一元一次方程的讲义

乐杰数理化教师辅导讲义

基础知识回顾：有理数

1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）.

3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）. 4．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”

'

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

5．列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题： 距离=速度·时间 时间

距离速度=

速度距离

时间=；

（2）工程问题： 工作量=工效·工时 工时

工作量

工效=

工效工作量工时=；

（3）比率问题： 部分=全体·比率 全体部分比率= 比率

部分

全体=；

（4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价·折·

10

1

，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率；

（6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2

，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，

S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2),V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3

1πR 2

h.

经典例题

1、下列方程中，一元一次方程有几个 {

① 2

210x x --= ② 223x y -= ③ 11x --= ④ 1

20x

-= 2、若关于x 的方程3x

4n －7

＋5＝17是一元一次方程，求n ．

3、．已知：y 1＝4x －3，y 2＝12－x ，当x 为何值时，

(1)y 1＝y 2；(2)y 1与y 2互为相反数；(3)y 1比y 2小4．

4、已知关于y 的方程y ＋3m ＝24与y ＋4＝1的解相同，则m 的值是( )．

5、已知2

232012x x +=，求代数式2

466x x --+的值。

举一反三

1、若3x ＋2a ＝12和方程3x －4＝2的解相同，则a ＝______． "

2、已知x ，y 互为相反数，且(x ＋y ＋3)(x －y －2)＝6，则x ＝______．

3、已知(m 2－1)x 2

－(m －1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，它的解为n ．

(1)求代数式200(m ＋n )(n －2m )－3m ＋5的值； (2)求关于y 的方程m ｜y ｜＝n 的解．

3.2

解一元一次方程（一）移项与合并

1、．已知x ，y 互为相反数，且(x ＋y ＋3)(x －y －2)＝6，则x ＝______．

2、 (1)2

1323-=-x (2)

2

1

132-=-x x

，

3、k 为何值时，多项式x 2－2kxy －3y 2

＋3xy －x －y 中，不含x ，y 的乘积项．

4、已知21

=

x 是方程x x a +=+2

1125的解，求关于x 的方程ax ＋2＝a (1－2x )的解．

5、学校暑期组织一些学生到外地做一项社会调查，每张车票原价50元，甲车主说：“乘我的车，可以八折优惠”；乙车主说：“乘我得车学生九折，老师不用买票”，负责的老师计算了一下不管乘谁的车，花费都一样，请问参加社会调查的学生有多少名

举一反三

1、下列说法中正确的是( )．

(A)3x ＝5＋2可以由3x ＋2＝5移项得到 (B)1－x ＝2x －1移项后得1－1＝2x ＋x 、

(C)由5x ＝15得5

15

=

x 这种变形也叫移项 (D)1－7x ＝2－6x 移项后得1－2＝7x －6x

2、一个邮递员骑自行车需要在规定的时间内把信件送到某地，如果每小时走15千米可以提早24分钟到达，如果每小时走12千米就要迟到15分钟。求原规定的时间是多少他去某地的路程有多远

3、某地出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价6元，超过部分每千米的路程收费元，某天老师去看望学生，坐出租车付了元，问李老师乘车多少千米

3.3

解一元一次方程（二）去括号与去分母

、

1、今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x 岁，可列方程为( )．

(A)2x ＋4＝3(x －4) (B)2x －4＝3(x －4) (C)2x ＝3(x －4) (D)2x －4＝3x 2、将3(x －1)－2(x －3)＝5(1－x )去括号得( ) (A)3x －1－2x －3＝5－x (B)3x －1－2x ＋3＝5－x (C)3x －3－2x －6＝5－5x (D)3x －3－2x ＋6＝5－5x

3、已知关于x 的方程(a ＋1)x ＋(4a －1)＝0的解为－2，则a 的值等于( )． (A)－2

(B)0

(C)

3

2 (D)

2

3 4、已知y ＝1是方程y y m 2)(31

2=--的解，那么关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解是( )

(A)x ＝10 (B)x ＝0 (C)3

4=

x (D)4

3=

x 5、若关于x 的方程

)1(42

2-=+x a

x 的解为x ＝3，则a 的值为( )． )

(A)2

(B)22

(C)10

(D)－2

6、解方程 (3)3.15.03

2.04-=--+x x

(4)2]2)14

(32[23=---x x

7．已知关于x 的方程27x －32＝11m 多x ＋2＝2m 的解相同，求221

m

m +

的值．

8、若2｜x －1｜＝4，则x 的值为_________．

9、若｜x ＋3｜＝x ＋3，则x 的范围为______________．

。

10、有一批零件，甲单独做需要40小时完成，乙单独做需要30小时完成，现在甲做几小时后，其余任务由乙完成，乙比甲多做2个小时，则甲做了几个小时

举一反三

1、解方程 (1)4

5

4436+=-y y (2)

6

2

372345--

-=+-x x x x 2、将

103

.001.05.02.0=+-x

x 的分母化为整数，得( )． (A)

1301.05.02=+-x

x

(B)1003

505=+-x x (C)100301.05.020=+-x

x

(D)13

505=+-x x 3、关于x 的方程(k ＋2)x 2

＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则k ＝________． 《

4、已知方程mx ＋2＝2(m －x )的解满足,0|2

1

|=-

x 则m 为________． 5、 方程｜x ｜＝3的解是______，｜x －3｜＝0的解是______，3｜x ｜＝－3的解是______，若｜x ＋3｜＝3，则x ＝______．

6、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工16个大齿轮或者10个小齿轮，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，问需要分别安排多少名工人加工大齿轮和小齿轮 实际问题与一元一次方程

1、（经济利润问题）一家商店将某种服装进价提高30%作为标价，又乙九折优惠卖出，结果每件仍可获利17元，这种服装每件进价是多少元

2、（方案选择问题）某同学在A ，B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元

(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，A 超市所有商品打七五折销售；B 超市全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱 }

3、（配套问题）某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能

使每天生产的这两种零件刚好配套

4、（工程问题）检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成．问乙中途离开了几天

5、（数字问题）一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换顺序后所得数比原数小63．求原

数．

^

6、（行程问题）某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件．送

到后立即返回队尾，共用分钟．求队伍长．

7、（实际问题）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李强去商店买奖品，下面是李强与售货员

的对话：李强说：阿姨好!售货员：同学，你好，想买点什么李强说：我只有100元，请您帮忙安排买10支钢笔和15本笔记本。售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗

1、选择题

（1）．篮球赛的组织者出售球票，需要付给售票处12％的酬金，如果组织者要在扣除酬金后，每张球票净得12元，按精确到元的要求，球票票价应定为( )．

，

(A)元(B)元(C)元(D)元

（2）．一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20％，若该彩电的进价是2400元，则彩电的标价为( )．

(A)3200元(B)3429元(C)2667元(D)3168元

(3)．某商店将彩电按原价提高40％，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利270元，那

么每台彩电原价是( )

(A)2150元(B)2200元(C)2250元(D)2300元

2、某商场节日酬宾，全场八折，一种DVD的利润率是10%，这种DVD的进价是1600元，那么它的标价是多少元

3、某中学组织初一同学春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．试问：

、

(1)初一年级人数是多少原计划租用45座客车多少辆

(2)要使每个同学都有座位，怎样租车更合算

4、有一个三位数的百位数字是1，如果把1移到最后，其他两位数字顺序不变，所得的

三位数比这个三位数的2倍少7，求这个三位数．

?

5、一项工程甲、乙两队合作10天可以完成，甲队独做15天完成，现两队合作7天后，其余工程由乙队独做．乙

队还需几天完成

7、某市居民生活用电基本价格为每度元，若每月用电量超过a度，超过部分按基本电价的70％收取．

(1)某户5月份用电84度，共交电费元，求a是多少；

(2)若6月份的电费平均为每度元，求该户6月份共用多少度电，应交纳多少电费

8、某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对机体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一，所有师生按票价的88%购票；方案二：前20位购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票。（1）若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱

（2）参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多