多元函数的可微性

摘要对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系的研究是多元微分学中的一个难点.此文在分别给出了一系列关于多元函数可微、连续，偏导存在的定理之后，本文主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些研究.多元函数微分学和一元微分学相比，虽然多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但多元函数确也有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技复杂程度上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要抓住这两个特点，我们要看到它们的相同之处，又要分清它们不同之处.关键词连续性偏导存在性可微性AbstractFor continuous multivariate function, the existence of partial derivation, differentiability of concept and Research on the causal relationship between them, is a difficult problem in multivariate differential science. In this paper respectively gives a series on the differentiability of multivariate function, can be partial to guide, after the continuous theorem, mainly two unary as a function of example, through concrete examples for some discussion on the relations of several important concepts of differential calculus of differential calculus. And compared, although there are many multivariate differential calculus and differential calculus similar, but a function of many qualitative leap has multiple functions, and from two unary to three unary, function above, only the skills of the differences, but not essentially different. Study of differential calculus to seize these two characteristics, only to see their similarities, pay attention to different points again.KeywordsContinuity the existence of partial derivation differentiability内蒙古财经学院本科毕业论文多元函数的可微性作者姚淑艳系别统计与数学学院专业数学与应用数学年级 09 级学号 902091125指导教师王君导师职称一、绪论在这里我们讨论多元函数的可微性，多元函数是一元函数的推广，所以它保留着一元函数的一些性质，由于自变量有一个增加多个，就有了某些新的内容.以前学习的时候，我们主要学习了一元函数，对于函数()0y f x =在x 极限存在、连续、可微，以及这三个概念之间的关系.例如它们之间有一些性质：可微必连续，但连续不一定可微，连续必有极限，但有极限不一定连续.多元函数微分学是我们在大学时学习中的一个重点和难点，它涉及的内容是微积分学在多元函数中的体现，有关多元函数的连续性，可微性及偏导数存在之间的关系是我们在学习中容易发生模糊和不易把握的一个知识点. 在学习的时候容易混淆它们之间的关系。

对于多元函数，我们学到的主要是二元函数，它与一元函数有些不同，如它没有一元函数可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但二元函数的可微性是证明的.从二元函数的性质中，我们知道：若二元函数(),z f x y =在点()000,p x y 可微，则函数(),f x y 在点0p 连续.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列关系：偏导连续推出可微，可微推出连续，偏导存在；他们的反方向结论不成立，但其可加一些特定的条件使其成立.下面我们分别从二元函数的可微性、偏导存在性、连续性进行探讨，从而到它们之间进行探讨.二、补充概念（一）一元函数连续性的定义设函数f 在某()0U x 内上定义，若()()00lim ,x x f x f x →=则称f 在点0x 连续.（二）一元函数可微性的定义设函数(),y f x =当自变量0x x =有增量x ∆时，若存在于无关的常数()0A x ，使得函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-可表示为()()0y A x x x ο∆=∆+∆ ()0x ∆→，则称()0f x x x =在处可微，()0A x x ∆称为()0f x x x =在处的微积分，记为()()000012x x x x dy A x x df A x x ===∆=∆或.（三）二元函数连续性的定义设f 为定义在点点集2D R ∈上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点)，对于人给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0P U P D δ∈⋂；,就有 ()()0f P f P -<ε， 则称f 关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.（四）二元函数可微性的定义设函数)(,z f x y =在点()000,P x y ，的某邻域()0U p 内有定义，对于()0U p 中的点()(),,P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为：()()00,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-()A x B y ορ=∆+∆+ （1）其中,A B 是仅与点0P 有关的常数，ρ()ορ是较ρ较高的无穷小量，则称函数f 在点0P 可微，并称（1）式中关于,x y ∆∆的线性函数A x B y =∆+∆为函数f 在点0P 的全微分，记作()000,P dz df x y A x B y ==∆+∆ （2）由（1）、（2）可见dz 是z ∆的线性主部，特别当,x y ∆∆充分小时，全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值，即()()()()0000,,f x y f x y A x x B y y ≈+-+-.（五）二元函数偏导数的定义设函数(),z f x y =，(),x y D ∈，若()00,x y D ∈，且()0,f x y 在0x 的某邻域内有定义，则当极限()()()00000000,,,limlim x x x f x y f x x y f x y x x∆→∆→∆+∆-=∆∆，存在时，称这个极限为函数f 在点()00,x y 关于x 的偏导数，记作()00,x f x y 或()00,x y fx ∂∂．若(),z f x y =在点()000,P x y 存在()00,f x y x ∂∂与()00,f x y y∂∂，称(),z f x y =在点()000,P x y 可偏导.三、多元函数的连续性若一元函数在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数在这点连续，但对于二元函数(),f x y 来说，即使它在某点()000,p x y 即存在关于x 的偏导数()00,x f x y ，又存在关于y 的偏导数()00,y f x y ，(),f x y 在()000,p x y 也不一定连续.甚至，即使在()000,p x y 的某邻域()0U p 存在偏导数(),x f x y （或(),y f x y ），而且(),x f x y （或(),y f x y ）在()000,p x y 连续，也不能保证(),f x y 在()000,p x y 连续.但是，我们却有如下的定理. 定理 1 设函数(),f x y 在点()000,p x y 的某邻域()0U p 内有定义，若()0,f x y 作为y 的一元函数在点0y y =连续，(),x f x y 在()0U p 内有界，则(),f x y 在点()000,p x y 连续. 证明 任取)(()000,,x x y y U p ++∈则 )()(0000,,f x x y y f x y ++-)()()()(00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- （3） 由于(),x f x y 在()0U p 存在，故对于取定的()000,,y y f x y +作为x 的一元函数在以00x x x +和为端点的闭区间上可导，从而由一元函数微分学中的Lagrange 中值定理知，存在(0,1)θ∈，使0000(,)(,)f x x y y f x y y +∆+∆-+∆= 00(,)x f x x y y x θ+∆+∆∆将它代入（3）式得0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=+∆+∆∆++∆- （4） 由于00(,)x x y y θ+∆+∆0()U p ∈，故00(,)x f x x y y θ+∆+∆有界，因而当(,)(0,0)x y ∆∆→时，有00(,)0x f x x y y x θ+∆+∆∆→又，据定理的条件知，0(,)f x y 在0y y =连续，故当(,)(0,0)x y ∆∆→时，又有0000(,)(,)0f x y y f x y +∆-→所以，由（4）知，有00000lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→+∆+∆-=0这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内有界，0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.四、多元函数的偏导数由一元函数微分学可知，若()0f x x 在点可微，则函数增量()()()()000,=f x x f x A x x A f x ο'+∆-=∆+∆其中.同样，若二元函数f 在点()00,x y 可微，则f 在()00,x y 处的全微分可表示成()()()0000,,f x x y y f x y A x B y ορ+∆+∆-=∆+∆+.下面我们来了解一下下面的定理.定理3 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//yx f 在0p 对y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xy yx f x y f x y =证明 设000(,)p x y 的邻域为 ：{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x 在0x 有增量x ∆00(0,(,))x x x U x δ∆≠+∆∈，y 在0y 有增量y00(0,(,))y y y U y δ∆≠+∆∈，则要证极限////0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y→+∆-=∆ （5）存在且值为//00(,)xy f x y .因为/x f 在0()U p 存在，所以/0000000(,)(,)(,)limx x f x x y y f x y y f x y y x∆→+∆+∆-+∆+∆=∆及 /0000000(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆都存在，将其代入（5）式右端得 //00(,)xy f x y 00lim limy x ∆→∆→=[][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x +∆+∆-+∆-+∆-∆⋅∆（6）作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+∆-因为/y f 在0()U p 存在，所以///(,)(,)(,)y y y x y f x x y f x y ϕ=+∆-在0()U p 存在，故对函数0(,)x y ϕ，在以0y 和0y y +∆为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，得/000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+∆-=+∆∆ (01)θ<<而由(,)x y ϕ的构造可知，上式即[]0000(,)(,)f x x y y f x y y +∆+∆-+∆[]0000(,)(,)f x x y f x y -+∆-//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=+∆+∆-+∆⎣⎦y (01)θ<<将其代入（6）式右端得//0000//0000(,)(,)(,)lim limy y xy y x f x x y y f x y y y f x y y x θθ∆→∆→⎡⎤+∆+∆-+∆∆⎣⎦=∆∆ //000000(,)(,)lim lim y y y x f x x y y f x y y xθθ∆→∆→+∆+∆-+∆=∆ (0)y ∆≠ 又因为//yx f 在0()U p 存在，所以//00000(,)(,)limy y x f x x y y f x y y xθθ∆→+∆+∆-+∆∆//00(,)yx f x y y θ=+∆//////0000000(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ∆→=+∆= （//yx f 在0p 对y 连续）定理得证.五、多元函数的可微性首先我们来介绍一下多元函数可微性的判定定理.（一）判定定理定理 4 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内偏导数zx∂∂和z y ∂∂都存在， 且z y ∂∂在(),x y 关于x 连续（或zx ∂∂在(),x y 关于y 连续），则(),z f x y =在点(),x y 可微分. 证明 因为()(),,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-()()()(),,,,f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 又因为()()()1,,,x f x x y f x y f x y x x ε+∆-=∆+∆，()()()2,,,y f x x y y f x x y f x x y y y ε+∆+∆-+∆=+∆∆+∆,其中120lim 0,lim 0x x εε∆→∆→==.又因为(),y f x y 在(),x y 关于x 连续，所以()()3,,y f x x y f x y ε+∆=+，其中30lim 0x ε∆→=.所以()()()23,,,y f x x y y f x x y f x x y y y y εε+∆+∆-+∆=+∆∆+∆+∆，所以()()123,,x y z f x y x f x y y x y y εεε∆=∆+∆+∆+∆+∆.又因为123εεε≤++,所以()()(),,x y z f x y x f x y y ορ∆=∆+∆+，所以函数(),z f x y =在点(),x y 可微分. 由该定理可得到如下两个推论.推论 1 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内偏导数zx∂∂和z y ∂∂都存在，且z y ∂∂ 在点(),x y 连续，则函数(),z f x y =在点(),x y 可微分.推论 2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 的某一邻域内有连续的偏导数zx∂∂和z y ∂∂，则函 数(),z f x y =在点(),x y 可微分.六、多元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系上面我们分别介绍了多元函数的连续性，偏导存在性和可微性的定义及一些性质，为了更好的掌握多元函数可微性，下面我们来讨论一下它们之间的关系。