二次函数线段最大值(课件)
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
九年级下册数学二次函数课件精编版
2、正方体的六个面是全等的正方形,高正 方体的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
y=6x2
3、多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
由图可以想出,如果多边形有条边,那么它有
_n___个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的 各顶点,可以作_n__-_3____条对角线.
例3、函数y (k 1 ) x 是 2k2 k1 2
二次函数，则k __-1_____ .
练习：函数y (m 1)xm2m mx 1是 二次函数，则m ２_____ .
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
设长方形的长为x 米，则宽 为（8-x）米，如果将面积记 为y平方米，那么变量y与x之 间的函数关系式为：
y x2 8x
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)件2 ,即两
年后的产量为 y 20 1 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
(5)y= _x1_²-x
(6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数解析式的理解和应用：重点在于让学生掌握二次函数一般形式及其图像性质，能够根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c。
举例：讲解如何根据抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向来确定二次函数解析式。
（2）线段最值问题的求解：重点在于培养学生利用二次函数求解线段最值问题的能力，掌握解题步骤。
-通过具体例子，让学生掌握如何根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c
2.线段最值问题的探讨：
-利用二次函数求解线段的最值问题，如最大值、最小值
-线段最值在实际问题中的应用，例如求解平面几何中的最大或最小面积问题
-结合实际例题，让学生掌握如何建立二次函数模型解决线段最值问题，并掌握解题技巧。
二、核心素养目标
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在学习二次函数解析式与线段最值这一章节时，存在一些问题和亮点。在这里，我想结合教学实际，对这次教学进行一些反思。
首先，我发现大部分学生在理解二次函数解析式的过程中，对系数a、b、c的含义和求解方法掌握得不够扎实。在以后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，通过丰富的实例和详细的讲解，帮助学生深入理解二次函数解析式的内涵。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数解析式的基本概念。二次函数解析式是描述抛物线运动规律的一种数学表达形式。它是解决线段最值问题的关键工具，广泛应用于物理、工程等领域。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件
知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？
专题1.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用(四大题型)(解析版)
专题1.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型）【题型1 线段差最大问题】【题型2 线段和最小】【题型3 周长最值问题】【题型4 求面积最值】【题型1 线段差最大问题】【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）①点B的坐标为（2，8）；②P（﹣2，12）．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x ＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S＝15，△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：m＝8，∴点B的坐标为（2，8）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，如图2，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12）．【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【题型2 线段和最小】【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；【变式2-1】（2023•新疆三模）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出PA+PC的最小值及点P的坐标，若不存在，说明理由；【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）（2，2）；【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴于点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；【变式2-2】（2023•红花岗区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线对称轴上的一个动点，求MB+MC的最小值；【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）2；（3）存在；P（﹣1，﹣2）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得：，解得，∴y＝x2+x﹣2；（2）如图，∵A、B关于抛物线的对称轴对称，∴AM＝BM，∴MB+MC＝AM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴AC＝＝2，∴MB+MC的最小值为2；【变式2-3】（2023•琼山区校级三模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；（3）M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+8；（2）当t＝4时，△PBC的面积最大，最大面积为32；（3）2；【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c中，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），∵C（0，8），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．如图，过点P作PG⊥x轴，交BC于点G．设点P（t，﹣t2+3t+8），G（t，﹣t+8）．∴PG＝﹣t2+3t+8﹣（﹣t+8）＝﹣t2+4t．＝×PG×（x B﹣x O）＝×（﹣t2+4t）×8＝﹣2（t﹣4）2+32，∴S△PBC∵﹣2＜0，∴当t＝4时，△PBC的面积最大，最大面积为32；（3）如图，作点M关于直线BC的对称点N，连接AN，交BC于点M，点M 即为所求，此时AN的长即可为所求；连接ON交BC于点J，分别过点J，N作x轴的垂线，垂足为K，H，则ON⊥BC，JK∥y轴，OJ＝JN，∵B（8，0），C（0，8），∴OB＝OC＝8，∴△OBC是等腰直角三角形，且点J是BC的中点，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴△BJK是等腰直角三角形，即∠JOB＝45°，∴JK＝BK＝OK＝4，△ONH是等腰直角三角形，∴NH＝OH＝8，∴AH＝10，在Rt△ANH中，AH＝＝2；【变式2-4】（2023•宁夏）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）直接写出点B的坐标；（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；【答案】（1）点B的坐标为（3，0）；（2）P（1，2），3；【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a①，∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），∴a﹣b+3＝0②，联立①②得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0）；（2）如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，设直线CB的表达式为y＝kx+b′，把C（0，3）和B（3，0）代入得：解得，∴直线CB的表达式为y＝﹣x+3，∴当x＝1时，y＝2，∴P（1，2），∵OB＝OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝，∵点A，B关于直线x＝1对称，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC＝BC＝3；【题型3 周长最值问题】【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，求△AOD周长的最小值；【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；（2）△AOD周长的最小值为12；【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6，∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E（6，6），连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，∴AE＝＝＝10，∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3+；【解答】解：（1）∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，得1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．由（1）知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），∴C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝．∵点A、B关于对称轴x＝2对称，∴PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC．∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3+；【变式3-2】（富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B （3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【题型4 求面积最值】【典例4】（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M 是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）Q（3﹣，﹣）或（3+，）．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，抛物线的对称轴是直线：x＝，∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，∴D（1，2），∵C（0，3），∴CD＝，故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，x2+3x+（m﹣3）＝0，由Δ＝0得，32﹣4（m﹣3）＝0得，m﹣3＝，∴x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝，y＝x+3＝﹣+3＝，∴ME＝，∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°＝，＝＝；∴S△MCD最大【变式4-1】（2022秋•曲周县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A （2，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将A （2，0），B （﹣4，0）代入得：，解得：，则该抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +8；（3）如图2，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，P 点（x ，﹣x 2﹣2x +8）（﹣4＜x ＜0）∵S △BPC ＝S 四边形BPCO ﹣S △BOC ＝S 四边形BPCO ﹣16若S 四边形BPCO 有最大值，则S △BPC 就最大∴S 四边形BPCO ＝S △BPE +S 直角梯形PEOC＝BE •PE +OE （PE +OC ）＝（x +4）（﹣x 2﹣2x +8）+（﹣x ）（﹣x 2﹣2x +8+8）＝﹣2（x +2）2+24，当x ＝﹣2时，S 四边形BPCO 最大值＝24，∴S △BPC 最大＝24﹣16＝8，当x ＝﹣2时，﹣x 2﹣2x +8＝8，∴点P 的坐标为（﹣2，8）．【变式4-2】（2023•乐东县二模）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，对称轴直线x ＝m 交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，连接AD ，CD ．（1）求该抛物线的表达式以及m 的值；（2）求四边形OADC 的面积；【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）；【解答】解：（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）代入y ＝ax 2+bx +3，∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，∴对称轴为直线x ＝﹣1，∴m ＝﹣1；（2）令x ＝0，则y ＝3，∴点C 的坐标为（0，3），当 x ＝﹣1 时，y ＝﹣（﹣1）2+2+3＝4，∴点D 的坐标为（﹣1，4），∴OC ＝3，OE ＝1，DE ＝4，AE ＝3﹣1＝2，∴S 四边形OADC ＝S △ADE +S 梯形OCDE ＝2×4+×（3+4）×＝；【变式4-3】（2023•东坡区模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过A （﹣1，0），B （﹣3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；【答案】（1）D（﹣2，﹣1）；（2）P（﹣，﹣）；【解答】（1）根据题意，将A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入函数表达式，则y＝a（x+1）（x+3）＝a（x2+4x+3），∵OC＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x+3，则顶点D（﹣2，﹣1）；（2）将点B（﹣3，0）、C（0，3）代入：y＝mx+n，则一次函数y＝x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点P（x，x2+4x+3），则点N（x，x+3），则•|OB|＝（x+3﹣x2﹣4x﹣3）＝﹣（x2+3x）﹣＜0，∵﹣＜0，故S有最大值，此时x＝﹣．△PBC故点P（﹣，﹣）；【变式4-4】（2023•肇东市三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则Q（x，﹣x+3），当x＝时，△CPB的面积最大，此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．【变式4-5】（2022秋•朝阳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），即﹣5a＝5，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5），S＝×PH×OB＝（﹣x2+4x+5+x﹣5）＝（x﹣）2+，△BPC的最大值为；故：当x＝时，S△BPC【变式4-6】（2023•四平模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）．点P和点Q都在抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，过点Q作QN∥y轴交直线AB于点N，连接PQ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P，Q两点都在第一象限时，求四边形PQNM的面积的最大值；【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当m ＝1时，四边形PQNM 的面积的最大值为2；【解答】解：（1）分别将点A （3，0）、B （0，3）代入y ＝ax 2+2x +c 中，得：，解得：，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，分别将点A （3，0）、B （0，3）代入y ＝kx +b 中，得：，解得：，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3，连接MQ ，过点Q 作△PQM 的高，过点M 作△MNQ 的高，则这两个高都等于1，∴S 四边形PQNM ＝S △PQM +S △MNQ ＝•PM •1+•NQ •1＝（PM +NQ ），当x ＝m 时，PM ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，当x ＝m +1时，NQ ＝﹣（m +1）2+3（m +1）＝﹣m 2+m +2，∴S 四边形PQNM ＝[（﹣m 2+3m ）+（﹣m 2+m +2）]＝﹣m 2+2m +1＝﹣（m ﹣1）2+2，∴当m ＝1时，四边形PQNM 的面积的最大，最大值为2；。
中考二次函数中的几何最值问题(二)
A''二次函数中的几何最值问题（二）模型一.如图，在平面上有两个定点A 、B ，MN 为定直线上移动的长度一定的线段，若要使四边形AMNB 的周长最小，试确定MN 的位置。
作法：作A 点关于直线的对称点A‘，再将A’向平行于定直线的方向（B 侧）平移一个MN 的长度到A’’,连接A’’B 和直线的交点即为N 点，M 点亦随之确定。
例1. 已知：如图1，直线1y x =--分别交x 轴、y 轴于A 、E 两点，抛物线249y x bx c=-++经过点A ，且过点()5,0B ，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BC 。
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图2，若在直线BC 上方的抛物线上有一点F ，当BCF ∆的面积最大时，有一线段MN=2（点M 在点N 的左侧）在直线AE 上移动，首尾顺次连接点F 、M 、N 、B 构成四边形FMNB ，请求出四边形FMNB 的周长最小时点M 的横坐标；NM A迁移练习1.如图1，已知抛物线343832--=x x y 与轴交于和两点（点在点的左侧）与轴相交于点，顶点为. （1）求出点的坐标；（2）如图1，若线段在x 轴上移动，且点移动后的对应点为.首尾顺次连接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小值．x A B A B y C D ,,A B D OB ,O B ','O B 'O 'B D C ''OBDC ''OBDC模型二. 如图，平面上有2条定直线l ，m,A 、B 为直线两侧的2个定点，点M 为直线l 上的动点，点N 为直线m 上的动点，要使得AN+BM+MN 的长度最小，试确定M 、N 的位置.作法：作A 点关于直线l 的对称点A’，B 点关于直线m 的对称点B’,连接A’B’与直线l,m 的交点即为M 、N.需要注意的是：模型中的两条定直线不一定是平行的。
初三数学专题1二次函数中的铅垂线段的最值
专题1 二次函数中的铅垂线段的最值1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P 点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P 是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM的最大值；3．如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式．（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．4．如图，二次函数()20y ax bx c a=++≠的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为()3,0，顶点C的坐标为()1,4．()1求二次函数的解析式和直线BD的解析式；()2点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；5．如图，顶点为（2，－1）的抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）交y 轴于点C （0，3），交x 轴于A ，B 两点，直线l 过AC 两点，点P 是位于直线l 下方抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线l 于点Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段PQ 的最大值及此时点P 的坐标；6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴与C （0，3），D 为抛物线上的顶点，直线y=x ﹣1与抛物线交于M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线与点Q ． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）求线段PQ 的最大值；7．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -，与y 轴交于点C ． （1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）如图，点P 为抛物线AC 段一动点，PQ AC ⊥于点Q ，PG x ⊥轴交AC 于点G ，当PQ 的长度最大时，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(﹣1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象经过A ，B ，C 三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．。
2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】(两点在同侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】(两点在异侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，