一维单原子链晶格振动解析步骤
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
3.1一维晶格振动
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
3-1 一维单原子晶格的振动
(3-4)
即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合, 由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可 取N个值，故该式实为N个方程组成的方程组， 可有N个解，而此时晶体的总自由度也为N。
五．解方程
设λ>>a, 相邻原子的相位差小―― 可把晶体看作 是连续媒质. na x a Δx U(x,t) U(x+Δx,t) Δx 为小量 Un(t)=U(na,t)
∴ qNa = 2πm（m=0,±1，±2．．．） 得（3－10）式
2 q m Na
（3－10）
结论：
1. 格波的波矢q不连续; 2. q点的分布均匀, 相邻q点的间 距为 2π ／(Νa); 3. λ＝2π／q =Na/ m
七、讨论
（Hale Waihona Puke ）格波由（3－8）表示的是一个格波，它是 简谐 行波，又称为简正格波，简正模式。格波 相速度vp（等相位面移动的速度） 设t1时刻，n1a处振动，某一确定的相 位面到t2 时刻传到n2a处，则
ω(q)= ω(q+Kh)
其中Kh为倒格矢。
倒格子平移对称性
（3－16）
由式（3－11）还可知： ω(q)= ω（－q）－―倒格子反演对称性 关于色散关系的倒格子平移对称性和反 演对称性的这两个结论对三维晶格也是 适用的。 说明：
1. q和－q对应相同的ω，但q和－q代表 了不同的格 波，与唯一性不 矛盾。 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致。
把式（3－8）代入式（3－4）并用尤拉公 式整理得到 （3－11）式 2 4 2 2 qa (1 cos qa) sin m m 2
4 m
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
§2-3 一维原子链的振动 长波近似
—— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2
2 M 2 B ( ) A 2 cos aq
2 每个波矢在第一布里渊区占的线度 q Na
2 第一布里渊区的线度 a
2 / a N 第一布里渊区状态数 2 / Na
重要结论
1、格波的数目，等于原胞的数目。 2、在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能 的q所占据的线度为π/Na.这里，对应于每个q值有 两个不同的ω，一个是光学波角频率，另一个是 声学波角频率。因此对于一维双原子的复式格子， 角频率数为2N,既然每一角频率对应于一个格波， 格波数必为2N。 3、在一维双原子复式格子中，每个原胞有两个原子， 晶体的自由度是2N,因此得到这样的结论： 晶格振动波矢的数目= 晶体原胞数； 晶格振动频率的数目= 晶体的自由度数。
2
1 2
(m M ) 4mM 2 —— 声学波 {1 [1 sin aq ] } mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 2 —— 光学波 {1 [1 sin aq ] } mM (m M ) 2
2
1 2
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系
ห้องสมุดไป่ตู้
—— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n )
第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
3.1一维晶格振动
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
§3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
晶格具有周期性，因此晶格的振动模具有波的形式， 称为格波。格波和一般连续介质波有共同的特征，但也有
它不同的特点。
1.一维单原子链的振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即
原胞体积为a），原子质量为m。原子限制在沿链的方向 运动。原子间的力常数均为β。
u (r ) u (a )
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
1 d 2u 2 du u (r ) u (a) 2 2 dr a dr a 2 du d u 在上式中 0, 2 dr a dr a
2n
Q原子： M
2n1 2n1 22n
2 n 1
2 n 1 2 n 2 2 n 1 2 n
2n2 2n 22n1
上面两个方程是原子运动的典型方程，当原子链包含N个原胞
π π q a a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
格波波数q的不唯一性特点可以如图说明：
a
4a
μ
a
4a 5
q 2a
5 xq 2a
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
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一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体
中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数
为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：
第一步：建立模型
首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程
接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：
m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))
上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -
2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式
由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假
设原子的位移满足解的形式为：
Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))
其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将
这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系
将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k
的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|
声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
第五步：讨论声子模式
最后，我们可以讨论一维单原子链中的声子模式。
根据声子色散关系，可以得知对于较小的波数k，声子的能量与波数成线性关系，称为声学支；而对于较大的波数k，声子的能量与波数成正弦关系，称为光学支。
声学支和光学支是一维单原子链中的两种不同的声子模式，对应着不同的振动方式。
这些声子模式对固体中的热传导和热容等性质有着重要的影响，因此对其进行研究具有重要的意义。
综上所述，通过以上步骤可以对一维单原子链的晶格振动进行解析。
这个模型简单却能够揭示固体中声子模式的基本特性，对于理解材料的热学性质具有重要的意义。
当然，实际的固体晶格振动是三维的，并且还包括了相互作用效应等复杂因素，因此对于更复杂的晶体结构，振动的解析也会更加复杂。