最新人教版高中数学必修2第二章《直线、平面垂直的判定及其性质》优化训练
高中数学 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质课时作业 新人教A版必修2
第二章 2.3 2.3.4平面与平面垂直的性质A 级 基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则 ( C ) A ．m ∥β B ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直[解析] 如图，∵α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，∴m ⊥β.2．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列命题中正确的是 ( B ) A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥βm ∥n⇒m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β， ∴B 正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则 ( C )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD ．过a 的平面与过b 的平面垂直[解析] α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，a ⊥b ，当α∩β＝a 时，b ⊥α；当α∩β＝b 时，a ⊥β，其他情形则未必有b ⊥α或a ⊥β，所以选项A 、B 、D 都错误，故选C ．4．如右图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是 ( D )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．已知直线m ，n 和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂a ，要使n ⊥β，则应增加的条件是 ( B )A ．m ∥nB ．n ⊥mC ．n ∥αD ．n ⊥α[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n ⊥β，应有n 与交线m 垂直，∴应增加条件n ⊥m .6．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ︰A ′B ′等于 ( A )A ．2︰1B ．3︰1C ．3︰2D ．4︰3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ︰A ′B ′＝2︰1. 二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是__①③__.[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D ．8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的__垂__心. [解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD.[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACDAB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD . 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB ⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．2．在空间中，下列命题正确的是 ( D )A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B 不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是 ( D )A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD[解析] 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．二、填空题4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面AC ，平面PAD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ， ∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以PA ⊥平面ABCD . 从而PA ⊥BD . 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD . 所以平面PAB ⊥平面PBD .C 级 能力拔高1．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)求证AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．[解析] (1)证明：设G 为AD 的中点，连接BG 、PG ，∵△PAD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点， ∴BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB . ∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB .(2)当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD . 证明如下：在△PBC 中，∵F 是PC 的中点，∴EF ∥PB .在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，EF ∩DE ＝E ， ∴平面DEF ∥平面PGB ，由(1)得PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.2．(2016·泰安二中高一检测)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．[解析] (1)如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA.∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∵PE⊥AM.∴四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知，EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．在Rt△PEM中，tan∠PME＝PEEM ＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.。
高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．2．如图，A﹣BCDE是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（）A．4组B．5组C．6组D．7组【分析】先有AB⊥平面BCDE得到3组互相垂直的平面．再利用四边形BCDE为矩形得到其他互相垂直的平面即可．【解答】解：因为AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为四边形BCDE为矩形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC．平面ADE⊥平面ABE故图中互相垂直的平面共有6组．故选：C．【点评】本题考查面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直3．如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A﹣EFH中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，A正确；。
人教新课标版数学高一- 数学必修二练习第二章直线与平面垂直的判定
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC . 连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3， ∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.。
人教A版高中数学必修二黑龙江省大庆外国语学校第二章直线、平面垂直的判定及其性质练习新(1)
黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》练习2一、选择题1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与平行B、三边中至少有一边与平行C、三边中至多有一边与平行D、三边中至多有两边与平行7、下列命题正确的是( )A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面EDCBAD 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( ) (A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥ 9、如图2.3.1-2，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有[ ]A 、AH⊥△EFH 所在平面B 、AD⊥△EFH 所在平面C 、HF⊥△AEF 所在平面D 、HD⊥△AEF 所在平面二、选择题10、直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d 是b 和c 的公垂线，则d 和a 的位置关系是______________.11、在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是_________.三、解答题12、求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知:P ∉α求证:过点P 有且只有一个平面β∥αBC AD ⊥13、已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，求证：14、如图，设三角形ABC 的三个顶点在平面α的同侧，A A '⊥α于A '，B B '⊥α于B '，C C '⊥α于C '，G 、G '分别是△ABC 和△A B C '''的重心，求证：G G '⊥α15、如图2.3.1-3，MN 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α平行于a 和b ，求证：MN⊥平面α．参考答案一、选择题1、D ；2、B ；3、D ；4、D ；5、B ；6、B ；7、D ；8、B ；9、A 二、填空题 10、a∥dBαACA 'B 'C 'G 'G11、4条 三、解答题12、证明:过平面α外一点P 作直线⊥l α,再过点P 作平面β,使⊥l β,则α∥β. 因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直,而过点P 与l 垂直的平面是唯一的,所以过点P 且与α平行的平面只有一个.13、证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ， ∵,AB AC DB DC ==， ∴,AE BC DE BC ⊥⊥， ∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥14、解：连接AG 并延长交BC 于D ，连A 'G '并延长交B 'C '于 D '，连D D '、G G '，由于 A A '⊥α，B B '⊥α，C C '⊥α，则A A '∥B B '∥C C '因为AG A G GD G D ''=''，所以G G '∥A A '，因此G G '⊥α15、证明：过相交直线a 和MN 作平面β， 设α∩β=a′， ∵a∥α． ∴ a∥a′∵ MN 是a 、b 的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′． 同样过相交直线b 和MN 作平面γ， 设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′．∵a′、b′是α 内两条相交直线，∴MN⊥α．。
最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的性质》达标训练
更上一层楼基础·巩固1.已知直线a、b与平面α，则下列四个命题中假命题是( )A.如果a⊥α，b⊥α，那么a∥bB.如果a⊥α，a∥b，那么b⊥αC.如果a⊥α，b∥α，那么a⊥bD.如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α思路解析:对D，若a⊥α，a⊥b，则b可能在α内，也可能与α平行.答案:D2.过两点与一个已知平面垂直的平面( )A.有且只有一个B.有无数个C.有且只有一个或无数个D.可能不存在思路解析:若两点确定的直线在已知平面内，则有且只有一个；若两点确定的直线与已知平面垂直，则有无数个.答案:C3.已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4思路解析:①④是正确命题.∵l⊥α，当α∥β时，必有l⊥β.又m⊂β，∴l⊥m.故①正确.l∥m，l⊥α，∴m⊥α.∴β⊥α.故④正确.答案:B4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1D1D.A1A思路解析:由于B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1且A1C1∩CC1=C1，∴B1D1⊥平面CC1E.而CE⊂平面CC1E，∴B1D1⊥CE.又∵BD∥B1D1，∴BD⊥CE.答案:B5.设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行思路解析:通过线线、线面、面面位置关系研究线面位置关系，要应用线线、线面、面面定理来验证.答案:D6.下列命题:①若α∥β，a⊥α，则a⊥β；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a∥α，a⊥b，则b⊥α.其中正确命题的序号是___________________.思路解析:本题用到了线线、线面、面面垂直之间的纵向联系，还用到了平行与垂直间的横向联系.答案:①③7.m 、n 是空间两条相交直线，l 1、l 2是与m 、n 都垂直的两条直线，直线l 与l 1、l 2都相交，则直线l 与l 1、l 2所成的角的大小关系为_________________________.思路解析:本题考查简单的线面角的问题.答案:相等综合·应用8.已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点(如图2-3-18).图2-3-18(1)证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线(即证EF 与BD 1与CC 1都垂直)；(2)求点D 1到面BDE 的距离.思路解析:异面直线的公垂线，关键要找到线垂直，点到面的距离的计算要转化为平面图形来研究.(1)证明：如图，取BD 中点M ，连结MC 、FM.∵F 为BD 1的中点，∴FM ∥D 1D 且FM=O D 121. 又EC=121CC 且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形.∴EF ⊥CC 1.又CM ⊥面DBD 1，∴EF ⊥面DBD 1.又BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1.故EF 为BD 1与CC 1的公垂线.(2)解：如上图，连结ED 1，有D BE D D BD E V V --=11.由(1)知，EF ⊥面DBD 1.设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBE ·d=1DBD S ∆·EF.∵AA 1=2，AB=1，∴BD=BE=ED=2，EF=22.∴222211=⨯⨯=∆DBD S ， S △DBE =23)2(23212=⨯⨯. ∴d=33223222=⨯. 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 9.在三棱锥P —ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证：AB ⊥BC ；(2)设AB=BC=32，求AC 与平面PBC 所成角的大小.思路解析:线线垂直和线面角的问题，都可转化为平面图形的性质来研究.(1)证明：如图，取AC 中点D ，连结BD 、PD.∵PA=PC ，∴PD ⊥AC.又平面PAC ⊥平面ABC ，∴PD ⊥面ABC.∵PA=PB=PC ，∴DA=DB=DC.可知AC 为△ABC 的外接圆直径.∴AB ⊥BC.(2)解：如图，作CF ⊥PB 于F ，连结AF 、DF.∵△PBC ≌△PBA ，∴AF ⊥PB ，AF=CF.∴PB ⊥平面AFC.∴面AFC ⊥面PBC ，交线为CF.∴直线AC 在平面PBC 内的射影为直线CF.∴∠ACF 为AC 与平面PBC 所成的角.在Rt △ABC 中，AB=BC=32，∴BD=6.在Rt △PDC 中，DC=6，PD=3.在Rt △PDB 中，DF=2363=⨯=∙PB DB PD . 在Rt △FDC 中，tan ∠DCF=3362==DC DF . ∴∠ACF=30°，即AC 与平面PBC 所成角为30°.10.在直三棱柱ABC —A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直线B′C 与平面ABC 成30°的角.(1)求点C′到平面AB′C 的距离；(2)求二面角BB′CA 的余弦值.思路解析:利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小.解:(1)如图,∵ABC —A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC ，AC ⊂平面AB′C.∴A′C′∥平面AB′C ，于是C′到平面AB′C 的距离等于点A′到平面AB′C 的距离，作A′M ⊥AB′于M.由AC ⊥平面AB′A′,得平面AB′C ⊥平面AB′A′，∴A′M ⊥平面AB′C ，A′M 的长是A′到平面AB′C 的距离.∵AB=B′B=1，∠B′CB=30°，∴B′C=2，BC=3，AB′=2，A′M=22''''=⨯A B A A B A 即C′到平面AB′C 的距离为22. (2)作AN ⊥BC 于N ，则AN ⊥平面B′BCC′，作NQ ⊥B′C 于Q ，则AQ ⊥B′C.∴∠AQN 是所求二面角的平面角，AN=36=⨯BC AC AB ，AQ=1''=⨯C B AB AC . ∴sin ∠AQN=36=AQ AN ,cos ∠AQN=33.。
高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系优化训练新人教B版必修2
垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论
.
答案： 平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PAD⊥平面
ABCD，平面 PAD⊥平面 PCD.
4. 如图 1-2-3-2, 已知 a∥α ,a ⊥β . 求证：α⊥β．
解析： 已知条件中已经有一条直线 a 与平面 β 垂直，可以想到利用线面平行的性质定理，
图 1-2-3-5 解析： ∵正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直 , ∴可得①中直线 l 平行于平面 MNP 中的两条相交直线，∴由①能得出 l ⊥平面 MNP；但②③中平面 MNP不与①中的平面 MNP平 行，这样由②③不能得到 l ⊥平面 MNP；④中易得 l ⊥MP，而 MN也与下底面对角线平行， 所以④同样可得 l ⊥平面 MNP；问题⑤不易判断 , 这里略证一下 : 如图 ,E 、 F、 G 是正方体棱 的中点 , 则过 P、 M、N 的截面就是六边形 PGMENF. ∵l ⊥PF,l ⊥FN,∴l ⊥面 PFN,即 l ⊥面 PGMENF即, l ⊥面 PMN.
解析： 由已知可得， PA、 AB、 AD、 BC、 CD均是某个平面的垂线，平面 PAB⊥平面 ABCD，平
面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAD⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平面 ABCD.
答案： 6
10 分钟训练 ( 强化类训练，可用于课中 )
答案： ①④⑤ 8. 设 x、 y 、 z 是空间的不同直线或不同平面 , 且直线不在平面内 , 下列条件中能保证“若 x⊥z, 且 y⊥z, 则 x∥y”为真命题的是 _____________.( 填所有正确条件的代号 ) ①ｘ为直线 ,y 、z 为平面 ②x、 y、 z 为平面 ③x、 y 为直线 ,z 为平面 ④x、 y 为平面 ,z 为直线 ⑤x、 y、 z 为直线 解析： 同垂直于一直线的两面平行 , 同垂直于一面的两线平行 , 同垂直于一面的线面也平 行.( 不包含的话 ) 答案： ①③④ 9. 在三棱柱 ABC— A1B1C1 中 ,AA 1⊥面 ABC,且 AB=BC,能否在侧棱 BB1 上找到一点 E, 恰使截面 A1EC⊥侧面 AA1 C1C?若能 , 指出 E 点的位置 , 并说明为什么 ; 若不能 , 请说明理由 . 解： 作 EM⊥Ａ1C 于 M, ∵截面 A1EC⊥面 AA1C1C, ∴EM⊥面 AA1C1 C.取 AC的中点 N, ∵AB=BC∴, BN⊥AC.而面 ABC⊥面 AA1C1C, ∴BN⊥面 AA1C1 C. ∴BN∥EM.∴面 BEM∩N 面 AA1C1C=MN.
最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质》
2.3.3～2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质问题导学一、线面垂直性质的应用活动与探究1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．迁移与应用1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1 B．2 C．3 D．02．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．二、面面垂直的性质的应用活动与探究2如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB．迁移与应用如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．三、线线、线面、面面垂直的综合应用活动与探究3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．迁移与应用如图，平面P AC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．当堂检测1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能2．下列说法中不正确的是()A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长度．5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC 的形状．答案：课前预习导学【预习导引】1．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b预习交流1(1)提示：如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b．∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′．∴a∥a′，b∥b′．又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β．∴垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)提示：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．垂直于交线α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l预习交流2(1)提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l．∴l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．(2)提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD 1⊥平面A 1DC ．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ． 又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 12CD 12AB ．∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ， ∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ．∴M 是AB 的中点． 迁移与应用 1．B2．证明：EA ⊥α，EB ⊥β, α∩β＝l ⇒⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥EA l ⊥EB ⇒l ⊥平面EAB ． 又∵a ⊂α，EA ⊥α，∴a ⊥EA ． 又∵a ⊥AB ，∴a ⊥平面EAB ．∴a ∥l ．活动与探究2 思路分析：(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化．证明：(1)连接BD ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点， ∴BG ⊥AD ．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面P AD．(2)∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．迁移与应用证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC．∵BD∩VB＝B，且VB⊂平面VBA，BD⊂平面VBA，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥AB．活动与探究3思路分析：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．证明：方法一：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则P A⊥α，PB⊥β．∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB．又P A∩PB＝P，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n⊂β，∴m∥β．又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l．∴l⊥γ．迁移与应用解：如图，在平面P AC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB 于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，∴AB⊥平面PDO，∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．【当堂检测】1．D2．D3．D4．解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm．5．解：如下图所示，取BC的中点O，∵SB＝SC，∴SO⊥BC．∵平面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥平面ABC．∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．∴△ABC为直角三角形．。
高三数学 直线、平面垂直的判定及其性质练习题(含答案)
直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．] 2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD 成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.]3．(2019·东北三省三校联考)在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且P A＝AB＝2，则直线PB与平面P AC所成角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A[连接BD，交AC于点O.因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥P A.又因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，故BO⊥平面P AC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面P AC所成角．又因为P A＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝ 2.所以sin∠BPO＝BOPB＝12，所以∠BPO＝π6.故选A.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．] 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝82得AA1＝22，∴BC1＝BC2＋CC21＝23，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝ABBC1＝223＝33，∴∠AC1B＝30°.]7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．23[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝5，B1D1＝2，∴△AB 1D 1的边B 1D 1上的高为(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴S △AB 1D 1＝12×2×322＝32，设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ；则有S △AB 1D 1×h ＝S △A 1B 1D 1×AA 1， 即32h ＝12×2，解得h ＝23.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误． 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的一点，AB＝AC，且AD⊥BC.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若AB＝BC＝AA1＝2，求点A1到平面AB1D的距离．[解](1)证明：如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BF⊥B1D，垂足为F，∵D是BC中点，∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，∵A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，∴BF长为所求，在Rt△B1BD中，BD＝1，BB1＝2，B1D＝5，∴BF＝25＝255，∴点A1到平面AB1D的距离为255.1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．(2019·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()①②③④A．①②B．②④C．①③D．②③B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是．①②③[由BC⊥AC，BC⊥P A可得BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．] 4．(2019·西宁模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C到平面A1AB的距离．[解](1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得DE＝22，A1D＝3，Rt△A1DE中，DF ＝A 1D ·DE A 1E ＝217， 因为D 是AC 中点，所以C 到面A 1AB 距离2217.1．(2019·衡阳模拟)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( )A ．平面BDC ⊥平面ADCB ．AC ∥平面PQMNC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDCD [由PQ ∥MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，得PQ ∥平面ADC ，又PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC，∴PQ∥AC，同理QM∥BD，因为PQ⊥QM，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD＝A，∴BD⊥平面ADC，∴平面BDC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC，∴A和C选项均正确；由PQ∥AC，得AC∥平面PQMN，∴B选项正确．∵不能得到AD⊥DC或AD⊥BC，∴不能得到AD⊥平面BDC，故选项D 不一定正确．故选D.]2．(2019·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解](1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1.因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)法一：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N .所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 法二：在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点， 所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM .因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝CM2＋MD2＝7.S△CMD＝12·CD·MO＝12·CM·MD，即12×7×MO＝12×3×2，解得MO＝2217，故点M到平面A1B1C的距离为221 7.。
高中数学人教课标实验A版必修2第二章《直线平面垂直的判定及其性质》同步练习(附答案)
（5）加入 a 则正确
（6）加入 a 则正确
la
（5） l
a //
a
证： P a
过P作l // l
l
l
a l P 确定平面
∴
b
lb la a, b,l
a // b
b
a //
a
a
（6）
a //
a
b 证： 在 内作 l b l
a
l // a
l
a //
a
例3
，
，
l ，求证： l ．
证：
a //
a
a // l
∵ //
∴ a // b ∵ l
由 a 的任意性 l 例 2 下列命题中正确的有几个？
b ∴l b ∴l a
al （1）
bl
a // b
a （2）
b
a // b
l
（3）
//
l
（4）
//
al
（5）
a //
l
a
（6）
a //
正确：（2）（3）； （1）（ 5）（6）可修改
（1）加入 a,b,l 共面则正确
B1C 面 AC1 E
B1C AC1
同理 C1 A A1B
a // b
bl
al
（2）
l
// a
a
（3）
b
a // b
a （4）
// a
l （5）
// a
al
l
（6）
l
//
（7）
a
a //
（8） //
正确的是：（1）（ 3）（4）（5）（ 6）（8）
证：（4）过 a 作平面
高中数学 第二章直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A 1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l 与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A 1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD,所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A 1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A 1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A 1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A 1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面”用符号语言表示为( ) A.mα,m∩n=B,l⊥n,l⊥ml⊥α B.mα,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥nl⊥α C.mα,nα,m∩n=Bl⊥n,l⊥m,l⊥α D.mα,nα,l⊥m,l⊥nl⊥α 解析:可以先画一个图，标上各字母，再对照写出符号语言.A只有一组线线垂直，C没有分清条件和结论，D没有体现平面内的两条直线是相交直线. 答案：B 2.二面角是指( ) A.两个平面相交的图形 B.一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角 解析:根据二面角的定义，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 答案：C 3.如图2-3-1,下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥平面MNP的图形的序号是___________.(写出所有符合要求的图形的序号)
图2-3-1 解析:∵正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,问题⑤不易判断,这里略证一下：如图,E、F、G是正方体棱的中点,则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.
∵l⊥PF,l⊥FN, ∴l⊥面PFN,即l⊥面PGMENF,即l⊥面PMN. 答案：①④⑤ 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.(2006青海调研,4)过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有( ) A.一个 B.无数个 C.不存在 D.一个或无数个 解析:当这条直线与这个平面垂直时，经过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个；当这条直线与这个平面不垂直时，则满足条件的平面只有一个. 答案：D 2.命题（1）“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α”，命题（2）“若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线”,则( ) A.（1）是真命题，（2）是真命题 B.（1）是真命题，（2）是假命题 C.（1）是假命题，（2）是真命题 D.（1）是假命题，（2）是假命题 解析:直线l垂直于平面α内的无数条直线，则l有可能与α斜交，反之若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的无数条直线. 答案：C 3.不能肯定两个平面一定垂直的情况是( ) A.两个平面相交，所成二面角是直二面角 B.一个平面经过另一个平面的一条垂线 C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的 解析:若平面α与平面β斜交，也可存在平面α内的直线a与平面β内的直线b垂直这种情况. 答案：D 4.PA⊥正方形ABCD所在的平面,连结PB、PC、PD,互相垂直的平面有_____________对. 解析:PA、AB、AD、BC、CD均是某面的垂线，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD. 答案：6 5.如图2-3-2,已知a∥α,a⊥β,求证：α⊥β.
图2-3-2 证明：过a作一平面γ∩α=a′.因a∥α，则a∥a′.又因a⊥β,则a′⊥β. ∵a′α,由面面垂直的判定定理知α⊥β. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下列命题正确的是( ) A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面β B.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直 C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥β D.垂直于同一平面的两个平面平行 解析:平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，这条直线有可能与平面β斜交.过平面α外一点P有无数个平面β和平面α垂直.垂直于同一平面的两个平面有可能相交. 答案：C 2.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定 解析:若平面α内的这两条直线相交，则直线l与平面α垂直，若平面α内的两条直线平行，则直线l与平面α可能平行或在α内. 答案：D 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,过8个顶点中的任意3个可以作平面,其中与某一体对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”,则这样的“有效垂面”一共有( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 解析:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,每一个顶点都对应一个“有效垂面”，正方体共有八个顶点，故共有八个“有效垂面”. 答案：C 4.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,且PA=AB,则平面ABP与平面CDP所成锐二面角的度数是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:过P作CD的平行线PE，可以证明平面ABP∩平面CDP=PE,则PE⊥PA，PE⊥PD,所以∠APD就是平面ABP与平面CDP所成的锐二面角. 答案：C 5.已知二面角α-l-β为60°,两条异面直线a、b分别垂直于二面角的面,则异面直线a、b所成的角是______________. 解析:过a上一点作直线b的平行线c，则线a、b所成的角等于线c、b所成的角，由于直线c、b分别垂直于二面角的面，又直线所成的角为锐角，故直线c、b所成的角等于60°. 答案：60° 6.如图2-3-3所示，在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,底面ABC为正三角形,AH⊥面SBC.求证：H不可能是△SBC的垂心.
图2-3-3 证明：假设H是△SBC的垂心,则BH⊥SC. 又∵AH⊥面SBC,即AH⊥SC, ∴SC⊥平面AHB.则SC⊥AB. 又∵SA⊥平面ABC,即SA⊥AB,则AB⊥平面SAC, ∴AB⊥AC.这与∠BAC=60°矛盾, ∴假设不成立.故H不可能是△SBC的垂心. 7.在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出E点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由. 解：作EM⊥A1C于M,∵截面A1EC⊥面AA1C1C, ∴EM⊥面AA1C1C.取AC的中点N, ∵AB=BC, ∴BN⊥AC.而面ABC⊥面AA1C1C, ∴BN⊥面AA1C1C.∴BN∥EM. ∴面BEMN∩面AA1C1C=MN. 又∵BE∥面AA1C1C, ∴BE∥MN∥A1A. ∵AN=NC,∴A1M=MC. 而四边形BEMN为矩形, ∴BE=MN=21A1A,即E为BB1中点时,面A1EC⊥面AA1C1C. 8.如图2-3-4,OA、OB、OC分别是平面α内过O点的三条射线,P是平面α外一点,若∠POA=∠POB=∠POC,求证：PO⊥α.
图2-3-4 证明：若∠POA=∠POB=∠POC≠2,作PH⊥α,HD⊥OA于D,HE⊥OB于E,连结PD、PE,则PD⊥OA,PE⊥OB. ∵∠POA=∠POB,PO公共, ∴Rt△POD≌Rt△POE. ∴PD=PE.∴HD=HE. ∴点H在∠AOB的平分线上. 同理,点H也在∠AOC的平分线上. ∴点H是∠AOB的平分线与∠AOC的平分线的交点,即点O. ∵PO⊥平面α,
∴PO⊥OA.这与∠POA≠2矛盾, ∴假设不成立. ∴∠POA=∠POB=∠POC=2. ∴PO⊥面α. 9.如图2-3-5，四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是
侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角O-AB-C的平面角，并求它的度数.
图2-3-5 解：如图，∵四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面为正方形，∴顶点O在底面上的射影是正方形中心O′，取AB中点E，连结OE，∵OA=OB，
∴OE⊥AB.同理,O′E⊥AB. ∴∠OEO′是二面角OABC的平面角. 连结OO′,在Rt△OO′E中，OE′=1，OE=2， ∴∠OEO′=60°，故二面角的平面角度数为60°. 10.如图2-3-6，已知AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：（1）BC⊥PC；（2）平面PAC⊥平面PBC.
图2-3-6 证明：(1)∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC. 又∵PA垂直于⊙O所在的平面， ∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥PC.(2)由(1)知BC⊥平面PAC, 又BC在平面PBC内，∴平面PAC⊥平面PBC. 快乐时光 教授的不同 在一所大学的操场上，政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆.数学教授走过来，问：“先生们在忙什么？”“我们需要知道这旗杆的高度，正在讨论用什么手段得到它.”政治学教授说.“瞧我的！”数学教授说着，弯下腰抱紧旗杆使劲一拔，把旗杆拔出后，放倒在地，拿出卷尺量了量，“正好五米五”说完便把旗杆插回原地，走了.“这人！”语言学教授望着他离去的背影轻蔑地说，“我们要的是高度，他却给了我们长度，瞎添乱！”