一维双原子链晶格振动光学支与声学支频隙宽度
一维双原子链晶格振动光学支与声学支频隙宽度
一维双原子链晶格是一个理想模型，用于研究晶体中原子振动的性质。它由两种原子按特定顺序排列而成，可以看作是一条由不同类型原子组成的链。
在这个模型中，每个原子可以看作是一个质点，它们在平衡位置附近以简谐振动的方式运动。在一维情况下，原子只能在链的方向上振动，其振动模式有两种：光学模式和声学模式。
对于一维双原子链晶格，振动可以用简谐振动的方程描述：
m₁x₁''(t) + k₁(x₁(t) - x₀(t)) + k₂(x₂(t) - x₁(t)) = 0,
m₂x₂''(t) + k₂(x₂(t) - x₁(t)) + k₃(x₃(t) - x₂(t)) = 0,
...
mₙxₙ''(t) + kₙ(xₙ(t) - xₙ₋₁(t)) + kₙ₊₁(xₙ₊₁(t) - xₙ(t)) = 0,
其中，m₁、m₂、...、mₙ分别为原子的质量，k₁、k₂、...、
kₙ分别为原子之间的弹性系数，x₁(t)、x₂(t)、...、xₙ(t)分别
为原子的位移。这个方程组可以通过求解本征频率和模位移来描述晶格的振动性质。
根据以上方程，可以得到一维双原子链晶格的频率-波矢关系，即声学支和光学支的频率分布。在这个关系中，频率由波矢 k 决定，光学支频率通常高于声学支频率。
对于声学支，原子振动是同相的，在低频区域可以近似看作是一组刚性振动模式。在一维双原子链晶格中，声学支的频率在特定波矢区间内存在频隙，即不存在振动模式。这个频隙的宽度取决于原子质量、弹性系数和晶格常数等因素。频隙宽度越大，声学支频率范围限制的越小。
对于光学支，原子振动是异相的，在低频区域振动模式不存在。光学支的频率范围从声学支频率频隙起始位置开始，直至无穷大。这个频率范围内存在多个振动模式，频率越高，振动模式的数量越多。
一维双原子链晶格的声学支和光学支频隙宽度是研究材料的重要参数，能够提供有关晶体性质的信息。频隙的宽度和位置可通过实验技术如中子散射、红外光谱和拉曼散射等手段进行测量，并与理论模型进行比较。
总之，一维双原子链晶格的声学支和光学支频隙宽度是其振动性质的重要特征，对于研究材料的声学和光学性质具有重要意义。
固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工 1：一维晶格以及三维晶格的振动 2：晶格热容的量子理论 3：简谐近似和简谐坐标 4：晶格的状态方程和热膨胀 5：离子晶体的长波近似 4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络
二、重点 1.格波的概念和“格波”解的物理意义 (1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。 (2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。 (3) q 的取值范围：－(π/a) 2.一维单原子链的色散关系 22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω= -= 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。 3.一维单原子链的运动方程 相邻原子之间的相互作用 βδδ-≈-=d dv F a d v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程 11() (2) n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙ +--=+-= 4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 （1）运动方程( equation) )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙ ∙ （2）方程的解(solution) ])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ 5.声学波与光学波的概念与物理意义 （1）声学波与光学波的定义 }]sin )(41[1{2 /122 2aq M m mM mM M m +-++=+β ω }]sin ) (41[1{2/122 2aq M m mM mM M m +--+=-β ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格 波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ） （2）两种格波的振幅比 aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛++ aq m A B cos 222 ββω-- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数 )()(q a q --=+ωπ ω )()(q a q ++=+ωπ ω 第四章 晶格振动 （习题参考答案） 1设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于 10ββ和。若两种原子的质量相同，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢q=0和q=1/2a 处的()q ω，并且画出色散关系曲线。 解： 令n u 和n v 分别代表两种原子相对平衡位置的位移，如图所表示。M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程如下式所示： [][]1110(1011)n n n n n n n n Mu u v u v v v u βββ--=---=+- 11()10()(1011)n n n n n n n n M v u v v u u u v βββ++=---=+- （1） 试探解为 (2)(2) i t naq n i t naq n u ue v ve ωπωπ----== 代入方程（1）得 2 2(1011)i aq M u v ve u πωβ--=+- 22(1011)i aq M v u ue v πωβ--=+- 于是有 2 2(11)(10)0i aq M u e v πωββ---++= 22 (10)(11)0 i aq e u M v πβωβ-++--= u ，v 有非零解的条件为 2 222 11(10) 0(10) 11i aq i aq M e e M ππωβ ββωβ ----+=+-- 解得： 2 1/2 {11[12120(1cos 2)] }aq M β ωπ= ±-- （2） 式中“+”“-” 分别代表光学支和声学支。 q=1/2a 时，由（2）式得 1/2 2() M βω-=； 1/2 20( ) M βω+= 当q=0时，则有 0ω- = ； 1/2 22( ) M βω+= 2对于NaCL 晶体，其密度3 2.18/g cm ρ=，正负离子的平衡距离 10 2.8110 a -=?米，光学支格波的最高频率为 ()13 max 3.610/rad s ω+=?。试以一维双原子晶链模型计算； （1） NaCL 的恢复力常数β： （2） 长声学波的波速： （3） NaCL 的弹性摸量。 解：（1）对于一维双原子晶链，格波光学支的最高频率为 1/2 m a x 11()[2()] m M ωβ+=+ （1） 其中，β为原子间的恢复力常数，m ，M 分别代表两种原子的质量。对于 第三章晶体振动和晶体的热学性质 3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比 (1) 其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于 =， 则由(4)(5)两式可得,1 B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程. 由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. （2）与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不 符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。 解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3） 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5） 频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 第三章 晶格振动与晶体热力学性质 3-1 一维晶格的振动 一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。 用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。 (2)振动方程和解 平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =- )(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ， t 时刻为)()(0r r u r u δ+= )()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332 220)(d d 61)(d d 21d d )(000 r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33322200 00 d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力: ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2 33220 0d d 21d d d d nk r nk r nk x r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。 (忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。) 得: nk nk r nk x x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 0 22d d r r u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β 第三章晶格振动和晶体的热学性质 [引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0 C=的规律不符。1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论， V 认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0 C=的规律的结论，但与低温 V 下3 C T的实验结果不符。1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质， ~ V 晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3 ~ C T的结果。随后，玻恩及玻 V 恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。 因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。这种近似称为绝热近似。晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。 本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情 况，最后讨论晶体的热学性质。 [本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程 §3-1一维单原子链 考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0 ………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ?，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为： ()∑≠=N j i ij x U ?21……………………………………………(3-1-2) 式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0 是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对 位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将?展开为： ………………(3-1-3) 于是有：() ∑∑∑≠≠≠+???? ????+???? ????+=j i ij ij j i ij ij j i ij u x u x x U Λ20 2200 412121???…………… (3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格 ()()() Λ+??? ? ????+???? ????+=+=2 220021ij ij ij ij ij ij ij ij u x u x x u x x ????? 第三部分 晶格振动 1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？ 牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。 2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？ 采用了近邻近似和简谐近似。 3. 什幺是近邻近似和简谐近似？ 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。 4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？ 晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数， 在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期 边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨 论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信 息。 5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度v p 等于什幺？ ω=421 2βm qa ⎛⎝ ⎫⎭⎪sin v p =ωq 6. 一维格波波矢q 的的取值范围是什幺？q 在第一B 、Z 内取值数是多少？ q 的取值范围：为保证唯一性，g 在第一B.Z 内取值，即－ ππa q a 〈≤ q 在第一B.Z 内取值数为N （初基元胞数）。 7． 一维格波波矢q 有哪些特点？ q 不连续（准连续）；均匀分布；密度 Na L 22ππ= 8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？ ωββββββ212 1222121212＝＋m m qa ±++(cos ) 9. 在三维晶体中，格波独立的q → 点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分 别等于多少？ 独立的q → 点数＝晶体的初基元胞数N ； 格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS 个； 格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1) 支光学波。 10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？ 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动， 光学波描述了元胞内原子的相对运动。 描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 11. 格波模式密度g(ω)的定义是什幺，g(ω)是如何表示的？ 模式密度g(ω)的定义：单位频率间隔的格波数。 固体物理复习提纲 1.请给出1维单原子链晶格振动的运动方程，并由此推导出频率-波矢关系。 书p58页4.1.3推导过程见书p58页 2.请分别写出1维单原子链和1维双原子链的晶格振动的色散关系表达式。请讨 论双原子链振动的声频支和光频支的频率范围。 一维单p58页4.1.7和一维双61页4.2.9 声频支4.2.10光频支4.2.11 3.请论述声频波和光频波原胞中两个原子的位移特征。 声频波情况原胞中两个原子是沿同方向振动。在长波极限情况，声频波中原胞中两个原子是一同运动，振幅，位相都没有差别。在短波极限时声频波中较轻的原子静止不动，只有重原子在做振动，而且相邻原胞重原子的运动方向是相反的。 长波极限时光频波中原胞中两个原子运动始终保持质心位置不变。短波极限时光频波中的原胞中重原子是静止不动，只有轻原子振动，相邻原胞轻原子的运动方向相反。 4.将晶格振动看待成为一个简谐振子，求解得到的能量本征值如何表达？振动的 振动方程（本征函数）如何表达？在某一温度下，声子的平均数目如何表示？能量本征值书p66页4.3.17，本征函数4.3.18，平均数目4.3.20 5.何谓声频波？何谓光频波？在3维晶体中，有几支声频波？光频波有几支？格 波的总模式数是多少？ 格波频率较低的称为声频支格波，格波频率较高的称为光频支格波。在3维晶体中有3支声频波，3r-3支光频波，r为原胞内原子个数。格波总模式数等于晶体原子自由度总数目3rN 6.经典物理中，对晶体的比热Cv研究的结果用公式表示为什么？ 它表明了什么含 义？考虑到晶格振动的影响，使用爱因斯坦模型修正后的公式是什么？分析爱因斯坦模型在高温区和低温区的表达形式？这一结果与实验结果有何区别？区别原因何在？ 比热公式书p76页4.7.7 表明含义：高温晶格比热是一常量，与温度无关，也与物质元素无关。问老师！ 爱因斯坦修正公式书77页4.7.13 7.在利用德拜模型研究晶体的比热时，晶格内能的表达式是什么？比热用什么来 表达？请讨论在高温时和低温时的比热的表达形式。 内能78页4.7.23，比热4.7.24 8.固体物理中，晶体的物态方程如何表达？由此推导出的膨胀系数如何表达？考 虑到电子对比热的贡献，膨胀系数如何表达？ 书p81，晶体的物态方程4·8·8，膨胀系数：4.8.13 9.只考虑晶格热传导行为，请写出热导率的表达式，对其中的各个符号分别说明。 对高温下和低温下的热导率与温度的依赖关系进行论述。 热导率书p83，4.9.6。c是材料单位体积的比热，v是声子气的方均根速率，l为材料长度。依赖关系p84 10.肖特基缺陷是怎么产生的？弗兰克尔缺陷又是怎么产生的？它们在热平衡 时的缺陷数目如何表达？ 肖特基缺陷的形成原因：这种空位是晶体内部格点上的原子或离子通过接力运动移到表面格点位置后在晶体内所留下的空位弗兰克尔缺陷形成的原因：如果晶体内部格点上的原子或离子移到晶格间隙位置形成间隙原子，同时在原来格点位置上留下空位，于是晶体中将存在等浓度的晶格空位和填隙原子。 它们在热平衡时缺陷数目表达形式为：书p88～91 对一维双原子链晶格振动的讨论 祖春燕 06科教一班 指导教师：陈敬艳 摘要：在固体物理中，一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础。本文研究了一维双原子链晶格振动的色散关系，讨论了一维双原子链晶格振动的特点，并总结了几种不同情况的一维双原子链振动的色散关系。 关键词：晶格振动，色散关系，光学模，声学模 一维双原子链晶格的振动是研究晶格振动理论的基础,它包含了晶格振动的主要性质，是固体物理教科书中不可缺少的内容。但在固体物理教科书中对该现象的理论分析及总结并不完备,本文试图从一维双原子链晶格振动出发总结出各种讨论的情况，以弥补教科书中的不足。为了简化问题，我们选择自由一维双原子链，并且考虑最近邻原子的相互作用。 1.一维双原子链的色散关系 考虑一般的一维双原子链,即在一条直线上相间地排列着质量为m 、M 的原子（m 固体物理学概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义.. 答：最小平行单元.. 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义.. 答：以一个格点为原点;作原点与其它格点连接的中垂面或中垂线;由这些中垂面或中垂线所围成的最小体积或面积即是维格纳-赛茨原胞.. 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型.. 4. 请描述七大晶系的基本对称性.. 5. 请给出密勒指数的定义.. 6. 典型的晶体结构简单或复式格子;原胞;基矢;基元坐标.. 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义.. 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律.. 9. 给出布里渊区的定义.. 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子.. 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式.. 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式;并简述各项的来源.. 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件.. 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点..晶体含N个原胞;每个原胞含p个原子;问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式 16. 给出声子的定义.. 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点.. 18. 在晶体热容的计算中;爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设.. 19. 简述晶体热膨胀的原因.. 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程.. 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布给出具体表达式 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义.. 23. 写出金属的电导率公式.. 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律.. 25. 简述能隙的起因.. 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律.. 27. 请给出在一级近似下;布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系.. 28. 给出空穴概念.. 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万Langevin方程.. 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势.. 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体.. 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别.. 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义.. 34. 给出半导体的电导率.. 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关.. 固体物理试题 一、单项选择题 1、一个二维简单正交晶格的第一布里渊区形状是（ A ）。 A、长方形 B、正六边形 C、圆 D、圆球 2、晶格常数为a的简立方晶格的(111)面间距为（ B ）。 A、 a B、 a C、1/ a D、1/ a 3、对于一维双原子链晶格振动的频隙宽度，若最近邻原子之间的力 常数β增大为4β，则晶格振动的频隙宽度变为原来的（ A ）。 A、 2倍 B、 4倍 C、 16倍 D、1倍 4、晶格振动的能量量子称为( C ) 。 A. 极化子 B. 激子 C. 声子 D. 光子 5、一维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于（ A ）。 A、 B、 C、 D、E 6、晶格常数为的面心立方晶格，原胞体积等于( D ) 。 A. B. C. D. 7、体心立方密集的致密度是（ C ）。 A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 8、描述晶体宏观对称性的基本对称元素有( A ) 。 A. 8个 B. 48个 C.230个 D.320个 9、晶格常数为的一维双原子链，倒格子基矢的大小为( D )。 A. B. C. D. 10、由N个原胞组成的简单晶体，不考虑能带交叠，则每个s能带可容纳的电 子数为（ C ）。 A. N/2 B. N C. 2N D. 4N 二、填空题 1、由N个原胞组成的一维双原子链，q 可以取N个不同的值， 每个q 对应2个解，因此总共有2N个不同的格波。。 2、原胞中有p个原子。那么在晶体中有3支声学波和3p−3支光学波 3、按结构划分，晶体可分为7大晶系, 共14布喇菲格子 4、对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。 5、原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含1个原子。 6、声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为和 7、光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电磁声子 8、由N个原胞构成的晶体，原胞中有l个原子，晶体共有3lN个独立振动的正则频率。 9、在长波极限下，光学波原子振动的特点是质心不动，相邻原子振动方向相反，声学波原子振动的特点是相邻原子振动方向相同，反映质心运动 10、晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称为多晶。 第三章 作业题 1、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界a q 2π ±=处，声学支格 波中所有轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图像。 2、.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m ，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为10103.1⨯=q m -1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。 3、试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色 散关系。当1215ββ=时，求在0=q 和a q π =处的)(q ω，并粗略画出色散关系。 4 对NaCl 晶体，测知其密度ρ=2.18g/cm 3,正负离子的平衡距离α=2.81×10-10m,格波光学支的最高频率为3.6×1013(rad/s),试以一维双原子晶链模型计算：（1）NaCl 的恢复力常数β；（2）长声学波的波速；（3）NaCl 的弹性模量。已知Na 和Cl 的原子量分别为23和35.5,每摩尔的原子数为6.024×1023，且由弹性波理论得到波速υ=（弹性模量/介质密度）1/2=[E/ρ]1/2.（第二问中声学波公式有误，答案正确） 5 已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为 其中马德隆常数75.1=α，9=n ，平衡离子间距m 1082.2100-⨯=r 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率。 （2）计算与该频率相当的电磁波的滤长，并与NaCl 红外吸收频率的测量值61μm 进行比较。 思考题 6.什么叫声子？是否为真实粒子？在热平衡条件下的晶体中说声子从一处跑到另一处有无意义？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 7.请比较纯铜、纯铝与金刚石的热导率，并说明理由？ 。 一维双原子链晶格振动光学支与声学支频隙宽度 一维双原子链晶格是指由两种不同原子交替排列而成的一维晶格结构，其中每个原子可以在垂直于链方向上振动。这种双原子链的振动特性可以通过研究其光学支和声学支的频隙宽度来描述。 在一维双原子链晶格中，存在两种不同的振动模式：光学模式和声学模式。光学模式是指原子在振动时相互反向移动，而声学模式则是指原子在振动时同向移动。这两种模式的频率可以通过计算得到，并可以根据频率的不同分为光学支和声学支。 光学支是在高频区域出现的一系列频率，其频率范围内没有振动模式存在。声学支是在低频区域出现的一系列频率，其频率范围内存在振动模式。频隙是指光学支和声学支之间的频率范围，即在该范围内不存在振动模式。 针对一维双原子链晶格的光学支和声学支频隙宽度的计算方法可以通过对其方程模型进行求解来获得。在这个求解过程中，可以使用周期性边界条件来计算结构中的振动模式。 例如，对于一维双原子链晶格振动的光学支，可以使用Bloch 定理来建立方程模型。Bloch定理是描述周期性结构中电子波函数的一种数学工具，可以用于描述振动模式的波函数。利用Bloch定理，可以得到一维双原子链晶格的光学支的频率与波矢之间的关系。 对于一维双原子链晶格振动的声学支，可以采用拟合弹簧振子 模型来建立方程模型。在这个模型中，可以假设双原子链中的原子之间的相互作用力恒定，即每个原子与邻近原子之间的弹簧劲度系数相同。通过求解这个方程模型，可以得到声学支的频率与波矢之间的关系。 通过计算得到一维双原子链晶格振动的光学支和声学支的频率与波矢之间的关系后，可以确定频隙的宽度。频隙的宽度表示光学支和声学支之间不存在振动模式的频率范围。频隙宽度的大小取决于晶格的几何结构、原子质量、弹簧劲度系数等因素。 总之，一维双原子链晶格振动的光学支和声学支频隙宽度是通过求解方程模型得到的，并可以通过计算频率与波矢之间的关系来确定。这些信息对于了解一维双原子链晶格的振动特性以及相关应用具有重要意义。 学号 姓名 院（部） 专业 考试时间：2007年 月 日 ------------------------------------------------密--------------------封----------------------线----------------------------------------------------------------- 物理系固体物理期中考试试题（2010-11-30） 说明：答案一律写在答题纸上，本试题题目不上交，留作复习用。注意答题纸上写明学号、班级、姓名 一． 简述题（每题10分，共20分） 1.什么是杂化轨道，写出金刚石sp 3 杂化的轨道波函数。 2.何为声子，谈谈你对声子的认识。 二． 填空题（每小题0.5分，共29分） 1.（A ）布拉伐格子为体心立方的晶体是A.钠B.金C.氯化钠D.金刚石 2.（吧、 ）布拉伐格子为面心立方的晶体是A.镁B.铜C.石墨D.氯化铯 3.（D ）布拉伐格子为简立方的晶体是A.镁B.铜C.石墨D.氯化铯 4.（A ）银晶体的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 5.（A ）金刚石的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 6.（A ）硅晶体的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 7.（A ）氯化钠晶体的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 8.（D ）氯化铯晶体的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 9.（C ）晶格振动的能量量子称为A.极化子B.激子C.声子D.光子 10.（A ）ZnS 晶体的布拉伐格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 11.（C ）下列晶体的晶格为简单晶格的是A.硅B.冰C.银D.金刚石 12.（D ）下列晶体的晶格为复式晶格的是A.钠B.金C.铜D.磷化镓 13.（B ）含有N 个初基原胞的铜晶体，晶格振动的声学波支数为A.0B.1C.2D.3 14.（C ）晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 15.（D ）晶格常数为的面心立方晶格，原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 16.（B ）晶格常数为的CsCl 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3B.a 3C.a 3/2D.a 3/4 17.（D ）晶格常数为的NaCl 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 18.（D ）晶格常数为的Cu 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3B.a 3C.a 3/2D.a 3/4 19.（C ）晶格常数为的Na 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3B.a 3C.a 3/2D.a 3/4 20.（D ）晶格常数为的Au 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 21.（D ）晶格常数为的金刚石晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 22.（D ）晶格常数为的Cu 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 23.（A ）含有N 个初基原胞的铜晶体，晶格振动的光学波支数为A.0B.1C.2D.3 24.（D ）晶格常数为 的Ge 晶体的原胞体积Ω等于A.2a 3 B.a 3 C.a 3 /2D.a 3 /4 25.（D ）含有N 个初基原胞的铜晶体，晶格振动的总格波支数为A.0B.1C.2D.3 26.（A ）晶体铜的配位数是A.12B.8C.6D.4 27.（B ）金属钠晶体的配位数是A.12B.8C.6D.4 28.（D ）金刚石的配位数是A.12B.8C.6D.4 29.（B ）面心立方密集的致密度是A.0.76B.0.74C.0.68D.0.62 30.（C ）体心立方密集的致密度是A.0.76B.0.74C.0.68D.0.62 31.（C ）晶体的布拉伐格子共有几种？A.12B.13C.14D.15 32.（C ）立方晶系的布拉伐格子共有几种？A.1B.2C.3D.4 33.（D ）四方晶系的布拉伐格子共有几种？A.1B.2C.3D.4 34.（D ）正交晶系的布拉伐格子共有几种？A.1B.2C.3D.4 35.（C ）含有N 个初基原胞的铜晶体，不同的波矢总数为A.3NB.2NC.ND.N/2 36.（D ）晶体共有几个晶系？A.4B.5C.6D.7 37.（C ）不属于14种布拉伐格子的格子是A.面心立方B.体心立方C.底心立方D.简立方 38.（C ）不属于14种布拉伐格子的格子是A.底心单斜B.体心四方C.底心四方D.简单四方 39.（C ）不属于14种布拉伐格子的格子是A.体心四方B.体心立方C.面心四方D.面心立方 40.（B ）不属于14种布拉伐格子的格子是A.简单三斜B.底心三斜C.简单单斜D.底心单斜 41.（D ）不属于14种布拉伐格子的格子是A.底心正交B.底心单斜C.面心正交D.面心四方 42.（A ）描述晶体宏观对称性的基本对称操作有A.8个B.48个C.230个D.320个 43.（D ）晶体点群有A.230种B.320种C.48种D.32种 选择题 1。（）布拉伐格子为体心立方的晶体是 A 。 钠 B 。 金 C. 氯化钠 D 。 金刚石 2。（)布拉伐格子为面心立方的晶体是 A. 镁 B 。 铜 C. 石墨 D. 氯化铯 3.（）布拉伐格子为简立方的晶体是 A 。 镁 B 。 铜 C. 石墨 D. 氯化铯 4.（)银晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B 。 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 5。（）金属钾晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D 。 简立方 6。（）金刚石的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D 。 简立方 7.（)硅晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B 。 体心立方 C 。 底心立方 D. 简立方 8。（）氯化钠晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B 。 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 9.（）氯化铯晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D 。 简立方 10。(）ZnS 晶体的布拉伐格子是 A 。 面心立方 B. 体心立方 C 。 底心立方 D. 简立方 11.（）下列晶体的晶格为简单晶格的是 A. 硅 B 。 冰 C 。 银 D 。 金刚石 12。（)下列晶体的晶格为复式晶格的是 A. 钠 B. 金 C. 铜 D 。 磷化镓 13.()晶格常数为a 的简立方晶格，原胞体积Ω等于 A 。 2a 2 B 。a 3 C 。 a 3/2 D. a 3/4 14。（）晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D 。 a 3/4 15。(）晶格常数为a 的面心立方晶格，原胞体积Ω等于 A 。 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D 。 a 3/4 16.（）晶格常数为a 的CsCl 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B 。a 3 C. a 3/2 D 。 a 3/4 17.（）晶格常数为a 的NaCl 晶体的原胞体积等于 A 。 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D 。 a 3/4 18。（）晶格常数为a 的Cu 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B 。a 3 C 。 a 3/2 D 。 a 3/4 19。（）晶格常数为a 的Na 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C 。 a 3/2 D 。 a 3/4 20.(）晶格常数为a 的Au 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 21。（）晶格常数为a 的金刚石晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D 。 a 3/4 22。（）晶格常数为a 的Cu 晶体的单胞体积等于 A 。 2a 2 B 。a 3 C 。 a 3/2 D 。 a 3/4 23.（）晶格常数为a 的Li 晶体的单胞体积等于 A 。 2a 2 B 。a 3 C 。 a 3/2 D 。 a 3/4 24.(）晶格常数为a 的Ge 晶体的单胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C 。 a 3/2 D. a 3/4 25.（）晶格常数为a 的GaP 晶体的单胞体积等于 A 。 2a 2 B 。a 3 C 。 a 3/2 D 。 a 3/4 26。(）晶体铜的配位数是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 27。（）金属钠晶体的配位数是 A 。 12 B 。 8 C 。 6 D. 4 28。（）金刚石的配位数是 A 。 12 B 。 8 C. 6 D 。 4 29.（）面心立方密集的致密度是 A. 0.76 B. 0.74 C 。 0。68 D 。 0.62 30。(）体心立方密集的致密度是 A. 0。76 B. 0。74 C 。 0.68 D 。 0。62 31。（)晶体的布拉伐格子共有几种? A. 12 B 。 13 C 。 14 D. 15 32.(）立方晶系的布拉伐格子共有几种？ A 。 1 B. 2 C. 3 D. 4 33。（）表征晶格周期性的概念是 A 。 原胞或布拉伐格子 B. 原胞或单胞 C 。 单胞或布拉伐格子 D 。 原胞和基元 34.（)晶体共有几个晶系？ A 。 4 B 。 5 C. 6 D 。 7 35.()晶体点群有 A 。 230种 B 。 320种 C. 48种 D. 32种 36。（）晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 A. a B 。 2a C 。 π/a D。 2π/a 37.（）晶格常数为a 的一维双原子链，倒格子基矢的大小为 A 。 a B 。 2a C. π/a D. 2π/a 38.（）晶格常数为a 的简立方晶格的（010)面间距为A 。a B. 22 a C. 33 a D.1/2 a 39。（)晶格常数为a 的简立方晶格的(110）面间距为A 。 2a B. 3a C 。 4a D 。 5a 固体物理练习题 其中带* 的为附加题 第1讲晶体结构 1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2利用钢球密堆模型，求致密度： （1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。 1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4画出正四面体的所有基本对称操作。 1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积 1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109º28'。 1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。 1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为 123222 2a a a a c = +=- + =a i j a i j a k 试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl （1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面； （2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有 2 2 2 2 2 ()/()d h k l a h k l =++。 1.13 证明第一Brillouin 的体积为3 (2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。 1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。 1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。 （1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。 （2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A − f B │2 ，h 为偶数 时正比于│f A + f B │2。 固体物理补充习题 晶体的结构 1. 写出NaCl 和CsCl 的结构类型。 2.分别指出简单立方、体心立方和面心立方晶体的倒格子点阵的结构类型。 3 .画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）钽酸锂（6）铍 解： 基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。 4.对于六角密积结构，初基元胞基矢为 . 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 倒空间 ↑→ j i i (B) 晶胞体积为 其倒格矢为 晶体的结合 1. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 2.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”? 设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”. 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”. 3．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m r b r a r U + - =)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的结合能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算 a 及 b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作 用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 解：(1)平衡时 01 1 =-=∂∂----n m r b n r a m r r u 得 am bn r m n =-0 m n am bn r -=1)(0 (2)平衡时 把r 0表示式代入u(r)固体物理——第一章 (15)
《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
第三部分 晶格振动
固体物理复习提纲
对一维双原子链晶格振动的讨论
《固体物理学》概念和习题答案
固体物理试题-含答案(特选参考)
第章作业
一维双原子链晶格振动光学支与声学支频隙宽度
固体物理期中试题 部分参考解答
固体物理选择题
习题 研究生
固体物理习题12