有540人．26．如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）d=3，m=2，n=25；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？【分析】（1）根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的关系求解即可；（2）根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面积最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定理求出BD的平方，即为最大值n；（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I，则四边形DEIC为矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股定理表示出EF2，根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后把y=16代入求出x的值，即可得到时间．【解答】解：（1）∵BC=AD=4，4÷1=4，∴0≤x≤4；故答案为：0≤x≤4；（2）根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，EF=AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，此时，d2=9，m=4÷2=2，所以，d=3，根据勾股定理，n=BD2=AD2+AB2=42+32=25，故答案为：3，2，25；（3）如图，过点E作EI⊥BC垂足为点I．则四边形DEIC为矩形，∴EI=DC=3，CI=DE=x，∵BF=x，∴IF=4﹣2x，在Rt△EFI中，EF2=EI2+IF2=32+（4﹣2x）2，∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，∴y=32+（4﹣2x）2，当y=16时，32+（4﹣2x）2=16，整理得，4x2﹣16x+9=0，解得，x1=，x2=，∵点F的速度是1cm/s，∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2．27．在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为60°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为45°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为36°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．【分析】（1）①由△ABC与△APE均为正三角形得出相等的角与边，即可得出△ABP≌△ACE．②由△ABP≌△ACE，得出∠ACE=∠B=60°，即可得出∠ECM的度数．（2）①作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△ACE，利用角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．②作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△PNE，得出角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．（3）过E作EK∥CD，交BM于点K，由正多边形的性质可得出△ABP≌△PKE，利用角及边的关系，得出CK=KE，即△EKC是等腰三角形，根据多边形的内角即可求出∠ECM的度数．【解答】解：（1）①证明：如图1，∵△ABC与△APE均为正三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC即∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE （SAS）．②∵△ABP≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∵∠ACB=60°，∠ECM=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60．（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N∵四边形ABCD和APEF均为正方形，∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△ACE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠ECM=∠CEN=45°②如图3，作EN∥CD交BM于点N，∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，∴AP=PE，∠B=∠BCD，∵EN∥CD，∴∠PNE=∠BCD，∴∠B=∠PNE∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°﹣∠B，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△PNE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠NCE=∠NEC，∵∠CNE=∠BCD=108°，∴∠ECM=∠CEN=（180°﹣∠CNE）=×（180°﹣108°）=36°．故答案为：45，36．（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，∴AB=BC AP=PE∠ABC=∠BCD=∠APE=∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK∴∠BAP=∠KPE∵EK∥CD，∴∠BCD=∠PKE∴∠ABP=∠PKE，在△ABP和△PKE中，，∴△ABP≌△PKE（AAS）∴BP=EK，AB=PK，∴BC=PK，∴BC﹣PC=PK﹣PC，∴BP=CK，∴CK=KE，∴∠KCE=∠KEC，∵∠CKE=∠BCD=∴∠ECK=．28．小明在课间用橡皮筋将两支规格相同的铅笔垂直放置在桌面上（如图）．小明发现：当铅笔左右平行移动时，橡皮筋的交点到桌面的距离保持不变．于是该班数学兴趣小组进行了如下探究：（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P1，过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1，已知AB=CD=a，则PQ=a，P1Q1= a．（用含a的代数式表示）（2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．（3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P1，过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1．连结AQ1交BD于点P2，过点P2作P2Q2∥CD交BC于点Q2，…，已知AB=a，CD=b，则点P1的纵坐标为点P n的纵坐标为（直接用含a、b、n的代数式表示）【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得BP=PD，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出的值，再求出的值，然后根据平行线分线段成比例定理可得=，再代入数据进行计算即可求出P1Q1；（2）先根据AB∥CD求出，然后求出，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理可得=，代入数据进行计算即可得解；（3）根据（2）的结论依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…P n Q n，再根据两直线平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠P n Q n C=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BP=PD，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴==，∴PQ=CD=a，∵P1Q1⊥BC，∴P1Q1∥CD，∴==，∴==，又∵=，∴P1Q1=a；（2）∵AB∥CD，∴==，∴=，∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴==，∴PQ=•CD=；（3）根据（2）的结论，PQ=，P1Q1==，P2Q2==，P3Q3==，…，依此类推，P n Q n=，∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥P n Q n∥CD，∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠P n Q n C=∠ABC=60°，∴点P1的纵坐标为：P1Q1•sin60°=×=，点P n的纵坐标为为P n Q n•sin60°=×=．故答案为：（1）a， a；（2）；（3），．。
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九年级数学阶段测试一
20160324
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.2 B．2 C．21 D．﹣5
2．一元二次方程x2=2x的解是（ ）
A．x=2 B．x=0 C． x1=2，x2=0 D．x1=2，x2=1
3．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3
个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任
意摸出一个球，则摸出白球的概率是（ ）
A．61 B．31 C．21 D．32
4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2, 已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C
的大小等于（ ）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
6．如图，边长为45的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数(0)kyxx的
图像上，已知点B的坐标是49,43，则k的值为（ ）
A．1627 B．827
C．4 D．6
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
7． 使1x在实数范围内有意义的x的范围是
8．甲、乙、丙三个同学，各有5次数学阶段考试成绩，算得每个同学5次数学成绩的平均成
绩都是132分，其方差分别为382甲S，102乙S，262丙S，则在这三个同学中，数学
成绩最稳定的是______________同学.
9．分解因式：x3﹣2x2+x=
10．比例尺1：400 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为__________米 (科学记数法表示)
11．汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米
12．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角是 度
13．二次函数362xkxy的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______________
14．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，
B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为32，则阴影部分的面积为__________．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图， 点G为△ABC的重心，连接AG、BG并延长，分别交BC、AC于点D、E
，过点
E作EF∥BC交AD于点F，那么AGFG=__________．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点M，使BM=2，过点B作BN⊥AM
，垂足
为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为 ．
三、解答题(共10小题，满分102分)
17．（12分） (1)计算：；60sin4)31()21(1202
(2)先化简，再求值：)12(1222aaaaa，其中12a
D
EOCB
A
18．(本题满分10分)
为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，
走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取
了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
19．( 本题满分8分)如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
20．(本题满分8分) 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色
外都相同。
（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为 ；
（2）从袋中随机摸出1个球（不放回）后，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球．求两
次摸到的球颜色不相同的概率．(请用树状图或列表法求此事件发生的概率)
21．( 本题满分8分) 对x，y定义一种新运算T，规定：(,)2axbyTxyxy（其中a，b均为
非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：01(0,1)201abTb，已知
(1,1)2T，(4,2)1T
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组(2,54)4(,32)TmmTmmp恰好有4个整数解，求实数p的取值范围。
22．(本题满分10分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），
B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
23．（本题满分10分）如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长
马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，
该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是
决定马上调整方向，先向北偏东60 º方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同
时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东
53 º方向上，求C、D两点的距离．
(参考数据：5453sin，5353cos，3453tan)
24．(本题满分10分)九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天
的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
25．（本题满分12分） AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连
接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点H．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠HBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：EC=EH；
（3）如图3，在（2）条件下，若CH=DH，AH=172， tan∠D=34，求线段BF的长．
26．(本题满分14分) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线3kxy与x轴
交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线cbxxy221与直线AC交于另一点B，点
B坐标为（27,845）.
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点P是射线CB上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，垂足为点Q，交抛物线于点D，
①当PD=PC时，求点P的坐标。
②在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=23，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，
已知tan∠NAQ―tan∠MPQ=43，求线段PN的长；
F
O
H
E
D
C
B
A
F
O
H
E
D
C
B
A
F
O
H
E
D
C
B
A
图1 图2 图3