09第九讲 灰色预测(一)
灰色预测法GM(1,1)理论及应用
灰色预测法GM(1,1)理论及应用一、概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
01灰色预测
算法简介1、灰色预测模型（必掌握） 灰色预测模型使用范围：①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式③只适合做中短期预测，不适合长期预测。
灰色预测原理比较简单，详细的可以参考司守奎《数学建模算法与应用》。
需要注意的几点是：（1）灰色预测的使用范围（2）灰色预测中的“级比”如果级比不在范围要对数据进行处理。
（3）司老师书中的代码，并没有运行出后面的运行结果，如果想运行出预测的结果，看下面的说明。
（4）在使用灰色预测的时候要考虑残差等（见代码的最后三行） （5）代码直接复制粘贴文本文档的文件就可以了。
（6）文本文档是给出了两种代码，不要复制错了，第一个是司老师书中的。
第二个是学员提交的作业，可以直接得出预测结果，但是没有检验结果。
例 北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见1。
表1 城市交通噪声数据/dB(A)序号 年份 eq L序号 年份 eq L1 1986 71.1 5 1990 71.42 1987 72.4 6 1991 72.03 1988 72.4 7 1992 71.6 4198972.1该例题源代码如下： clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';%注意这里为列向量 n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 range=minmax(lamda') %计算级比的范围 x1=cumsum(x0); %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); u=B\Y syms x(t)x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。
灰色预测模型
用差分代替微分，又因等间隔取样，t(t1)t1,故得
x(1 )(2 ) x(1 )(2 )x(1 )(2 ) x(1 )(1 )x(0 )(2 ), t
类似地有
x(1)(3)x(0)(3),..., x(1)(N )x(0)(N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
A
30
7.3 销售额预测
（2）建立矩阵：B, y
B1212[[xx((11))((32))xx((11))((21))]]
1 4.513 1 7.8205
1 1
1122[[xx((11))((54))xx((11))((43))]]
1 1
11.184 1 14.7185 1
y=[x(0)(2), x(0)(3), x(0)(4),x(0)(5)]T
A
19
7.2 灰色系统的模型
1[x(i)(i)x(i)(i1)],(i2,3,...,N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式
xx((00)M )((32))1212[[xx((11))((32))M xx((11))((21))]] x(0)(N) 12[x(1)(N)x(1)(N1)]
1 11ua. 1
y BU
方程组(7.6)’的最小二乘估计为
(7.6)’
Uˆ uaˆˆ(BTB)1BTy
(7.7)
A
21
7.2 灰色系统的模型
把估计值 aˆ 与 uˆ 代入（7.4）式得时间响应方程
xˆ(1)(k1)x(1)(1)u aˆˆea ˆku a ˆˆ
(7.8)
当 k1,2,L,N1时 ， 由(7.8)式算得的 xˆ(1)(k 1) 是拟合值；
灰色预测
1982年，华中理工大学邓聚龙教授首先提出了灰色系统的概 念，并建立了灰色系统理论，引起了国内外很多学者、科技人 员的重视。之后，灰色系统理论得到了较深入的研究，并在众 多方面获得了成功的应用。
【灰色系统】：既含有已知信息又含有未知的非确知 的信息的系统。例如：人口问题、历史系统、中医 系统等。 【灰色系统的描述】：灰色系统用灰色参数（灰元、 灰数）、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综合描 述，其中灰数是灰数系统的基本“单元”或“细胞”。
GM(1,1)模型的适用范围
当GM(1,1)发展系数|a|>=2时,GM(1,1)模型无意义. 通过分析,可得下述结论: (1)当-a<=0.3时,GM(1,1)可用于中长期预测 (2)当0.3<-a<=0.5时,GM(1,1)可用于短期预测,中长期预 测慎用 (3)当0.5<-a<=0.8时,GM(1,1)作短期预测应十分谨慎 (4)当0.8<-a<=1时,应采用残差修正GM(1,1) (5)当-a>1时,不宜采用GM(1,1)
生成法如下： x 设原始数据列为：(0) = {x (0) (1), x(0) (2), , x (0) (n)}，则 x 1次累加（1-AGO）：(1) = {x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)}， 其中 k x (1) (k ) = ∑ x (0) (m) ； m =1 …………………….. x R次累加（r-AGO）： = {x (1), x (2), , x (n)}， 其中 x (k ) = ∑ x (m) = x (k − 1) + x (k ) ； 1 z ( k ) = ( x ( k ) + x ( k − 1)) 均值生成Z： ; 2 α 累减生成IAGO： ( x (k )) = x (k ) − x (k − 1) = x (k )。
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测法GM(1,1)总结
灰色预测模型一、灰色预测的概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
灰色预测法(GM(1-1)模型)
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
试求关联度。
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解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138
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10.2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
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10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
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10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
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（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
灰色预测模型ppt
灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定系统的三种常用方 法。它们的研究对象都具有不确定性，但研究对象在不确定上的区别派生出三种 各具特色的不确定学科。三者的主要区别如下表所示：
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 现实规律 概率论 随机不确定 康托集 概率分布 概率统计 典型分布 历史统计规律 模糊数学 认知不确定 模糊集 隶属度函数 边界取值 隶属度可知 认知表达 经验（数据）
=（10771,11204,11487,11778,12076,12382,12695,13016,13347,13684）
精度检验
通过计算得出：（1）平均相对误差为
0
（2）X (0) 与 X 的绝对关联度为 0.993 0.90 s （3）均方差比为 c 2 0.24 0.35
其中， x (1) (k )
x ( 0) (i ), k 1,2,, n
i 1
k
在灰色系统中，累加算子的逆算子就是累减算子，累减生成对累加生成起还原作 用。
3.灰色系统预测模型
灰色预测的概念
灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测的理 论步骤如下：
进行关联 分析，并 对原始数 据进行生 成处理
灰 色 系 统 系统内一部分信息已 知，一部分信息未知， 系统内各因素间具有 不确定的关系。
白 色 系 统
系统的内部特征是 完全已知的，即系 统信息是完全充分 的。
黑 系统内部信息对外 色 界来说是一无所知 系 的。 统
1.灰色系统理论
灰色预测GM(1,1)模型分析
SPSS分析SPSS教程SPSSAU 灰色预测模型GM11 灰色模型灰色预测GM(1,1)模型分析Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。
但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。
灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。
特别提示：GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。
灰色预测模型案例Contents1背景 (2)2理论 (2)3操作 (3)4 SPSSAU输出结果 (3)5文字分析 (4)6剖析 (5)1背景当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。
数据如下：年份城市交通噪声/dB(A)198671.10198772.40198872.40198972.10199071.40199172.00199271.602理论灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。
在进行模型构建时，通常包括以下步骤：第一步：级比值检验；此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。
级比值=当期值/上一期值。
一般情况下级比值介于[0.982,1.0098]之间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。
第二步：后验差比检验；在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差/ 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。