多元函数可微的充分必要条件
式 代 入 得 ：
ｆ（Ｐ）－ｆ（Ｐｏ）
—
—
：
ｆ￣（Ｐｏ）ｃ。ｓ ＋Ｌ（Ｐｏ）ｃ。ｓ０２＋
Ｐ
Ｐ
从 而 有 ：
ｌｉｍ。 ｆ（Ｐ）－Ｐｆ （Ｐｏ） ：躲［ （ ）ｃ。ｓ ＋ （ｐ。）ｃｏｓ０￣１＋ｌ ｉ． ｍ＋。Ｏ（ｐ）
。
Ａ（Ｐ０）ｃｏｓ０１＋ｆｙ（Ｐｏ）＇Ｃ￣ｓ０２
证 明 ：必 要 性 ，因 为 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）可 微 ，所 以 存 在
义 ，则 函 数 ｆ（ｘ，Ｊ，）在 点 Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 点 Ｐ（ｘ ，Ｙｏ）的 两 个 偏 导 数 都 存 在 ，且 ： 一 ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ０，ｙ）～ｆ（ｘ，Ｙ。）＋＿厂（Ｘｏ，Ｙ０）＝０（ｐ）
其中（ ， ）∈ｕ，ｐ＝√（ —ｘｏ） ＋（ ～Ｙｏ）
１ｙ－ＹＯ＝ｐＣＯＳ０２
（。）
由假 设 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）可微 。则 有 ，（ｐ）一ｆ（Ｐ０）＝ （ｐ。）（ — 。）＋ （ｐ。）（ —Ｙ。）＋Ｏ（ｐ）
（２）
其中Ｐ＝√ 一 ） ＋（ —Ｙ０） ，（２）式两端同除以ｐ，并把（１）
３ 充分 必要条件 定 理 ３：设 函 数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的 某 个 邻 域 ｕ内 有 定
１ 可微 的必 要条件
定理 Ｉ：如果 函数 ｚ：ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ， ）处 可 微 ，则 在 该 点处 函
数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）的两 个偏 导 数 与 一 定 存 在 ，且 有 ：
矛盾，于是，函数厂 ， ）＝、／『 在原点（ｏ，０）不可微。
２ 可 微 的 充 分 条 件
．
定 理 ２：如 果 函 数 ｚ ｆ（ｘ， ）的 偏 导 数 与 在 点 Ｐ（ 。， ） 的 某 个 邻 域 内 连续 ，则 函数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘｏ，Ｙ。）处 可微 。
＝０（ｐ）＋ （ —Ｘｏ）＋ｆｌ（Ｙ一 ）Ｊ＝０（ｐ）
参 考 文 献
［１】同 济 大 学 数 学 系 ．高 等 数学 （上 册 ）［Ｍ］．北京 ：高等 教 育 出版 社 ，
２００９．
［２］汪 浩 ．高 等 数 学 （下 册）【Ｍ】．长 沙 ：国防 科 技 大 学 出版 社 ，１９８８． 【３】刘 玉 琏 ，傅 沛 仁 ．数 学 分 析 （下册 ）【Ｍ】．北 京 ：人 民 教 育 出版 社 ，
ｆ（ｘｏ＋Ａｘ，Ｙ０十△ｙ）一厂 ０，Ｙ０＋Ａｙ）＝ （ ０＋ＯｔＡｘ，Ｙ０＋ａｙ）Ａｒ （０＜０１＜１）
又 依假 设 ， ，Ｙ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）处 连续 ，得 ： ｌｉｍ （Ｘｏ十 血 ， 。＋△ ）：Ｌ（ｘｏ， ）
上 式 两 边 同时 除 以 ，再取 当 ＿÷０的 极 限 得 ，
充分 性 ，因 为 函 数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ。，Ｙｏ１ ）沿 任 一 方 向 的 方 向
（ ｏ，Ｙ０）和 ／ （ ｏ，．ｙ０），且 ：
导 数 关 于 方 向 ｒ一 致 收 敛 的 ，即 对 Ｖｓ＞０，］５＞０， 当 ｌＰｌ＜ ，且
ｆ（ｘ，Ｊ，）一ｆ（ｘｏ，Ｊ，）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘｏ，Ｙ０）
△Ｚ＝Ａ·Ａｘ＋Ｂ·Ａ），＋Ｄ（ｐ）
其中Ｐ：√（ ） ＋Ｏｘｙ）
即 ｆ（ｘ＋ ，Ｙ＋ ）一ｆ（ｘ，ｙ）：Ａ·Ａｘ＋Ｂ－△ ＋Ｄ（ｐ） 令 ＝０，这时 Ｐ＝』△ ，于是
ｆ（ｘ＋ ， ）－ｆ（ｘ， ）＝Ａ· ＋Ｄ（Ｉ 『）
某 个 邻 域 内存 在 ，设 点 （Ｘ。＋Ａｘ，Ｙ０＋△ ）为 该 邻 域 内 任 一 点 ，得 ：
１９８３，３．
【４１包 志 清 ．多 元 函数 可微 的 一 个 充 要 条 件【Ｊ】．重 庆 ：重庆 商 学 院 学 报 ，ｌ ８（２）．
（上 接 １１ ２页 ） 然 ，有 的 不 仅 要 知 其 然 ，还 要 知 其 所 以 然 。
参 考 文 献
【１］陈 琦 ，刘 儒 德 ．当代 教育 心 理 学 （第２版 ）【Ｍ］，北 京 师 范 大 学 出 版
： 为 △ 的 函 数 ，而 且 ，当 ０时 ，有 ｓ２ ０。
（２）
Ｌｚ · ’
所 以 ＝
例１：讨论函数ｆ（ｘ， ）＝，／ｒｘＹＪ在原点（ｏ，０）存在两个偏导数 ，但
由（１）（２）两 式 可 知 ，在 与 连 续 下 ，有
＝ （ ｏ，Ｙｏ） 十 （ ０，Ｙ０） ＋ｓｌ ＋６＂２ 又 因 为
关键 词 ：多元函数 偏 导数 可微 充分必要 条件
中图分 类号 ：０１ ７ ２
文献 标 识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ ６７ ３－９７９５（２０１ ２）０４（ａ）－Ｏ１１ ３－０２
一 元 函 数 可 微 与 可 导 是 等 价 的 ，且 ＝ｆ ）出 。那 么 多元 函 数在 某 一 点处 可 微 与 它 在 该 点 处 的偏 导 数 具 有 怎 样 关 系呢 ？，本文 以二元 函数来 简述这个 问题 ，即二元 函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在点 ， ） 处 可 微 与 它 在 该 点 处 的 偏 导 数 之 间的 关 系 。
ｄｚ＝ （Ｏ，０） ＋ （Ｏ，Ｏ） ＝０
△ｚ＝，（０＋ ，０＋ ）一ｆ（０，ｏ）＝√｝ ·Ａｙｊ
特 别 地 ，取 △］ｃ＝△ ，有 ：
Ａｚ＝、／ｉ · ｌ＝，／１￣１ ：Ｉ ｌ
Ｐ＝√（△）ｃ） ＋（ ） ＝√２（△］（） ＝ ｛△）ｃｌ
于是
＝
＿＝ － １ 圳。
令 — 一 ，于 是 （３）式 也 可 表 示 为
又因为，当ｐ≠ｐ。时，印是ｐ＝４（ｘ一 ） ＋（ｙ一 ） 的高阶无
穷小 ，所 以 函数 ｆ（ｘ， ）在 点 尸（ ，Ｙｏ）可 微 。
充 分 性 因 为 （ ，ｙ。）和 ｏ，ｙｏ）存 在 ，且 ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ０， ）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘ０，Ｙ。）＝０（ｐ） 又 由 于 ：
／【 ， ）一 （ ｏ， ）一 （ ， ）＋／（ ０，ｙｏ）
ａｚ ａｚ
证 明：由假设 ，函数 ｆ（ｘ， ）的偏导数 与 在点Ｐ（ｘｏ， ）的
ｄｚ： ． ＋ ．Ａｙ
。
证 明 ：由假 设 函 数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ， ）处 可 微 ，可 知 存 在 两 个 与 ，△ 无关 的常 数 Ａ、Ｂ，使 函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）的 改 变 量 可 表 示 为 ：
理 论 前 沿
Ｌ（ｘ，ｙ）＝２ ｓｉｎ丽 １ 一 ｃ。ｓ
（ ｚ＋ ｚ 。）
由二 元 函数 在 一 点 可 微 的 定 义 可 知 ，函 数 ／ ，Ｊ，）在 点 Ｐ（ｘ０，Ｙ０）可 微 。
令 Ｘ＝ＰＣＯＳ ，Ｙ：Ｐ ｓｉｎ口 ，得
（
古） （ｐｃ。ｓ ｎ １ ＣＯＳａ
一
ｃ。ｓ
０
ｐ
ｐ２ ｓｉｎ
： ｌｉｍ — — 。 。 Ｐ
： ｌｉｍ ｐ ｓｉｎ ：０ ｐ 。 Ｐ
故 函数 ｆ（ｘ，Ｙ）在 点 （０，０）处 是 可 微 的 。
Ｐ＝√ 一‰） ＋（Ｙ一 ） 是关于方向ｒ一致收敛。
证 明 ：必 要 性 ，设 ｐ（ｘ，ｙ）为 上 任 一 点 ，得 有 ：
一 ｘ０＝ ｐＣＯＳ０１
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）一Ｌ厂（ｘ，Ｙｏ）一ｆ（ｘｏ，Ｙ。）＋ｆ（ｘ。， ）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）Ｊ ＝ ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ ，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）＋ （ ，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋ａ（ｘ～ ｏ）＋ｆ ｌ（ｙ一 ）ｌ
其 中 当 （ ， ） （ｘ０，Ｙ ）时 ，有 ０， ０，故 有 ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ ，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）～ （ ，ｙｏ） 一ｙｏ）
△Ｚ＝ （Ｘｏ，Ｙ０） 十 （Ｘｏ，Ｙ０） ＋ 其 中 是 当 Ｐ ０时 的 无 穷 小 。 故函数 ｚ＝ｆ（ｘ， ）在点 尸（ ，Ｙｏ）处可微。 例 ２：讨 论 函 数
）ｓｍ
：
Ｊ０
Ｘ２＋ｙ ＝０
在 点 （０，０）处 可 微 ，但 是 它 的偏 导 数 在 该 点 处 不 连 续
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘｏ，ｙｏ）一【厂（ｘ，ｙ。）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）＋ｆ（ｘ。，ｙ）一ｆ（Ｘｏ，Ｙｏ）］
＝ ｆ（ｘ， ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一 （ｘｏ，Ｊ ）（ 一 ）＋／ （Ｘｏ，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋ （ —Ｘｏ）＋ｐ（ 一ｙｏ）Ｊ 其 中 当 ， ）＿÷（ｘ ，Ｙｏ）时，有 ０，卢 ０。 由函 数 ｆ（ｘ， ）在 点 Ｐ（ｘ Ｙｏ）可 微 性 的假 发 ，得 ： ｆ（ｘ，Ｙ）一ｆ（ｘＤ，Ｙｏ）一 （Ｘｏ，ｙｏ）（ —ｘ０）一 （ ０，Ｙｏ）（Ｙ—Ｙ。）＝０（ｐ）
理 论 前 沿
Ｃ￣ｉｎｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ￣ｎｎｏｖａ：ｔ：ｉｏ：ｎ ： Ｈ＝ｅ ｒａ ： ｌｄ● 矗Ｕ：
多 元 函数 可 微 的 充 分 必 要 条 件
庞 通 （广西 机 电职业技 术学 院 南宁 ５３０００７）
摘 要 ：以二 元 函数 可微 的必要 条件 、充分 条件 和充要 条件 来阐述 多元 函数 在 点 （Ｘ，Ｙ）处 可微 与偏 导数 的关 系。
（３）
是 函 数 在 原 点 （０，０）不 可 微 。 解 ：函数 ｆ（ｘ， ）在 原 点 （０，０）处 偏 导 数 存 在 ，即 ：
Ｉ ｆ≤【ｓｌＩ ：ｌ 咔：Ｉ
。
，
＝
＝ 。
而 且 随 着 （ ， ） （０，０）时 ，有Ｐ ０
盟
＝牌 ＝。
但 是 ，它 在 原 点 （０，０）不 可 微 ，事 实 上 ，反 之 ，如 果 它 在 原 点 （０，Ｏ）可 微 ，则 必 有 ：
Ａｚ＝ｆ（ｘ０＋ ，Ｙ０＋ ）一ｆ（ｘ０，Ｙ０）
＝ ［ｆ（ｘｏ＋ ，Ｙ。＋ｚｘｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ＋△ｙ）】＋【厂（． ，Ｙ。＋ ）一ｆ（ｘｏ ）】
在 第 一 括 号 内 的 表 达 式 ，由于 ＋△ 不变 ，因 而 可 以 看 作 是 Ｘ的 一 元 函数 ｆ（ｘ，Ｙ。＋ ）的 增 量 ，应 用 拉 格 朗 日中 值 定 理 ，得 ：
3.全微分
课堂练习
x y 2 2 ,x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
2
函数的全微分是否存在？
x y 2 2 , x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
第三节
第九章
全微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算 估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
*二、全微分在近似计算中的应用
偏增量与全增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y )x f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
从而得到 z 的绝对误差约为
绝对误差与相对误差 从而得到 z 的绝对误差约为
z z x z y ;
x y
z 的相对误差约为
z z z x y x y . |z| z z
例6 测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm, 且可能的最大测量误差 为0.2cm. 试用全微分估计 利用这些测量值 计算盒子体积时可能带来的最大 误差. 解
y, 则
| z || z x | x | z y | y .
内容小结
1. 微分定义:
定义
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数的可导和可微关系
多元函数的可导和可微关系一、多元函数的可导性对于一个多元函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$，如果函数在其中一点$(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)$处的偏导数存在且连续，并且函数在该点的微分$\Delta f$可表示为：$$\Delta f=f(x_1^0+\Delta x_1, x_2^0+\Delta x_2, ...,x_n^0+\Delta x_n)-f(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)\tag{1}$$其中$\Delta x_i$表示自变量$x_i$的增量。
如果存在一个线性函数$L(x_1, x_2, ..., x_n)$使得：$$\Delta f=L(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)+R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)\tag{2}$$其中$R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)$满足：$$\lim_{\Delta x_1,\Delta x_2,..., \Delta x_n \to0}\frac{R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)}{\sqrt{(\Delta x_1)^2+(\Delta x_2)^2+...+(\Deltax_n)^2}}=0\tag{3}$$那么称函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$处可导，并且线性函数$L(x_1,x_2,...,x_n)$称为函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在该点的导数，记作：$$L(x_1, x_2, ..., x_n)=\frac{\partial f}{\partialx_1}\Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\Deltax_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n\tag{4}$$其中$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$对$x_i$的偏导数。
可微的条件
第三节第八章多元函数的全微分)()x f x x −∆+x x ∆′)()(x οx ∆+对x 的偏增量对x 的偏微分A =函数的微分对y 的偏增量对y 的偏微分)(y οy ∆+时）)在点(x ,y)的全增量y x ∆∆、的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量.0)(),(),(lim 00000=∆+∆−−∆+∆+=→ρy B x A y x f y y x x f ρ定理8.2 (多元函数可微的必要条件)若函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微,则(2) 函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 的两个偏导数,),(y x f x .d ),(d ),(d y y x f x y x f z y x +=存在,且有(1) 函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 连续;),(y x f y ,),(y x f A x =),(y x f B y =从而二、可微的条件若z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微, 则证1. 可微与连续、可偏导的关系可微连续可偏导则不可微；用可微的充要条件判断:(x .0))0,0()0,0(()0,0(),(lim 0=+−−→ρy f x f f y x f y x ρ？用此式判断函数在一点是否可微0])0,0()0,0([)0,0(),(lim 0=+−−→ρy f x f f y x f y x ρ？则ρρωρρ22)(0)(0lim lim y x x y x y +==→=→22)(0lim y x xy x y +==→ρ依偏导数的连续性及函数极限与无穷小的关系：)0lim ()()(lim =+=⇔=→→ααax a x A x f A x f y y x f x y ∆+∆),()yβx α∆+∆+只须证这一部分是比ρ高阶的无穷小0→y偏导数连续可微=),(y x f )0,0(),(,1sin 22≠+y x y x xy )0,0(),(,0=y x 不存在.所以),(y x f x 在)0,0(不连续. 同理可证),(y x f y 在)0,0(不连续.=),(y x f )0,0(),(,1sin 22≠+y x y x xy )0,0(),(,0=y x 且可微在点,)0,0(),(y x f ∴0),(d )0,0(=y x f 说明:此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件而非必要条件.22)0,0(),())0,0()0,0(()0,0(),(limyxyfxffyxf yxyx+⋅+⋅−−→=?。
5-3全微分的定义与可微的条件
二、可微的条件
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
1x 2 y 0 1 2 0,
故函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
z z dz x y ． x y
为
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
函数在点(0,0) 处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
证 z f ( x x , y y ) f ( x , y )
二元函数可微性判定公式
二元函数可微性判定公式
二元函数可微的定义是函数z=f(x，y)在点(x，y)的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。
令x=y=0，则全增量Δz=f(Δx，Δy)-f(0，0)，将符号Δx，Δy换成x，y来表示，则(x，y)→(0，0)时函数f(x，y)的Δz=f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，符合定义的要求，所以f(x，y)在点(0，0)处可微。
二元函数可微的条件
1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。
3、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。
4、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。
第三节全微分及其应用分布图示偏增量与全增量全微分的定义可微...
第三节 全微分及其应用分布图示★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件★ 可微的充分条件★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8—3 ★ 返回内容要点一、全增量与偏增量 二、全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4) 定理 2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算dz z ≈∆y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)例题选讲例1（E01）求函数62354y x xy z +=的全微分. 解 因为,3012,10452263y x xy yzxy y x z +=∂∂+=∂∂ .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=例2（E02）计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解,xy ye xz=∂∂,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂所求全微分.222dy e dx e dz +=例3 求函数 yz e yx u ++=2sin 的全微分. 解 由,1=∂∂x u,2cos 21yz ze yy u +=∂∂ ,yz ye zu=∂∂ 故所求全微分.)2cos 21(dz ye dy ze ydx du yz yz +++=例4（E03）求函数zy x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x xy x y x u ⋅=⋅=∂∂-1z z y z z y x yx y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1y x y x y y x x zuz y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z例5（E04）计算02.2)04.1(的近似值.解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=例6（E05）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz zV dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx再结合,40,60,75===z y x 得dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422Tlg π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224Tlg π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的代替.g ∆这样就得到g 的误差为g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为%.5.02/)1004(5.0222g=⨯=ππδg课堂练习1.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?。
17.1可微性
第十七章 多元函数的微分学§1 可微性教学目的 掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件． 教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、 可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性） 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B是仅与点0P 有关的常数，()ρρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。
全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二 、 偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三 、 可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且 ==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。
《数学分析》第四章多元函数微分学
《数学分析》第四章多元函数微分学第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图极限连续重极限与累次极限基本概念有界性极限存在的判别方法极值和最值基本性质极限与连续介值性偏导数可微性概念可微和连续可微的必要条件可微的充分条件复合函数微分隐函数微分计算参数方程微分多元函数微分学全微分（三元为例）df=f x dx+f y dy+f z dz 条件极值应用高阶导数与微分多元极值切线、法线、法平面、切平面泰勒公式二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.三、本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点A 与任意点集E 的关系.1) 内点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的内点。
2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。
3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域内既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。
4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()oUA 内部都含有E 中的点，则称点A 是点集E的聚点。
5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。
2. 几种特殊的平面点集.1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的内点，则称E 为开集。
2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。
高数定理大解析必背
高等数学定理大解析-考研必捋版考研大纲要求范围+高数重点知识第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界,K1为下界；如果有fx≤K2,则有上界,K2称为上界;函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界;2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期3、数列的极限定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限;定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界; 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,-1n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件;定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a;●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的;4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关;定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A,而且A>0或A<0,就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0,反之也成立;●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即fx0-0=fx0+0,若不相等则limfx不存在;●一般的说,如果limx→∞fx=c,则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线;如果limx→x0fx=∞,则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线;5、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1x≥F2x,而limF1x=a,limF2x=b,那么a≥b;6、极限存在准则●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1;●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立;●单调有界数列必有极限;7、函数的连续性●设函数y=fx在点x0的某一邻域内有定义,如果函数fx当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值fx0,即limx→x0fx=fx0,那么就称函数fx在点x0处连续;●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim x→x0fx不存在；3、虽在x=x0有定义且limx→x0fx存在,但limx →x0fx≠fx0时则称函数在x0处不连续或间断;●如果x0是函数fx的间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数fx的第一类间断点左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点;非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点无穷间断点和震荡间断点;●定理有限个在某点连续的函数的和、积、商分母不为0是个在该点连续的函数;●定理如果函数fx在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反函数x=fy在对应的区间Iy={y|y=fx,x∈Ix}上单调增加或减少且连续;反三角函数在他们的定义域内都是连续的;●定理最大值最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值;如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值;●定理有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,即m ≤fx≤M;●定理零点定理设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号即f a×fb<0,那么在开区间a,b内至少有函数fx的一个零点,即至少有一点ξa<ξ<b使fξ=0;●定理介值定理设函数fx在闭区间a,b上连续,且在这区间的端点处取不同的值fa=A,fb=B,那么对于A与B之间的任一数C,在开区间a, b内至少有一点ξ使fξ=C,a<ξ<b;●推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件●函数fx在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限limh→-0fx0+h-fx0/h及右极限limh→+0fx0+h-fx0/h都存在且相等,即左导数f-′x0右导数f+′x0存在相等;2、函数fx在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数fx在点x0处连续≠>在该点可导;即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件;3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒数;4、函数fx在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数fx在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导;第三章中值定理与导数的应用1、定理罗尔定理如果函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,且在区间端点的函数值相等,即fa=fb,那么在开区间a,b内至少有一点ξa<ξ<b,使的函数fx在该点的导数等于零：f’ξ=0;2、定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么在开区间a,b内至少有一点ξa<ξ<b,使的等式f b-fa=f’ξb-a成立即f’ξ=fb-fa/b-a;3、定理柯西中值定理如果函数fx及Fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,且F’x在a,b内的每一点处均不为零,那么在开区间a,b内至少有一点ξ,使的等式fb-fa/Fb-Fa=f’ξ/F’ξ成立;4、洛必达法则应用条件●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式;5、函数单调性的判定法●设函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么：1如果在a,b内f’x>0,那么函数fx在a,b上单调增加；2如果在a,b内f’x<0,那么函数fx在a,b上单调减少;●如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’x=0的根及f’x不存在的点来划分函数fx的定义区间,就能保证f’x在各个部分区间内保持固定符号,因而函数fx在每个部分区间上单调;6、函数的极值●如果函数fx在区间a,b内有定义,x0是a,b内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,fx<fx0均成立,就称fx0是函数fx的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,fx>fx0均成立,就称fx0是函数fx的一个极小值;●在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点导数为0的点,但函数的驻点却不一定是极值点;●定理函数取得极值的必要条件设函数fx在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’x0=0;●定理函数取得极值的第一种充分条件设函数fx在x0一个邻域内可导,且f’x0=0,那么：1如果当x取x0左侧临近的值时,f’x恒为正；当x去x0右侧临近的值时,f’x恒为负,那么函数fx在x0处取得极大值；2如果当x取x0左侧临近的值时,f’x恒为负；当x去x0右侧临近的值时,f’x恒为正,那么函数fx在x0处取得极小值；3如果当x取x0左右两侧临近的值时,f’x恒为正或恒为负,那么函数fx在x0处没有极值;●定理函数取得极值的第二种充分条件设函数fx在x0处具有二阶导数且f’x0=0,f’’x0≠0那么：1当f’’x0<0时,函数fx在x0处取得极大值；2当f’’x0>0时,函数fx在x0处取得极小值；●驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点;7、函数的凹凸性及其判定设fx在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有fx1+x2/2<fx1+fx1/2,那么称fx在区间Ix上图形是凹的；如果恒有fx1+x2/2> fx1+fx1/2,那么称fx在区间Ix上图形是凸的;●定理设函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内具有一阶和二阶导数,那么1若在a,b内f’’x>0,则fx在闭区间a,b上的图形是凹的；2若在a,b内f’’x<0,则fx在闭区间a,b上的图形是凸的;●判断曲线拐点凹凸分界点的步骤1求出f’’x；2令f’’x=0,解出这方程在区间a,b内的实根；3对于2中解出的每一个实根x0,检查f’’x在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’x在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点x0,fx0是拐点,当两侧的符号相同时,点x0,fx0不是拐点;●在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点;第四章不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数fx在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F x,使对任一x∈I都有F’x=fx；简单的说连续函数一定有原函数;●分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次;如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u;2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数;第五章定积分1、定积分解决的典型问题1曲边梯形的面积2变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设fx在区间a,b上连续,则fx在区间a,b上可积,即连续=>可积;●定理设fx在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则fx在区间a, b上可积;3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间a,b上fx≥0则∫abfxdx≥0;●推论如果在区间a,b上fx≤gx则∫abfxdx≤∫abgxdx;●推论|∫abfxdx|≤∫ab|fx|dx;●性质设M及m分别是函数fx在区间a,b上的最大值和最小值,则mb-a≤∫abfxdx≤Mb-a,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围;●性质定积分中值定理如果函数fx在区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点ξ,使下式成立：∫abfxdx=fξb-a;4、关于广义积分设函数fx在区间a,b上除点ca<c<b外连续,而在点c的邻域内无界,如果两个广义积分∫acfxdx与∫cbfxdx都收敛,则定义∫abfxdx= ∫acfxdx+∫cbfxdx,否则只要其中一个发散就称广义积分∫abfxdx 发散;第六章定积分的应用1、求平面图形的面积曲线围成的面积●直角坐标系下含参数与不含参数●极坐标系下r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ扇形面积公式S=R2θ/2●旋转体体积由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成且体积V=∫abπfx2dx,其中fx指曲线的方程●平行截面面积为已知的立体体积V=∫abAxdx,其中Ax为截面面积●功、水压力、引力●函数的平均值平均值y=1/b-a∫abfxdx第七章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指Px,y以任何方式趋于P0x0,y0时,函数都无限接近于A,如果Px,y以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0x0, y0时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在;反过来,如果当Px,y以不同方式趋于P0x0,y0时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在;例如函数：fx,y={0xy/x^2+y^2x^2+y^2≠02、多元函数的连续性●定义设函数fx,y在开区域或闭区域D内有定义,P0x0,y0是D的内点或边界点且P0∈D,如果limx→x0,y→y0fx,y=fx0,y0则称fx,y在点P0x0,y0连续;●性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上一定有最大值和最小值;●性质介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次;3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续;这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时,函数值fP趋于fP0,但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值fP都趋于fP0;4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件,即可微=>可偏导;5、多元函数可微的充分条件定理充分条件如果函数z=fx,y的偏导数存在且在点x,y连续,则函数在该点可微分;6多元函数极值存在的必要、充分条件定理必要条件设函数z=fx,y在点x0,y0具有偏导数,且在点x0,y0处有极值,则它在该点的偏导数必为零;定理充分条件设函数z=fx,y在点x0,y0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fxx0,y0=0,fyx0,y0=0,令fxxx0,y0=0=A,fxyx0, y0=B,fyyx0,y0=C,则fx,y在点x0,y0处是否取得极值的条件如下：1AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值；2AC-B2<0时没有极值；3AC-B2=0时可能有也可能没有;7、多元函数极值存在的解法1解方程组fxx,y=0,fyx,y=0求的一切实数解,即可求得一切驻点; 2对于每一个驻点x0,y0,求出二阶偏导数的值A、B、C;3定出AC-B2的符号,按充分条件进行判定fx0,y0是否是极大值、极小值;注意：在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑在内;第八章二重积分1、二重积分的一些应用●曲顶柱体的体积●曲面的面积A=∫∫√1+f2xx,y+f2yx,ydσ●平面薄片的质量●平面薄片的重心坐标x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积;●平面薄片的转动惯量Ix=∫∫y2ρx,ydσ,Iy=∫∫x2ρx,ydσ;其中ρx,y为在点x,y处的密度;●平面薄片对质点的引力FxFyFz2、二重积分存在的条件当fx,y在闭区域D上连续时,极限存在,故函数fx,y在D上的二重积分必定存在;3、二重积分的一些重要性质●性质如果在D上,fx,y≤ψx,y,则有不等式∫∫fx,ydxdy≤∫∫ψx,ydxdy,特殊地由于-|fx,y|≤fx,y≤|fx,y|又有不等式|∫∫fx,ydxdy|≤∫∫|fx,y|dxdy;●性质设M,m分别是fx,y在闭区域D上的最大值和最小值,σ是D的面积,则有mσ≤∫∫fx,ydσ≤Mσ;●性质二重积分的中值定理设函数fx,y在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点ξ,η使得下式成立：∫∫fx,ydσ=fξ,ησ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换●把二重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中的x,y 分别换成ycosθ、rsinθ,并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ;。