高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数自主训练北师大版
2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数一课时素养评价含解析北师大版必
课时素养评价二十六二倍角的三角函数(一)(20分钟35分)1.（2020·全国Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（）A.cos 2α>0B.cos 2α<0C.sin 2α>0D.sin 2α<0【解析】选D.方法一：因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，所以sin 2α=2sin αcos α<0，而cos 2α=的符号不确定.方法二：因为α为第四象限角，所以2kπ-＜α＜2kπ，k∈Z，所以4kπ-π＜2α＜4kπ，k ∈Z，所以2α为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α的符号不确定.2.化简:错误!未找到引用源。
= ( )A.sin 4+cos 4B.-sin 4-cos 4C.sin 4D.cos 4【解析】选B.错误!未找到引用源。
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=|sin 4+cos 4|,而4∈错误!未找到引用源。
,有sin 4<0,cos 4<0,故sin 4+cos 4<0,即错误!未找到引用源。
=-sin 4-cos 4.3.若tan α=错误!未找到引用源。
,则cos2α+2sin 2α=( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.1D.错误!未找到引用源。
【解析】选A.由tan α=错误!未找到引用源。
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,cos2α+sin2α=1,得sinα=错误!未找到引用源。
,cos α=错误!未找到引用源。
或sin α=-错误!未找到引用源。
,cos α=-错误!未找到引用源。
,所以sin 2α=2sin αcos α=错误!未找到引用源。
,则cos2α+2sin 2α=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
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.4.(2020·德州高一检测)已知sin错误!未找到引用源。
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2020_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数二课时素养评价含解析北师大版必
课时素养评价二十七二倍角的三角函数(二)(20分钟35分)1.已知sin α-cos α=错误!未找到引用源。
,则sin 2α= ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选A.sin 2α=2sin αcos α=错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
.【补偿训练】已知cos α-sin α=错误!未找到引用源。
,则cos错误!未找到引用源。
= ()A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选C.因为cos α-sin α=错误!未找到引用源。
,所以cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-sin 2α=错误!未找到引用源。
,所以sin 2α=错误!未找到引用源。
,所以cos错误!未找到引用源。
=sin 2α=错误!未找到引用源。
.2.若sin错误!未找到引用源。
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,则cos错误!未找到引用源。
=( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选A.由题意,可得cos错误!未找到引用源。
=-cos错误!未找到引用源。
=-cos错误!未找到引用源。
=-cos错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
.3.若tan θ=错误!未找到引用源。
,则cos 2θ= ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选D.cos 2θ=cos2θ-sin2θ=错误!未找到引用源。
.分子分母同时除以cos2θ,得:cos 2θ=错误!未找到引用源。
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.4.已知α∈错误!未找到引用源。
,sin 2α=错误!未找到引用源。
,则sin错误!未找到引用源。
高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的正弦、余
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
【配套K12】高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数课后导练
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课后导练基础达标1.若角α满足条件sin2α<0,cos α-sin α<0,则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨⎧<-<.0cos ,0sin ,sin cos ,0cos sin ,0sin cos ,02sin ααααααααα ∴α在第二象限.答案：B2.sin15°sin30°sin75°的值等于（ ） A.43 B.83C.81D.41解析：原式=sin15°·sin30°·cos15° =21sin 230°=81. 答案：C3.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于（ ） A.34 B.34- C.43 D.43- 解析:tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-，而tan2x=344122-=-⨯, ∴原式=43.答案：C 4.已知sin2α=54，cos 2α=53-，则角α所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:sin α=2sin2α·cos 2α=2524-<0,cos α=cos 22α-sin 22α=257-<0. 答案：C5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2) 函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.4π C.4π D.2π 解析：化简，得y=21sin4x,∴T=2π.故选D. 答案：D6.cos5πcos 52π的值为___________.解析：cos 5πcos 52π=5sin254sin215sin 252cos 52sin 5sin 252cos 52cos 5sin 2πππππππππ===41. 答案：417.已知sin α=cos2α,α∈(0,2π),则sin2α=_________.解析：∵sin α=1-2sin 2α,即2sin 2α+sin α-1=0, ∴sin α=-1或sin α=21. 又∵α∈(0,2π),∴sin α=21,α=6π.∴cos α=23. ∴sin2α=2×21×23=23. 答案：23 8.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.解析：原式=21·cos80°·cos40°·cos20°︒︒20sin 220sin 2 =41·cos80°·cos40°·︒︒20sin 240sin 2 =16120sin 16160sin 20sin 80sin 80cos 81=︒︒=︒︒∙︒∙. 9.求证：ααα2sin 2cos 112sin +++=21(tan α+1).证明：左=s ααααααααααααααcos 2cos sin )sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin 2sin 2222+=++=∙+++ =21(tan α+1)=右边. 10.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π，求cos(2α+4π)的值.解析：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π =22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π,∴43π≤α+4π<47π47π.又∵cos(α+4π)>0,∴23π<α+4π<47π.∴sin(α+4π)=54)4(cos 12-=+--πα. ∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π)=2524-,sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257.∴原式=22×(2524--257)=50231-.综合运用11.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=53,那么cos2β的值为（ ） A.257 B.2518 C.257- D.2518- 解析：由已知可得sin ［(α-β)-α］=53,即sin β=53-.则cos2β=1-2sin 2β=1-2×257259=. 答案：A 12.若α∈［25π,27π］,则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） A.2cos2α B.-2cos 2α C.2sin 2α D.-2sin 2α解析：∵25π≤α≤27π，∴45π≤2α≤47π.∴cos 2α≥sin 2α.如右图所示，在单位圆中当45π≤2α≤47π时，|sin 2α|≥|cos 2α|, ∴sin2α+cos 2α≤0, ∴22)2sin 2(cos )2cos 2(sinsin 1sin 1αααααα-++=-++=-(sin2α+cos 2α)+(cos 2α-sin 2α)=-2sin 2α. 答案：D13.若sin （2π+α）=53,则cos2α=____________-.解析：sin(2π+α)=cos α=53.cos2α=2cos 2α-1=257-.答案：257-14.已知α为锐角，且sin αcos α=21,则ααcos 11sin 11+++=__________.解析：α为锐角，且由sin αcos α=21⇒sin2α=1⇒2α=2π⇒α=4π,∴原式=4-22. 答案：4-2215.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,2π)，求sin α,tan α. 解析：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.又α∈(0,2π),∴sin α+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0，得sin α=21,∴α=6π.tan α=33. 拓展探究16.已知f （x ）=xx x 2cos 4sin 5cos 624-+，求f （x ）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠k π+2π，k∈Z . ∴其定义域为{x|x≠2πk +4π，k∈Z }，即定义域关于原点对称. （2）f （-x ）=)2cos(4)(sin 5)(cos 624x x x ---+-=f （x ），则y=f （x ）对于定义域内任意自变量恒成立.故y=f （x ）为偶函数.（3）f （x ）=1cos 2)1cos 3)(1cos 2(sin cos 1cos 5cos 62222224---=-+-x x x x x x x =3cos 2x-1. {x|x≠2πk +4π，k∈Z }. 其值域为{y|-1≤y≤2且y≠21}.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数教案 北师大版必修4(2021年最新整理)
高中数学第三章三角恒等变换3.3 二倍角的三角函数教案北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 二倍角的三角函数教案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.3 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律。
通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想。
这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”。
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理.三维目标1。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
高中数学 3.3二倍角的三角函数第1课时课后训练 北师大
"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3.3二倍角的三角函数第1课时课后训练 北师大版必修4 "1．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ的值为( )． A ．65- B ．65 C ．45- D ．452．若x ∈3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 2x 的值是( )．A ．725- B ．2425- C ．2425 D ．7253．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )．A ．22 B ．12 C ．0 D ．－14．若1tan +=4tan θθ，则sin 2θ＝( )．A ．15B ．14C ．13 D ．125．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．6．已知tan =24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan tan2xx 的值为________．7．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是__________．8．(1)已知cos θ＝23-，θ∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2cos sin2sin θθθ-的值；(2)在△ABC 中，若cos A ＝13，求2sin +cos 22B CA +的值．9．已知函数23()sin cos 3cos 2f x a x x a x a b =-++ (a ＞0)，(1)写出函数的最小正周期和对称轴；(2)设x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值．10．已知a ＝(2cos x ，sin x )，b ＝(3cos x,2cos x )．设函数f (x )＝a·b －3 (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调增区间；(3)若x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的值域．参考答案1答案：B2答案：B3答案：C4答案：D5答案：12-6答案：4 97答案：7 9 -8答案：(1)142-(2)19-9答案：(1)最小正周期T＝π，对称轴是5212kxππ=+，k∈Z(2)a＝2，b＝－2＋310答案：(1)最小正周期为π(2)5,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k∈Z)(3)[－1,2]。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(二)学案北师大版必修
§3 二倍角的三角函数(二)内容要求 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．知识点 半角公式 (1)S α2：sin α2＝±1－cos α2； (2)C α2：cos α2＝±1＋cos α2； (3)T α2：tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)．【预习评价】1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为( )A ．－33B.33C.63 D ．－63答案 B2．已知cos α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos α2的值为( ) A.66 B.306 C ．－66D ．－306答案 B题型一 应用半角公式求值【例1】 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2.解 sin α2＝±1－cos α2＝± 1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝± 1＋132＝±63， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22. ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.规律方法 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan θ2，还要注意运用公式tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝1－cos θsin θ来求值．【训练1】 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sinθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二 利用半角公式化简【例2】 化简⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＋cos α＋sin α2＋2cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜α＜2π.解 ∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜α2＜π，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α24cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2－2cosα2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. 规律方法 对于三角函数式的化简有下面的要求： (1)能求出值的应求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使三角函数式中的项数尽量少； (4)尽量使分母不含有三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 【训练2】 化简：12－1212＋12cos 2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 解 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α＞0，则由半角公式得12＋12cos 2α＝cos α，∴原式＝12－12cos α.又α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2＞0，从而12－12cos α＝sin α2， 即原式＝sin α2.方向1 三角恒等式的证明【例3－1】 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.证明 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2 ＝tan x2＝右边．所以原等式成立．方向2 三角恒等变形的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12得证．方向3 三角函数的实际应用【例3－3】 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π4的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝α，当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？求出这个最大面积．解 在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在Rt △OAD 中，OA ＝AD ＝BC ＝sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－sin α)sin α ＝cos αsin α－sin 2α ＝12sin 2α－1－cos 2α2 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2α＋22cos 2α－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4－12.由0＜α＜π4，得π4＜2α＋π4＜3π4.∴当2α＋π4＝π2，即α＝π8时，S 最大＝2－12.因此，当α＝π8时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2－12.规律方法 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．解决有关三角函数的实际问题，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.课堂达标1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 答案 A2．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A.12B.32 C ．1D ．2解析 ∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.答案 A 3．计算：tan 12°－3212°－＝________.解析 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝－12sin 48°＝－4.答案 －44．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________.解析 ∵5π4＜θ4＜3π2，∴sin θ4＜0.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－132＝－33. 答案 －335．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.解 原式＝α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝α2＋cos α22－2α2＋cos α2＋α2－cos α222α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.课堂小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a(或sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2).基础过关1．下列各式与tan α相等的是( ) A. 1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.答案 D2．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2B.1－cos α2C ．－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案 C3．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .答案 D4．已知sin α2－cos α2＝－55，且α∈(5π2，3π)，则tan α2＝________.解析 由条件知α2∈(5π4，3π2)，∴tan α2＞0.由sin α2－cos α2＝－55，∴1－sin α＝15.∴sin α＝45，cos α＝－35，tan α2＝sin α1＋cos α＝2.答案 25．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.答案 π6．已知π2≤α＜32π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，求cos 2α及sin 2α的值． 解 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0， 所以3π2＜α＋π4＜7π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)， cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)， 所以sin α＋cos α＝－425，cos α－sin α＝325.因此cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－2425.sin 2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝3225－1＝725.7．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值． 解 f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60° ＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.能力提升8．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0°，90°]上是递增的．∴a <c <b . 答案 C9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A10．若f (x )＝cos 2x －2a (1＋cos x )的最小值为－12，则a ＝________.解析 f (x )＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －2a －1，令t ＝cos x ．则－1≤t ≤1，函数f (x )可转化为y ＝2t 2－2at －2a －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a22－2a －1，当a 2＞1，即a ＞2时，当t ＝1时，y min ＝2－2a －2a －1＝－12，解得a ＝38，不符合a ＞2，舍去；当a 2＜－1，即a ＜－2时，当t ＝－1时，y min ＝2＋2a －2a －1＝1≠－12，不符合题意，舍去；当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，当t ＝a 2时，y min ＝－a 22－2a －1＝－12， 解得a ＝－2±3，因为－2≤a ≤2，所以a ＝－2＋ 3.综上所述，a ＝－2＋ 3.答案 －2＋ 311．函数f (x )＝－2sin 2x ＋sin 2x ＋1，给出下列四个命题： ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴； ③函数f (x )的图像可由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到； ④若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是[0，2]． 其中正确命题序号是________．解 f (x )＝－2sin 2x ＋sin 2x ＋1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. f (x )在[π8，58π]上是减函数，①正确．当x ＝π8时，f (x )取最大值2，故②正确， y ＝2sin 2x 向左平移π8个单位长度可得f (x )的图像，故③错．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π，则f (x )∈[－1，2]，故④错． 答案 ①②12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 13．(选做题)函数f (x )＝6cos 2ωx 2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B ，C 为图像与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域;(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 函数f (x )的值域为[－23，23]．(2)因为f (x 0)＝835， 由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3 ＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数
3.3 二倍角的三角函数第1课时 倍角公式二倍角公式预习交流1如何由S 2α，C 2α推出T 2α？ 预习交流2将cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形，你能得到哪些重要公式？ 预习交流3(1)计算：1－2sin 222.5°的结果为( )． A.12B.22C.33D.32(2)若tan α＝13，则tan 2α＝( )．A.14B.23C.34D.25(3)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝__________.(4)若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ＝__________.答案：2sin αcos α β＝α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α β＝αsin 2α＋cos 2α＝1消去sin 2α或cos 2α2tan α1－tan 2αβ＝α 预习交流1：提示：tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α，分子、分母同除以cos 2α，得tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 预习交流2：提示：降幂扩角公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.升幂缩角公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α.预习交流3：(1)B (2)C (3)－725 (4)－24251．利用公式求值(1)求cos π12·cos 5π12的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin α＝35，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4及tan 2α的值；(3)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝26⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，求sin 2α.思路分析：(1)将cos 5π12化成sin π12，然后配系数2，化为二倍角的正弦形式．(2)中给出了sin α＝35这一条件，欲求sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4及tan 2α的值，可先求出cosα的值，然后利用诱导公式以及二倍角公式建立起已知和未知的关系．(3)中注意角π4－α与π4＋α的关系及角α的范围．1．求下列各式的值：(1)sin 75°·cos 75°；(2)⎝⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，求cos 2θ的值．(1)在利用二倍角公式解决这类问题时，要充分挖掘题目中各角之间的关系，如角2α，π2＋2α分别是α，π4＋α的二倍角，角π4＋α与π4－α互余等，是顺利求值的关键．(2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α是常用结论，应扎实记忆．(3)当遇到π4±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.类似这样的变换还有： cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等等．2．利用公式化简求值(1)化简：cos 20°cos 40°cos 80°； (2)若180°＜α＜270°， 试化简12＋1212＋12cos 2α. 思路分析：(1)式子中的角具有“二倍”的关系，并且是连乘积的形式，可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简求值；(2)该式化简的目的就是要去掉根号，利用二倍角的余弦公式的变形形式可去根号，但要注意角的范围对三角函数值符号的影响．2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝( )．A ．tan αB ．tan 2αC ．1D.12在运用二倍角公式化简求值时应注意：1．明确式子结构，观察角与角之间的关系 当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．2．灵活选取公式形式主要逆用公式形式：2sin αcos α＝sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α；2tan α1－tan 2α＝tan 2α.主要变形用公式形式：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cosα)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2. 3．利用公式研究三角函数的性质已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．思路分析：先利用降幂公式与和差公式将f (x )化成A cos(ωx ＋φ)＋k (或A sin(ωx ＋φ)＋k )的形式，再研究函数的性质．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R .求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f (x )的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．答案：活动与探究1：解：(1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan α＝sin αcos α＝－34.∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝－cos 2α＝－725， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝26. ∴cos 2α＝23. 又0＜α＜π2，∴0＜2α＜π.∴sin 2α＝73. 迁移与应用：1.解：(1)原式＝12sin 150°＝14；(2)原式＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．解：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725.活动与探究2：解：(1)原式＝23sin 20°23sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°＝22·sin 40°·cos 40°·cos 80°8sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18. (2)∵180°＜α＜270°，∴90°＜α2＜135°，则cos α＜0，sin α2＞0.原式＝12＋1212(1＋cos 2α)＝12＋12cos 2α ＝12－12cos α＝sin2α2＝sin α2. 迁移与应用：B 解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 活动与探究3：解：(1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos(2x －φ)． 又函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， 所以12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，可知 g (x )＝f (2x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，故－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14.迁移与应用：解：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＋(1＋cos 2x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )． A ．－1B ．－12C.12D ．12.1－sin 20°＝( )． A ．cos 10°B ．sin 10°－cos 10°C.2sin 35° D ．±(sin 10°－cos 10°) 3．已知f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝__________.4．函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期是__________． 5．求函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x 的最大值及取得最大值时相应的x 的值．答案：1．B 解析：f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小值为－12.2．C 解析：1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°，∴1－sin 20°＝2sin 235°＝2sin 35°.3．－43 解析：f (tan x )＝2tan x 1－tan 2x，∴f (2)＝2×21－22＝－43. 4．π 解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ， ∴T ＝π.5．解：因为f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值1.。
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3.3 二倍角的正弦、余弦和正切
自主广场
我夯基 我达标
1.若sin2α=41，且α∈（4，2），则cosα-sinα的值是（ ）
A.23 B.43 C.-23 D.-43
思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα
就是已知的sin2α，应当注意的是在（4, 2）上，cosα
2.如果|cosθ|=51，25＜θ＜3π，则sin2的值为（ ）
A.510 B.510 C.515 D.515
思路分析：根据25<θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=-51，而
45<2<2
3
为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.
答案：C
3.若23＜α＜2π，则2cos21212121等于（ ）
A.cos2 B.-sin2 C.-cos2 D.sin2
思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α，达到脱去根号的目的，
这是解这类问题的常规思路.
答案：C
4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)为（ ）
A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x
思路分析：∵ f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x，
∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3＋cos2x.
答案：C
5.若f（α）=21cotα-2cos212cos2sin2，那么f（12）的值为______________.
思路分析：将函数f(α)化简变形可得简单形式，即
f(α)=21cotα+21cossin21cotα+21tanα=2sin1tan21tan2，所以
f(12)=6sin1=2.
答案：2
6.(2006湖南高三百校大联考第二次，11)函数y=sin2x-sin4x的最小正周期是
T=____________.
思路分析：将函数解析式化为
y=sin2x-sin4x=sin2x(1-sin2x)=sin2xcos2x=41sin22x=-81(1+cos4x)，∴T=42=2.
答案：2
7.已知α为钝角、β为锐角且sinα=54，sinβ=1312，则cos2的值为______________.
思路分析：∵α为钝角、β为锐角，且sinα=54，sinβ=1312，
∴cosα=53，cosβ=135.
∴cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=6533.
∵2＜α＜π，0＜β＜2，
又∵0＜α-β＜π，0＜2＜2，
∴cos2＞0.
∴cos2=.656572)cos(1
答案：65657
8.化简110sin1-sin10°.
思路分析：1±sinα是完全平方的形式.
解：原式=5cos5sin25cos5sin5cos5sin25cos5sin2222
=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|
=|2sin50°|+|2cos50°|
=2sin50°+2cos50°
=2sin95°=2cos5°.
我综合 我发展
9.(2006北京高考卷，理15)已知函数f(x)=xxcos)42sin(21.
（1）求f(x)的定义域；
（2）设α为第四象限的角，且tanα=34，求f(α)的值.
思路分析：（1）即解cosx≠0；（2）化简f(α)，再求值.
解：（1）由cosx≠0得x≠kπ+2(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ+2,k∈Z }.
（2）因为tanα=34，且α是第四象限的角，
所以sinα=-54,cosα=53,
故f(x)=cos)42sin(21
=cos)2cos222sin22(21
=cos2cos2sin1
=coscossin2cos22
=2(cosα-sinα)
=514.
10.(2006广东高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+2),x∈R,
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)的最大值和最小值；
（3）若f(α)= 43，求sin2α的值.
思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)的形式来讨论其性质.
解：f(x)=sinx+sin(x+2)
=sinx+cosx
=2sin(x+4).
（1）f(x)的最小正周期为T=12=2π.
（2）f(x)的最大值为2和最小值为-2.
（3）因为f(α)= 43，即sinα+cosα=43.
∴(sinα+cosα)2=169.
∴2sinαcosα=167，
即sin2α=167.
11.已知sinα=1312，sin（α+β）=54，α与β均为锐角，求cos2.
思路分析：要求的2是β的一半，而β=(α+β)-β，于是转化为已知的角，根据sinα
和sin(α+β)，结合平方关系式可得cosα和cos(α+β)，从而求出cosβ，再运用半角
公式求得结论，解答本题时一定要考虑到角的范围.
解：∵0＜α＜2，∴cosα=2sin1=135.
又∵0＜α＜2，0＜β＜2，
∴0＜α+β＜π.若０＜α+β＜2，
∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能.
故2＜α+β＜π.∴cos（α+β）=53.
∴cosβ=cos［（α+β）-α］
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=53×135+54×1312=6533.
∵0＜β＜2，∴0＜2＜4.
故cos2=656572cos1.
12.(2006福建高考卷，理17)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，再讨论其性质.
解：f(x)=2322cos1xsin2x+(1+cos2x)
=23sin2x+21cos2x+23=sin(2x+6)+ 23,
（1）f(x)的最小正周期T=2=π.
由题意,得2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,k∈Z,
即kπ-3≤x≤kπ+6,k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为［kπ-3,kπ+6］,k∈Z.
（2）步骤：
①先把y=sin2x图像上所有点向左平移12个单位长度，得到y=sin(2x+6)的图像；
②再把y=sin(2x+6)图像上所有的点向上平移23个单位长度，就得到y=sin(2x+6)+
2
3
即f(x)的图像.