第三部分 晶格振动
第三部分 晶格振动
1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？
牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。
2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？
采用了近邻近似和简谐近似。
3. 什幺是近邻近似和简谐近似？
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；
简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？
晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数， 在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期 边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨 论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信 息。
5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度v p 等于什幺？
ω=421
2βm qa ⎛⎝ ⎫⎭⎪sin v p =ωq 6. 一维格波波矢q 的的取值范围是什幺？q 在第一B 、Z 内取值数是多少？
q 的取值范围：为保证唯一性，g 在第一B.Z 内取值，即－
ππa q a 〈≤ q 在第一B.Z 内取值数为N （初基元胞数）。
7． 一维格波波矢q 有哪些特点？
q 不连续（准连续）；均匀分布；密度
Na L 22ππ= 8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？
ωββββββ212
1222121212＝＋m m
qa ±++(cos ) 9. 在三维晶体中，格波独立的q →
点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分 别等于多少？
独立的q →
点数＝晶体的初基元胞数N ；
格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS 个；
格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1) 支光学波。
10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？
定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，
光学波描述了元胞内原子的相对运动。
描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。
11. 格波模式密度g(ω)的定义是什幺，g(ω)是如何表示的？
模式密度g(ω)的定义：单位频率间隔的格波数。
g=g
i i ∑ i 为格波支号；
对每支格波
→→∇=⎰)()2(3
q ds V
g i q i ωπωω面等
12.在一般情况下，求解格波模式密度g(ω)的困难是什幺？
在一般情况下，求解格波模式密度g(ω)的困难往往是并不知道色散关系ωi q ()→， 所以无法求出ωi q ()→的梯度，另外若等ω面的形状不规则，它的积分也不好求出。
13. 晶格振动的色散曲线有哪些对称性？
(1)
ωi q ()→=ωi n q G ()→→
+ (2) ωi q ()→=ω()-→q (3) 还具有与晶体结构相同的对称性。
14. 讨论晶格振动的系统能量时为什幺要引入简正坐标Q q (t)？
为了消去交叉项，便于数学处理和看出物理意义(简谐格波间相互独立)。
15. 讨论晶格振动时，进行了量子力学修正，引入了量子谐振子的能量表示，在此过程中，
把什幺能量表示为谐振子的能量？
把一个格波的能量表示为一个量子谐振子能量，而不是把任一个原子的振动能量表 示为一个谐振子能量。
16. 什么叫声子？声子是量子谐振子的能量量子
17. 讨论晶格振动时的量子力学修正体现在什幺地方？
体现在把谐振子能量用量子谐振子能量表示。并不是体现在引入格波，格波用谐 振子等效，q →
不连续等方面。
18． 声子有哪些性质？
(1) 声子是量子谐振子的能量量子；
(2) 3NS 格波与3NS 个量子谐振振子一一对应；
(3) 声子为玻色子；
(4) 平衡态时声子是非定域的；
(5) 声子是准粒子 遵循能量守恒 321ωωω =+
准动量选择定则 (321h G q q q +=+
(6) 非热平衡态，声子扩散伴随着热量传导； ω
(7) 平均声子数
11
-kT w e n ＝
19.什么是晶格振动的Einsten 模型和Debye 模型？
Einsten 模型：设晶体中所有原子独立地以相同频率ωE 振动。
Debye 模型： 设晶体为各向同性连续弹性媒质,晶体中只有3支声学波。
20. 解释二模型与实验结果比较的原因。（重点）
分别讨论在高温、低温条件下实验结果和两个模型计算结果的异同，参见教材相应章节。
21. 有人定性地认为，德拜温度θD 是经典概念与量子概念解释比热的分界线，你的看法如 何？
德拜频率 ωD ── g(ω)的最高频率；
爱因斯坦频率 ωE ────g( ω)中最可几频率；
德拜温度θD 与德拜频率ωD 相对应。θD 成为经典概念与量子概念解释比热的分界线 ， 是因为经典理论认为：谐振子能量按自由度均分──即认为所有波格均激发，而当T <θD 时，出现格波冻结，按经典理论处理造成较大的误差，而当T ＞θD 时，不出现格波冻结，按经典理论处理造成的误差也就相对较小了。
22. 热膨胀系数αv 是如何表示的？
αv =γ
KV C v 式中 γ：格林爱森系数； K ：体弹性模量；
V ：晶体体积 ； C v ：晶体的热容
23. 热传导系数（热导率〕λ是如何表示的？
λ=13C vL v
式中：C v :单位体积热容 ； v :声子平均速率；L ：声子平均自由程。
24. 什幺叫N 过程和U 过程？
以三声子过程为例： 321ωωω =+ →→→→+=+)(321h G q q q
G h →=0──N 过程 G h →≠0──U 过程
25. 为什幺说光学支一般对热导贡献小？
因为： (1)温度不太高时(T <θD )光学支先冻结，对C v 贡献小
(2) 光学支v 小，v 的物理意义是声子运动的平均速率，而声子的运动携带着能
量的传播，因此v 的意义应与能量传播的速度相对应，能速v g =d dq
ω
, 光学支色散曲线ω～q 平坦，v g 较小，即v 较小。
(3) 光学支ω小的|q |大，易于发生U 过程，而U 过程将造成热阻。
26. 有人说，热容C v 是声子密度的度量，你的看法如何？
由热膨胀系数αv .热导率λ的表示式可知 αv ∝ c v λ ∝ c v ，而由αv 、λ的物理意义
可知，αv 、λ均应与声子密度相关，考察αv 、λ的表示式，只有认为Cv 表示声子 的密度，所以在相同温度下，认为热容C v 是晶体中声子密度的度量是可以的。
27. 为什幺说“晶格振动”理论是半经典理论？
首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来 表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振 子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。
28．简述晶格振动理论中简谐近似的成功之处和局限性。
答：成果地得出格波（声学格波、光学格波）及其相应的色散曲线，引入了声子，并成果地解释了热容。其局限性主要表现为不能解释热膨胀、热传导等现象。
29. 什么是声子的准动量？为什么称它们是“准”动量，而不直接称为动量？ 答：声子是准粒子，1q 是声子的准动量。 准动量1q 具有动量的量纲，但声子间相互作用满足准动量选择定则(321h G q q q +=+ 其中G h 是晶体的任意倒格矢。
30． 为了制备室温附近高导热材料，应选德拜温度θD 高的材料还是θD 低的材料？
答：应选θD 高的材料。因为在同样的温度下，在θD 高的材料中激发的格波多，即激发的声子多。
31．晶格振动中的力常数β是否影响材料的低温热导率λ？要提高热导率λ，是选β较大的材料还是选β较小的材料？
答：思路主要是多激发波矢模|q|小的声学波。仔细分析声学波的色散曲线可知。 若11ββ〉l ，对具有l 1β的材料，波矢的模q 较小的格波较多，不易出现U 过程， 利于提高热导率λ。以上讨论为我们制备该种材料提供了思路。
32. 在一维双原子链中存在光学支和声学支之间的“带隙”。若需要增大该“带隙”的宽度，可采取哪些措施？
答：若原子的质量均为m,原子间的力常数分别为1β，2β，则“带隙”的宽度 w=212)2(m β—21
1)2(m
β 若原子的质量分别为m 1,m 2,原子间的力常数均为β，则“带隙”的宽度 w=212)2(m β—211)2(m β
33．晶格振动中的光学波和声学波之间可以存在“带隙”，晶体对频率处于该带隙的格波、电磁波是“透明”的吗？
答：晶体对频率处于该带隙的格波不是“透明”的，因为晶体中不能存在该带
隙的频率，即该频率的格波不能通过该晶体。
晶体对频率处于该带隙的电磁波可以是透明的，因为对格波是带隙，对电磁波并不一定是带隙，对该频率的电磁波至少还没有理由证明它不能在该样品中传输。
《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质 3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比 (1) 其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于 =， 则由(4)(5)两式可得,1 B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程. 由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. （2）与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不 符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。 解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3） 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5） 频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
材料物理导论总结
第一章：材料的力学 形变：材料在外力作用下发生形状和尺寸的变化,称为形变 力学性能机械性能：材料承受外力作用,抵抗形变的能力及其破坏规律,称为材料的力学性能或机械性能 应力：材料单位面积上所受的附加内力称应力. 法向应力应该大小相等,正负号相同,同一平面上的两个剪切应力互相垂直.法向应力导致材料的伸长或缩短,剪切应力引起材料的切向畸变. 应变：用来表征材料受力时内部各质点之间的相对位移.对于各向同性材料,有三种基本的应变类型.拉伸应变,剪切应变,压缩应变. 拉伸应变：材料受到垂直于截面积的大小相等,方向相反并作用在同一直线上的两个拉伸应力时材料发生的形变. 剪切应变：材料受到平行于截面积的大小相等,方向相反的两剪切应力时发生的形变. 压缩应变：材料周围受到均匀应力P时,体积从起始时的V0变化为V1的形变. 弹性模量：是材料发生单位应变时的应力,表征材料抵抗形变能力的大小,E越大,越不易变形,表征材料的刚度越大.是原子间结合强度的标志之一. 黏性形变：是指黏性物体在剪切应力作用下发生不可逆的流动形变,该形变随时间的增大而增大.剪切应力小时,黏度与应力无关,随温度的上升而下降. 牛顿流体：服从牛顿黏性定律的物体称为牛顿流体.在足够大的剪切应力下或温度足够高时,无机材料中的陶瓷晶界,玻璃和高分子材料的非晶部分均会产声黏性形变,因此高温下的氧化物流体,低分子溶液或高分子稀溶液大多属于牛顿流体,而高分子浓溶液或高分子熔体不符合牛顿黏性定律,为非牛顿流体. 塑性：材料在外应力去除后仍能保持部分应变的特性称为塑性. 晶体塑性形变两种类型：滑移和孪晶. 延展性：材料发生塑性形变而不断裂的能力称为延展性. μ泊松比,定义为在拉伸试验中,材料横向单位面积的减少与纵向单位长度的增加率之比. 滑移是指在剪切应力作用下晶体的一部分相对于另一部分发生平移滑动,在显微镜下可观察到晶体表面出现宏观条纹,并构成滑移带.滑移一般发生在原子密度大和晶向指数小的晶面和晶向上.材料的滑移系统往往不止一个,滑移系统越多,则发生滑移的可能性越大. 实际晶体材料的滑移是位错缺陷在滑移面上沿滑移方向运动的结果：位错运动所需的剪切应力比使晶体两部分整体相互滑移所需的应力小的多. 蠕变：蠕变是在恒定的应力作用下材料的应变随时间增加而逐渐增大的现象.影响因素：温度、应力、组分、晶体键型、气孔、晶粒大小、玻璃相等. 无机材料的蠕变理论：位错蠕变理论,扩散蠕变理论,晶界蠕变理论. 黏弹性：材料形变介于理想弹性固体和理想黏性液体之间,既具有固体的弹性又有液体的黏性,称为黏弹性.时温等效原理 力学松弛现象有蠕变,应力松弛静态力学松弛,滞后和力损耗动态力学松弛 晶界：是结构相同而取向不同晶体之间的界面. 高分子材料的力损耗与温度和频率的关系：1.高分子材料在玻璃化温度Tg以下受到应
固体物理第三章
1对一维简单格子晶体，其晶格振动仅存在(声学)波，而一维复式晶体振动既有(声学)波，又有(光学)波 2在一维单原子链的晶格振动中，有（1）支声学波、（0）支光学波。 3声子是（晶格振动的能量量子化），其能量和准动量分别为 （）。 4晶格振动的能量量子称为( 声子)。 5对于三维包含有N个原胞的某晶体，每个晶体中含n 个原子，则其格波数为（3Nn），其中光学波支数为（（3n-3）N），声学支数为（3N）。 6长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波 7温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ 8对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答]设温度TH〉TL，由于（e?ω/kBTH，所以对同一个振动模式，温度?1）大于（e?ω/kBTL?1）高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 9晶体中声子数目是否守恒？ 频率为ω1的格波的(平均) 声子数为即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守恒，它是温度的变量。 10晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？
11考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c，令两种原子的质量相等，并且最近邻的间距是a/2，试求k=0和k=π/a处的ω(k)，并粗略画出色散关系。本题模拟双原子分子晶体，如H2等。
晶格振动、金属电子论、能带理论三个地方都用到了周期性边界条件
1.固体物理教材在晶格振动、金属电子论、能带理论三个地方都用到了周期性边界条件，试比较其异同并阐述你的理解。 周期性边界条件是边界条件的一种，反映的是如何利用边界条件替代所选部分（系统）受到周边（环境）的影响。可以看作是如果去掉周边环境，保持该系统不变应该附加的条件，也可以看作是由部分的性质来推广表达全局的性质。 周期性边界条件的引入有两个目的：在粒子的运动过程中，若有一个或几个粒子跑出模型，则必有一个或几个粒子从相反的界面回到模型中，从而保证该模拟系统的粒子数恒定；计算原子间作用力的时候采取最近镜像方法，这样模型中处于边界处的原子受力就比较全面，从而消除了边界效应。这种方法在计算机分子动力学模拟中使用非常广泛。 由此，在讨论晶格振动、金属电子论、能带理论的周期性边界条件时只是在不同的范围中周期性边界条件具体的定义、应用以及意义。 晶格振动的周期性边界条件：由N个原子组成一个模型——原子数目有限，但各原子完全等价。第j个原子的运动与第mN+j个原子的运动情况完全一样。对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无时无刻不在运动，对于有N个原子原子链，硬性设定u1=0，uN=0的边界条件是不符合事实的。其实不论什么边界条件都与事实不符合，但为了求近似解，必须选取一个边界条件，晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证，周期性边界条件是晶格振动理论的前提条件。 金属电子论的周期性边界条：.金属中自由电子气应该服从量子力学规律，在保留独立电子近似和自由电子近似基础上应通过求解薛定愕方程给出电子本征态和本征能量，从而来解释金属性质。我们把自由电子气等效为在温度T＝ 0K，V＝L的立方体内运动的N个自由电子。独立电子近似使我们可以把N个电子问题转换为单电子问题处理。要计算一系列想关函数都与波矢k有关。波矢k 的取值要由边界条件决定，边界条件的选取既要反映出电子是在有限体积中运动的特点，又要在数学上便于操作，因此，类似于晶格振动是的情况，周期性边界条件（Born-Karman边界条件）是人们通常采用的最适合的方法。
固体物理知识点总结
晶格（定义）：理想晶体具有长程有序性，在理想情况下，晶体是由全同的原子团在空间无限重复排列而构成的。晶体中原子排列的具体形式称之为晶格，原子、原子间距不同，但有相同排列规则，这些原子构成的晶体具有相同的晶格；由等同点系所抽象出来的一系列在空间中周期排列的几何点的集合体空间点阵；晶格是属于排列方式范畴，而空间点阵是属于晶格周期性几何抽象出来的东西。 晶面指数： 晶格所有的格点应该在一簇相互平行等距的平面，这些平面称之为晶面。将一晶面族中不经过原点的任一晶面在基矢轴上的截距分别是u、v、w，其倒数比的互质的整数比就是表示晶面方向的晶面指数，一般说来，晶面指数简单的晶面，面间距大，容易解理。Miller指数标定方法：1）找出晶面系中任一晶面在轴矢上的截距；2）截距取倒数；3）化为互质整数，表示为（h,k,l）。注意：化互质整数时，所乘的因子的正、负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶向。 晶向指数： 从该晶列通过轴矢坐标系原点的直线上任取一格点，把该格点指数化为互质整数，称为晶向指数，表示为[h,k,l]。要弄清几种典型晶体结构中（体心、面心和简单立方）特殊的晶向。 配位数： 在晶体学中，晶体原子配位数就是一个原子周围最近邻原子的数目，是用以描写晶体中粒子排列的紧密程度物理量。将组成晶体的原子看成钢球，原子之间通过一定的结构结合在一起，形成晶格；所谓堆积比就是组成晶体的原子所占体积与整个晶体结构的体积之比，也是表征晶体排列紧密程度的物理量。密堆积结构的堆积比最大。 布拉格定律： 假设：入射波从晶体中平行平面作镜面反射，每一各平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子，反射角等于入射角，来自平行平面的反射发生干涉形成衍射束。（公式）。其中：n为整数，称为反射级数；θ为入射线或反射线与反射面的夹角，称为掠射角，由于它等于入射线与衍射线夹角的一半，故又称为半衍射角，把2θ称为衍射角。当间距为d的平行晶面，入射线在相邻平行晶面反射的射线行程差为2dsinθ，当行程差等于波长的整数倍时，来自相继平行平面的辐射就发生相长干涉，根据图示，干涉加强的条件是：，这就是所谓布拉格定律，布拉格定律成立的条件是波长λ≤2d。 布拉格定律和X射线衍射产生条件之间的等价性证明 假设：若X射线光子弹性散射，光子能量守恒，出射束频率：入射束频率： 2dSinθ = nλ Hω ω'= ck' ω = ck因此，有散射前后波矢大小相等k’=k 和k’2=k2根据X射线衍射产生条件得到（k’-k）=G 及k+G=k’两个等式；第二个式子两边平方并化简得到：2k.G+G2=0;将G用-G替换得到2k.G＝G2也成立；因此得到了四个等价式子：；k+G=k’；2k.G+G2=0;以及2k.G＝G2上面说明了X衍射产生条件的四个表达式等价性；下面就进一步证明布拉格定律与X射线衍射产生条件等价：证明：由 可以推出: 即可以得到即： 即：，命题得证 布里渊区定义 为维格纳-赛茨原胞（Wigner-Seitz Cell）。任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面体称第一B.Z，它即为倒易间的Wigner-Seitz元胞，其“体积”为Ω※＝b1·(b2×b3)布里渊区边界上波矢应该满足的方程形式为（公式）因此，布里渊区实际上包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢k。 范德华耳斯－伦敦相互作用 答：对于组成晶体的原子，尤其是惰性气体原子，由于原子电子云是瞬间变化的，因此各个原子电子云间存在互感偶极矩，这种互感偶极矩将原子之间联系在一起形成晶体。也就是通过互感偶极矩作用即耦合作
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移 为，μ= a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj) j j （1） μ2 n = ? ? ? ∑ μ j nj ? ? ? ? ? ? ∑ μ j * nj ? ? ? = ∑ μ j 2 nj + ∑ μ μnj*nj′ j j′ 由于μ μnj?nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项 μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2= ∑ μ 2 nj n j 由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j a j sin( t naq j j j)dt a =j （2） T 0 2 已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为 1 L T ? 1 ? d μ?2 ?ρw a2 T 1 = ∫ ∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w La nj T 0 0 0 ? 2 ?dt??2T 0 j j j j 4 j j 其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。 1221 所以T nj = ρ w La j j=KT（3） 4 2 μKT 因此将此式代入（2）式有 nj 2 = ρ ωL 2 j
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质 ● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动 ● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容 ● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立） 晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系） ● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动 原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链 原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设 ● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动 ● 简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时： 简谐近似：势能展开式保留到二次项 微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。 晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。 任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。 n n x x -=+1δδ+=a x ()()???+???? ??+??? ??+=+=222 21 )(δδδa a x d U d x d U d a U a U x U
把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.
群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。 4.2 一维双原子链的振动 q趋于0时，w也趋于零，称为声学波
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质 3-1 一维晶格的振动 一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。 用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。 (2)振动方程和解 平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =- )(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ， t 时刻为)()(0r r u r u δ+= )()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332 220)(d d 61)(d d 21d d )(000 r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33322200 00 d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力: ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2 33220 0d d 21d d d d nk r nk r nk x r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。 (忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。) 得: nk nk r nk x x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 0 22d d r r u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β
第三部分 晶格振动
第三部分 晶格振动 1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？ 牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。 2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？ 采用了近邻近似和简谐近似。 3. 什幺是近邻近似和简谐近似？ 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。 4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？ 晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数， 在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期 边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨 论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信 息。 5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度v p 等于什幺？ ω=421 2βm qa ⎛⎝ ⎫⎭⎪sin v p =ωq 6. 一维格波波矢q 的的取值范围是什幺？q 在第一B 、Z 内取值数是多少？ q 的取值范围：为保证唯一性，g 在第一B.Z 内取值，即－ ππa q a 〈≤ q 在第一B.Z 内取值数为N （初基元胞数）。 7． 一维格波波矢q 有哪些特点？ q 不连续（准连续）；均匀分布；密度 Na L 22ππ= 8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？ ωββββββ212 1222121212＝＋m m qa ±++(cos ) 9. 在三维晶体中，格波独立的q → 点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分 别等于多少？ 独立的q → 点数＝晶体的初基元胞数N ； 格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS 个； 格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1) 支光学波。 10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？ 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动， 光学波描述了元胞内原子的相对运动。 描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 11. 格波模式密度g(ω)的定义是什幺，g(ω)是如何表示的？ 模式密度g(ω)的定义：单位频率间隔的格波数。
固体物理知识概要
第一章 （2）体心立方（body- centered cubic，bcc）:原胞基矢 每个晶胞有2个等效格点。常见金属：碱金属晶体，过渡金属晶体，Cr ,Mo, W. 体心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/2 最近邻原子数：8个 （3）面心立方（face-centered cubic，fcc) 原胞基矢 每个晶胞有4个等效格点。常见金属：贵金属Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。 面心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/4 最近邻原子数：12个 7大晶系，14种布拉菲格子，32种宏观对称操作。 密堆积配位数 配位数：一个原子周围最近邻的粒子数。 致密度：晶胞中粒子所占的体积与晶胞体积之比。比值越大，堆积越密。 粒子被看作为有一定半径的刚性小球。最近邻的小球互相相切。两球心间的距离等于两最近邻粒子间的距离。 1.同种粒子构成的晶体 原子半径相同，刚球半径也相同。一般采用密堆积。配位数为12、8。 2. 不同粒子组成的晶体 （1）氯化铯（CsCl） Cs+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则 r = 0.73R 配位数为8。 （2）氯化钠（NaCl）， Na+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则 r = 0.41R 配位数为6。 晶列、晶面、密勒指数； 晶向：晶格可看成是在任意方向上由无穷多的平行直线组成的，所有的格点都落在这些直线上。每 一条这样的直线称为晶格的一个晶列。晶列的方向称为晶格的晶向。 晶向的表示：晶向指数 [ l1l2l3 ]：任取一个格点作为原点O。作晶胞基矢a、b、c，考虑某晶列 上的一个格点P，该格点的位矢为：l1a1+ l2a2+ l3a2且l1 l2 l3 为三个互质整数。则该晶向指数为 [ l1 l2 l3 ]。 晶面：晶格可在任意方向上分割成无穷多的平行平面组成，使得所有的格点都落在这些平面上。所 有互相平行的平面构成一族，称为晶格的晶面。 晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面与它们的截距分别为 l'a、m'b、n'c 若有互质整数 l、m、n 使（lmn）称为晶体的密勒指数（Miller indices）。若某晶面指数为负数，则在此数上面加一横杠。 若取原胞基矢，则互质整数（h1 h2 h3 ）称为晶面指数。 右图晶面描述晶面密勒指数为：（263）倒格子 取原胞基矢a1、a2、a3，定义三个新矢量b1、b2、b3，满足：Ωd为原胞的体积。 b1、b2、b3 称为晶体的倒格子基矢。相对地， a1、a2、a3 称为晶体的正格子基矢。 b1、b2、b3 互相独立，可构成一新的矢量空间，称倒格子空间。
双曲形的晶格振动模式
双曲形的晶格振动模式 1.引言 1.1 概述 概述部分的内容应该对文章的主题进行简要介绍，使读者对双曲形的晶格振动模式有一个初步的了解。可以根据以下内容来编写概述部分： 双曲形的晶格振动模式是固体物理中一个非常重要的研究领域，涉及到晶格结构和振动特性之间的关系。晶体中的原子或离子在位于其平衡位置附近的范围内不断发生振动，这种振动是由晶体中各个原子间的相互作用力引起的。而双曲形的晶格，则是指晶体中晶胞的结构呈现出双曲线形状的情况。 双曲形的晶格振动模式的研究对于理解固体的热传导、声学性质以及电子结构等方面具有重要意义。通过对双曲形晶格的分析，我们可以获得关于晶格结构、原子之间的相互作用以及材料的性质等方面的有价值的信息。对于材料科学领域的研究者来说，深入了解双曲形的晶格振动模式是进行材料设计、合成和应用的基础。 在本文中，我们将重点探讨双曲形的晶格振动模式。首先，我们将介绍双曲形晶格的基本概念和特征。然后，我们将详细讨论双曲形晶格的振动模式，包括其形式、性质和特点。最后，我们将总结本文的主要观点，
并探讨研究双曲形晶格振动模式的意义和应用前景。 通过对双曲形的晶格振动模式的深入研究，我们可以为材料科学和固体物理学的发展做出贡献，并为材料的设计和应用提供新的思路和方法。本文的研究可望为相关领域的科研工作提供一个有益的参考，推动固体物理学的进一步发展。 文章结构部分的内容可以按照以下方式来编写： 文章结构部分的目的是为读者提供一个概述文章组织的框架，使其更好地理解整篇文章的结构和内容安排。本文分为引言、正文和结论三个部分。 引言部分（Chapter 1）主要包括概述、文章结构和目的三个小节。 1.1 概述 在概述部分，将对双曲形的晶格振动模式进行简要介绍。可以从晶格振动的重要性和应用领域入手，引发读者对该主题的兴趣。描述晶格振动现象的基本概念和背景，以及双曲形晶格振动模式的研究背景和现状，为后文的内容做铺垫。 1.2 文章结构 本节将介绍整篇文章的结构安排。主要分为引言、正文和结论三个部
晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答 9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为 a/2，求在q=0,q= a π 处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m ____________________________________________________ →← →← 2 2 a a 解：已知 21 )cos 2(12122212 12 qa m m A ββββββω++- += (1) 21 )cos 2(12122212 12 0a m m ββββββω++- += (2) 由题意 2＝10 1＝10 代入（1）式 得 21 )cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21 )cos 20101(11qa m m +-ββ = []2 1)cos 20101(11qa m +-β 当q=0时 0)1111(0 2=-==m q A β ω 当q=a π时 m m a q A β β ωπ2)911(2 = -= = 把 2=10 1=10 代入（2）式 得 []2 1)cos 20101(1120qa m ++β ω＝ 当q=0时 m q βω220 2 == 时a q π±= m a q β ωπ 202 0= = 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)= 0－Aq 2 （A 0），求证光学波 频率分布函数(格波密度函数)为：g()= ∑ -=) 1(31 s i 24πV 2 321 )(0A i ωω- i ω≤0 g()=0 i ω>0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为
半导体物理要点总结
第一章半导体的能带理论 共价键：硅锗原子之间组合靠的是共价键结合，他们的晶格结构与碳原子组成的金刚石类似。四原子分别处于正四面体的顶角，任意顶角上的原子和中心原子各贡献一个价电子为两原子共有，共有的电子在两原子之间形成较大的电子云密度，通过他们对原子实的引力把两个原子结合在一起。 闪锌矿型结构：类似于金刚石的结构但是是由两种原子构成的，一个中心原子周围有4个不同种类的原子。因为原子呈现电正性或者电负性，有离子键的成分。 纤锌矿结构：离子性结合占优的话，就形成该结构。不具有四方对称性，取而代之是六方对称性。 共有化运动：原子的电子分列不同能级，也即是电子壳层。当原子互相接近形成晶体时，电子壳层互相交叠，电子可以转移到相邻原子上去，可以在整个晶体中移动，这种运动叫做电子的共有化运动。 能带：电子的能级在受到其他原子影响之后，就会出现分裂现象，这种分裂后产生n个很近的能级叫做能带。 禁带：分裂的每一个能带称为允带，允带之间则称为禁带。 单电子近似：晶体中某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场，以及其他大量电子的平均势场中运动，势场是周期性变化的，周期于晶格周期相同。电子在周期性势场中的运动特点和自由电子的运动十分相似。 导体、半导体、绝缘体的能带：导体是通过上层的不满带导电的。对于半导体和绝缘体，从上到下分别是空带、禁带、价带（满带），在外电场作用下并不导电，但是当外界条件（加热光照）发生变化时，满带中的少量电子可能被激发到空带当中，这些电子可以参与导电，同时满带变成部分占满，满带也会起导电作用。这种导电作用等效于把这些空的量子状态看作带正电荷的准粒子的导电作用，常称这些空的量子状态为空穴。绝缘体的禁带宽度很大，激发点很困难，而半导体相对容易，在常温下就有电子被激发到导带。 有效质量：在描述电子运动规律的方程中出现的是电子的有效质量mn*，而不是电子的惯性质量m0。这是因为其中f并非全部外力，其实电子还收到原子和其他电子的作用，此时用有效质量进行计算可以简化问题，f和加速度挂钩，而内部势场作用用有效质量概括。使得探讨半导体电子在外力作用下规律时可以不涉及内部势场作用。另外地mn*可以实验测得，方便有效。 本征激发：当温度大于0k时，有电子从价带激发到导带，价带中同时产生空穴，这个过程叫做本征激发。本征半导体就是没有掺杂的半导体，也即电子和空穴都参加导电的半导体。载流子和载流子浓度：可移动带电荷的物质微粒被称作载流子，而在半导体中就是电子和空穴。载流子浓度就是单位体积载流子的数目。 第二章半导体中的杂质与缺陷能级 间隙式杂质：杂质原子进入半导体以后，位于晶格原子间叫做间隙式杂质。一般原子比原原子要小。 替位式杂质：取代晶格原子而位于格点处，叫做替位式杂质。两种原子大小近似，价电子壳层也类似。 施主杂质：V族元素为替位式杂质，它释放一个电子，增加导电性，如P+，是一个不能移动的正电中心。使之电离的能量远远小于禁带宽度Eg。释放电子的过程叫做施主电离。又叫n型杂质。 施主能级：施主能级Ed位于禁带中离导带很近处。由于杂质数量较少，为一些具有相同能量的孤立能级。
晶格振动与晶体的热稳定性的关系
晶格振动与晶体的热稳定性的关系晶体的物理性质是由其晶体结构以及晶格振动特征所决定的。晶格振动是指晶体中原子或离子围绕平衡位置而发生的振动。晶格振动的频率和振幅对晶体的热稳定性有着重要的影响。本文将探讨晶格振动与晶体的热稳定性之间的关系。 一、晶格振动对晶体的热稳定性的影响 晶格振动包括声子振动和光子振动两部分，它们对晶体的热稳定性有着不同的影响。 1. 声子振动的影响 声子振动是晶体中原子或离子之间通过相互作用在特定方向上传递的能量。它的频率和振幅可描述晶格的热运动和畸变。晶体的热稳定性与声子振动的频率有密切关系。一般来说，声子能谱中的高频部分对应着晶体的高能模式，它们的振动频率较高，能量较大，对应着晶体的高温不稳定性。而低频部分的声子对应着晶格的弹性变形，其振动频率较低，能量较小，对热稳定性的影响较小。 2. 光子振动的影响 光子振动指晶体中由于原子振动而引起的电磁波的传播现象。晶体的光学性质与光子振动有着密切的关系。当晶体的光子振动频率与电磁波的频率匹配时，光子振动会受到共振增强，这将导致晶体的热稳定性下降。因此，对于某些晶体来说，特定频率的光子振动可能引发晶体的热解，从而导致其失去稳定性。
二、晶格振动与晶体热稳定性的改善方法 虽然晶格振动与晶体的热稳定性有一定的关系，但晶体的热稳定性 并不完全取决于晶格振动的特征。实际上，通过改变晶体的化学组成 和结构，可以有效地改善晶体的热稳定性。 1. 调控晶格结构 晶格结构的改变可以通过引入杂质原子或改变晶体的晶格参数来实现。例如，杂质原子的引入可以通过调节晶体内的电子态和原子间的 相互作用来改变晶体的热稳定性。此外，还可以通过改变晶格参数来 调控晶体的热膨胀性，从而提高晶体的热稳定性。 2. 制备缺陷 缺陷是晶体中不完美的局部结构，通过控制晶体的缺陷类型和浓度，可以改变晶格振动的特征，从而影响晶体的热稳定性。例如，在某些 晶体中引入点缺陷或线缺陷，可以有效地减小晶体的声子能谱中高频 部分的振动频率，提高晶体的热稳定性。 3. 表面改性 晶体的表面结构对晶体的热稳定性也有一定的影响。通过在晶体表 面引入化学键或修饰晶面结构，可以改善晶体的表面能量和晶格振动 的特征，从而提高晶体的热稳定性。 三、晶格振动与晶体的应用
晶格振动与晶体热膨胀性质的相关性分析综述
晶格振动与晶体热膨胀性质的相关性分析综 述 晶体是一种具有长期有序排列的固体物质，其结构由原子、离子或分子构成。晶体的热性质是研究晶体结构和性质之间相互关系的重要方面之一。晶格振动作为晶体内部原子位置变动的一种表现形式，与晶体的热膨胀性质之间存在着密切的相关性。本文将从晶格振动与晶体热膨胀性质的基本原理、实验研究和应用三个方面，对两者之间的相关性进行综述分析。 第一部分：晶格振动的基本原理 晶格振动是指晶体内部原子的微小位移所引起的一系列振动现象。晶格振动的性质受到晶体结构、原子间力常数、原子质量以及温度等因素的影响。晶体中的原子围绕着它们的平衡位置作周期性的振动，这种振动可以分为纵向振动和横向振动。晶格振动的频率和振幅决定了晶体的声子色散关系，对晶体的热性质具有重要影响。 第二部分：晶格振动与晶体热膨胀性质的相关性研究 晶格振动与晶体热膨胀性质之间的相关性是通过实验研究和理论模型进行分析得出的。实验研究中常采用热膨胀仪等仪器对晶体的热膨胀性质进行测量，同时通过声子散射等技术对晶格振动进行分析。实验数据表明，在晶体结构不变的情况下，晶格振动与晶体热膨胀呈现一定的相关性。研究发现，晶格振动频率的变化与晶体热膨胀系数的变化之间存在着一定的线性关系。
第三部分：晶格振动与晶体热膨胀性质的应用 晶格振动与晶体热膨胀性质的相关性为材料科学和工程技术领域的研究提供了重要的理论依据。基于晶格振动与热膨胀性质相关性的研究成果，人们可以设计合成新型材料，控制材料的热膨胀性质，从而满足各种特定的应用需求。例如，会考虑晶体在高温环境下的热膨胀性质，以保证材料在工作条件下的稳定性。此外，晶体中的空腔结构和晶格缺陷也会对晶格振动和热膨胀性质产生显著影响，通过对晶体的这些特性进行研究，可以提高材料的性能和应用范围。 综上所述，晶格振动与晶体热膨胀性质之间存在着密切的相关性。通过实验研究和理论模型的分析，我们可以了解到晶格振动频率的变化与晶体热膨胀系数的变化之间的关系，并将这一相关性应用于材料科学和工程技术领域的研究中。晶格振动与热膨胀性质的相关性研究为材料的设计和合成提供了重要的理论依据，有助于实现晶体材料的性能优化和应用拓展。
固体物理第三章复习重点
1、概念（声子）的描述，理论模型（爱因斯坦和德拜模型）的结果与实验不符合的原因。 2、计算晶体格波波矢和频率的数目。 3、从正格子出发，找到倒格子，画出第一、第二布里渊区。 4、一维单原子链色散关系的推导。 5、已知格波的色散关系，根据模式密度的定义式求格波的模式密度。 重点：晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？ 答：在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波而求出的表达式。 爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容Cv 亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容Cv 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以3 T 趋近于零的结果。 德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T3成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度是不同的。 在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。 爱因斯坦模型 假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，高温符合实验规律，低温下不符合 德拜模型 高温符合实验规律，低温下符合较好，但是有偏差。 （1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波； （2）有一支纵波两支横波； （3）晶格振动频率在D 0ω~之间(D ω为德拜频率)。 爱因斯坦模型与德拜模型（掌握） 德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差，其产生偏差的根源是什么？ 答：（1）忽略了晶体的各向异性；（2）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献，光学波和高频声学波是色散波，它们的关系式比弹性波的要复杂的多。 爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是什么？ 答:爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的频率振动，忽略了频率间的差别，没有考虑格波的色散关系。 1、重点：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N 个原胞，晶格振动模式（频率）数为多少? 答:晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N ， 格波振动模式（频率）数目=晶体的自由度数mNn ， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn 。 晶体中声学支的支数=晶体的维度m 金刚石结构为复式格子,每个原胞有2个原子。 m=3,n=2 有6支格波，3支声学波，3支光学波。
固体物理部分概念
劳厄定理：一组倒易点阵矢量Kh确定可能的X射线反射，衍射强度正比于电子分布函数的傅里叶分量 劳厄方程：S=k'-k=Kh 简正模：在简谐近似下讨论晶格的本征振动。系统的运动最容易用具有一定波矢、频率和偏振的行波来表示，成为系统的简正模，每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化的。 晶体中的一个简正模对应一个频率调制的平面波，它的振幅只在格位的原子上定义，称为格波。 群速度是介质中能量传递的速度。 定义格波的量子为声子。声子是晶格集体激发的玻色型准粒子，它具有能量和准动量。 晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分，晶体热激发产生声子，晶格振动的能量变化贡献晶格比热容。对于绝缘晶体，由于电子基本束缚在离子实附近，电子没有足够的自由度参与晶格比热容的贡献。但是对于金属晶体，倘若价电子在点阵中是自由的，那么电子就会对晶格比热容提供额外的贡献。 在q空间声子群速度为0的临界点（奇点）叫做范霍夫奇点，附近声子频谱存在局部平坦的区域。 能带论只是一个基本的理论，它包含了以下三个基本近似： 1.绝热近似。在处理固体中电子的运动时，家丁离子实固定在格位上不动。 2.单电子近似。用一个平均场来描写电子之间复杂的相互作用。这样系统中任一电子都存在一系列定态，并进一步假设所有电子在这些定态中的分布满足费米狄拉克统计，各个定态自然都要按哈特里-福克近似下的自洽方式选定，以使得可以与所有电子的最后分布相协调，这样就把一个多电子问题简化为单电子问题。 3.电子感受到的势场，包括离子实势场和电子自检的平均场，是一个严格的周期性势场。当然，对于一个有限的晶体，应用波恩-卡门边界条件去协调。 布洛赫定理：当平移晶格矢量Rl时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子EXP(ik*Rl) 根据布洛赫定理，周期场中单电子波函数应该是一个调幅平面波，其中调幅因子为正点阵的周期函数。它正好满足布洛赫定理。 与自由电子相比，晶体周期场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波，它是一个无衰减的在晶体中传播的波，不再受到晶格势场的散射。 布洛赫波能谱特征： 1.对于一个确定的k，有无穷多个分立的能量本征值和相应的本征函数。 2.对于一个确定的n，En(k)是k的周期函数，波函数也是，期中周期为倒格矢 3.能谱成带结构必然有能量的上下界，使得一个n的不同k的所有能级包括在一个能量范围内，因为晶体有宏观尺度，k的取值准连续分布，相邻分立能级相差极小，形成一个准连续的能带。（能带就是一系列能级组成的带） 4.能谱的对称性如果不考虑自旋轨道相互作用，在布里渊区中，晶体能谱具有与晶体点阵相同的宏观对称性 5.等能面垂直于布里渊区界面（等能面定义为在k空间，所有能量相等的k组成的曲面） 布洛赫定理是描述周期结构中，一切波传播特征的基本定理。表面上看，素和声子与电子的能谱特征存在一些细微的差别。 1.电子原则上存在无限多能带，但是对于声子只存在有限支频带。 2.声子的波不是标准的调幅平面波，因为格波只在原胞中各格位原子上有定义，而电子的概
固体物理复习
321a a a ,,⎪⎭⎫ ⎝⎛414141第一章 1.固体按其结构的有序程度可分为晶体和非晶体。晶体:长程有序（分为单晶体和多晶体（微晶））。非晶体： 不具有长程序的特点。具有短程序。准晶体：有长程有序性，没有平移对称性。 2. 基元：构成晶体的基本单元。它可以包含一个或几个原子、离子或分子。格点：空间抽象出来的代表基 元的点。它可以是基元重心的位置，也可以是基元中任意的点。布拉维格子（布喇菲格子）：格点形成的晶 格；晶格（点阵）＋基元＝晶体结构；晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容， 保留了晶体结构的周期性。 3.晶格平移矢量： ，基矢： 4.原胞（固体物理学原胞）：由基矢为棱边，组成的平行六面体形成的晶格结构的最小重复单元。特点：a. 基矢和原胞选取选取具有多样性。b. 只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。C.原胞反映了晶体晶格的周期性。体积： 5.维格纳-塞茨原胞（简写为WS 原胞），也称为对称原胞: 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连 接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S 原胞。特点：它是 晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。既反映了晶体的周期性，又反映了晶体的一切对称 性 。 6.晶胞（结晶学原胞）：能直观反映晶体对称性的晶格的重复单元。基矢选取原则：使三个基矢 的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向。模a, b, c 为各轴上的周期，称为晶格常数。特点：（a ）具有明 显的对称性和周期性。（b ）晶胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积： 立方晶系晶胞的体积: 。(a)简立方SC:晶胞和原胞都包含包含1个格点。固体物理学原胞的体积 (b)体心立方（bcc):平均每个晶胞包含 2个格点。固体物理学原胞的体积：(c)面心立方 (fcc):每个面心立方晶胞包含4个有效格点。固 体物理学原胞的体积： 7.复式晶格：如果晶体基元中由多个原子（离子）构成，同种等价原子（离子）各构成和格点相同的晶格， 称为子晶格（简单晶格，布拉维晶格），它们相对位移套构形成复式晶格。 8.立方晶系的复式格子:考一个。氯化钠结构，课本第8页（1.氯化钠结构(岩盐):基元钠离子和氯离子;氯 钠结构由两个面心立方子晶格沿轴方向错开半个晶格常数相互套构而成.2.氯化铯结 构:基元由一个Cl-和一个Cs+组成。氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而 成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子。3.金刚石结构:由同种原子构成的复式格子。金刚石结构每个固体物理学原胞包含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于（000）和 处。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成。4. 闪锌矿结构（ZnS ）：基元：Zn ，S 。ZnS 结构是由两 个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成。5. 钙钛矿结构：基元： Ba 、Ti 和O1、O2、O3五 种原子组成。晶格由Ba 、Ti 和O1、O2、O3各自组成的简立方格子套构而成。6. 六方密积结构（hcp ）：基 元：两个分属于A ，B 两层的原子。两个六方格子套构而成。） 9.晶体基本操作:转动、中心反演、平面反映、平移操作。 10.证明晶体中只存在-12346，5种对称轴。课本第14页 11.根据晶体只可能存在的32种不同的点对称类型，将晶体分为7大晶系，14种布拉维晶胞。 12：配位数：一个粒子周围最近邻的粒子数目。最大配位数：密堆积所对应的配位数。密堆积：如果晶体 由完全相同的一种粒子构成，而粒子被看成是等大的刚性圆球，则这些全同圆球最紧密的堆积。 13: (1)六方密堆积:第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。第二层：占据1,3,5 空位中心。第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB ······排列方式。六方密堆积是复式格子，其布拉维 格子是简单六方格子。(2)立方密堆积:第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC ······方式排列，形成 面心立方结构，称为立方密堆积。 14.证明简立方的晶面间距P26 332211a n a n a n R ++=⋅⋅⋅±±±=,3,2,1,0,,3 21n n n () 321Ωa a a ⨯⋅=() Ω n c b a v =⨯⋅= 3a V =3 Ωa =