第三部分 晶格振动
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
第三章材 晶格振动与热学性质
（3-7）
x2 n 1 A e x2 n 2
i[ q ( 2 n 2 ) a t ] Be
i[ q ( 2 n 1) a t ]
（3-8）
将式（3-8）代入式（3-7），得
m 2 A (e iqn e iqa ) B 2 A 2 iqn iqa M B (e e ) A 2 B
格波的波长 = 2/q。若令n代表沿格波传播方向的单 2 位矢量，则q = n ，这就是格波的波矢。 波速（相速） p / q 。 将式（3-4）代入到运动方程组式（3-3）中，可得
2 [1 cos(qa)] m
2
（3 -5）
2
qa sin m 2
二、一维双原子复式晶格的振动
对于由两个不同原子组成的一维双原子链，设相邻同 种原子间的距离为2 a（2a 是这种复式格子的晶格常 数），如图3-4所示，质量为 m 的原子位于…2 n－1， 2n＋1，2n＋3…各点；质量为M的原子位于…2n－2， 2n，2n＋2…各点。
类似于方程（3-3）得到
（3-1）
其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为
其中首项为常数，次项为零（因为在平衡时势能取极 小值）。当 很小，即振动很微弱时，势能展开式中 可只保留到2项，则恢复力为 d 2U dU （3-2） 2 dr d a 这叫做简谐近似。上式中的 称为恢复力常数，在简谐 近似下，认为当原子离开其平衡位置发生位移时它受 到的相邻原子作用力（恢复力）与该原子的位移成正 比。如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受 到的总作用力是 ( xn1 xn ) ( xn xn1 ) ( xn1 xn1 2 xn )
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM
第3章 晶格振动与晶体热学性
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2
m
sin(
qa ) 2
第三章 晶格振动与晶体热学性质1
第三章晶体热振动与晶体的热学性质3.1一维单原子链3.1.1一维原子间相互作用势图 3-1-1 一维单原子晶格考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图 3-1-1 所示，相邻原子间的平衡距离为 a ，第j 原子的平衡位置用x0j来表示，它偏离平衡位置的位移用u j来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：(3-1-1)原子间的相互作用势能设为，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：(3-1-2)式中是i 、j 原子的相对距离，是i ，j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将展开为：(3-1-3)于是有：(3-1-4)式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用U 0来表示，是U 的极小值，(3-1-5)第二项是的线性项，它的系数为：，是所有其它原子作用在i原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（ 3-1-4 ）中不存在位移的线性项。
因此，(3-1-6)式中：(3-1-7)称为力常数。
.3.1.2 简谐近似下运动方程若在U 的展开式中，忽略u 的高次项而仅保留到u 的平方项，即有(3-1-8)这种近似称为简谐近似。
由此可以得出第n 原子的运动方程式为：(3-1-9)式中m 为原子的质量，如果只考虑最近邻的相互作用，在上式中只保留i=n+ 1 和i = n -1 两项，且令，则可得到形式上很简单的运动方程式：(3-1-10)3.1.3 周期性边界条件对于无限大的晶体，每个原子都有形如式（ 3-1-10 ）的运动方程，但实际上晶体是有限大的，处在表面上（对一维晶格来说是两端上）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂。
为解决这一问题，需要引入边界条件，常用的边界条件是所谓的周期性边界条件，是玻恩 - 卡曼提出的，又称为玻恩 - 卡曼边界条件。
第三章晶格振动和晶体的热学性质在...
晶格振动和晶体的热学性质
在前面的讨论中，我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动，实际晶 体中的粒子并非如此，而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波。 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动。 晶格振动是固体中原子的热运动，是对晶体热能的主要贡献。因此，晶体的热学性 质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离，可视为一种动态缺陷，因此会对在晶体中运动的其它粒子，如电子和光子 产生影响，而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。
（3.15）
式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动
x2 n+1 = Aei[ωt −q ( 2 n+1) a ] x2 n+2 = Bei[ωt −q ( zn+2) a ]
（3.16）
由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15） ，可以得到
5
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 图 3-3 一维双原子链 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 ，我们得到如下运动方程: 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4）
m
d 2 x2 n+1 = β ( x2 n+ 2 + x2 n − 2 x2 n+1 ) dt 2 d 2 x2 n + 2 M = β ( x2 n+3 + x2 n+1 − 2 x2 n+ 2 ) dt 2
固体物理学：第三章 晶格振动和晶体的热学性质2
可以写为
第1式取复共轭得
因为位移为实数，所以
Q * (q) Q(q)
1 N
当
e
n 0
N 1
ina ( q q )
当q=q’时，每一项等于1，共有N项，显然成立。
q q
1 N
isna e n 0 iNa N 1
q q s, q h 2 Na
j 1
3N
引入简正坐标的目的是使系统的势能函数和动能函数都 具有简单的形式，即化为平方项之和，而无交叉项。
2 1 T Qi 2 j 1 2 2 1 V i Qi 2 j 1 3N 3N
拉格朗日函数为 定义正则动量为
L T V L Pi Q i Qi
3.2 简正振动
声子
上面讨论的方法对于进一步的理论分析并不适用，如固 体比热问题，晶格散射问题。本节采用分析力学的方法处 理晶格振动问题。
基本方法：写出晶格的动能和势能，利用正则方程建立 一组新的方程。
特点：可以直接过渡到量子理论。
如果晶体包含N个原子，平衡位置分别为Rn，偏离 平衡位置的位移为μ，把位移矢量用分量表示，N个 原子的位移矢量共有3N个分量，
1 ( 2 2 2Q 2 ) (Q ) (Q ) i i i i i 2 2 Qi i 1,2,,3N
Байду номын сангаас 本征值
i ( n 1 ) i
2
本征态为
ni (Qi ) exp(
2
2
) H ni ( )
其中
Qi
1 E i (ni )i 2 i 1 i 1
写出哈密顿量
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第三部分 晶格振动
1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？
牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。
2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？
采用了近邻近似和简谐近似。
3. 什幺是近邻近似和简谐近似？
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；
简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？
晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数，
在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期
边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨
论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信
息。
5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度vp等于什幺？
=4212mqasin vp=q
6. 一维格波波矢q的的取值范围是什幺？q在第一B、Z内取值数是多少？
q的取值范围：为保证唯一性，g在第一B.Z内取值，即－aqa
q在第一B.Z内取值数为N（初基元胞数）。
7． 一维格波波矢q有哪些特点？
q不连续（准连续）；均匀分布；密度NaL22
8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？
2121222
12
1
212＝＋mmqa(cos)
9. 在三维晶体中，格波独立的q 点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分
别等于多少？
独立的q 点数＝晶体的初基元胞数N；
格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS个；
格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1)
支光学波。
10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？
定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，
光学波描述了元胞内原子的相对运动。
描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。
11. 格波模式密度g()的定义是什幺，g()是如何表示的？
模式密度g()的定义：单位频率间隔的格波数。
g=gii i为格波支号；
对每支格波
)()2(3q
ds
V
g
i
q
i
面等
12.在一般情况下，求解格波模式密度g()的困难是什幺？
在一般情况下，求解格波模式密度g()的困难往往是并不知道色散关系iq()，
所以无法求出iq()的梯度，另外若等ω面的形状不规则，它的积分也不好求出。
13. 晶格振动的色散曲线有哪些对称性？
(1) iq()=inqG()
(2) iq()=()q
(3) 还具有与晶体结构相同的对称性。
14. 讨论晶格振动的系统能量时为什幺要引入简正坐标Qq(t)？
为了消去交叉项，便于数学处理和看出物理意义(简谐格波间相互独立)。
15. 讨论晶格振动时，进行了量子力学修正，引入了量子谐振子的能量表示，在此过程中，
把什幺能量表示为谐振子的能量？
把一个格波的能量表示为一个量子谐振子能量，而不是把任一个原子的振动能量表
示为一个谐振子能量。
16. 什么叫声子？声子是量子谐振子的能量量子
17. 讨论晶格振动时的量子力学修正体现在什幺地方？
体现在把谐振子能量用量子谐振子能量表示。并不是体现在引入格波，格波用谐
振子等效，q不连续等方面。
18． 声子有哪些性质？
(1) 声子是量子谐振子的能量量子；
(2) 3NS格波与3NS个量子谐振振子一一对应；
(3) 声子为玻色子；
(4) 平衡态时声子是非定域的；
(5) 声子是准粒子 遵循能量守恒 321
准动量选择定则 )(321hGqqq
(6) 非热平衡态，声子扩散伴随着热量传导；
(7) 平均声子数
11kTwe
n＝
19.什么是晶格振动的Einsten模型和Debye模型？
Einsten模型：设晶体中所有原子独立地以相同频率E振动。
Debye模型： 设晶体为各向同性连续弹性媒质,晶体中只有3支声学波。
20. 解释二模型与实验结果比较的原因。（重点）
分别讨论在高温、低温条件下实验结果和两个模型计算结果的异同，参见教材相应章节。
21. 有人定性地认为，德拜温度D是经典概念与量子概念解释比热的分界线，你的看法如
何？
德拜频率 D── g()的最高频率；
爱因斯坦频率 E────g( )中最可几频率；
德拜温度D与德拜频率D相对应。D成为经典概念与量子概念解释比热的分界线 ，
是因为经典理论认为：谐振子能量按自由度均分──即认为所有波格均激发，而当TD时，
出现格波冻结，按经典理论处理造成较大的误差，而当T＞D时，不出现格波冻结，按经典
理论处理造成的误差也就相对较小了。
22. 热膨胀系数v是如何表示的？
v=KVCv 式中 ：格林爱森系数； K：体弹性模量；
V：晶体体积 ； Cv：晶体的热容
23. 热传导系数（热导率〕是如何表示的？
=13CvLv
式中：Cv:单位体积热容 ； v :声子平均速率；L：声子平均自由程。
24. 什幺叫N过程和U过程？
以三声子过程为例： 321 )(321hGqqq
Gh=0──N过程 G
h
0──U过程
25. 为什幺说光学支一般对热导贡献小？
因为： (1)温度不太高时(TD)光学支先冻结，对Cv贡献小
(2) 光学支v小，v 的物理意义是声子运动的平均速率，而声子的运动携带着能
量的传播，因此v的意义应与能量传播的速度相对应，能速vg=ddq, 光学支色
散曲线～q平坦，vg较小，即v较小。
(3) 光学支小的q大，易于发生U过程，而U过程将造成热阻。
26. 有人说，热容Cv是声子密度的度量，你的看法如何？
由热膨胀系数v.热导率的表示式可知 v cv cv，而由v、的物理意义
可知，v、均应与声子密度相关，考察v、的表示式，只有认为Cv表示声子
的密度，所以在相同温度下，认为热容Cv是晶体中声子密度的度量是可以的。
27. 为什幺说“晶格振动”理论是半经典理论？
首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来
表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振
子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。
28．简述晶格振动理论中简谐近似的成功之处和局限性。
答：成果地得出格波（声学格波、光学格波）及其相应的色散曲线，引入了声子，并
成果地解释了热容。其局限性主要表现为不能解释热膨胀、热传导等现象。
29. 什么是声子的准动量？为什么称它们是“准”动量，而不直接称为动量？
答：声子是准粒子，1q是声子的准动量。 准动量1q具有动量的量纲，但声子间相互
作用满足准动量选择定则)(321hGqqq 其中Gh是晶体的任意倒格矢。
30． 为了制备室温附近高导热材料，应选德拜温度θD高的材料还是θD低的材料？
答：应选θD高的材料。因为在同样的温度下，在θD高的材料中激发的格波多，即激
发的声子多。
31．晶格振动中的力常数是否影响材料的低温热导率λ？要提高热导率λ，是选较
大的材料还是选较小的材料？
答：思路主要是多激发波矢模|q|小的声学波。仔细分析声学波的色散曲线可知。 若
1
1l ，对具有l1
的材料，波矢的模q较小的格波较多，不易出现U过程， 利于提高
热导率λ。以上讨论为我们制备该种材料提供了思路。
32. 在一维双原子链中存在光学支和声学支之间的“带隙”。若需要增大该“带隙”的宽
度，可采取哪些措施？
答：若原子的质量均为m,原子间的力常数分别为1，2，则“带隙”的宽度
w=212)2(m—211)2(m
若原子的质量分别为m1,m2,原子间的力常数均为，则“带隙”的宽度
w=212)2(m—211)2(m
33．
晶格振动中的光学波和声学波之间可以存在“带隙”，晶体对频率处于该带
隙的格波、电磁波是“透明”的吗？
答：
晶体对频率处于该带隙的格波不是“透明”的，因为晶体中不能存在该带
隙的频率，即该频率的格波不能通过该晶体。
晶体对频率处于该带隙的电磁波可以是透明的，因为对格波是带隙，对电磁
波并不一定是带隙，对该频率的电磁波至少还没有理由证明它不能在该样品中传
输。