高考数学复习、高中数学 数列的概念及简单表示法附答案解析
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第六章第一节数列的概念与简单表示法pptx课件北师大版
B.13 C.28 D.36
(2)(2021辽宁锦州高三期中)若数列{an}对任意n∈N*满足
a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
}的前n项和为
+1
.
答案 (1)B
(2)
+1
解析 (1)(方法1)由于Sn=2n2-n-1,则a4=S4-S3=(2×42-4-1)-(2×32-3-1)=13.故
逻辑推理
强基础 增分策略
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
数列
数列的项
含义
按
一定次序
排列的一列数
数列中的 每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式
前n项和
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式
子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式
数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫作数列的前n项和
Sn=(
)
2 15
A. 4 + 4
2 15
B. 3 + 3
3 2 5
C.2n +2n
D.n2+3n
Sn=2
1
+ an-14,则
2
(2)(2021 福建福州一中高三期末)已知各项均为正数的数列{an},若数列{an}
的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, + -1 =an(n≥2),则 a6=
(2)消去an,在an与Sn的关系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1
的关系,从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an.
2023年高考数学一轮复习第六章数列1数列的概念练习含解析
数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理 1．数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 教材改编题1．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2023的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13答案 C解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，可得a n ＋4＝a n ，则a 2023＝a 505×4＋3＝a 3＝－12.2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案1nn ＋2，n ∈N *解析 ∵a 1＝11×1＋2＝13， a 2＝12×2＋2＝18，a 3＝13×3＋2＝115，a 4＝14×4＋2＝124，a 5＝15×5＋2＝135，∴通过观察，我们可以得到如上的规律， 则a n ＝1nn ＋2，n ∈N *. 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5，因为a 1也适合上式，所以a n ＝4n －5.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4等于( ) A ．27 B ．81 C ．93 D ．243答案 B解析 根据2S n ＝3a n －3， 可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3， 两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ， 即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a 4＝a 1q 3＝34＝81.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n，① ∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.教师备选1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1， ∴a 1＝－1.当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，①S n －1＝2a n －1＋1.②①－②得S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项为a 1＝－1，公比为q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·qn －1＝－2n －1.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． 方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2解析 根据题意，可得S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)＋1. 由通项公式与求和公式的关系， 可得a n ＝S n －S n －1， 代入化简得a n ＝2n 2＋n ＋1－2(n －1)2－(n －1)－1＝4n －1.经检验，当n ＝1时，S 1＝4，a 1＝3， 所以S 1≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，4n －1，n ≥2.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 两边同时除以S n ＋1S n ， 得1S n ＋1－1S n＝－1.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n＝－1－(n －1)＝－n .所以S n ＝－1n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n n －1，n ≥2.题型二 由数列的递推关系求通项公式 命题点1 累加法例2 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ， 所以a 2－a 1＝ln2－ln1，a 3－a 2＝ln3－ln2， a 4－a 3＝ln4－ln3，……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例3 若数列{a n }满足a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)·a n (n ≥2)，则a n ＝________. 答案2n ＋1解析 由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)， 得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2)． 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1×n －1n ×n －2n －1×…×34×23×1＝2n ＋1， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n ＋1. 教师备选1．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n， a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.2．若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝________. 答案 n ·2n －1解析 由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0， 又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2n ＋1n， 又a 1＝1， ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2n －1n －2×2n －2n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n . 又n ＝1时，a 1＝1适合上式， ∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法，即利用公式a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1(n ≥2)，即可求数列{a n }的通项公式． (2)形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，常令n 分别为1,2,3，…，n －1，代入a n ＋1a n＝f (n )，再把所得的(n －1)个等式相乘，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式． 跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.答案 2n －1＋n解析 ∵a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，∴a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋a 1＋n －1＝1－2n －11－2＋2＋n －1＝2n －1＋n .又∵a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n －1＋n .(2)(2022·莆田模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2nn ＋1解析 由S n ＝n 2a n ，可得当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 即(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1， 易知a n ≠0，故a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1×…×24×13×1 ＝2n n ＋1.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝2n n ＋1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2nn ＋1. 题型三 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若数列{a n }为递增数列， 则有a n ＋1－a n >0，∴(n ＋1)2－2λ(n ＋1)－n 2＋2λn ＝2n ＋1－2λ>0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立， 于是有λ<⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋12min ＝32，∵由λ<1可推得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 命题点2 数列的周期性例5 (2022·广州四校联考)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，则a 2023等于( )A ．－2B ．－1C ．2 D.12答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)， ∴a 2＝11－2＝－1， a 3＝11－－1＝12，a 4＝11－12＝2，…，可知此数列有周期性，周期T ＝3， 即a n ＋3＝a n ，则a 2023＝a 1＝2. 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则数列{a n }的最大项为( )A ．a 8或a 9B ．a 9或a 10C ．a 10或a 11D ．a 11或a 12答案 B解析 结合f (x )＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011x的单调性，设数列{a n }的最大项为a n ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1，解不等式组可得9≤n ≤10. 所以数列{a n }的最大项为a 9或a 10. 教师备选1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k2n ＝3－3n －k2n ＋1， 由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1<0， 所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立， 所以k ∈(0，＋∞)．2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋3＝1，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023等于( ) A ．－1 B ．0 C ．log 53 D ．4答案 B解析 因为a n a n ＋3＝1，所以a n ＋3a n ＋6＝1，所以a n ＋6＝a n ，所以{a n }是周期为6的周期数列， 所以log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 2023 ＝log 5(a 1a 2…a 2023) ＝log 5[(a 1a 2…a 6)337·a 1]， 又因为a 1a 4＝a 2a 5＝a 3a 6＝1， 所以a 1a 2…a 6＝1，所以原式＝log 5(1337×1)＝log 51＝0. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①函数法，利用函数的单调性求最值．②利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．跟踪训练3 (1)在数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，a n<12，2a n－1，a n≥12，若a 1＝45，则a 2023的值为( )A.35B.45C.25D.15答案 D 解析 a 1＝45>12，∴a 2＝2a 1－1＝35>12，∴a 3＝2a 2－1＝15<12，∴a 4＝2a 3＝25<12，∴a 5＝2a 4＝45，……可以看出四个循环一次， 故a 2023＝a 4×505＋3＝a 3＝15.(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项． 答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋193n －16，当n >5时，a n >0，且单调递减； 当n ≤5时，a n <0，且单调递减， ∴当n ＝5时，a n 最小．课时精练1．数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92答案 A解析 数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是以首项为1，公差为5的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝5n －42.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D 解析 a 2＝1＋－12a 1＝2，a 3＝1＋－13a 2＝12， a 4＝1＋－14a 3＝3，a 5＝1＋－15a 4＝23. 3．已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，若a 1＝14，则T 2023为( )A ．－4B ．－35C ．－53D.14答案 C解析 由a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，a 1＝14，得a 2＝53，a 3＝－4，a 4＝－35，a 5＝14，…，所以数列{a n }具有周期性，周期为4，因为T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1,2023＝4×505＋3， 所以T 2023＝(a 1a 2a 3a 4)…(a 2021a 2022a 2023) ＝14×53×(－4)＝－53. 4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( ) A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析 数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)， 则S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －1(n ≥2)， 由此可得，数列{a n }是等比数列，又S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，令n ＝5，得a 5＝16.5．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)，则下列结论正确的是( ) A ．这个数列的第10项为2731B.97100是该数列中的项 C ．数列中的各项都在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1内 D ．数列{a n }是单调递减数列 答案 BC解析 a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1， 令n ＝10得a 10＝2831，故A 错误；令3n －23n ＋1＝97100得n ＝33∈N *， 故97100是数列中的项，故B 正确； 因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *.所以数列{a n }是单调递增数列， 所以14≤a n ＜1，故C 正确，D 不正确．6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝lnnn ＋1答案 CD解析 对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， 所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误； 对于C ，若a n ＝n ， 则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对于D ，若a n ＝ln nn ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln nn ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．7．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2解析 ∵a n ＋1＝3S n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 2＝3； 当n ≥2时，a n ＝3S n －1， ∴a n ＋1－a n ＝3a n ， 得a n ＋1＝4a n ，∴数列{a n }从第二项起为等比数列， 当n ≥2时，a n ＝3·4n －2， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n －2，n ≥2.8．(2022·临沂模拟)已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ， 即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ∈N *，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3，由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知当n ＝1时，a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1， 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.当n ＝1时，a 1＝1满足a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋12.10．求下列数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n .解 (1)由a n ＋1＝a n ＋3n 得a n ＋1－a n ＝3n，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋31＋32＋33＋…＋3n －1＝1×1－3n1－3＝3n－12，当n ＝1时，a 1＝1＝31－12，满足上式，∴a n ＝3n－12(n ∈N *)．(2)由a n ＋1＝2na n 得a n ＋1a n＝2n， 当n ≥2时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a na n －1＝1×2×22×23×…×2n －1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝()122n n -.当n ＝1时，a 1＝1满足上式， ∴a n ＝()122n n -(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －2，n ≤6，an －5，n >6，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫167，3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫167，3C ．(1,3)D ．(2,3)答案 D解析 若{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7>a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a 2>63－a －2，解得2<a <3，即实数a 的取值范围是(2,3)．12．(多选)(2022·江苏盐城中学模拟)对于数列{a n }，若存在数列{b n }满足b n ＝a n －1a n(n ∈N *)，则称数列{b n }是{a n }的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A ．若数列{a n }是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列 B ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最大值 C ．若a n ＝3n －1，则其“倒差数列”有最小值D ．若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则其“倒差数列”有最大值答案 ACD解析 若数列{a n }是单增数列，则b n －b n －1＝a n －1a n －a n －1＋1a n －1＝(a n －a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n a n －1，虽然有a n >a n －1， 但当1＋1a n a n －1<0时，b n <b n －1，因此{b n }不一定是单增数列，A 正确；a n ＝3n －1，则b n ＝3n －1－13n －1，易知{b n }是递增数列，无最大值，B 错误；C 正确，最小值为b 1.若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则b n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n－11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∵函数y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，∴当n 为偶数时，a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∈(0,1)，∴b n ＝a n －1a n<0，当n 为奇数时，a n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>1，显然a n 是单调递减的，因此b n ＝a n －1a n也是单调递减的，即b 1>b 3>b 5>…，∴{b n }的奇数项中有最大值为b 1＝32－23＝56>0，∴b 1＝56是数列{b n }(n ∈N *)中的最大值，D 正确．13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________． 答案 5解析 a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.14．(2022·武汉模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1－1a n＝n ＋1，则其前n 项和S n ＝________.答案2nn ＋1解析 ∵1a 2－1a 1＝2，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝4，…，1a n －1a n －1＝n ，累加得1a n －1a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，得1a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12，∴a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.15．(多选)若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，记数列{a n }的前n 项积为T n ，则下列说法正确的有( ) A ．T n 无最大值 B ．a n 有最大值 C ．T 2023＝1 D ．a 2023＝1答案 BCD解析 因为a 1＝1，a 2＝3，a n a n －2＝a n －1(n ≥3)，所以a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…因此数列{a n }为周期数列，a n ＋6＝a n ，a n 有最大值3， a 2023＝a 1＝1，因为T 1＝1，T 2＝3，T 3＝9，T 4＝9，T 5＝3，T 6＝1，T 7＝1，T 8＝3，…， 所以{T n }为周期数列，T n ＋6＝T n ，T n 有最大值9，T 2023＝T 1＝1.16．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2， 最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．。
新高考数学 第6章 第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列
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MING SHI DIAN BO
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式___a_n_＝__f_(n_)___ 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝__a_1_＋__a_2_＋__…_＋__a_n__叫做数列{an}的前n 项和
第六章 数列
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知识点二 数列的表示方法
第六章 数列
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当 n＝6 时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得 a6＝－32； 所以 S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63. 解法二：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝ －1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以 an＝2an－1，所 以数列{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＝－2n－1，所 以 S6＝－1×1－12－26＝－63.
第六章 数列
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4．(选修2P9T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成 的数列的一个通项公式an＝__5_n_－__4_.
第六章 数列
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题组三 走向高考
5．(2020·浙江，11,4 分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶
2021版江苏高考数学复习讲义：数列的概念与简单表示法含答案
5n－4[由a1＝1＝5×1－4、a2＝6＝5×2－4、a3＝11＝5×3－4、…、归纳a n＝5n－4.]考点1由数列的前几项求数列的通项公式考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤(1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时、利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式、如果符合、则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式、即a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n 、则a n ＝ .(2)(20xx·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1、则S 6＝ . (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n 、则a n ＝ .C ．a n ＝n2D ．a n ＝n22B [∵a1＋a2＋…＋an ＝错误!、 ∴a1＋a2＋…＋an－1＝错误!(n ≥2)、 两式相减得an ＝错误!－错误!＝n (n ≥2)、 ∴a n ＝n 2(n ≥2)、① 又当n ＝1时、a1＝1×22＝1、a 1＝1、适合①式、 ∴a n ＝n 2、n ∈N *.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 、a 1＝1、S n ＝2a n ＋1、则S n ＝ . ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1 [因为S n ＝2a n ＋1、所以当n ≥2时、S n －1＝2a n 、所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)、即an＋1an ＝32(n ≥2)、 又a 2＝12、所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2 (n ≥2)．当n ＝1时、a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32-1＝13、所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )、求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋ f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．＝.又a1＝1适合上式、故a n＝.＝Aa n待定系数法——形如a n＋1＋B(A≠0且A≠1、B≠0)、求a n求此类数列的通项公式、通常采用待定系数法将其转化为(a n＋x)＝A(a n＋x)、先求出x、再借助等比数列{a n＋1＋x }求解．C[∵a n＋1＝an1＋3an 、两边取倒数得1an＋1－1an＝3、又a1＝1所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an表示首项为1、公差为3的等差数列、所以1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2、即a n＝13n－2、所以a10＝13×10－2＝128、故选C.]考点4数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项、确定数列的周期、再根据周期性求值．令an＋1an>1、解得n <2； 令an＋1an＝1、解得n ＝2； 令an＋1an<1、解得n >2. 又a n >0、故a 1<a 2＝a 3、a 3>a 4>a 5>…>a n 、 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3、 且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.(2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列、 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4、 ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4、 即k ＞－1－2n 、又n ∈N *、 ∴k ＞－3.]。
高考数学人教版理科 数列的概念与简单表示法 含解析
课时作业31 数列的概念与简单表示法一、选择题1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( C )A ．16B ．24C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p－a q ＝( D )A ．10B ．15C ．－5D ．20 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( A ) A ．31 B ．32 C ．61D ．62解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31.4．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( C )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)， 所以b <2n ＋1(n ∈N *)， 所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.5．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 017的末位数字为( B )A ．8B ．2C ．3D ．7解析：由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…， 末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，∵2 017＝4×504＋1，∴b 2 017的末位数字为2，故选B. 6．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n－λ)(1a n＋1)，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2(1a n＋1)，所以数列{1a n ＋1}是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n －1>0对一切正整数n 恒成立，所以λ<n ＋1，因为n ∈N *，所以λ<2，故选C.二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 3＝3，a n ＝n .解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n (n ≥2)，∴a 3＝3.∵a 1＝1满足a n ＝n ，∴a n ＝n .8．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.解析：已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n ，∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.9．(2019·惠州市调研考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝n ·2n －1.解析：a n ＋1－2a n ＝2n两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝n ·2n －1.10．(2019·吉林普通中学二调)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋12a n ，则a na n －1(n >1)的最大值为2.解析：∵S n ＝n ＋12a n ，∴当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12a n －n2a n －1，即a n a n －1＝n n －1，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n －1单调递减，∴当n ＝2时，a n a n －1＝2最大．三、解答题11．(2019·浙江舟山模拟)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得， a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)． S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n2， ①所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12， ② ①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)， 所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .12．(2019·河南南阳一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值，并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，得2a 1a 2＝4S 1－3，a 1＝1，所以a 2＝12，2a n a n ＋1＝4S n －3,2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以当n 为奇数时，a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以当n 为偶数时，a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，综上所述，a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.能力拓展13．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝15，a 7＋a 9＝34，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，且对于任意的n ∈N *，T n <a n ＋11t ，则实数t 的取值范围为(0,162)．解析：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3＝15，故S 3＝3a 2＝15，故a 2＝5.又a 7＋a 9＝2a 8＝34，故a 8＝17，故a 8－a 2＝6d ＝12，故d ＝2，故a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，所以1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝1213－12n ＋3＝n3(2n ＋3)，因为T n <a n ＋11t ，即n3(2n ＋3)<2n ＋12t ，显然t >0，所以t <3(2n ＋12)(2n ＋3)n ＝3(4n 2＋30n ＋36)n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋9n ＋90，又n ＋9n ≥6，当且仅当n ＝3时，等号成立，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋9n ＋90≥162.所以0<t <162.14．已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，又数列{b n }满足b n ＝2log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求S n ；(2)若对任意n ∈N *，都有S n a n ≤S ka k成立，求正整数k 的值．解：(1)因为{a n }是等比数列， 则a 2a 5＝a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列， 所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.所以b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＝2n .所以S n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n . (2)令c n ＝S n a n ＝n 2＋n 2n －1，则c n ＋1－c n ＝S n ＋1a n ＋1－S na n＝(n ＋1)(n ＋2)2n －n (n ＋1)2n －1 ＝(n ＋1)(2－n )2n. 所以当n ＝1时，c 1<c 2； 当n ＝2时，c 3＝c 2； 当n ≥3时，c n ＋1－c n <0， 即c 3>c 4>c 5>…，所以数列{c n }中最大项为c 2和c 3.所以存在k ＝2或3，使得任意的正整数n ，都有S k a k ≥S na n.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·洛阳市第一次联考)已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是[0，＋∞)．解析：由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )＝λn (n ＋2)得a n ＋2n ＋2－a nn＝λ，所以数列{a nn }的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a nn ＝1＋λ(n ＋12－1)＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n 2λ＋n .当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ(n2－1)＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n ，当n 为奇数时，由a n <a n ＋1得n 2－n 2λ＋n <(n ＋1)2－2(n ＋1)2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ，若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0.当n 为偶数时，由a n <a n ＋1得n 2－2n 2λ＋n <(n ＋1)2－(n ＋1)2λ＋n ＋1，即3λn >－2，所以λ>－23n ，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．。
高考数学一轮复习1 第1讲 数列的概念及简单表示法
第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲考向预测1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).命题趋势以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.2.了解数列是一种特殊函数.核心素养数学抽象、逻辑推理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项周期数列对n ∈N *，存在正整数常数k ，使a n ＋k ＝a n(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧an≥an －1，an≥an ＋1；若a n 最小，则⎩⎨⎧an≤an －1，an≤an ＋1.常见误区1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．由S n 求a n 时，利用a n ＝⎩⎨⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2，求出a n 后，要注意验证a 1是否适合求出的a n 的关系式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×2．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）nan －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B.53 C.85D.23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a1＝2，a 3＝1＋（－1）3a2＝12，a 4＝1＋（－1）4a3＝3，a 5＝1＋（－1）5a4＝23. 3．数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是( ) A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52 D ．a n ＝10n －92解析：选A.数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为a n ＝5n －42.4．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2中，0.08是它的第________项． 解析：依题意得n －2n2＝225(n ∈N *)，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 答案：105．(易错题)已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n≥2.答案：⎩⎨⎧5，n ＝1，2n －1，n≥2由a n 与S n 的关系求a n(1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A ．27 B ．81 C ．93D ．243(2)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________． 【解析】 (1)根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3， 两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n ， 当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a 4＝a 1q 3＝34＝81. 故选B.(2)当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， 因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②，得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， 所以a n ＝2n －1n (n ≥2)．显然当n ＝1时不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n≥2.【答案】 (1)B (2)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n≥2(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2时的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n≥2由递推关系求通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)由于an ＋1an ＝2n ，故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2， 所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以an ＋1＋1an ＋1＝3，所以数列{a n＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n －1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a n ＝__________．解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.答案：2n －12．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则a n ＝________．解析：因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，所以a n ≠0，所以an ＋1an ＝n n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝an an －1·an －1an －2·an －2an －3·…·a3a2·a2a1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n .a 1＝2也符合上式，则a n ＝2n .答案：2n数列的函数特征 角度一 数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；②用作商比较法，根据an ＋1an (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断； ③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎨⎧an －1≤ an ，an≥ an ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎨⎧an －1≥an ，an≤an ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋an1－an ，则a 2 022的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13【解析】 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋an 1－an ，所以a 2＝1＋a11－a1＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，a 6＝－3，a 7＝－12，a 8＝13，…，可得a n ＋4＝a n ，则a 2 022＝a 505×4＋2＝a 2＝－3.【答案】 B解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 020的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选B.因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N ＋)， 由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2， 由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1， 由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12， 由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12， 由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1， 由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列， 所以a 2 020＝a 4＝1，故选B.2．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n≤4，－n2＋（a －1）n ，n≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．解析：当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15. 当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －a －122＋（a －1）24.因为a 5是{a n }中的最大值， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－25＋5（a －1）≥15，解得9≤a ≤12，所以a 的取值范围是[9，12]． 答案：[9，12]核心素养系列5 逻辑推理——推断数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n＝( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D.12n －1【解析】 因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1， 所以a 2＝13， 所以a 1＝1＝21×2， a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，…由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.所以a n ＝n （n ＋1）2.2．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .答案：a n ＝(－1)n ·2n －32n[A 级 基础练]1．(2020·陕西榆林二中期中)数列3，6，12，21，x ，48，…中的x ＝( ) A ．29 B ．33 C ．34D ．28解析：选B.因为6－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x －21＝4×3，所以x ＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.故选B.2．已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析：选A.因为数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，所以a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0.对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C.因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n ＞0，所以t ≤a n ＋3恒成立，t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3.5．(多选)已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1an (n ∈N *)，且a 1＝2，则( ) A ．a 3＝－1 B ．a 2 022＝12 C ．S 3＝32D ．S 2 022＝1 011解析：选ACD.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1an (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…，所以a n ＋3＝a n ，数列的周期为3.a 2 022＝a 673×3＋3＝a 3＝－1.S 3＝32，S 2022＝1 011.6．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝ ⎛⎭⎪⎫192，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫192，327．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝an 1＋an (n ＝1，2，…)，则这个数列的通项公式a n ＝________．解析：两边取倒数得1an ＋1＝1an ＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是以1为首项，公差为1的等差数列，故1an ＝n ，a n ＝1n .答案：1n8．已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第__________项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n ＜0，即n ＋13n －16＜0，3n －16＜0，从而n ＜163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小． 答案：59．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n≥2.10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：an ＋1＋1an ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以an ＋1＋1an ＋1＝4an ＋3＋1an ＋1＝4（an ＋1）an ＋1＝4.[B 级 综合练]11．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{a n }，令b n ＝a n －1an ，则下列说法正确的是( )A ．若数列{a n }是单调递增数列，则数列{b n }也是单调递增数列B ．若数列{a n }是单调递减数列，则数列{b n }也是单调递减数列C ．若a n ＝3n －1，则数列{b n }有最小值D ．若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则数列{b n }有最大值解析：选CD.若a 1＝－1，a 2＝1，则b 1＝a 1－1a1＝－1＋1＝0，b 2＝a 2－1a2＝1－1＝0，所以b 1＝b 2，所以A 不正确．若a 1＝1，a 2＝－1，则b 1＝a 1－1a1＝1－1＝0，b 2＝a 2－1a2＝－1＋1＝0，所以b 1＝b 2，所以B 不正确．若a n ＝3n －1，则数列{a n }为单调递增数列，所以当n ＝1时，a n 取最小值a 1＝2＞0.又函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以当n ＝1时，数列{b n }取得最小值，所以C 正确．若a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，则b n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n－11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，由于函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数．当n 为偶数时，a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈(0，1)，所以b n ＝a n －1an ＜0，当n 为奇数时，a n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞1，显然a n 是单调递减的，因此b n ＝a n －1an 也是单调递减的，即b 1＞b 3＞b 5＞…，所以{b n }的奇数项中有最大值为b 1＝32－23＝56＞0，所以b 1＝56是数列{b n }(n ∈N *)中的最大值，D 正确．12．(2020·昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图所示．他们研究过图中的1，5，12，22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第n 个五角形数a n ＝__________．解析：观察题图，发现a 1＝1，a 2＝a 1＋4，a 3＝a 2＋7，a 4＝a 3＋10，猜测当n ≥2时，a n ＝a n －1＋3n －2，所以a n －a n －1＝3n －2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(3n －2)＋[3(n －1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝32n 2－12n .答案：32n 2－12n13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 2＋12a 2，解得a 2＝2； 同理得a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .14．(2020·石家庄模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 解：(1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 所以2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，所以2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ， 所以an ＋1n ＋1＝an n ，所以an n ＝an －1n －1＝…＝a11＝1，所以a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)得，b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． 因为数列{b n }为递增数列， 所以2·3n －λ(2n ＋1)＞0，即λ＜2·3n2n ＋1. 令c n ＝2·3n 2n ＋1，则cn ＋1cn ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3＞1.所以{c n }为递增数列，所以λ＜c 1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2)．[C 级 创新练]15．(多选)若数列{a n }满足：对于任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为单调递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln nn ＋1解析：选CD.对于A ，苦a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不是单调递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋1－n 2－1＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }是单调递增数列，不是单调递减数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为单调递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n ＋2－lnn n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，可知数列{a n ＋1－a n }为单调递减数列，故D 正确．故选CD.16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 020项的和为( )A ．672B ．673C ．1 347D ．2 020解析：选C.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{a n}是周期为3的周期数列，一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2，因为2 020＝673×3＋1，所以数列{a n}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，故选C.。
高中数学选择性必修二 专题4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)同步培优专练
专题4.1 数列的概念与简单表示法知识储备知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？【答案】不是.顺序不一样.思考2根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题：(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.思考3数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2上例中的a n＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把a n＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？【答案】如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.思考3数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.知识点三数列的分类(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的增减趋势分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 知识点四 递推公式思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 4＝________. 【答案】(1)53 (2)3思考2 上例是一种给出数列的方法，叫递推公式.你能概括一下什么叫递推公式吗？【答案】如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.思考3 我们已经知道通项公式和递推公式都能给出数列.那么通项公式和递推公式有什么不同？ 【答案】通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 知识点五 数列的表示方法思考1 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ 【答案】(1)解析法、列表法、图象法.数列可以用通项公式、图象、列表等方法来表示. (2)对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.③列表法：④图象法：思考2 归纳一下数列的表示方法.【答案】数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．231log 3log 325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝()A．n2B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是()A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n＝a b n－1，∴b2＝a b1＝a2＝3，b3＝a b2＝a3＝5，b4＝a b3＝a5＝9，b5＝a b4＝a9＝17，b6＝a b5＝a17＝33.二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D. 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A ．S 5＝F 7－1 B ．S 5＝S 6－1 C ．S 2 019＝F 2 021－1 D ．S 2 019＝F 2 020－1【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（ ）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211----1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 【答案】9【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________． 【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3…，OA n ，…，所以a 1＝1，a 2，a 3…，a n . 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a = 19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项.20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f (n )＝2299291n n n -+-＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +， 且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式． 【解析】∵f (x )＝x －1x，∴f (a n )＝a n －1n a ，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n ＝－n.∵a n >0，∴a n－n .22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22nnnna n na n n++++=⨯=＝1211n⎛⎫+⎪⎝⎭2<1，∴a n＋1<a n，即n≥3时，{a n}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴a n≤a3＝9 8 .∴当n＝3时，a3＝98为这个数列的最大项．。
高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n， +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1， 0， 1， 0， 1， 0分， 1母， 0依， 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2，5， 2 2， 2 5
A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27， . 5，8， 2 5 20，
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12［11n1］11n1.
n
2n
④将数列统一为 3，5，7，对9 ，于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17
高考数学总复习 第七章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念及简单表示法学案
第1讲 数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间 的大小关系 分类递增数列 a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2017·浙江五校联考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1 B.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sinn π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －46.(2017·金华调考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________. 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 13考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5). (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n （2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1).规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A.a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B.a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C.a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D.a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.【训练2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则数列的通项公式a n ＝________.解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋1－3n －1－1＝2·3n －1.显然当n ＝1时，不满足上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案 (1)－2n －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. (3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.【训练3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足).(2)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1， a n ＝a n －1＋1n －1－1n， 逐项相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.答案 (1)3×2n －1－2 (2)4－1n[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.[易错防范]1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
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【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
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2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
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考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
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{ ) 规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n ≥
2.n－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；②当 n＝
1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.
易错警示 在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
项与项 间的大 小关系
递增数列 递减数列 常数列
摆动数列
an＋1____an an＋1_____an
其中 n∈N*
an＋1＝an
从第二项起，有些项大于它的前一项，有
些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是______、图象法和______.
(－1)n 2.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ an－1 (n≥2)，则 a5 等于( )
3
5
8
2
A.
B.
C.
D.
2
3
5
3
3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an＝
_______.
4. (2013 新课标Ⅰ卷)
若数列{
an
}的前
n
项和为
Sn＝
2 3
an
1 3
，则数列{
(1)将数列视为函数 f(x)当 x∈N*时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作 出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列 的最大(小)项；
(2)通过通项公式 an 研究数列的单调性，利用Error!(n≥2)确定最大项，利用 Error!(n≥2)确定最小项．
接把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它只适用于 n≥2 的情形.例如
例 2 第(1)题易错误求出 an＝2n(n∈N*).
【训练 2】 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式 an ＝________. (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋1，则数列的通项公式 an＝________.
其中，数列的图象是一系列孤立的点，不是连续的曲线.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项 an 与______之间的关系可以用一个式子 an ＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开 始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
第六章 数列
第 1 节 数列的概念及简单表示法
课标要求 1 解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识梳理
1.数列的定义
按照________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
数列
{an}为2，4，－
，， 8 16
－
，， 32 64
…，则
数列
{an}的一
个通
项公
式
是
________.
规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数 列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的 特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分 子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情 况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理.
an
}的通项
公式是 an =______.
5. (2012 福建)
数列 an 的通项公式
an
n cos
n 2
1，前
n 项和为
Sn ，则
S2012
=___．
6. (2011 浙江)若数列 n(n 4)( 2)n 中的最大项是第 k 项，则 k =____________．
3
规律方法 求数列最大项或最小项的方法
考点一 由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 (1)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能
是( )
A.an＝(－1)n－1＋1
{ ) B.an＝
2，n为奇数， 0，n为偶数
nπ C.an＝2sin 2
D.an＝cos(n－1)π＋1
1 1 5 13 29 61
(2)已知
项对应的位置序号.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
1 nπ 【训练 1】(2012·上海卷)设 an＝nsin25，Sn＝a1＋a2＋…＋an. 在 S1，S2，…，
S100 中，正数的个数是 ( )
A．25
B．50
C．75
D．100
考点二 由 an 与 Sn 的关系求通项 易错警示 【例 2】 (1) (2018·全国Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn＝2an＋1，则 S6＝ ________. (2) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公 式为________________.
[微点提醒]
{ ) 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n ≥
2.
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，
而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的
(3)比较法：
( ) an＋1
若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0 或an＞0时， an ＞1 ，则 an＋1＞an，即数列 {an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为 a1＝f(1)；
( ) an＋1
若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0 或an＞0时， an ＜1 ，则 an＋1＜an，即数列 {an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为 a1＝f(1)．