多元函数可微的充分必要条件

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3.全微分

课堂练习
x y 2 2 ,x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
2
函数的全微分是否存在？
x y 2 2 , x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
第三节
第九章
全微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
*二、全微分在近似计算中的应用
偏增量与全增量根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y )x f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
从而得到 z 的绝对误差约为
绝对误差与相对误差从而得到 z 的绝对误差约为
z z x z y ;
x y
z 的相对误差约为
z z z x y x y . |z| z z
例6 测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm, 且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差. 解
y, 则
| z || z x | x | z y | y .
内容小结
1. 微分定义:
定义
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系: 函数连续函数可微函数可导

多元函数微积分复习概要

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）：（1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂，称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

多元函数的可导和可微关系

多元函数的可导和可微关系一、多元函数的可导性对于一个多元函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$，如果函数在其中一点$(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)$处的偏导数存在且连续，并且函数在该点的微分$\Delta f$可表示为：$$\Delta f=f(x_1^0+\Delta x_1, x_2^0+\Delta x_2, ...,x_n^0+\Delta x_n)-f(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)\tag{1}$$其中$\Delta x_i$表示自变量$x_i$的增量。

如果存在一个线性函数$L(x_1, x_2, ..., x_n)$使得：$$\Delta f=L(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)+R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)\tag{2}$$其中$R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)$满足：$$\lim_{\Delta x_1,\Delta x_2,..., \Delta x_n \to0}\frac{R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)}{\sqrt{(\Delta x_1)^2+(\Delta x_2)^2+...+(\Deltax_n)^2}}=0\tag{3}$$那么称函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$处可导，并且线性函数$L(x_1,x_2,...,x_n)$称为函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在该点的导数，记作：$$L(x_1, x_2, ..., x_n)=\frac{\partial f}{\partialx_1}\Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\Deltax_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n\tag{4}$$其中$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$对$x_i$的偏导数。

可微的条件

第三节第八章多元函数的全微分)()x f x x −∆+x x ∆′)()(x οx ∆+对x 的偏增量对x 的偏微分A =函数的微分对y 的偏增量对y 的偏微分)(y οy ∆+时）)在点(x ,y)的全增量y x ∆∆、的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量.0)(),(),(lim 00000=∆+∆−−∆+∆+=→ρy B x A y x f y y x x f ρ定理8.2 (多元函数可微的必要条件)若函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微,则(2) 函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 的两个偏导数,),(y x f x .d ),(d ),(d y y x f x y x f z y x +=存在,且有(1) 函数z = f (x , y ) 在点(x, y ) 连续;),(y x f y ,),(y x f A x =),(y x f B y =从而二、可微的条件若z = f (x , y ) 在点(x, y ) 可微, 则证1. 可微与连续、可偏导的关系可微连续可偏导则不可微；用可微的充要条件判断:(x .0))0,0()0,0(()0,0(),(lim 0=+−−→ρy f x f f y x f y x ρ？用此式判断函数在一点是否可微0])0,0()0,0([)0,0(),(lim 0=+−−→ρy f x f f y x f y x ρ？则ρρωρρ22)(0)(0lim lim y x x y x y +==→=→22)(0lim y x xy x y +==→ρ依偏导数的连续性及函数极限与无穷小的关系：)0lim ()()(lim =+=⇔=→→ααax a x A x f A x f y y x f x y ∆+∆),()yβx α∆+∆+只须证这一部分是比ρ高阶的无穷小0→y偏导数连续可微=),(y x f )0,0(),(,1sin 22≠+y x y x xy )0,0(),(,0=y x 不存在.所以),(y x f x 在)0,0(不连续. 同理可证),(y x f y 在)0,0(不连续.=),(y x f )0,0(),(,1sin 22≠+y x y x xy )0,0(),(,0=y x 且可微在点,)0,0(),(y x f ∴0),(d )0,0(=y x f 说明:此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件而非必要条件.22)0,0(),())0,0()0,0(()0,0(),(limyxyfxffyxf yxyx+⋅+⋅−−→=?。

5-3全微分的定义与可微的条件

一、全微分的定义
二、可微的条件
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数对 x 和对 y 的偏增量
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
z f x ( x, y )x 1x f y ( x , y )y 2 y
1x 2 y 0 1 2 0,
故函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
z z dz x y ． x y
为
证如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
函数在点(0,0) 处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数、在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
可微分．
证 z f ( x x , y y ) f ( x , y )

二元函数可微性判定公式

二元函数可微性判定公式
二元函数可微的定义是函数z=f(x，y)在点(x，y)的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。

令x=y=0，则全增量Δz=f(Δx，Δy)-f(0，0)，将符号Δx，Δy换成x，y来表示，则(x，y)→(0，0)时函数f(x，y)的Δz=f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，符合定义的要求，所以f(x，y)在点(0，0)处可微。

二元函数可微的条件
1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。

3、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。

4、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。

第三节全微分及其应用分布图示偏增量与全增量全微分的定义可微...

第三节全微分及其应用分布图示★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件★ 可微的充分条件★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6★ 例7★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8—3 ★ 返回内容要点一、全增量与偏增量二、全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数yzx z ∂∂∂∂,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分 y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. (3.4) 定理 2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 处连续, 则函数在该点处可微分.四、利用全微分进行近似计算dz z ≈∆y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+),(),(),(),( (3.7)例题选讲例1（E01）求函数62354y x xy z +=的全微分. 解因为,3012,10452263y x xy yzxy y x z +=∂∂+=∂∂ .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++=例2（E02）计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解,xy ye xz=∂∂,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂所求全微分.222dy e dx e dz +=例3 求函数 yz e yx u ++=2sin 的全微分. 解由,1=∂∂x u,2cos 21yz ze yy u +=∂∂ ,yz ye zu=∂∂ 故所求全微分.)2cos 21(dz ye dy ze ydx du yz yz +++=例4（E03）求函数zy x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x xy x y x u ⋅=⋅=∂∂-1z z y z z y x yx y z x y z x y u ⋅⋅=⋅⋅⋅=∂∂-ln ln 1y x y x y y x x zuz y z y z z ln ln ln ln ⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂ dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z例5（E04）计算02.2)04.1(的近似值.解设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得02.0004.021)04.1(02.2⨯+⨯+≈.08.1=例6（E05）测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.解以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz zV dy y V dx x V dV ∂∂+∂∂+∂∂=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤∆x ,2.0||≤∆y ,2.0||≤∆z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx再结合,40,60,75===z y x 得dV V ≈∆2.060752.040752.04060⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,1980=即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.422Tlg π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少?解如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ∆与|,|T ∆则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224Tlg π=的全增的绝对值.||g ∆由于||||T l ∆∆、都很小，因此可用dg 近似的代替.g ∆这样就得到g 的误差为g ∆dg ≈T l T g l g ∆∂∂+∆∂∂=T T g l l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤,214322⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T l T l T δδπ 其中l δ与T δ为l 与T 的绝对误差.把004.0,1.0,2,100====T l T l δδ代入上式，得g 的绝对误差约为⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+=004.02100221.04322g πδ25.0π=)./cm 93.42s （≈ 从而g 的相对误差为%.5.02/)1004(5.0222g=⨯=ππδg课堂练习1.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222242y x y x y x y x z 在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?。

17.1可微性

第十七章多元函数的微分学§1 可微性教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性）设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B是仅与点0P 有关的常数，()ρρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二、偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三、可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且 ==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

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式代入得：
ｆ（Ｐ）－ｆ（Ｐｏ）
—
—
：
ｆ￣（Ｐｏ）ｃ。ｓ＋Ｌ（Ｐｏ）ｃ。ｓ０２＋
Ｐ
Ｐ
从而有：
ｌｉｍ。ｆ（Ｐ）－Ｐｆ（Ｐｏ）：躲［（）ｃ。ｓ＋（ｐ。）ｃｏｓ０￣１＋ｌｉ．ｍ＋。Ｏ（ｐ）
。
Ａ（Ｐ０）ｃｏｓ０１＋ｆｙ（Ｐｏ）＇Ｃ￣ｓ０２
证明：必要性，因为函数ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）可微，所以存在
义，则函数ｆ（ｘ，Ｊ，）在点Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ）可微的充分必要条件是点Ｐ（ｘ，Ｙｏ）的两个偏导数都存在，且：一ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ０，ｙ）～ｆ（ｘ，Ｙ。）＋＿厂（Ｘｏ，Ｙ０）＝０（ｐ）
其中（，）∈ｕ，ｐ＝√（ —ｘｏ）＋（～Ｙｏ）
１ｙ－ＹＯ＝ｐＣＯＳ０２
（。）
由假设函数ｆ（ｘ，Ｙ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）可微。则有，（ｐ）一ｆ（Ｐ０）＝（ｐ。）（ — 。）＋（ｐ。）（ —Ｙ。）＋Ｏ（ｐ）
（２）
其中Ｐ＝√ 一）＋（ —Ｙ０），（２）式两端同除以ｐ，并把（１）
３充分必要条件定理３：设函数ｚ＝ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）的某个邻域ｕ内有定
１可微的必要条件
定理Ｉ：如果函数ｚ：ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘ，）处可微，则在该点处函
数ｚ＝ｆ（ｘ，）的两个偏导数与一定存在，且有：
矛盾，于是，函数厂，）＝、／『在原点（ｏ，０）不可微。
２可微的充分条件
．
定理２：如果函数ｚｆ（ｘ，）的偏导数与在点Ｐ（。，）的某个邻域内连续，则函数ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘｏ，Ｙ。）处可微。
＝０（ｐ）＋（ —Ｘｏ）＋ｆｌ（Ｙ一）Ｊ＝０（ｐ）
参考文献
［１】同济大学数学系．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
２００９．
［２］汪浩．高等数学（下册）【Ｍ】．长沙：国防科技大学出版社，１９８８．【３】刘玉琏，傅沛仁．数学分析（下册）【Ｍ】．北京：人民教育出版社，
ｆ（ｘｏ＋Ａｘ，Ｙ０十△ｙ）一厂０，Ｙ０＋Ａｙ）＝（０＋ＯｔＡｘ，Ｙ０＋ａｙ）Ａｒ（０＜０１＜１）
又依假设，，Ｙ）在点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）处连续，得：ｌｉｍ（Ｘｏ十血，。＋△ ）：Ｌ（ｘｏ，）
上式两边同时除以，再取当＿÷０的极限得，
充分性，因为函数ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘ。，Ｙｏ１）沿任一方向的方向
（ｏ，Ｙ０）和／（ｏ，．ｙ０），且：
导数关于方向ｒ一致收敛的，即对Ｖｓ＞０，］５＞０，当ｌＰｌ＜，且
ｆ（ｘ，Ｊ，）一ｆ（ｘｏ，Ｊ，）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘｏ，Ｙ０）
△Ｚ＝Ａ·Ａｘ＋Ｂ·Ａ），＋Ｄ（ｐ）
其中Ｐ：√（）＋Ｏｘｙ）
即ｆ（ｘ＋，Ｙ＋）一ｆ（ｘ，ｙ）：Ａ·Ａｘ＋Ｂ－△ ＋Ｄ（ｐ）令＝０，这时Ｐ＝』△ ，于是
ｆ（ｘ＋，）－ｆ（ｘ，）＝Ａ· ＋Ｄ（Ｉ『）
某个邻域内存在，设点（Ｘ。＋Ａｘ，Ｙ０＋△ ）为该邻域内任一点，得：
１９８３，３．
【４１包志清．多元函数可微的一个充要条件【Ｊ】．重庆：重庆商学院学报，ｌ８（２）．
（上接１１２页）然，有的不仅要知其然，还要知其所以然。
参考文献
【１］陈琦，刘儒德．当代教育心理学（第２版）【Ｍ］，北京师范大学出版
：为 △ 的函数，而且，当０时，有ｓ２０。
（２）
Ｌｚ · ’
所以＝
例１：讨论函数ｆ（ｘ，）＝，／ｒｘＹＪ在原点（ｏ，０）存在两个偏导数，但
由（１）（２）两式可知，在与连续下，有
＝（ｏ，Ｙｏ）十（０，Ｙ０）＋ｓｌ＋６＂２又因为
关键词：多元函数偏导数可微充分必要条件
中图分类号：０１７２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－９７９５（２０１２）０４（ａ）－Ｏ１１３－０２
一元函数可微与可导是等价的，且＝ｆ）出。那么多元函数在某一点处可微与它在该点处的偏导数具有怎样关系呢？，本文以二元函数来简述这个问题，即二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，）在点，）处可微与它在该点处的偏导数之间的关系。
ｄｚ＝（Ｏ，０）＋（Ｏ，Ｏ）＝０
△ｚ＝，（０＋，０＋）一ｆ（０，ｏ）＝√｝ ·Ａｙｊ
特别地，取 △］ｃ＝△ ，有：
Ａｚ＝、／ｉ · ｌ＝，／１￣１：Ｉｌ
Ｐ＝√（△）ｃ）＋（）＝√２（△］（）＝｛△）ｃｌ
于是
＝
＿＝－１圳。
令 — 一，于是（３）式也可表示为
又因为，当ｐ≠ｐ。时，印是ｐ＝４（ｘ一）＋（ｙ一）的高阶无
穷小，所以函数ｆ（ｘ，）在点尸（，Ｙｏ）可微。
充分性因为（，ｙ。）和ｏ，ｙｏ）存在，且ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ０，）一ｆ（ｘ，Ｙ０）＋ｆ（ｘ０，Ｙ。）＝０（ｐ）又由于：
／【，）一（ｏ，）一（，）＋／（０，ｙｏ）
ａｚａｚ
证明：由假设，函数ｆ（ｘ，）的偏导数与在点Ｐ（ｘｏ，）的
ｄｚ：．＋．Ａｙ
。
证明：由假设函数ｚ＝ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘ，）处可微，可知存在两个与，△ 无关的常数Ａ、Ｂ，使函数ｚ＝ｆ（ｘ，）的改变量可表示为：
理论前沿
Ｌ（ｘ，ｙ）＝２ｓｉｎ丽１一ｃ。ｓ
（ｚ＋ｚ。）
由二元函数在一点可微的定义可知，函数／，Ｊ，）在点Ｐ（ｘ０，Ｙ０）可微。
令Ｘ＝ＰＣＯＳ，Ｙ：Ｐｓｉｎ口，得
（
古）（ｐｃ。ｓｎ１ＣＯＳａ
一
ｃ。ｓ
０
ｐ
ｐ２ｓｉｎ
：ｌｉｍ — — 。。Ｐ
：ｌｉｍｐｓｉｎ：０ｐ。Ｐ
故函数ｆ（ｘ，Ｙ）在点（０，０）处是可微的。
Ｐ＝√ 一‰）＋（Ｙ一）是关于方向ｒ一致收敛。
证明：必要性，设ｐ（ｘ，ｙ）为上任一点，得有：

一ｘ０＝ｐＣＯＳ０１
＝ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）一Ｌ厂（ｘ，Ｙｏ）一ｆ（ｘｏ，Ｙ。）＋ｆ（ｘ。，）一ｆ（ｘ。，Ｙｏ）Ｊ＝ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一（，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）＋（，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋ａ（ｘ～ｏ）＋ｆｌ（ｙ一）ｌ
其中当（，）（ｘ０，Ｙ）时，有０，０，故有ｆ（ｘ，ｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一（，ｙｏ）（ｘ—ｘｏ）～（，ｙｏ）一ｙｏ）
△Ｚ＝（Ｘｏ，Ｙ０）十（Ｘｏ，Ｙ０）＋其中是当Ｐ０时的无穷小。故函数ｚ＝ｆ（ｘ，）在点尸（，Ｙｏ）处可微。例２：讨论函数
）ｓｍ
：
Ｊ０
Ｘ２＋ｙ＝０
在点（０，０）处可微，但是它的偏导数在该点处不连续
＝ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘｏ，ｙｏ）一【厂（ｘ，ｙ。）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）＋ｆ（ｘ。，ｙ）一ｆ（Ｘｏ，Ｙｏ）］
＝ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）一（ｘｏ，Ｊ）（一）＋／（Ｘｏ，ｙｏ）（ｙ—ｙｏ）＋（ —Ｘｏ）＋ｐ（一ｙｏ）Ｊ其中当，）＿÷（ｘ，Ｙｏ）时，有０，卢０。由函数ｆ（ｘ，）在点Ｐ（ｘＹｏ）可微性的假发，得：ｆ（ｘ，Ｙ）一ｆ（ｘＤ，Ｙｏ）一（Ｘｏ，ｙｏ）（ —ｘ０）一（０，Ｙｏ）（Ｙ—Ｙ。）＝０（ｐ）
理论前沿
Ｃ￣ｉｎｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ￣ｎｎｏｖａ：ｔ：ｉｏ：ｎ：Ｈ＝ｅｒａ：ｌｄ● 矗Ｕ：
多元函数可微的充分必要条件
庞通（广西机电职业技术学院南宁５３０００７）
摘要：以二元函数可微的必要条件、充分条件和充要条件来阐述多元函数在点（Ｘ，Ｙ）处可微与偏导数的关系。
（３）
是函数在原点（０，０）不可微。解：函数ｆ（ｘ，）在原点（０，０）处偏导数存在，即：
Ｉｆ≤【ｓｌＩ：ｌ咔：Ｉ
。
，
＝
＝。
而且随着（，）（０，０）时，有Ｐ０
盟
＝牌＝。
但是，它在原点（０，０）不可微，事实上，反之，如果它在原点（０，Ｏ）可微，则必有：
Ａｚ＝ｆ（ｘ０＋，Ｙ０＋）一ｆ（ｘ０，Ｙ０）
＝［ｆ（ｘｏ＋，Ｙ。＋ｚｘｙ）一ｆ（ｘｏ，Ｙｏ＋△ｙ）】＋【厂（．，Ｙ。＋）一ｆ（ｘｏ）】
在第一括号内的表达式，由于＋△ 不变，因而可以看作是Ｘ的一元函数ｆ（ｘ，Ｙ。＋）的增量，应用拉格朗日中值定理，得：