2019-2020年高中数学选修本(文科)线性回归(1)

2019-2020年高中数学选修本(文科)线性回归(1)

教学目的：

1 了解相关关系、回归分析、散点图的概念

2．明确事物间是相互联系的，了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握回归直线方程的求解方法

3．会求回归直线方程

教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法 教学难点：回归直线方程的求解方法 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

客观事物是相互联系的 过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系 比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 所以说，函数关系存在着一种确定性关系 但还存在着另一种非确定性关系——相关关系 二、讲解新课：

1．相关关系的概念

当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系 （有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下：

相同点：均是指两个变量的关系

不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性

3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度 粗略地看，散点分布具有一定的规律

4. 回归直线

设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数． 则),,2,1(,^

n i a bx y i i =+= ．于是得到各个偏差

),,2,1(),(^

n i a bx y y y i i i i =+-=-.

显见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和．

2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=

表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度．

记 (向学生说明的意义)．

上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值．即

11

22211

()()()n n

i i i i i i n n

i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑， , 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析

特别指出:

1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．

2．求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．

3．求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．

4．回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识． 三、讲解范例：

(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 解：（１）见下图

x

（２）50.45)50394058354248464245(10

1

=+++++++++=

x 37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(10

1

=+++++++++=

y 设回归直线为， 45?6.53+42?6.3+46?9.25+48?7.5+42?6.99+35?5.9+58?9.49+40?6.2+39?6.55+50?7.72()-10?45.5?7.37()

452+422+462+482+422+352+582+402+392+502()-10?45.52

= 0.13

即

12

2

1

0.13n

i i

i n

i

i x y nxy

b x

nx ==-=

=-∑∑，

所以所求回归直线的方程为，图形如下:

x

例2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下组对应数据：

(1)画出散点图；

(2)求月总成本y 与月总产量x 之间的回归直线方程．

讲解上述例题时，(1)可由学生完成；对于(2)，可引导学生列表，按

∑∑∑===→→→→→→→12

1

12

1

212

1

2i i i i i

i

i

i i i i y x y x y x y x y x 的顺序计算，最后得到.

即所求的回归直线方程为.

四、课堂练习：

1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 答案：D

解：(1)散点图（略）．

故可得到 257

3075.43.399,75.430

770003

.399307871752≈?-=≈?-??-=

a b 从而得回归直线方程是．(图形略)

五、小结 ：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a 、b 的计算公式，算出a 、b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求ａ；用 求ｂ；写出回归方程 六、课后作业：

在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：

(1)画出散点图；

(2)试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程 解：(1)散点图略，呈直线形.

(2)经计算可得

∑∑∑======111

11

1

211

1

213910,5442,36750i i i i i i i

y t y t

542

.536.463.045.19,

3.036.46113675045

.1936.4611139102

≈?-=≈?-??-=

a b 故所求的回归直线方程为 七、板书设计（略） 八、课后记：

2019-2020年高中数学选修本(文科)线性回归(I)

教学目的：

1 进一步熟悉回归直线方程的求法 2．加深对回归直线方程意义的理解

3. 增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识 掌握样本相关系数显著性检验

的方法

教学重点：准确求出回归直线方程

教学难点：样本相关系数显著性检验的方法 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1．相关关系的概念

当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系 （有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下：

相同点：均是指两个变量的关系

不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性

3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度 粗略地看，散点分布具有一定的规律

4. 回归直线

设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数．

11

22211()()()n n

i i i i i i n n

i i

i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx

====?

---?

?==?--??

=-?∑∑∑∑， , 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 二、讲解新课：

1.相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y 与x 的一组观测值，把

∑∑∑===----=

n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

r 1

1

2

21

)()()

)((=

∑∑∑===---n i n i i i n

i i

i y n y x n x y

x n y

x 1

1

22221

)

)((

叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.

2.相关系数的性质： ≤1，且越接近1，相关程度越大；且越接近0，相关程度越小.

3.显著性水平:显著性水平是统计假设检验中的一个概念，它是公认的小概率事件的概率值 它必须在每一次统计检验之前确定

4. 显著性检验：(相关系数检验的步骤)由显著性水平和自由度查表得出临界值，显著性水平一般取0.01和0.05，自由度为ｎ－２，其中ｎ是数据的个数 在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n 为观测值组数）相应的相关数临界值r 0 05或r 0 01；例如ｎ＝７时，ｒ0.05＝0.754，ｒ0.01＝0.874 求得的相关系数ｒ和临界值ｒ0.05比较，若ｒ＞ｒ0.05，上面ｙ与ｘ是线性相关的,当≤r 0 05或r 0 01，认为线性关系不显著

结论：讨论若干变量是否线性相关，必须先进行相关性检验，在确认线性相关后，再求回归直线；

通过两个变量是否线性相关的估计，实际上就是把非确定性问题转化成确定性问题来研究；

我们研究的对象是两个变量的线性相关关系，还可以研究多个变量的相关问题，这在今后的学习中会进一步学到 三、讲解范例：

例1．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得数据如下（单位：kg ）

1

x

2）检验相关系数r 的显著性水平： r=

∑∑∑===---7

1

7

1

222

27

1

)

7)(7(7i i i i

i i

i y y x x y

x y

x =

39

71132725)(3077000(3

.399307871752?-?-??-≈0.9733，在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度7-2=5相应的相关数临界值r 0 05=0.754＜0.9733，这说明水稻产量与施化肥量之间存在线性相关关系.

3）设回归直线方程，利用???????

??

-=--=∑∑==x

b y a x x y x y x b i i i i i 7

1

227

1

77 计算a ，b ， 得b=

75.430770005

.399307871752

≈?-??-

a=399.3-4.75×30≈257，则回归直线方程

x

例2．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组

1直线方程.

x

2）r=

∑∑∑===---121

121

222212

1

)

12)(12(12i i i i i i

i y y x x y

x y

x

=

18.534.17

54.243120.997891-?

?=

在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r 0 05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间存在线性相关关系. 3）设回归直线方程，

利用???????

??

-=--=∑∑==x

b y a x x y x y x b i i i i i 12

1

2212

1

1212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=≈0.974，

∴回归直线方程为：

四、课堂练习：

1 .设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时( )

A. y 平均增加 1.5 个单位

B. y 平均增加 2 个单位

C. y 平均减少 1.5 个单位

D. y 平均减少 2 个单位 答案：C

②如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程． 参考答案：

3

.1195.36)2(;

,.878.0.9997.05

.14781478

)1(^

05.005.0-=>=≈=

x y x y r r r r 之间显著线性相关与故 五、小结 ：一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进

行相关性检验．在确认其具有线性相关关系后，再求其回归直线方程；由部分数据得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：