2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程
高考总复习数学(文)：18.2 极坐标与参数方程 精品优选公开课件
【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不
仅仅是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围，也即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. ①题很容易忽略参数范围 0≤θ≤ π ，②题很容易忽略参数方程
2 中 0≤sin2θ≤1 而出错.
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
_______________________________.
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
①柱坐标化为直角坐标公式： xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， z＝z；
____________________.
x＝rsinφcosθ，
②球坐标化为直角坐标公式：
y＝rsinφsinθ， z＝rcosφ
C．x2＋y－122＝14
D.x－122＋y2＝14
3．若直线的参数方程为xy＝ ＝12＋ －23tt， (t 为参数)，则直线的
2019年全国高考数学·分类汇编 专题22 坐标系与参数方程(解析版)
专题22坐标系与参数方程【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=；（2）4cos ,[,]42ρθθππ=∈．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【答案】（1）22(2)4(0)x y x -+=≠；（2）2+．【命题意图】1．理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 【命题规律】参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决． 【答题模板】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． 2．极坐标和直角坐标的互化（1）进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)． （2）进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 3．参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．4．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路为： 第一步，先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．另外，当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时，把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1+t 2，t 1·t 2，得到|AB |=|t 1-t 2|=．【方法总结】1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位． 如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； （3）当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； （3）直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b ．4．直线的参数方程若直线过(x 0，y 0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t 为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t 有明显的几何意义． 5．圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．6．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π．7．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有:①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧． 8．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数；与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数；与实践有关的问题，常取时间作为参数．此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数．1．【重庆市南开中学2019届高三4月测试】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-． （1）写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若,P Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求||PQ 的最大值．【答案】（1）1C 的直角坐标方程为2214x y +=，2C 的直角坐标方程为22(2)1x y +-=；（2）2113+．2．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为22cos()4ρθπ=+． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()42ρθπ+=，曲线C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求22||||MP MQ +的值．【答案】（1）直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为10x y --=，22(3)9x y -+=；（2）18．4．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2）．5．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10．6．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第一次适应性检测】已知曲线12cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线21cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）若4απ=，求曲线2C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）曲线1C 和曲线2C 的交点记为M ，N ，求||MN 的最小值．【答案】（1）曲线2C 的普通方程是2y x =-，它表示过(1,1)-，倾斜角为4π的直线；（2）．7．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin4cos ρθθ=，过点(2,1)P -的直线l 的参数方程为21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求线段||MN 的长和||||PM PN ⋅的积．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，直线l 的普通方程为10x y +-=；（2）8，14．8．【甘肃省2019届高三第二次高考诊断】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)ρθθρ=+>． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若(2,1)M 是AB 的中点，求直线l 的斜率．【答案】（1）22(1)(4x y -+-=；（2）12．9．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟】已知曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），(2,0)A ，P 为曲线C 上的一动点．（1）求动点P 对应的参数从3π变动到23π时，线段AP 所扫过的图形面积； （2）若直线AP 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点P ，使得P 为线段AQ 的中点？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）6π；（2）存在点P 满足题意，且7(,88P ±．10．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为2cos23ρθ=，曲线2C 的参数方程为221x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数）．（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程； （2）若2C 与1C 有两个不同的公共点A ，B ，求||AB ．【答案】（1）1C 的直角坐标方程为223x y -=，2C 的普通方程为25y x =-；（2． 11．【甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为θα=，0α<<π，ρ∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||AB =，求实数α的值．【答案】（1）1C 的普通方程为22(2)4x y +-=，2C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=；（2）34π．12．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）． （1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(1,2)M -作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．【答案】（1）22(1)(1)4x y ++-=；（25100y -=5100y +=．13．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,P ，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos()32ρθπ+=． （1）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两个不同的点，求11||||PA PB +的值．【答案】（1）点P 在直线l 上；（2．14．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点(1,1)P -，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定||||PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210,142x y x ++=+=；（2）1[,1)2．15．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟】在平面真角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos a ρθθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M ，N 两点，直线OM 和ON 的斜率分别为1k 和2k ，求12k k +的值． 【答案】（1）sin cos 2a ρθρθ+=，20ax y +-=；（2）1．16．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点P 的极坐标为)4π．（1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；（2）设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求||PM ．【答案】（1）2212x y +=，（1，1）；（2）5541．17．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为1x y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线2l 的极坐标方程为(0)6θρπ=≥． （1）求直线1l 的倾斜角及极坐标方程；（2）若射线2l 与1l 交于点M ，与圆C 交于点N （异于原点），求||||OM ON ⋅．【答案】（1）直线1l 的倾斜角56π，极坐标方程为cos sin 4ρθθ=；（2）8．18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a，其参数方程为212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）曲线1C 普通方程10x y a --+=，曲线2C 的直角坐标方程24y x =；（2）136或94．19．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,]α∈π），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．（1）写出当34απ=时直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点(1,1)P -，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求11||||PA PB +的最大值． 【答案】（1）直线l 的普通方程为0x y +=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x ++=；（2）2．20．【内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线lcos()14θπ+=，曲线C 的极坐标方程为2 cos a ρθ=，0a >．（l ）设t为参数，若12y =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于点P ，Q ，设(0,1)M -，且2||4||||PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1．21．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为252x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的最短距离．【答案】（1）曲线1C ：28x y +=，曲线2C ：2212y x +=；（2．22．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】]在直角坐标系中，圆C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角．【答案】（1）4cos()3ρθπ=-；（2）6π或2π．23．【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线:10l mx y m -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin 4ρρθ=+，直线l 与曲线C相交于,A B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程，以及||AB 的取值范围；（2）若过原点的直线l'交曲线C 于,D E 两点，求11||||OD OE +的最大值． 【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22240x y y +--=，||(4,AB ∈；（224．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 交于,A B两点，若||||OA OB +=k 的值． 【答案】（1）24cos 10ρρθ-+=；（2）3±．25．【新疆2019届高三第三次诊断性测试】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是24cos 30ρρθ-+=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当(0,)6απ∈时，求||||OA OB +的取值范围．【答案】（1）直线l 的普通方程为sin cos 0x y αα-=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)1x y -+=；（2）4)．26．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测4月二诊】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点(0,1)M -，已知2||||||MA MB AB ⋅=，求实数a 的值．【答案】（1）直线l10y --=，曲线C ：2220x y ax +-=；（227．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()13ρθπ-=． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）已知射线:,(0,)2m θααπ=∈，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值．【答案】（1）4cos ρθ=；（2）3．28．【西藏拉萨市2019届高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为1(sin cos )()2a a ρθθ-=∈R ．（1）写出曲线1C 的普通方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 有两个不同交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1C ：21(11)y x x =--≤≤，2C ：102ax y -+=；（2）11[,]22-．。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十七坐标系与参数方程讲义理(选修4_4)
专题十七坐标系与参数方程卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值纵向把握趋势考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、曲线方程的求解及点到直线距离的应用．预计2019年会以直线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程的应用考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中．预计2019年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质横向把握重点1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用极坐标方程及应用[由题知法]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r 2＝0.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.(a ，π2)2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M 且平行于极轴：ρsin θ＝b .(b ，π2) (2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C 的参数方程为Error!(α为参[典例]数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝，l 2：θ＝，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB π6π3的面积．[解] (1)∵曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将Error!代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，由Error!得|OA |＝2＋1.3同理可得|OB |＝2＋.3又∠AOB ＝，π6∴S △AOB ＝|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝.128＋534∴△AOB 的面积为.8＋534[类题通法]1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[应用通关]1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ，直(θ＋π3)线l 的直角坐标方程为y ＝x .33(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.易知直线l 过原点，且倾斜角为，π6故直线l 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．π6(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的极坐标方程为θ＝，π6将θ＝代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，π6将θ＝代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，π6∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝－|－k ＋2|k 2＋1或k ＝0.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．43当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝0|k ＋2|k 2＋1或k ＝.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝时，l 2与C 2没有公共点．43综上，所求C 1的方程为y ＝－|x |＋2.43参数方程及应用[由题知法]常见的几种曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x－x 0)Error!(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)抛物线y 2＝2pxError!(t 为参数) 已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 的参数方程为Error!(α[典例]为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于，求实数m 的取值范围；2(2)若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．[解] (1)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝mx ，由圆C 的参数方程为Error!(α为参数)，得圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.则圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝，1m 2＋1故相交弦长为2 ，1－1m 2＋1所以2 ≥，1－1m 2＋12解得m ≤－1或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P (cos α，1＋sin α)，Q(x ，y )，则x ＝(cos α＋2)，y ＝(1＋sin α)，1212消去α，整理可得线段PA 的中点Q 的轨迹方程为(x －1)2＋2＝.(y －12)14[类题通法]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t ·＝1；1t②2－2＝4；(t ＋1t )(t －1t )③2＋2＝1.(2t 1＋t 2)(1－t 21＋t 2)2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为Error!(t 为参数)，|t |等于直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的距离．若直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为(t 1＋t 2)．12(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝x 24y 216tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，4 2cos α＋sin α1＋3cos 2α故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos＝－.(θ＋π4)2(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由Error!消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，(θ＋π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ，(2，π2)设点P 的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t )，22则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝.|－6＋2cos (t ＋π4)|2所以d min ＝＝2，又|AB |＝2.4222所以△PAB 面积的最小值是S ＝×2×2＝4.1222极坐标方程与参数方程的综合问题[由题知法] (2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点[典例](1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝.8cos θ1－cos 2θ(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．π4[解] (1)由题意可得直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝，8cos θ1－cos 2θ∴ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)法一：当α＝时，直线l 的参数方程为π4Error!(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－8t －16＝0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝－16，2∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝8. t 1＋t 2 2－4t 1t 23又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin ＝，π422∴S △AOB ＝×|AB |×d ＝×8×＝2.12123226法二：当α＝时，直线l 的方程为y ＝x －1，π4设M (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得y 2－8y －8＝0，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8，∴S △AOB ＝|OM ||y 1－y 2|＝×1×＝×＝×41212 y 1＋y 2 2－4y 1y 21282－4× －8 12＝2.66[类题通法] 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[应用通关]1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1.∵|MC 2|＝ 3cos θ－1 2＋4sin 2θ＝，5cos 2θ－6cos θ＋5∴当cos θ＝时，|MC 2|min ＝，35455∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝－1.4552．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为Error!(t ＞0，α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝3.2(θ＋π4)(1)当t ＝1时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围．解：(1)由ρsin ＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，2(θ＋π4)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，当t ＝1时，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，∴曲线C 为圆，且圆心为O ，半径r ＝1，则点O 到直线l 的距离d ＝＝，|0＋0－3|2322∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋.322(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对任意的α∈R ，t cos α＋sin α－3＜0恒成立，即cos(α－φ)＜3恒成立，t 2＋1(其中tan φ＝1t)∴ ＜3，t 2＋1又t ＞0，∴0＜t ＜2.2∴实数t 的取值范围为(0,2)．2[专题跟踪检测](对应配套卷P207)1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．2(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.π22l 与⊙O 交于两点需满足<1，21＋k 2解得k <－1或k >1，即α∈或α∈.(π2，3π4)(π4，π2)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!（t 为参数，<α<）.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，π43π4t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1＝0.t A ＋t B22于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!（α为参数，<α<）.π43π42．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程和交点A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为B (非坐标原点)，求△π4OAB 的最大面积．解：(1)由Error!(t 为参数)，得曲线C 1的普通方程为y ＝x tan α，故曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2)2＋y 2＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A 的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B 的极坐标为.(22，π4)∴S △OAB＝＝|12×22×4cos α×sin (π4－α)|，|22sin (2α－π4)－2|当sin ＝－1时，(S △OAB )max＝2＋2，(2α－π4)2故△OAB 的最大面积是2＋2.23．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.[0，2π](1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：Error!(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为x ＋y －5＝0，3由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为＝2＞1，|1－5|1＋3所以曲线C 与l 相离．因为点D 在曲线C 上，所以可设D (cos α，1＋sin α)，则点D 到直线l 的距离d ＝＝，|3cos α＋1＋sin α－5|2|2sin (α＋π3)－4|2当sin ＝1时，点D 到直线l 的距离d 最短，此时α＝，故点D 的直角坐标为(α＋π3)π6.(32，32)4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|P Q|2＝|AP |·|A Q|，求直线l 的斜率k .解：(1)直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0，由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos 2α＞，34则t 1＋t 2＝－4cos α，t 1·t 2＝3，由参数的几何意义知，|AP |＝|t 1|，|A Q|＝|t 2|，|P Q|＝|t 1－t 2|，由题意知，(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，则(t 1＋t 2)2＝5t 1·t 2，得(－4cos α)2＝5×3，解得cos 2α＝，满足cos 2α＞，151634所以sin 2α＝，tan 2α＝，116115所以直线l 的斜率k ＝tan α＝±.15155．已知曲线C ：Error!(α为参数)和定点A (0，)，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，3以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C ：Error!可化为＋＝1，x 24y 23故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．所以经过点A (0，)和F 2(1,0)的直线AF 2的方程为x ＋＝1，即x ＋y －＝0，3y333所以直线AF 2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.33(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为－，因为l ⊥AF 2，所以直线l 的斜率为，即倾斜角333为30°，所以直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－12t －36＝0.3则t 1＋t 2＝.12313因为点M ，N 在点F 1的两侧，所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝.123136．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求(π6≤β≤π3)|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立Error!得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝，得cos θ＝±，1412当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，12π33(23，π3)当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，122π33(23，2π3)∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，，.(23，π3)(23，2π3)(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝，sin βcos 2β∴＝＝4cos 2β.|OA ||OB |4sin βsin βcos 2β∵≤β≤，∴1≤4cos 2β≤3，π6π3∴的取值范围为[1,3]．|OA ||OB |7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：Error!(α为参数，t ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos (θ－π4)＝.2(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为＋，求t 的值．622解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，(θ－π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为Error!(α为参数，t ＞0)，所以曲线C 的普通方程为＋y 2＝1(t ＞0)，x 2t2由Error!消去x ，得(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)＜0，又t ＞0，所以0＜t ＜，3故t 的取值范围为(0，)．3(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝，|t cos α＋sin α－2|2故d 的最大值为，t 2＋1＋22由题设得＝＋，t 2＋1＋22622解得t ＝±.2又t ＞0，所以t ＝.28．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.3(π2，π)(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝2，得sin θ＝，332∵θ∈，∴θ＝.(π2，π)2π3(2)易知直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0，33∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.33又射线OA 的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，2π3联立Error!解得ρ＝4.3∴点B 的极坐标为，(43，2π3)∴|AB |＝|ρB －ρA |＝4－2＝2.333。
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十七坐标系与参数方程课件理(重点生,选修4_4)
2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y ＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求 C2 的直角坐标方程； 解：由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋ y2＝4.
经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝－43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2， 所以 |kk＋2＋2|1＝2，故 k＝0 或 k＝43. 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝43时，l2 与 C2 没有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－43|x|＋2.
(2)设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任意一
2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数
方程为yx＝＝3－＋5＋2si2nctos t， (t 为参数)，在以原点 O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标
方程为 ρcosθ＋π4＝－ 2. (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 解：由yx＝＝3－＋5＋2si2nctos t， 消去参数 t， 得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圆 C 的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由 ρcosθ＋π4＝－ 2，得 ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0.
2019届新课标高考数学大一轮复习坐标系与参数方程1坐标系讲义理选修
(3，π4 )表示同一个点，所以B点也在曲线上．
方法二：三个点的直角坐标分别为A(
2，
2
)，B(
3
2 2
，
322)，C(－ 2，－ 2)，直线方程的直角坐标方程为y＝x，显然
三点都在直线上．
π (4)方法一：显然(2， 4 )是一个交点，由于圆和直线都关于 原点对称，所以另一个交点是(2，5π 4 )． 方法二：直线方程化为y＝x，圆的方程化为x2＋y2＝4，解 得交点的直角坐标为A( 2， 2)，B(－ 2，－ 2)，化为极坐标 是A(2，π4 )，B(2，5π 4 )．
(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2 2 (x＋y)＝0中，令y＝
0，得x2－2 2 x＝0，解得x＝0或2 2 .于是得到圆C与x轴的交点
坐标(0，0)，(2 2，0)，由于直线过圆心C( 2， 2)和点(2 2，
0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝
2－0 2－2
2
(x－2
2 )，即x
＋y－2 2＝0.
π 5．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ－ 4 )＝
2 ，点A的极坐标为A(2
2
，
7π 4
)，则点A到直线l的距离为
________．
答案
52 2
解析
π 由2ρsin(θ－ 4 )＝
2得2ρ(
22sinθ－
2 2
cosθ)＝
2，
所以y－x＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，而点
2cosθ的圆心的距离为( )
A. 3
B．2
π2 C. 1＋ 9
π2 D. 4＋ 9
答案 A π
解析 在极坐标系中，点(2， 3 )在直角坐标系下的坐标为 (1， 3 )；在极坐标系中的圆ρ＝2cosθ在直角坐标系下的方程为 (x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，点到圆心的距离为
2019高考数学(理)高分大二轮课件：专题10第1讲坐标系与参数方程
2
精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
首页
上页
下页
末页
考点一
考点二
考点三
解析：(1)把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入曲线 C1 的直角坐标方程可得， ρcos θ＋ 3ρsin θ＝ 3， π 3 整理得曲线 C1 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝ . 6 2 ρ2 2 ρ2 2 把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入曲线 C2 的直角坐标方程得， cos θ＋ sin θ＝1， 6 2 即 ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. 6 所以曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝ . 1＋2sin2θ
(t 为参数， α 为直线 l
的倾斜角)，并根据 t 的性质解题会更方便快捷．
8
精准考点突破
易错防范突破
真题押题精练
首页
上页
下页
末页
考点一
考点二
考点三
考点三
极坐标方程与参数方程的综合应用
(2018· 石家庄模拟 )极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，曲线
x＝ 2cos θ， 的参数方程为 y＝ 4sin θ
(2018· 高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C
x＝ 1＋ tcos α， 的参数方程为 y＝ 2＋ tsin α
(θ
为参数)，直线 l
(t 为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
专题10 系列4选讲
高考数学复习 极坐标和参数方程
的变数t叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接
给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
5．几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是
x＝x0＋tcosα y＝y0＋tsinα (t为参数)．
解析：ρ2＝－2ρsinθ ∴x2＋y2＝－2y 即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1) ∴圆心的极坐标为(1，－π2)． 答案：B
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
2．(2011年安徽)在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cosθ的
圆心的距离为
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
5．(2012年陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长 为________．
解析：将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别
为x＝12，(x－1)2＋y2＝1.
所求的弦长等于2
12－122＝ 3.
答案： 3
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
4．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0可得ρ＝1或θ＝π. ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，故选C. 答案：C
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
全国版2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系课件
由 ρ＝2sinθ 得 ρ2＝2ρsinθ， 故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y， 即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1. |2×1＋1| ∵圆心到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离 d＝ 2 32＋22 3 ＝4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
板块二 典例探究· 考向突破
选修4－4
坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 坐标变换 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· xλ>0， φ： 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P′(x′， yμ>0 y′＝μ·
2 2 4 －
2 2 ＝4 3. 2
5． [2017· 北京高考]在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ －4ρsinθ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为
1 ________ ．
解析 由 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1. ∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外． 又∵点 A 在圆 C 上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换．
考点 2
极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做 极点 ， 自极点 O 引一条射线 Ox，叫做 极轴 ；再选定一个长度单 位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，就建立了极坐标系． 2． 点的极坐标： 对于极坐标系所在平面内的任一点 M， 若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角为 θ，则点 M 可用有序数对 (ρ，θ) 表示．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程 1．直线x＝1＋tsin70°，y＝2＋tcos70°(t为参数)的倾斜角为( ) A．70° B．20° C．160° D．110° 答案 B 解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式：
x＝1＋tcos20°，y＝2＋tsin20°(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
方法二：tanα＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°＝tan20°，∴α＝20°. 另外，本题中直线方程若改为x＝1－tsin70°y＝2＋tcos70°，则倾斜角为160°. 2．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B．－23 C.32 D．－32 答案 D 3．参数方程
x＝－3＋2cosθ，
y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A
解析 参数方程x＝－3＋2cosθ，y＝4＋2sinθ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1. 4．(2018·皖南八校联考)若直线l：x＝2t，y＝1－4t(t为参数)与曲线C：
x＝5cosθ，
y＝m＋5sinθ(θ为参数)
相切，则实数m为( ) A．－4或6 B．－6或4 C．－1或9 D．－9或1 答案 A 解析 由x＝2t，y＝1－4t(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由
x＝5cosθ，
y＝m＋5sinθ(θ为参数)，得曲
线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m－1|22＋1
＝5，解得m＝－4或m＝6. 5．(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( ) A.14 B．214 C.2 D．22 答案 D 解析 由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r2－d2＝22.
6．(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t，y＝4＋t(t为参数)．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝42·sin(θ＋π4)，则直线l和曲线C的公共点有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 答案 B
解析 直线l：x＝t，y＝4＋t(t为参数)化为普通方程得x－y＋4＝0； 曲线C：ρ＝42sin(θ＋π4)化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8， ∴圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝|2－2＋4|2＝22＝r. ∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B. 7．在直角坐标系中，已知直线l：x＝1＋s，y＝2－s(s为参数)与曲线C：x＝t＋3，y＝t2(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案 2
解析 曲线C可化为y＝(x－3)2，将x＝1＋s，y＝2－s代入y＝(x－3)2，化简解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝12＋12|s1－s2|＝2. 8．(2017·人大附中模拟)已知直线l的参数方程为x＝2－ty＝1＋3t(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＋2sinθ＝0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为________．
答案 (32，－12) 解析 由已知得，直线l的普通方程为y＝－3x＋1＋23，圆C的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，在圆C上任取一点P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0，2π))，则点P到直线l的距离为
d＝|3cosα＋sinα－2－23|1＋3＝|2sin（α＋π3）－2－23|2＝2＋23－2sin（α＋π3）2.∴当α＝π6时，dmin＝3，此时P(32，－12)． 9．(2018·衡水中学调研)已知直线l的参数方程为x＝－2＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ. (1)求曲线C的参数方程；
(2)当α＝π4时，求直线l与曲线C交点的极坐标．
答案 (1)x＝－1＋2cosφ，y＝1＋2sinφ(φ为参数) (2)(2，π2)，(2，π) 解析 (1)由ρ＝2sinθ－2cosθ， 可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ. 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x， 化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.
曲线C的参数方程为
x＝－1＋2cosφ，
y＝1＋2sinφ(φ为参数)．
(2)当α＝π4时，直线l的方程为x＝－2＋22t，y＝22t，化为普通方程为y＝x＋2. 由x2＋y2＝2y－2x，y＝x＋2，解得x＝0，y＝2或x＝－2，y＝0. 所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)． 10．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率． 答案 (1)ρ2＋12ρcosθ＋11＝0 (2)153或－153 解析 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos2α－44.
由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153. 所以l的斜率为153或－153.
11．(2017·江苏，理)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． 答案 455 解析 直线l的普通方程为x－2y＋8＝0. 因为点P在曲线C上，设P(2s2，22s)，
从而点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|12＋（－2）2＝2（s－2）2＋45.
当s＝2时，smin＝455. 因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为455. 12．(2018·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方
程为x＝3＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，直线l与曲线C：
x＝1cosθ，
y＝tanθ(θ为参数)相交于不同的两点A，B. (1)若α＝π3，求线段AB的中点的直角坐标； (2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求 |PA|·|PB|的值．
答案 (1)(92，332) (2)403
解析 (1)由曲线C：x＝1cosθ，y＝tanθ(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.
当α＝π3时，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)， 代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝6，
所以线段AB的中点对应的t＝t1＋t22＝3，
故线段AB的中点的直角坐标为(92，332)． (2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6tcosα＋8＝0， 则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|8cos2α－sin2α|
＝|8（1＋tan2α）1－tan2α|， 由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝403. 13．(2018·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是
x＝1－255t，
y＝1＋55t(t为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程； (2)若曲线C2的参数方程为x＝2cosα，y＝sinα(α为参数)，曲线C1上的点P的极角为π4，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值． 答案 (1)x2＋y2－4x＝0，x＋2y－3＝0 (2)105