π2
,所以cos A =
√1-sin 2A
=
√1-(725
)
2
=
2425
,所以
cos(A -B )=cos A cos B +sin A sin B =24
25×(-8
17)+7
25×15
17=-87
425
。
21.(2019·山东烟台一中高一期末)若cos(α+β)=
45
,sin(α-β)=
35
,且
3π
2
<α+β<2π,π
2<α-β<π,求cos2β的值。 答案:解:因为cos(α+β)=45
,且3π2
<α+β<2π, 所以sin(α+β)=-3
5。
由sin(α-β)=35
,且π2
<α-β<π,得cos(α-β)=-4
5
。
所
以
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=4
5×(-4
5)+(-3
5)×3
5=-1。
22.(2019·四川遂宁射洪中学高一下月考)已知函数f (x )=-cos2x cos 5π
4+sin2x sin 9π
4。 (1)求函数f (x )的最小正周期;
答案:解:因为f (x )=-cos2x cos 5π
4+sin2x sin 9π
4=cos2x cos π
4+sin2x sin π
4=cos (2x -π
4), 所以函数f (x )的最小正周期T =2π2=π。 (2)若π
8
<α<β<π
2
,f (α)=
√2+√6
4
,且f (β)=
√6-√2
4
,求角2β-2α的大小。
答案:因为f (α)=√2+√6
4
,且f (β)=
√6-√2
4
, 所以cos (2α-π
4)=
√2+√6
4,cos (2β-π4
)=√6-√24, 又π
8<α<β<π2,所以2α-π
4,2β-π
4∈(0,3π4
),
所以sin (2α-π
4)=√1-cos 2(2α-π
4)=√6-√2
4
, sin (2β-π
4)=√1-cos 2(2β-π
4)=
√6+√24
,
所以
cos(2β-2α)=cos [(2β-π
4)-(2α-π
4)]=cos (2β-π
4)·cos (2α-π
4)+sin (2β-π
4)·sin (2α-π
4)=
√6-√24×√6+√24+√6+√24×√6-√24=1
2。又π8<α<β<π2
,所以0<2β-2α<3π4
,所以2β-2α=π
3
。
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式答案 P276 考点1 两角和与差的余弦公式的理解与简单应用问题
1.(2019·湖北黄冈高一下期末考试)cos π
12
cos π
6
-sin π
12
sin π
6
=( )。
A.1
2
B.√2
2 C.√32
D.1
答案:B
解析：cos π
12cos π
6-sin π
12sin π
6=cos (π
12+π
6)=cos π4=√2
2,故选B 。
2.(2019·江西上饶高一下期末考试)已知cos(α-β)=3
5,sin β=-5
13,且α∈(0,π
2),β∈(-π
2,0),则cos α=( )。 A.33
65
B.56
65
C.-33
65
D.-56
65
答案:B 解析：∵{
0<α<π
2,
-π2
<β<0,
∴0<α-β<π。又cos(α-β)=35,∴sin(α-β)=√1-cos 2(α-β)=4
5。
∵-π2
<β<0,sin β=-513
,∴cos β=
1213
,∴cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-
β)sin β=56
65。
3.计算sin π
12-√3cos π
12的值为 。 答案:-√2 解析：sin
π12-√3cos
π12
=2(12sin π
12-
√3
2cos π12
)=2(sin π6sin π12-cos π6cos π12)=-2cos (π
6+
π
12
)=-2cos π
4=-√2。 4.(2019·河南南阳方城一中月考)若0<α<π
2,-π
2<β<0,cos (5π
4+α)=-1
3,cos (π
4-β
2)=√3
3,求cos (α+β
2)的值。
答案:解:∵cos (5π
4+α)=-1
3,∴cos (π
4+α)=1
3。 ∵0<α<π
2,∴π
4<α+π4<3π
4,∴sin (π
4+α)=2√2
3
。 ∵-π
2<β<0,∴π4<π4-β2<π
2。
又cos (π4-β2)=√33,∴sin (π4-β2)=√6
3,
∴cos
(α+β
2)
=cos
[(π4+α)-(π4-β
2)]
=cos
(π
4+α)
cos
(π4-β
2)
+sin
(π
4+
α)sin (π
4-β
2)=1
3×√33+
2√23
×√63=5√3
9。
考点2 两角和与差的正弦公式的理解与简单应用问题 5.(2019·山东济宁高三上期末考试)已知cos (π
2+α)=
√33(-π2
<α<π
2),则sin (α+
π3
)=( )。
A.3√2-√36
B.3√2+√3
6 C.
√6-36
D.
√6+3
6
答案:A
解析：∵cos (π
2
+α)=-sin α=
√33
,∴sin α=-
√33
,∴-
π2
<α<0,∴cos α=
√63
,∴sin (α+
π
3
)=sin αcos π
3+cos αsin π
3=-√3
3×12+√6
3×√32=3√2-√3
6
,故选A 。
6.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值为 。 答案:±1 解
析
：
∵cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,∴α+β=k π+
π2
,k ∈
Z,∴sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1。
7.函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为 。 答案:1 解析：因为f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)=sin[(x +φ)+φ]-2sin φcos(x +φ)=sin(x +φ)cos φ+c os(x +φ)sin φ-2sin φcos(x +φ)=sin(x +φ)cos φ-cos(x +φ)sin φ=sin[(x +φ)-φ]=sin x ,所以f (x )的最大值为1。
考点3 两角和与差的正切公式的理解与简单应用问题 8.已知tan(α+β)=2
5,tan (β-π
4)=1
4,那么tan (α+π
4)=( )。 A.13
18
B.13
22
C.3
22
D.5
18
答案:C
解析：因为α+
π4
=(α+β)-(β-π
4),所以tan (α+π
4)=tan [(α+
β)-(β-π
4)]=
tan (α+β)-tan(β-π
4)
1+tan (α+β)tan(β-π
4
)
=3
22,故选C 。
9.(2019·石家庄模拟)若tan28°·tan32°=m ,则tan28°+tan32°的值为( )。 A.√3m B.√3(1-m )
C.√3(m -1)
D.√3(m +1) 答案:B 解
析
：
∵28°+32°=60°,∴tan60°=tan(28°+32°)=tan28°+tan32°1-tan28°tan32°
=√3,∴tan28°+tan32°=√3
(1-m )。
10.(2019·郑州调考)在△ABC 中,∠C =120°,tan A +tan B =2√3
3
,则tan A tan B 的值为( )。
A.1
4 B.1
3 C.1
2 D.5
3
答案:B
解析：∵∠C =120°,∴∠A +∠B =60°, ∴tan(A +B )=tanA+tanB
1-tanA ·tanB =√3, ∴tan A +tan B =√3(1-tan A ·tan B )=2√3
3
, 解得tan A ·tan B =1
3。故选B 。
11.(2019·长沙调考)已知sin α=√5
5,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为( )。 A.π
4
B.3π
4
C.π
3
D.2π
3
答案:B
解析：sin α=√5
5,且α
为锐角,则
cos α=2√55,tan α=1
2,所以
tan(α+β)=tanα+tanβ
1-tanαtanβ=
12-31-1
2
×(-3)=-1。
又α+β∈(π2
,
3π
2
),故α+β=3π
4。 12.tan π
9+tan 2π
9+√3tan π
9tan 2π
9的值为 。
答案:√3
解析：tan π
9+tan 2π
9+√3tan π
9tan 2π
9=tan (π
9+2π9
)·
(1-tan π
9tan
2π
9
)+√3tan π
9tan 2π
9=√3(1-tan π
9tan 2π
9
)+√3tan π9tan 2π
9=√3。 13.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈(π2
,π),则α+β= 。 答案:7π
4
解析：因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1。又α,β∈(π2,π),所以π<α+β<2π,故α+β=7π
4。
14.已知tan α,tan β是方程6x 2
-5x +1=0的两根,且0<α<π2,π<β<3π
2,求tan(α+β)及α+β
的值。
答案:解:∵tan α,tan β是方程6x 2
-5x +1=0的两根, ∴tan α+tan β=5
6
,tan αtan β=1
6
,
tan(α+β)=tanα+tanβ
1-tanαtanβ=
56
1-
16
=1。
∵0<α<π
2,π<β<3π
2,∴π<α+β<2π,∴α+β=5π
4。
考点4 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应 用问题 15.对任意的锐角α,β,下列不等关系中一定成立的是( )。 A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α-β)>sin α-sin β C.cos(α+β)解析：α,β为任意锐角,在(0,π)上余弦函数是减函数,显然cos α>0,cos β>0,cos(α+β)16.已知函数f (x )=x sin126°sin(x -36°)+x cos54°cos(x -36°),则函数f (x )是( )。 A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数 答案:B
解析：因为函数的定义域为R,且
f (x )=x sin126°sin(x -36°)+x cos54°cos(x -36°)=x sin54°sin(x -36°)+x cos54°·cos (x -36°)=x [sin54°sin(x -36°)+cos54°cos(x -36°)]=x cos[54°-(x -36°)]=x cos(90°-x )=x sin x ,所以任取x ∈R,f (-x )=(-x )sin(-x )=x sin x =f (x ),故函数f (x )为偶函数。 17.若√3sin x +cos x =4-m ,则实数m 的取值范围是( )。 A.[2,6] B.[-6,6] C.(2,6) D.[2,4] 答案:A 解析：
∵√3sin x +cos x =4-m ,∴√3
2sin x +1
2cos x =4-m 2
,∴sin π
3sin x +cos π
3cos x =
4-m 2
,∴cos (x -π3)=
4-m 2
。
∵|cos (x -π
3)|≤1,∴|
4-m 2|≤1,∴2≤m ≤6。
18.(2019·广州调考)已知函数f (x )=A sin (x +π
3),x ∈R,且f (5π
12)=3√2
2
。 (1)求A 的值;
答案:∵f (x )=A sin (x +π
3),且f (5π
12)=3√2
2
, ∴A sin (5π
12+π
3)=
3√22?A sin 3π4
=3√2
2?A =3。 (2)若f (θ)-f (-θ)=√3,θ∈(0,π
2),求f (π
6-θ)的值。
答案:由(1)知f (x )=3sin (x +π3)。∵f (θ)-f (-θ)=√3,∴3sin (θ+π3)-3sin (-θ+π
3)=√3,展开得3(1
2
sinθ+
√3
2
cosθ)-3(√32cosθ-1
2
sinθ)=√3,化简得sin θ=
√3
3
,∵θ∈
(0,π
2),∴cos θ=√63。∴f (π
6-θ)=3sin [(π
6-θ)+π
3]=3sin (π
2-θ)=3cos θ=√6。 考点5 给角求值问题 19.sin θ+sin (θ+2π
3
)+sin (θ+4π3
)的值为( )。
A.0
B.1
2 C.1 D.2 答案:A 解
析
：
原
式
=sin θ+sin θcos 2π3
+cos θsin 2π3
+sin θcos 4π
3
+cos θsin 4π3
=sin θ-12
sin θ+√3
2
cos θ-12
sin θ-√3
2
cos θ=0。 20.tan70°+tan50°-√3tan50°tan70°= 。 答案:-√3
解析：∵tan70°+tan50°=tan120°(1-tan50°·tan70°)=-√3+√3tan50°·tan70°, ∴原式=-√3+√3tan50°·tan70°-√3tan50°·tan70°=-√3。 考点6 给值求值问题
21.设α∈(0,π
2),若sin α=3
5,则cos (α+π
3)的值为( )。 A.4+3√3
10 B.4-3√310
C.
4+3√35
D.
4-3√34
答案:B
解析：∵α∈(0,π
2),sin α=3
5,∴cos α=4
5,cos (α+π
3)=cos αcos π
3-sinαsin π3=4-3√3
10
,故选B 。
22.已知sin α+cos (α-π
6)=4√35
,则sin (α+
7π6
)的值是 。
答案:-4
5
解析：sin α+cos (α-π
6)=sin α+cos αcos π
6+sin α·sin π
6=3
2sin α+
√32cos α=√3(√3
2
sinα+
1
2cosα)=√3(sinαcos π6+cosαsin π6)=√3sin (α+π
6)=
4√3
5
。所以sin (α+π
6)=4
5
。所以
sin (α+
7π
6
)=-sin (α+π6)=-4
5。 考点7 给值求角问题
23.已知tan α,tan β是方程x 2
+3√3x +4=0的两根,且-π
2<α<π
2,-π
2<β<π
2,则α+β的值为
( )。 A.π
3
B.-2π
3
C.π3或-2π3
D.-π3或2π
3 答案:B 解析
：
由
一
元
二
次
方
程
根
与
系
数
的
关
系
得
tan α+tan β=-3√3,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0。 ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-3√3
1-4=√3。 又∵-π
2
<α<π
2
,-π
2
<β<π
2
,且tan α<0,tan β<0,
∴-π<α+β<0,∴α+β=-2π
3。
24.若sin (π
4-α)=-1
2,sin (π
4+β)=√3
2,其中π
4<α<π2,π
4<β<π
2,则α+β的值为 。 答案:5
6π
解析：∵π4
<α<π2,π4
<β<π2
,∴-π4<π
4
-α<0,
π2<π
4
+β<3
4π。 ∴cos (π
4-α)=√1-sin 2(π
4-α)=√3
2,cos (π
4+β)=-√1-sin 2(π
4+β)=-1
2,
∴cos(α+β)=cos
[(π4
+β)-(π
4
-α)]
=cos
(π
4+β)
·cos
(π
4-α)
+sin
(π
4+
β)sin (π
4-α)=(-1
2)×√32+√3
2×(-1
2)=-√3
2。又∵π
2<α+β<π,∴α+β=5
6π。 考点8 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合问题 25.√2sin (π
4
-x)+√6sin (π
4
+x)的化简结果是( )。
A.2√2sin (5π12+x)
B.2√2sin (x -5π
12)
C.2√2sin (7π
12+x) D.2√2sin (x -7π
12) 答案:A
解析：√2sin (π
4-x)+√6sin (π
4+x)
=√2sin [π
2-(π
4+x)]+√6sin (π
4+x) =√2cos (π
4+x)+√6sin (π
4+x) =2√2[1
2cos (π
4+x)+
√3
2sin (π4
+x)]
=2√2[sin π6cos (π4+x)+cos π6sin (π
4+x)] =2√2sin [π
6+(π
4+x)]=2√2sin (5π
12+x)。
26.tan (π
6-θ)+tan (π
6+θ)+√3tan (π
6-θ)tan (π
6+θ)的值是( )。 A.√3
B.√33
C.2√3
D.2√3
3 答案:A
解析：∵tan π3=tan (π6+π6)=tan [(π6-θ)+(π
6
+θ)]= tan(π6-θ)+tan(π
6+θ)
1-tan(π6-θ)·tan(π
6
+θ)
,
∴√3=tan(π6-θ)+tan(π
6+θ)
1-tan(π6-θ)·tan(π
6
+θ)
,
∴tan (π6-θ)+tan (π
6+θ)=√3-√3tan (π
6-θ)·tan (π
6+θ), ∴tan (π
6-θ)+tan (π
6+θ)+√3tan (π
6-θ)·tan (π
6+θ)=√3。
27.(2019·广东湛江调考)已知函数f (x )=√3
2sin ωx +1
2cos ωx (ω>0)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π。 (1)求f (-π
4
)的值; 答案:因为f (x )=√3
2sin ωx +1
2cos ωx , 所以f (x )=sin (ωx +π6)。
因为函数f (x )的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π, 所以T =2π,ω=2π
T =1,所以f (x )=sin (x +π
6)。
所以f (-π
4)=sin (-π
4+π
6)=sin π
6cos π
4-cos π
6·sin π4=
√2-√6
4
。 (2)若α,β∈(0,π
2),f (α-π
6)=12
13
,f (β+
5π
6
)=-3
5,求cos(α+β)的值。 答案:由(1),得f (α-π
6)=sin α=12
13,f (β+
5π
6
)=sin(β+π)=-sin β=-35,所以sin β=3
5。因为α,β∈(0,π
2),所以cos α=√1-sin 2α=5
13,cos β=√1-sin 2β=4
5,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5
13×45-12
13×3
5=-16
65。 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式答案 P279
考点1 二倍角的正弦公式的理解和简单应用问题 1.已知cos x =-1
4,x 为第二象限角,那么sin2x =( )。
A.-√15
4 B.±√15
8
C.-
√15
8
D.
√15
8
答案:C
解析：因为
cos x =-14
,x 为第二象限角,所以
sin x =
√154
,所以
sin2x =2sin x cos x =2×
√154×(-14)=-√15
8
,故选C 。
2.已知sin α-2cos α=0,则sin2α= 。 答案:4
5
解析：由sin α-2cos α=0,得tan α=sinα
cosα=2,则sin2α=2sinαcosα
sin 2α+cos 2α=2tanα
tan 2α+1=4
5。 考点2 二倍角的余弦公式的理解和简单应用问题
3.(2018·华中师范大学第一附属中学高三押题)已知tan α=1
2,则cos2a =( )。
A.35
B.25
C.-35 D .-2
5 答案:A
解析：cos2α=cos 2
α-sin 2
α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α
1+tan 2α。 ∵tan α=1
2,∴cos2α=
1-
141+14
=3
5,故选A 。
4.(2018·湖北黄石二中高一月考)已知x ∈(-π
2,0),cos2x =a ,则sin x =( )。 A.√1-a 2
B.-√1-a 2
C.√
1+a 2
D.-√
1+a 2
答案:B
解析：a =cos2x =1-2sin 2
x ,∵x ∈(-π2
,0),∴sin x <0,∴sin x =-√
1-a 2
。
考点3 二倍角的正切公式的理解和简单应用问题 5.化简tan14°
1-tan 214°·cos28°的结果为( )。 A.
sin28°2
B.sin28°
C.2sin28°
D.sin14°cos28° 答案:A
解析：tan14°
1-tan 214°·cos28°=1
2×2tan14°
1-tan 214°·cos28°=1
2tan28°·cos28°=
sin28°2
,故选A 。
6.若sin α=3
5
,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan2β的值为 。
答案:-7
24
解析：由sin α=35,且α是第二象限角,可得cos α=-45,所以tan α=-3
4,所以tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα
1+tan (α+β)tanα=
1-(-34
)
1+1×(-3
4
)
=7,所以tan2β=2tanβ1-tan 2β=-7
24。
考点4 二倍角的正弦、余弦、正切公式的灵活应用问题 7.(新课标全国Ⅱ高考)若tan θ=-1
3,则cos2θ的值为( )。 A.-4
5
B .-1
5
C .1
5
D.4
5
答案:D
解析：由tan θ=-13,得{sinθ=√1010,cosθ=-3√1010或{sinθ=-√10
10,cosθ=3√10
10。
∴cos2θ=cos 2
θ-sin 2
θ=4
5。
8.(2019·昆明调考)√2-sin 22+cos4的值是( )。
A.sin2
B.-cos2
C.√3cos2
D.-√3 cos2
答案:D
解析：√2-sin 22+cos4=√(1-sin 22)+(1+cos4)=√3cos 22=-√3cos2。故选D 。 9.(2019·海口调考)若cos (π4-θ)cos (π4+θ)=√26(0<θ<π
2),则sin2θ的值为( )。 A.√23 B.√73 C.√76 D.√34
6
答案:B
解析：∵(π4-θ)+(π4+θ)=π2,∴cos (π4-θ)·cos (π4+θ)=√26可化简为sin (π4+θ)cos (π4+θ)=√2
6。∴sin (π2+2θ)=√23,即cos2θ=√23,又0<θ<π2,∴0<2θ<π。∴sin2θ=√1-cos 22θ=√7
3。
10.(2019·无锡模拟)若cos2θ=-3
4,则sin 4
θ+cos 4
θ= 。
答案:25
32
解析：sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2
θ=1-1
2sin 2
2θ。又cos2θ=-3
4, ∴sin 2
2θ=1-cos 2
2θ=7
16。 ∴原式=1-1
2sin 2
2θ=1-12×716=25
32。
11.(2019·武汉二月调考)函数f (x )=cos x -1
2
cos2x (x ∈R)的最大值为 。
答案:3
4
解析：∵f (x )=cos x -12cos2x =cos x -1
2(2cos 2x -1)=-cos 2
x +cos x +1
2=-(cosx -12)2+3
4≤34,∴f (x )max =3
4 12.(2019·九江调考)已知cos (x +π4)=35,且17π124,求sin2x+2sin 2x
1-tanx
的值。
答案:∵cos (x +π4)=35,5π34<2π,
∴sin (x +π
4)=-√1-(35)2
=-4
5, tan (x +π4)=-4
3。
又sin2x =-cos2
(x +π
4)
=1-2cos
2
(x +π
4)
=1-2×
(35)
2
=
725
,∴
原式
=
sin2x(1+
2sin 2x
2sinxcosx
)
1-tanx
=sin2x ·1+tanx
1-tanx =sin2x ·tan π4
+tanx
1-tan π
4
tanx
=sin2x ·tan (x +π
4)=7
25×(-4
3)=-28
75。
考点5 给角求值问题
13.(2019·辽宁师范大学附属中学高三上期末)化简cos 25°-sin 25°sin40°cos40°
=( )。
A.1
B.2
C.1
2 D.-1
答案:B
解析：cos 25°-sin 25°sin40°cos40°=cos10°
1
2
sin80°
=cos10°
1
2
cos10°
=2。故选B 。
14.3-sin70°
2-cos 210°= 。 答案:2 解析：3-sin70°
2-cos 210°=
3-sin70°2-
1+cos20°
2
=
2(3-cos20°)
3-cos20°
=2。
考点6 给值求值问题
15.(2019·天津和平区高三上期末)已知tan (α+π
4)=2,则cos2α=( )。 A.-3
5
B .3
5
C.-4
5
D .4
5
答案:D
解析：由tan (α+π4)=tanα+11-tanα=2,解得tan α=1
3, 则cos2α=cos 2
α-sin 2
α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=
1-1
91+
1
9
=4
5。故选D 。
16.(2019·北京东城区高三上期末)若cos α+sin α=2
3,则√2sin(2α-π
4)+1
1+tanα
的值为( )。
A.5
9 B.0 C.-5
18
D.-5
9
答案:D
解析：∵cos α+sin α=2
3
,∴1+2sin αcos α=4
9
,
∴2sin αcos α=-5
9。 ∴
√2sin(2α-π
4)+11+tanα
=
√2×√
2
2(sin2α-cos2α)+1
1+tanα
=
2sinαcosα+2sin 2α
1+sinαcosα
=2sin αcos α=-5
9。
17.已知角α是第一象限角,且cos α=35
,则1+√2cos(2α-π4
)sin(α+π2
)
=( )。
A.2
5
B.7
5
C.14
5
D.-2
5
答案:C
解析：因为cos α=3
5
且α在第一象限,所以sin α=4
5
。
所以cos2α=cos 2α-sin 2
α=-725
,sin2α=2sin αcos α=24
25
,
原式=1+√2(cos2αcos π
4+sin2αsin π4
)
cosα
=
1+cos2α+sin2αcosα
=14
5
。
考点7 升降幂公式的应用问题 18.当3π<α<4π时,√
1+cosα2
-√
1-cosα2=( )。
A.√2sin (α
2+π
4) B.-√2 sin (α
2+π
4) C.√2sin (α
2-π
4) D.-√2sin (α
2-π
4) 答案:A 解析：√
1+cosα2-√
1-cosα2
=√cos 2α2-√sin 2α2=|cos α2|-|sin α
2|,
∵3π<α<4π,∴3π2<α
2<2π,∴sin α
2<0,cos α
2>0。 ∴原式=sin α2+cos α2=√2sin (α2+π
4
)。故选A 。
19.在△ABC 中,若sin B sin C =cos 2A
2
,则△ABC 是( )。
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案:B
解析：由sin B sin C =cos 2A
2得sin B sin C =1+cosA 2
,
∴2sin B sin C =1+cos A ,
∴2sin B sin C =1+cos[π-(B +C )]=1-cos(B +C ), ∴2sin B sin C =1-cos B cos C +sin B sin C , ∴cos B cos C +sin B sin C =1,∴cos(B -C )=1。 又∵-180°
20.若sin α
2=√1+sinα-√1-sinα,0≤α≤π,则tan α的值是 。
答案:0或-43
解析：两边平方得sin 2α
2=2-22α, ∴
1-cosα2
=2-2|cos α|。①
当0≤α≤π2
时,①式为1-cosα2
=2-2cos α,∴cos α=1,
∴α=0,∴tan α=0。 当π
2
<α≤π时,①式为
1-cosα2
=2+2cos α,∴cos α=-3
5
,
∴sin α=4
5,∴tan α=-4
3。 综上,tan α的值是0或-4
3。
考点8 综合应用问题 21.若tan θ+
1tanθ
=4,则sin2θ=( )。
A.15
B.14
C.13
D.1
2
答案:D
解析：方法一:∵tan θ+1
tanθ=
1+tan 2θtanθ
=4,∴4tan θ=1+tan 2
θ,
∴sin2θ=2sin θcos θ=2sinθcosθ
sin 2θ+cos 2θ=2tanθ
1+tan 2θ=2tanθ4tanθ=1
2。 方法二:∵tan θ+1
tanθ=
sinθcosθ+cosθ
sinθ=
1
cosθsinθ=
2
sin2θ
,
∴4=
2
sin2θ
,∴sin2θ=12
。
22.函数f (x )=sin 2
x +√3sin x cos x 在区间[π4,π
2]上的最大值是( )。 A.1 B.
1+√32
C.3
2 D.1+√3
答案:C 解析：f (x )=
1-cos2x 2+√32sin2x =√3
2sin2x -12cos2x +12=sin (2x -π6)+12,∵π4≤x ≤π2,∴π3≤2x -π6≤56
π。
∴f (x )max =1+12=3
2
。
23.(2019·河北定州中学高三月考)已知函数f (x )=√2·cos (x -π
12),x ∈R 。 (1)求f (-π
6)的值;
答案:因为f (x )=√2cos (x -π
12),
所以f (-π6)=√2cos (-π6-π12)=√2cos (-π
4)=1。
(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f (2θ+π
3)的值。 答案:因为cos θ=35
,θ∈(
3π2
,2π),则sin θ=-4
5
。
所以cos2θ=2cos 2
θ-1=2×(35)2
-1=-7
25, sin2θ=2sin θcos θ=2×(-4
5)×3
5=-24
25。
f (2θ+π3)=√2cos (2θ+π4)=√2(cos2θcos π
4-
sin2θsin π
4)=√2×[-7
25×
√22-(-2425)×√22
]=17
25。 24.(2019·武汉二月调考)已知函数f (x )=2a sin ωx cos ωx +2√3cos 2
ωx -√3(a >0,ω>0)的最大值为2。x 1,x 2是集合M ={x ∈R|f (x )=0}中的任意两个元素,|x 1-x 2|的最小值为π
2。 (1)求a ,ω的值;
答案:f (x )=a sin2ωx +√3cos2ωx =√a 2+3sin(2ωx +φ)。其中tan φ=√3
a 。 由题意知√a 2+3=2,a >0,则a =1。
由题意易知f (x )的最小正周期为π,则2π
2ω=π,故ω=1。
(2)若f (α)=23
,求sin (
5π6
-4α)的值。
答案:由(1)知f (x )=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π
3)。 由f (α)=2
3知2sin (2α+π
3)=2
3,即sin (2α+π
3)=1
3。
∴sin (5π
6-4α)=sin [3π
2
-(4α+2π
3
)]=-cos (4α+2π
3
)=-1+2sin 2
(2α+π
3)=-1+2×(13)2
=-7
9。
三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
两角和与差的三角函数求值 高中数学教案
两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型，即给值求值，给值求角. (1)正确地理解、选用公式，把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系，一般可以适当变换已知代数式，从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能：探究已知与未知的内在联系，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法：通过两角和与差的三角函数公式的运用，会进行简单的求值、化简，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误； (2)公式不能灵活应用和变形应用； (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解； 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计
故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式，加深对知识的理解. 创设情境问题情境： 通过对热点考向的分析， 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用，以及整体代换思想的融 合，，提高学生的观察分析能 力，培养学生的应用意识。
典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题，意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析； 整体代换思想。 课堂梳理，可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质，巩固深化这节课的内 容.
两角和差的三角函数(教案)
两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换； ? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力； ? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出： 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个 ， ， 的情况又如何? 设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导： 如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ； 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 则 的坐标（_________________） , 的坐标（_________________） _________________________________OA OB ?= 向量夹角 ， 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==（ ） （ ） =______________________________________ ____________________________________________(提示： OA 与OB 的模为？) =_________________________________ 提醒学生思考：如果角α β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
三角函数和差公式练习题
第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3 π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα -=-22，则cos α+sin α的值为（ ） 3.函数y=sin （x+3π）sin （x+2 π）的最小正周期T 是（ ） 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π （Ⅰ）美洲f （8 π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移 6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 （Ⅰ）求 的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-????
9.已知函数 （1）求 的值； （2）设求的值． 10、已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； 11.已知函数f （x ）=2cos （x+ 4π）cos （x-4 π）+3sin2x ，求它的值域和最小正周期 12．已知cos ? ???α－ π4＝14，则sin2α的值为 ( ) A.78 B ．－78 C.34 D ．－34 13．已知sin ????α－π3＝13，则cos ????π6＋α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 14．函数f (x )＝sin ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 15．y ＝sin(2x －π3 )－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312 π] D ．[π3，5π6 ] 16．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (2)写出函数f (x )的单调递增区间． 18．已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x
三角函数的和差公式推导过程
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数的和差公式推导过程。 三角函数的和差公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cossinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 三角函数的和差公式推导过程 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)] (1) 两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)] (2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加得：cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] (3) 两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)] (4) 用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b就可得到和差化积的四个式子。如：(1)式可变为： sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]其它依次类推即可。 三角函数积化和差公式 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
三角函数基础,两角和与差、倍角公式
练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足
三角函数和差公式
1、同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系: sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) ⒉两角与与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ) tan(α－β)＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式) sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式) 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2)
sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))、、、、、、*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦与正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导: tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得: tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆
两角和与差的三角函数练习含答案
一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）；
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
三角函数的和差公式
１ / 2 第四~五课时 三角函数的和角公式、差角公式 [教学目标] 1、通过两角差的正弦公式的推导和证明，继而导出三角函数的和角公式、差角公 式，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）。 2、使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式，并会应用这组公式解决一些有关三 角函数的求值问题。 3、在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表 达方式。 [教学重点与难点] 本节课的重点是使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式。 难点是应用三角函数的和角公式、差角公式求三角函数值。 [教学过程设计] 一、三角函数的和角公式的推导与证明。 1、推导两角和的正弦公式。（参阅课本第75~76页）。 2、给出两角和的余弦公式。 3、利用同角三角函数恒等式，对正切函数可得两角和的正切公式。 (板书) 三角函数的和角公式 sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β tan(α+β)=β αβαtan tan -1tan tan + 二、三角函数的差角公式的推导。 直接用和角公式结合负角公式，导出三角函数的差角公式：（参阅课本第76页） (板书) 三角函数的差角公式 sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β tan(α-β)=β αβαtan tan 1tan tan +- 三、和角、差角三角函数公式在计算三角函数式值中的应用。 1、求三角函数的值 例4：不使用计算器，求下列各式的值：（略——参阅课本第76页） 练习4：课本第76页，课内练习4） 2、已知角α、β的（部分）三角函数值，求和角、差角的三角函数值。 )tan(),cos(),sin(),23,(,43cos ),,2(,32sin 5βαβαβαππββππαα+++∈-=∈= 求已知例： （解略——参阅课本第78页） 练习5：课本第79页，课内练习5~1、2、3
三角函数和差及倍角公式讲义.docx
教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),
(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
三角函数两角和与差,以及万能公式的推导
三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
向量法： 取直角坐标系，作单位圆 取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A 取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A（cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立 在公式Cα+β中，用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.
三角函数的两角和差与倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ． 2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 , 那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x,则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cos A · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2sin 9、 tan 65 tan 70 tan 65 ·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。
12、已知3 ，求(1tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos23, 求 sin 4cos4的值。 5 14、已知tan, tan是方程 x 23x50的两个根，求 sin 2 () 2 sin() · cos() 的值。
两角和与差的三角函数公式基本题型复习
两角和与差的三角函数公式基本题型复习（学案） 1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A ．12 B ．13C ．32D ．33 2．已知sin α＝1 3，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222 B ．3－226 C ．3＋226 D ．－3＋22 6 3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋3 2 cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( ) A ．－π6 B ．－π3 C ．π6 D ．π3 5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0B ．1C ．±1D ．－1 1．若α＋β＝ π 4 ，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2 2．cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．12cos ? ????π6－α B ．2cos ? ????π3＋α C ．12cos ? ????π3－α D ．2cos ? ???? π6－α 6．(2016·济南高一检测)已知cos ? ????π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________． 7．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－12 13，则cos(A －B )＝________. 6．计算1－tan 15° 3＋tan 60°tan 15° ＝________.
7．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝3 5，则tan αtan β＝________. 8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－1 2. 9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－11 14，α、β均为锐角，求cos β的值． 2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π 2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值． 8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值． 9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为 210、25 5 . 图3－1－1 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 两角和与差的三角函数公式基本题型复习 1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
三角函数和差公式大全及推导过程
三角函数的和差公式包括正弦函数的和差公式、余弦函数的和差公式、正切函数的和 差公式等等，接下来分享三角函数和差公式大全及推导过程。 三角函数的和差化积公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cossinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 三角函数的和差公式推导过程 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)] (1) 两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)] (2) cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 两式相加得：cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] (3) 两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)] (4) 用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b就可得到和差化积的四个式子。如：(1)式可变为： sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]其它依次类推即可。 三角函数关系公式 三角函数平方关系公式 sin2α+cos2α=1
cos2a=(1+cos2a)/2 tan2α+1=sec2α 三角函数倒数关系公式tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数商数关系公式tana=sina/cosa cota=cosa/sina
三角函数两角和差公式考点及例题讲解
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲解读 1.直接正用公式求值；2.逆用公式化简求值；3.利用公式求角． [基础梳理] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin_β. (3)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (4)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β. (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．倍角公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α. (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．降幂公式 (1)cos 2α＝1＋cos 2α 2. (2)sin 2α＝ 1－cos 2α 2 . [三基自测] 1．已知sin ????α－π3＝1517，α∈????π2，5 6π，则sin α的值为( ) A.8 17 B.153＋834 C.15－8334 D.15＋8334 答案：D 2．化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－ 32
答案：A 3．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝3 5，则tan 2α＝( ) A.247 B ．－247 C.724 D ．－724 答案：B 4．(必修4·习题3.1A 组改编)tan 54π＋tan 512 π1－tan 5 12π ＝________. 答案：－3 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α∈????0，π2，cos α＝5 5，则cos 2α＝__________. 答案：－3 5 [考点例题] 考点一 给角求值|方法突破 [例1] (1)cos π9·cos 2π 9·cos ????－23π9＝( ) A ．－1 8 B ．－1 16 C.116 D.18 (2)2cos 10 °sin 70° －tan 20°＝________. [解析] (1)cos π9·cos 2π 9·cos ????－23π9＝cos 20°· cos 40°· cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20° ＝－18sin 160°sin 20°＝1 8sin 20°－sin 20°＝－18. (2)2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°
(完整版)三角函数和差角公式练习题
第三章 三角恒等变换 § 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 班级_________ 姓名_______学号________得分_________ 一．选择题 1、sin750= （ ） Ａ、14 2、tan170+tan280+tan170tan280= （ ） Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、 3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ） Ａ、6π - Ｂ、3π - Ｃ、6π Ｄ、3 π 4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ） Ａ、34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74π 5、1tan 751tan 75+-o o ＝ （ ） Ｃ、 Ｄ、*6、在△ABC 中，若012、化简2cos10sin 20cos 20-o o o 13、已知 4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513，求sin (α+β)的值。 *14、已知α、β为锐角，sin α=8,17cos(α-β)=2129，求cos β.
