第6章第6节压缩映象原理及其应用
压缩映像原理及其应用
压缩映像原理及其应用
孙一丹;翟伟利;孙永涛
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2011(000)024
【摘要】本文将积分第一中值定理的条件改变后,利用压缩映像原理可以得到一个新的结论.
【总页数】1页(P193)
【作者】孙一丹;翟伟利;孙永涛
【作者单位】商丘职业技术学院;商丘职业技术学院;商丘职业技术学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.Banach压缩映像原理应用分析 [J], 苏新卫
2.压缩映像原理在求序列极限上的应用 [J], 孙一丹;孙永涛
3.压缩映像原理在数学分析中的应用 [J],
4.压缩映像原理在数列极限中的应用 [J], 杨柳[1]
5.压缩映像原理的应用 [J], 曹丹
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压缩映像定理 数分
压缩映像定理数分
压缩映像定理（Compression Mapping Theorem）在数学中，特别是泛函分析和度量空间理论中具有重要意义。
该定理又称Banach不动点定理，它揭示了压缩映射在完备距离空间中的性质。
压缩映像定理的表述如下：
设（X，P）是一个完备的距离空间，T是（X，P）到其自身的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。
这里，完备的距离空间指的是一个具有完备性质的度量空间，即其中的所有基本列都是收敛列。
压缩映射是指映射T将空间X映射到其自身，并且满足T（X）⊆X。
压缩映像定理在数学分析中有很多应用，例如零点存在性定理、三大中值定理等。
这些定理中的映射都可以看作是压缩映射的特殊情况。
在实际应用中，压缩映像定理也有广泛的应用，如在解方程、微分方程、最优化问题等领域。
此外，压缩映像定理在数字图像和视频压缩中也发挥着重要作用。
通过将图像或视频信号压缩到其极限，可以实现更高的压缩比和更好的质量。
总之，压缩映像定理是数学中一个重要的定理，它在理论研究和实际应用中都有着广泛的意义。
谈压缩映象原理及其应用
ａ ０ 一 Ｉ Ｉ Ｉ （ ） 。 ￡ ｍ ｘＥ ＝ｄ ，， ａ ）
。 ｌ Ｗ ＝。 ｌ Ｓ Ｓ ｌ
Ｉ ［ ・ｘ 一 （ ］ ） ： ） 一
ｌ ｌ ｗ ｌ
＝口 （ Ｙ ，口＜１ ｃ ， ） （ ｆ ）
＋０ （ 一 ： ） （ 一 （ ） （ ） （ （ ） ： ） Ｉ ）
Ｖ（ Ｙ ∈Ｄ ， ）
定理 １ 设 （ ｄ 是完备度量空 间， ： — ｚ Ｚ， ） ｚ
是压 缩映射 ， 则 在 ｚ 中有 唯一 不 动 点 ． 即存 在 唯
一
的 ∈ 使得 Ｔ ＝ 且对任一 。 ， ， ｘ ∈ 迭代序
列 ｛ 。收敛于 ． Ｔｘ ｝
２ 主 要应 用
根据定理 １存在唯一 （ ∈Ｃ 口 ｂ 使得 ， ） ［ ， ］
Ｊ ｔ Ｏ
ｌＩ ￡ ） Ｉ ￡ ） ｄ ， 一 ， Ｉｔ
√ｔ Ｏ
＝ａ （ （ 一 （ ） ｄ ） ）
ｒｔ
—
ｒｔ
～
所以， 是压缩映射 ．
（ ＝ （ ， ） ） 即 ， ） ＝０ （ ） ．
２３ 常微分 方程 解 的存在 与唯 一性 定理 ． 定理 ４ 给定微 分方 程
定义
设 ｚ是度 量 空 间 ： — ｚ， ｚ 若存 在 常 数
０ ＜ｋ＜１ 使得 ｄ Ｔ Ｔ ） ｄ ， ） Ｖ Ｙ∈Ｚ， （ｘ，ｙ ≤ｋ （ Ｙ ， ， 则 称 为压缩 映射 ．
定 理 ３ 设 Ｄ＝［ ｂ ×（ ａ， ］ 一∞， ＋∞）厂： — Ｒ ， Ｄ 满 足 ｑｆ在 Ｄ上 连续 ； ） ② ｘ ） 在 Ｄ上 存在 ， ０＜ｍ≤厂 （ Ｙ ≤Ｍ ， ，， ） 且 ， ）
文章介绍了压缩映象原理厦其在解次线性方程组臆函数存在性常微分方程和vdterra积分方程解的存在唯一性等四个方面的重要应用
数字图像处理第六章图像压缩与编码
x 0y 0
x 0y 0
➢ 均方根信噪比SNRrms为：
M 1 N 1
M 1 N 1
S N R r m s
f ˆ(x ,y )2
[f ˆ(x ,y ) f(x ,y )]2
x 0y 0
x 0y 0
基本概念
主观保真度准则: 大部分解压缩图像最终 还是由人来进行观察的
➢ 无损压缩：在压缩和解压缩过程中没有信息 损失 . 霍夫曼编码，行程编码，算术编码
➢ 有损压缩：能取得较高的压缩率，但压缩后 不能通过解压缩恢复原状. 预测编码，变换 编码，小波变换
图像压缩的方法
➢ 消除冗余数据 ➢ 从数学角度看，将原始图像转化为从统计角
度看尽可能不相关的数据集
基本概念
数据冗余的概念
➢ 常用保真度准则分为两大类：
客观保真度准则 主观保真度准则
基本概念
客观保真度准则
➢ 当所损失的信息量可以用编码输入图像与编 码输出图像的函数表示时，它就是基于客观 保真度准则的
➢ 常用的两种客观保真度准则
均方根误差 均方信噪比
基本概念
客观保真度准则
➢ 输入图和输出图之间的均方根误差
➢ 实例：黑白二值图像编码
如果用8位表示该图像的像素， 我们就说该图像存在编码冗余， 因为该图像的像素只有两个灰 度，用一位即可表示。
基本概念
像素间冗余
➢ 反映图像中像素之间的相互关系：空间冗余， 几何冗余，帧间冗余
➢ 因为任何给定像素的值可以根据与这个像素相 邻的像素进行预测。
例：原图像数据：234 223 231 238 235 压缩后数据：234 -1-1 1-2 7 -3
基本概念
心理视觉冗余 ➢ 人眼感觉到的图像区域亮度不仅取决于该区 域的反射光，例如根据马赫带效应，在灰度 值为常数的区域也能感觉到灰度值的变化。 这是由于眼睛对所有视觉信息感受的灵敏度 不同。有些信息在通常的视觉过程中与另外 一些信息相比并不那么重要，这些信息被认 为是心理视觉冗余。 ➢ 消除心理视觉冗余的压缩称为量化，量化的 是不可恢复的，结果导致了数据有损压缩。
压缩映象原理的证明及应用
压缩映象原理的证明及应用
张卿
【期刊名称】《衡水学院学报》
【年(卷),期】2008(10)1
【摘要】压缩映象原理是泛函分析中一个最常用、最简单的存在性定理,作为其特殊情形可用来研究某类递推数列的敛散性.这里给出了这个定理的两种证明方法并举例说明如何利用它求一类递推数列的极限.
【总页数】2页(P3-4)
【作者】张卿
【作者单位】衡水学院,数学与计算机科学系,河北,衡水,053000
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.压缩映象原理的应用 [J], 姜文英
2.谈压缩映象原理及其应用 [J], 赵建清
3.关于压缩映象原理的一个应用 [J], 左俊
4.混合单调映象的压缩映象原理及其应用 [J], 张庆政
5.用Ｂanach压缩映象原理证明代数学的一个重要定理 [J], 董立华
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遥感数字图像处理-第六章-图像编码与压缩PPT课件
输入 输入概率第一步第二步第三步第四步
S1 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0 S2 0.3 0.3 0.3 0.3 0 0.4 1 S3 0.1 0.1 0.2 0 0.3 1 S4 0.1 0.1 0 0.1 1
S5 0.06 0 0.1 1
S6 0.04 1
S4=0100
2021
35
Huffman编码
根据编码作用域划分，图像编码为空间域编码和变
换域编码两大类。
霍夫曼编码
无损编码 行程编码
图像压缩
算术编码
有损编码
预测编码 变换编码 其它编码
2021
19
无损压缩
• 无损压缩的必要性
在医疗或商业文件的归档，有损压缩因为法律原因而 被禁止。
卫星成像的收集，考虑数据使用和所花费用，不希望 有任何数据损失。
变长编码是统计编码中最为主要的一种方法。
2021
22
6.3 统计编码方法
6.3.2 霍夫曼编码
Huffman编码是1952年由Huffman提出的一种 编码方法。这种编码方法是根据信源数据符号发 生的概率进行编码的。
思想：在信源数据中出现概率越大的符号，编码 以后相应的码长越短；出现概率越小的符号，其 码长越长，从而达到用尽可能少的码符表示信源 数据。它在无损变长编码方法中是最佳的。
2021
3
图像数据的特点之一是信息量大。海量数据 需要巨大的存储空间。如多媒体中的海量图像数 据，不进行编码压缩处理，一张600M字节的光盘， 能存放20秒左右的640×480像素的图像，没有编 码压缩多媒体信息保存有多么困难是可想而知的。
在现代通信中，图像传输已成为重要内容之 一。采用编码压缩技术，减少传输数据量，是提 高通信速度的重要手段。
压缩映射原理的应用探讨
（ 一 ８ ） ‘ ＜ １ ， 其 中８ 当ｉ － ｊ 时为ｌ ， 否 则 为Ｏ ， 求证 ： 线 性 方 程 组
＋ａｌ ２ Ｘ ２ ＋ … ＋ａｌ ｘ ＝ｂｌ
ｎ
＋ ａｚ ２ Ｘ２ ＋ … ＋ ２ ｘ ｎ
＝
ｎ
ｂ２
超过原像距离的ａ 倍．
传 授 知 识 的 同时 ，能 够 把 有 些 同生 活密 切 相 关 的 知 识 讲 得 生 动具体形象 ． 从 而 提 高学 生 的学 习热 情 。 数 理 逻 辑 部 分 中 的命 题 逻 辑 部 分 的知 识 就 有 很 多和 生 活 密切 相 关 ， 在 讲 课 的 时候 ， 可以告诉学生 ， 我们在生活中每天都会涉及推理 ， 我 们 判 定 他 人讲 的话 是 真 是 假 的 过 程 ， 其实就是一个推理的过程 。 判 定 一 个人是否成熟 、 讲话 是否经过深思熟虑 ， 也 可 以从 他 讲 话 的严 谨 程度进行判断 ， 这 还 是一 个 推 理 的过 程 。 同 时可 以告 诉 学 生 逻 辑 推 理 在 我 们 的公 务 员 考 试 行 政 职 业 能 力 与 测 验 中经 常 要 用 到［ ５ ３ ． 如 果 有 对 考 取 公 务 员 感 兴 趣 的 同 学 能 深 入 学 习 和 理 解 这 部 分 内容 ， 对 逻 辑 推 理 部 分 有 很 大 的 帮助 ， 从 而 提 高学 生 对 此 门课 程 的关 注度 。 教 师 在 教 学 过 程 中应 该 展 现 自己 的 个 人魅 力 ． 让学生喜爱教 师的讲话 风格 、 教态等 ， 从 而 提 高 学 生 的学 习兴 趣 。 ２ ． ２ ． ２ 板 书 与 多媒 体 相 结 合 目前 高 校 教 学普 遍采 用 多媒 体 进 行 教 学 ， 利用Ｐ ｔ ｒ ｒ 教 学 可 以节约板书时间 。 更 高 效 地 进 行 教学 ， 但 是 离 散 数 学 与 其 他 学 科 相 比有 自 己的 特 点 ， 定理 多 、 概念多 、 推理多 ， 如 果 完 全 采 用 多媒 体 教 学 ， 则学 生 难 以跟 上 老 师 的 思 路 。 建 议 定 理 和 推 理 采 用 板 书形 式 ． 一步 一 步 进行 演 算 ， 帮 助学 生 理 解 。 一 些 概 念 和 定 义采 州 多 媒 体 教 学 ， 节约板书时间 。 同时 对 于 一 些 难 以理 解 的 内 容 如 图 论 中求 最 短 路 径 可 以 采 用 动 画 的 形 式 进 行 演 示 ， 使其更形象 、 具体 ， 提 高 学 生 的 学 习 热情 。 ２ － ３ 教 学手 段 改 革 鉴 于 离 散 数 学 课 程 不 易理 解 、 比较 难 学 的 特 点 ， 因此 我 们 有必要改革教学手段 ， 使 得 离 散 数 学 的教 学更 具 体 形 象 ， 让 学 生 更 易 理解 所讲 内 容 ， 提 高 学 生 的 学 习热 情 。 当今 是 互 联 网时 代 ， 大 家 都 可 以利 用 网络 获 取 信 息 资 源 。 建 设 一 个 离 散 数 学 学 习 网 站 ，可 以帮 助 学 生 利 用 课 余 时 间 学 习 此 网 站 可上 传 教 师 的 教 学 视频 ， 学 生 可 以在 课 余 时 间 根 据 自己的 学 习 情 况进 行 有 针 对 性 的学 习 ， 同 时 教师 也可 以将 课 后
压缩映射原理的内容包括
压缩映射原理的内容包括压缩映射原理（也被称为Banach定理或完备映射原理）是数学分析中的一个重要定理，它是泛函分析中一类非常有用的映射性质的基础。
本文将从基本概念开始，详细介绍压缩映射原理的内容。
1. 压缩映射概念在介绍压缩映射原理之前，首先需要了解压缩映射的概念。
给定一个完备度量空间（例如实数轴上的空间），假设有一个自映射T：X→X，其中X是这个度量空间。
如果存在一个常数0≤k≤1，使得对于任意x、y∈X，满足d(Tx, Ty)≤kd(x, y)，那么T被称为一个压缩映射，常数k称为压缩映射的收缩因子。
2. 完备度量空间压缩映射原理是建立在完备度量空间上的。
一个度量空间X被称为“完备的”，如果其中每一个Cauchy序列都是收敛的。
一个序列{xn}是Cauchy序列，如果对于任意的ε>0，存在正整数N，使得对于任意的n、m>N，有d(xn, xm)<ε。
3. 压缩映射原理的陈述压缩映射原理的一个基本陈述如下：若X是一个非空的完备度量空间，且T：X→X是一个压缩映射，那么T在X上存在唯一的不动点，即存在一个x∈X，使得Tx=x。
4. 证明压缩映射原理的关键步骤要证明压缩映射原理，通常需要以下几个关键步骤：（1）证明不动点的存在性：通过构造一个适当的函数序列，可以得到一个收敛的函数序列，从而证明了不动点的存在。
（2）证明唯一性：假设存在两个不同的不动点x1和x2，利用压缩映射的性质推导出矛盾，从而证明唯一性。
（3）确定收敛性：通过构造一个适当的递归序列，证明这个序列是一个Cauchy序列，从而证明其收敛。
5. 压缩映射原理的应用压缩映射原理在数学分析领域具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：（1）常微分方程的存在唯一性：通过将常微分方程转化为一个适当的积分方程形式，利用压缩映射原理可以证明其存在唯一解。
（2）泰勒级数法求近似解：在实际计算中，往往通过不断迭代求解来逼近一个方程的解。
banach压缩映像原理
banach压缩映像原理Banach压缩映像原理是数学中的一个重要定理，它在函数空间中寻找某个唯一的不动点，并且通过不断迭代逼近这个不动点。
这个原理常常用于证明某些方程或者问题存在唯一解，具有广泛的应用价值。
在数学中，函数空间是由一些满足特定条件的函数构成的集合。
Banach压缩映像原理主要适用于完备的函数空间，即满足柯西序列收敛的空间。
它的核心思想是通过构造一个压缩映像，即一个将函数映射到自身并且保持距离缩小的映射，利用这个映射不断逼近不动点。
具体来说，假设我们要解决一个方程f(x) = x，其中f是一个函数，x是未知量。
根据Banach压缩映像原理，我们可以找到一个压缩映像T，使得对于任意的x1和x2，有距离d(T(x1), T(x2)) < k * d(x1, x2)，其中k是一个小于1的常数。
然后，我们可以通过迭代逼近的方式，从一个初始的近似解x0开始，不断应用压缩映像T，即x_n = T(x_{n-1})，直到满足收敛条件为止。
通过Banach压缩映像原理，我们可以证明这个迭代过程收敛，并且收敛到唯一的不动点，即f(x) = x的解。
这是因为压缩映像的性质保证了距离的不断缩小，从而确保了迭代序列的收敛性。
而唯一性则是由于函数空间的完备性，确保了收敛序列的极限存在且唯一。
Banach压缩映像原理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在微分方程的求解中，可以将微分方程转化为一个不动点问题，然后利用压缩映像原理求解。
此外，在优化问题、概率论、经济学等领域，Banach压缩映像原理也被广泛应用于求解问题的唯一解或最优解。
总结起来，Banach压缩映像原理是数学中一个重要的定理，它通过构造一个压缩映像来寻找函数空间中的不动点，并且通过迭代逼近的方式求解方程或问题的解。
它的应用广泛，并且在数学和应用领域中都有重要的意义。
通过掌握和理解Banach压缩映像原理，我们可以更好地解决各种数学和实际问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
压缩映像原理证明
压缩映像原理证明
压缩映像，又称视频压缩，是将原始视频进行压缩的一种实用技术，其原理是
按照一定的压缩算法，将多个原始视频帧按照规律抽取一部分，在不影响视频原来画质的前提下，保留足够的视频原始信息，从而实现视频压缩。
具体而言，首先对原始视频做差分。
通过对比视频帧之间的差分，分析出新视频帧有哪些可以被去除掉，再根据差异来实现目标帧保留，然后再行压缩，利用现在流行的无损压缩算法，进行定量的压缩。
这样，视频就可以在节省带宽的情况下，传输更多的视频信息量，而且还不会损失视频原始的画质。
从业界角度来看，压缩映像已经深刻地影响着视频行业的发展，在一些影片的
拍摄、剪辑和传播方面都发挥了重要作用，使得我们拥有更多的视频资源，而且在网络传输上更加迅捷和便捷。
另外，压缩映像也成为当今大屏应用技术的核心，它无缝地连接了多个屏幕，这样各种各样的活动、节目以及展览等都可以在超大尺寸的屏幕上完美展示并且充分触及观众的情感。
由此，压缩映像无疑是不可或缺的一部分，它改变了传统的视频传输方式，提
高了网络传输的速度和效率，让我们能够轻松享受HD画质的视频，同时也提高了
大型节目的呈现效果。
今后，只要我们持续探索这项技术，特别是针对流媒体行业，就一定能取得质的飞跃。
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第六节 压缩映象原理及其应用
本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩
映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的
工具。
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微
分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过
程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一
个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当
然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问
题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是
个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就
是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，
我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动
点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最
简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理。
定义（压缩映象）
设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有
（是常数）则称T是X上的一个压缩映照。
从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像
的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）
定理1（Banach压缩映照原理）1922年
（Banach 1892-1945 波兰数学家）
设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，
则丅有唯一的不动点。即的使
证：任取令
（此即解方程的逐次迭代法）
先证是Cauchy点列
① ① 先考虑相邻两点的距离
②再考虑任意两点的距离
当n>m时
=
=
是Cauchy点列
是完备度量空间,使
下证x为不动点
再证不动点唯一
若还有,使
则
因 必须
注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下
(a)若X不完备,则定理不成立
例如:令X=(0,1),用欧氏距离,
则
但不动点
(b)定理不成立
例如:令 X=R用欧氏距离
则 但显然T无不动点。
②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放
宽为1，即可改为
限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的
简单应用。
定理2（隐函数存在定理）
设在带状区域上处处连
续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合
.则方程f在闭区间上有唯一的连续
函数,使。
证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，
则有不动点）
在完备度量空间中作映照,显然,对
由连续函数的运算性质有。
是到自身的一个映照
下证是压缩的.
即证 ,任取
由微分中值定理,存在,使
令 则 ,故
取最大值
映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理
在上有唯一的不动点使
显然这个不动点适合
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是
难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意
到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。
② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数
存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得
出区间上的连续隐函数.
下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯
一性定理中的应用--Picard定理.
定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一
性定理）
（Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932）
设在矩形上连续,设
又在R上关于x満足Lipschitz（德
国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对
有 ,那么方程在区间
上有唯一的满足初始条件的连续函
数解.其中
证：设表示在区间上的连续函数全体。
对成完备度量空间。又令表示中满
足条件的连续函数全体所成的子空间。显然
闭,因而也是完备度量空间.
令
如果 当 时,
而 是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。
又对一切
故T是到的一个映照
下证是压缩的。
由Lipschitz条件,对中的任意两点
有
令 ,则由 有 .
则 故T是压缩的。
由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.
即 使
即 且
即 是满足初值条件的连续解。
再证唯一性。
如果 也是 满足 的连续解.
那么 因而
而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.
故
有唯一解。
注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解
的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而
可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广
义解，即只要求满足积分方程 则题设
条件可大大放宽：只要 有界,即可利用Lebesgue控
制收敛定理得到广义解。
注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯
一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取
令 则解 .且在Banach不动点定理的
证明中,有 .即此式给出了用逼近解的误
差估计式。
补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理
简介
鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点
理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单
介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。
一、Brouwer不动点定理及其应用：
（一）Brouwer不动点定理
（Brouwer：荷兰人 1881-1966）
定义（凸集）：
X为一集,若 则称A为X
的凸子集。
定理1（Brouwer不动点定理）：
设为 的有界闭凸集，连续,则 使
.
证：1、若 证明如下：不妨设
作辅助函数 显然在 上连续.
从而变成证明 使 即可.
显然:否则 则0为f之不动点;
否则则1为f之不动点:
(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得
使 证毕。
2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要
用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中
映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点
定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。
3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些
条件可以减弱。
下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用。
（二）证明代数基本定理：
代数基本定理：
复系数一元n次方程 至少有一
个复根。
证：令
作辅助函数
考虑闭圆盘：
显然 c为有界闭凸集，且连续（只要考虑z=1连续即可，而
这是显然的。）。下证 将c映入c:
当 时
当 时
=
将 c映入 c. 由Brouwer不动点定理
使
使 证毕
（三）证明Perrou定理：
Perrou定理：
矩阵
使 .
即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。
证：设 ,令
为标准单纯形，则 .
作映照 显然为连续映照.
下面先证 将 映入 .
注意到 .
则 由Brouwer不动点定理
使 即 .
令 则有 .
下证 的每个分量 严挌大于零.
由 的第i个分量方程为
正矩阵一定存在正特征值和特征向量。
（四）Rother证明定理：
Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推
广，下面我们证明Rother定理。
Rother定理：
为单位球，在 上连续,且当
时,使 .
证：作辅助函数
则 连续,且 .
作 ,则F在上连续,且将映入.
由 Brouwer不动点定理,F有不动点.
即 ,使得 .
下证此 为 之不动点.
若
若 先用反证法证明 .
若 ,则
矛盾,.
从而 故 f有不动点. 证毕
Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，
我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论
及其应用》。
我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间
—这就是Schauder不动点定理。
二、Schauder不动点定理：
（Schauder:1899-1940）
首先我们注意到度量空间中：紧集列紧闭集（致密闭集），
在拓扑空间中：紧集任意开复盖都有有限复盖之集。
Schauder不动点定理：
紧凸集到自身的连续映照必有不动点。
证：（略）
Schauder不动点定理的应用（略）。
我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到
Kakutani不动点定理。