课内实验-运筹学-线性规划-第一次
运筹学1
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
《运筹学》实验报告
《运筹学》实验报告专业：工商管理专业班级：11-2班姓名：***学号：************指导老师：***前言第十一周、十二周，我们在雷莹老师的指导下，用计算机进行了有关运筹学的一系列实验。
本实验报告即是对这次试验的反馈。
本这次试验是为了帮助我们顺利完成有关《运筹学》课程内容的学习。
在先期，雷老师带领我们进行了《运筹学》理论课程的学习，不仅使我们了解和掌握了运筹学的相关知识，而且让我们认识到运筹学的现实意义，认识到现代社会数学与人们生产、生活之间的紧密联系和对人们生产、生活的巨大促进作用。
然而，与此同时，现代社会同时是一个计算机时代，我们只拥有理论知识还不够，必须把理论知识和计算技术结合起来，这样才能进一步提高生产力。
我相信这也是老师要求我们做这次试验的目的和初衷。
在实验中，我们主要是利用WinQSB软件进行相关试验，根据实验指导书中详细给出的各个实验的基本步骤和内容，独立完成各项实验。
本次实验中共包含4个实验，分别是线性规划实验、运输问题实验、整数规划实验，以及网络优化实验。
每个实验均与理论课中讲解的内容相对应。
部分实验内容用于使我们了解WinQSB软件的基本操作，而其它实验内容要求我们能够根据给出的问题，进行分析、建模和求解。
通过完成各项实验任务，使我们得以巩固已有的理论课程学习内容，为将来进一步的学习和实际应用打下基础。
线性规划实验通过对以下问题的分析，建立线性规划模型，并求解：某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。
已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价分别见下表1和2。
该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？表1表2实验报告要求（1）写出自己独立完成的实验内容，对需要建模的问题，给出问题的具体模型；（2）给出利用WinQSB软件得出的实验结果；（3）提交对实验结果的初步分析，给出自己的见解；实验过程：一、建立模型设Ac是A产品中用c材料，同理得出Ap、Ah、Bc、Bp、Bh、Dc、Dp、Dh３４⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤++≤++≤++≤++≥++≤++≥++++++++++++++++=60Dh Bh Ah 100Dp Bp Ap 100Dc Bc Ac 5.0Bh Bp Bc Bp 25.0Bh Bp Bc Bc 25.0Ah Ap Ac Ap 5.0Ah Ap Ac Ac Dh Bh Ah 35-Dp Bp Ap 25-Dc Bc Ac 65-Dh Dp Dc 25Bh Bp Bc 35)(50 max ）（）（）（）（）（H P C A A A z二、求解过程三、实验分析实验结果表明，在题目的要求下，该工厂只能生产A产品才能盈利，并且在使用c材料100个单位、p材料50个单位、h材料50个单位时，即生产200个单位的A产品时，才能获得最大利润，最大利润为500。
第一章运筹学绪论和线性规划
The srandard Form of the Model：
max(min) s.t. z =c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (1.1) a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn ( = , ) b1 a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn ( = , ) b2 … … (1.2) am1x1 + am2x2 +…+ amnxn ( = , ) bm x1，x2，…，xn 0 (1.3)
(3)An very effective method of finding the optimal distribution under the scarcity, to obtain the maximum profit or minimum cost
1.1The simplification of Prototype Example: The WYNDOR GLASS CO. produces a high-quality glass products and wants to launch two new products. It has 3 plants and product 1 need plants 1 and 3, while products 2 needs plants 2 and 3.All the products (1 and 2) can be sold and table 3.1 on page 27 summarizes the data gathered by the OR team. The goal of the company is to get the maximum profit from the sold products 1 and 2.
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
运筹学教案
第 1 次课 2 学时绪 论运筹学（operations research ）是用数学方法研究各类系统最优化问题的学科。
运筹学通过建立系统的数学模型并求解，为决策者制定最优决策提供科学依据。
一、运筹学简史二、运筹学的主要分支1. 线性规划（Linear Programming ）2. 目标规划（Goal Programming ）3. 整数规划（Integer Programming ）4. 非线性规划（Nonlinear Programming ）5. 动态规划（Dynamic Programming ）6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis ）7. 排队论（Queuing Theory ）8. 存贮论（Inventory Theory ）9. 对策论（Game Theory ） 10. 决策论（Decision Theory ） 三、运筹学的工作步骤 1. 提出和形成问题 2. 收集资料，确定参数 3. 建立模型4. 模型求解和检验5. 解的控制第一章 线性规划与单纯形法 §1.1 线性规划的基本概念§1.1.1线性规划的数学模型 特点：（1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值； （2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示； （3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。
具备以上三个特点的数学模型称为线性规划（Linear Programming ，简记为LP ），一般形式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=0,,),(),(),( max(min)21221122222121112121112211n mn mn m m n n n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 采用求和符号Σ，可以简写为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤=∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0,,2,1 ),( max(min)11§1.1.2图解法 1. 唯一最优 例4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,124 202582 52 max 212212121x x x x x x x x x z图1-12. 无穷多最优3. 无界解（无最优解）第 2 次课 2 学时§1.2 线性规划的标准形式和解的性质§1.2.1 LP 的标准形式⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj jij nj jj ,,2,1 0 ,,2,1 max 11变换一般LP 为标准形式的方法：（1）如果原问题目标函数求极小值：∑==nj j jx cz 1min令z 1=－z ，转化为求∑=-=nj j jx cz 11)( max 。
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学实验报告
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称Lingo、MATLAB关于线性问题的求解所属课程名称运筹学
实验类型综合
实验日期2014年10月12日
班级统计1201班
学号201247100126
姓名杨赛波
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。
运筹学第一次作业详解
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,12432223max 21212121x x x x x x x x z（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322265max 21212121x x x x x x x x z1.2将下述线性规划问题化成标准形式。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束4,03,2,12321422245243min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，''4'44x x x -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,232142222455243'max 65''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束3,02,016324322min 21321321x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，1'1x x -=，''3'33x x x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++-+=-+++-+=0,,,,6243322'max 4''3'32'14''3'32'1''3'32'1''3'32'1x x x x x x x x x x x x x x x x x x z1.3对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
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课内实验报告
课 程 名： 运 筹 学
任课教师： 朱京辉
专 业
：
学 号：
姓 名：
2015/2016学年 第 2 学期
南京邮电大学通达学院 商学院
实验内容及基本要求：
实验项目名称：线性规划实验
实验类型： 验证
每组人数： 1
实验内容及要求：
内容：线性规划建模与求解
要求：能够写出求解模型、运用软件进行求解并对求解结果进行分析
实验考核办法：
实验结束要求写出实验报告。实验报告的形式可以包括以下3点：
1.问题的分析与建立模型,阐明建立模型的过程。
2.计算过程,包括采用什么算法，使用什么软件以及计算详细过程和结果。
3.结果分析,将结果返回到实际问题进行分析、讨论、评价和推广。
实验结果：（附后）
实验背景：某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析
如表1所示。
表1
时间 所需售货人数（人）
星期日
28
星期一
15
星期二
24
星期三
25
星期四
19
星期五
31
星期六
28
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休
息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使
配备的售货人员人数最少？
实验结果：
一：问题分析和建立模型：
解：设xi表示星期i开始上班的售货人员数，建立如下求解模型：
目标函数：Min f（x）=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
约束条件：s.t. X3+x4+x5+x6+x7≥28
X1+x4+x5+x6+x7≥15
X1+x2+x5+x6+x7≥24
X1+X2+x3+x6+x7≥25
X1+X2+X3+x4+x7≥19
X1+X2+X3+X4+x5≥31
X2+X3+X4+X5+X6≥28
1.
用EXCL求解，具体计算过程如下:
1、 根据数学模型建立excel表格
2、在I3中输入函数=SUMPRODUCT(B3：H3，B2：H2)
3、在I 4——I10中分别输入函数=SUMPRODUCT(B4：H4，B2：H2)、=SUMPRODUCT(B5：
H5，B2：H2)、=SUMPRODUCT(B6：H6，B2：H2)、=SUMPRODUCT(B7：H7，B2：H2)、
=SUMPRODUCT(B8：H8，B2：H2)、=SUMPRODUCT(B9：H9，B2：H2)、=SUMPRODUCT(B10：
H10，B2：H2)得到表格如下：
4、对表格进行规划求解：
5、最终结果如下：
结果分析：
我们学习了用Excel表格解决在实际问题中的线性规划问题。Excel表格能有
效地提高组织及决策的速度及准确性，并且Excel办公软件的普遍性优点使之更
适合促进科学决策的信息化水平。学习之后我们能学有所成的运用到实际生活中
去。
成绩评定：
该生对待本次实验的态度 □认真 □良好 □一般 □比较差。
本次实验的过程情况 □很好 □较好 □一般 □比较差
对实验结果的分析 □很好 □良好 □一般 □比较差
文档书写符合规范程度 □很好 □良好 □一般 □比较差
综合意见：
成绩 指导教师签名 日期
2014.3.11.
实验背景：某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析
如表1所示。
表1
时间 所需售货人数（人）
星期日
28
星期一
15
星期二
24
星期三
25
星期四
19
星期五
31
星期六
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为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休
息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使
配备的售货人员人数最少？