广东省广州市白云区九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系1》课件 新人教版
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数学人教版九年级上册一元二次方程的根与系数的关系.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件
（韦达定理） 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
b 那么X1+x2= a
c , X1x2= a
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家 之一。第一个引进系统的代数符号，并对方 程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律 当过律师，后从事政治活动，当过议会的议 员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军 的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有 意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重 大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系（所以人们 韦达（1540－1603） 把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称 为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
k 1 2 ,
x1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 2 2 4 ( k 1 ) 4 k 0 即-8k+4≥0
k 1 2
)+1=
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2=
k 12 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
最新人教版初中数学九年级上册《一元二次方程根与系数关系》优质教学课件
4.方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（ ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定
练习
5.已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=
，m+n=
．
6.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ） A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
2．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（ ）
A．无解
B．有两正根
C．有两负根
D．有一正根及一负根
3．一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（ ） A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
4．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．
ax2 的 b根x 的c 判0别(a式 0，) 设
，则
=b2 4ac
（1）当 ＞时0，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当 =时0，原方程有两个相等的实数根；
（3）当 ＜时0，原方程没有实数根.
知识点框架
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
概念：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么
x1， x2
b a
此定理又叫做韦达定理． 注意：不是一般式的要先化成一般式在使用时，注意“ x1 ”x不2 要 ba漏写“-”号；
几种常见的求值：
1.
练习
5.已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=
，m+n=
．
6.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ） A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
2．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（ ）
A．无解
B．有两正根
C．有两负根
D．有一正根及一负根
3．一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（ ） A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1
4．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．
ax2 的 b根x 的c 判0别(a式 0，) 设
，则
=b2 4ac
（1）当 ＞时0，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当 =时0，原方程有两个相等的实数根；
（3）当 ＜时0，原方程没有实数根.
知识点框架
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
概念：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么
x1， x2
b a
此定理又叫做韦达定理． 注意：不是一般式的要先化成一般式在使用时，注意“ x1 ”x不2 要 ba漏写“-”号；
几种常见的求值：
1.
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》PPT
x1 x2 x1x2
22
练习4、求一元二次方程，使它的两个根是
3
1 3
,
2
1 2
解：所求方程是
x2 (3 1 2 1)x (3 1) (2 1) 0
32
32
即
x2 5 x 25 0
63
或 6x2 5x 50 0
小结
本节通过探索得出一元二次方程的解与系数
存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些
5
答：方程的另一个根是
3 5
，k的值是
7 。
想一想，还有其他方法吗？
（把 x 2 代入方程的两边，求出k）
练习2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2 2 2x10
(
x 1
21, x2
21)
(2)2x2 3x80
( x1 7 73 , x2 5 73 )
4
4
练习3、不解方程，求一元二次方程两个
引入问题
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发 现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0
（1）x2－2x＝0
0
2
2
0
（2）x2＋3x－4＝0
1
-4
-3
-4
（3）x2－5x＋6＝0
2
3
5
6
观察上面的表格，你发现了什么？
c a
例1、不解方程，求方程两根的和 两根的积：
① x2 3x 1 0 ② 2x2 4x 1 0
解：①
x1 x2 3 x1 x2 1
②
x1 x2 2
x1
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)
x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2