3.土中应力计算
第三章 土体中的应力计算(1-3节)
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土中应力计算
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该 参数值的代数和
Pa Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
矩形面积竖直均布荷载
dP pdxdy
角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
p
L B
y
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
min
P 6e 1 A B
K e
L x L 3K y pmin 0
K=B/2-e
出现拉力时， 应进行压力调 整，原则：基 底压力合力与 总荷载相等
2P 3KL
p max
p max
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
矩形面积单向偏心荷载
P
e
P
P Pv Ph
P
P
P B
P Mx p( x) B I
条 形
B
p P B
P:单位长度上的荷载
B
Ph P Pv
基础形状与荷载条件的组合
P B
P B
P Mx My p ( x, y ) A Wx Wy
M x P ey ;
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0
基础只能保持平面下沉不能弯曲 分计算
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大 — 荷载很大
接近弹性解 马鞍型 倒钟型
砂性土地基
粘性土地基
基底压力的分布
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量
土中应力计算
昆明冶金高等专科学校
主 讲人：刘玉英
第二章 土中的应力计算
学习目的： 1、对基础进行沉降变形计算； 2、计算基础的承载力和稳定性；
第二章 土中的应力计算
第一节 土中自重应力
第二节基底压力 第三节 土中附加应力 第四节 土中应力形式
2.1 土中应力形式
注意， l恒为基础长边，为短边。
（2）铅直均布荷载作用任意点下的附加应力 在实际工程中，常需计算地基中任意点下的附加 应力。此时，只要按角点下应力的计算公式分别进 行计算，然后采用叠加原理求代数和即可。此方法 称角点法。 图2.12中列出了几种计算点不在角点的情况(即任意 点)，计算方法为：通过任意点，把荷载面分成若干 个矩形面积，这样。点就必然落到所划出的各个小 矩形的公共角点然后再按式(2.15)计算每个矩形角 点下同一深度z处的附加应力σz，并求出代数和 。 注意:每个小矩形的长边恒为li；短边为bi 。
z a1
z
1 2
a2
z
2 2
an
z
n 2
ai
i 1
z
i 2
(2-11)
式中：αi-第个集中力作用下，地基中的铅直向附加应力系数。 按表2.2查得，其中ri为第i个集中力作用点到点的水平距离。 ri / z
【例2-2】在地基上作用一集中力F=200kN，要求 确定：①z=2m深度处的水平面上附加应力分布；②
令
1 blz(b 2 l 2 2 z 2 ) bl [ arctan ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c 2 (b z )(l z ) b l z z b l z
则
土体中的应力计算
土体中的应力计算在土体中，应力是指单位面积上的力的作用，可以分为垂直应力和水平应力。
垂直应力是指垂直于土体中其中一点的力的作用，通常用σ表示，单位为N/m²或Pa；水平应力是指与土体中其中一点切向的力的作用，通常用τ表示，单位为N/m²或Pa。
在计算土体中的应力时，需要先确定作用力的大小和方向。
作用力可以分为自重应力、表面荷载和边界条件所引起的应力。
自重应力是由土体自身的重力引起的应力，可以通过土体的密度和重力加速度来计算；表面荷载是由于外界施加在土体上的荷载，可以通过荷载的大小和分布情况来计算；边界条件所引起的应力是由于土体边界的约束而产生的应力，可以根据边界条件的空间限制来计算。
计算垂直应力时，需要将作用力作用在单位面积上，即垂直应力等于作用力的大小除以土体的面积。
例如，对于自重应力来说，垂直应力可以通过土体的密度乘以重力加速度来计算。
而对于表面荷载来说，垂直应力可以通过荷载的大小和分布情况来计算。
计算水平应力时，需要考虑土体的弹性特性。
根据弹性理论，水平应力的大小与垂直应力的大小和土体的弹性模量有关。
弹性模量是反映土体抵抗应力的能力的指标，可以通过试验或经验公式估算得到。
一般来说，弹性模量越大，土体的抵抗应力能力越强，水平应力的大小也越大。
在应力计算时，还需要考虑土体的变形特性。
土体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在荷载作用后，土体恢复到无荷载状态时的变形，是可逆的，可以通过应力和应变之间的线性关系进行计算。
而塑性变形是指在荷载作用后，土体不完全恢复到无荷载状态时的变形，是不可逆的，需要通过试验或经验公式来确定。
总之，土体中的应力计算是根据应力平衡原理和弹性力学原理进行的，需要考虑土体的类型、作用力的大小和方向以及土体的弹性和变形特性。
通过合理的应力计算，可以为土壤工程和土木工程的设计和施工提供基础数据。
第二章 土中的应力计算
2.0m
3.0m
③ γ3=19.5
③ γ3sat=21.0
z
④ γ4=19.8
2.2 基底压力（接触应力） • 实测基底压力
室内地平 ±0.00 d p 基底压力的 大小、形状与 荷载大小及形状、基础刚度、 土性及状态、地基均匀性等 土压力 盒测试
• 基底压力简化计算
F
F
室外地平 -0.65
pdy
0 x r -∞ θ zR p
+∞ y y σz τzx M
x
M
τxz σx
z
• σz=∫+ ∞ －∞ 3/ [2π（x2＋y2+z2)5/2] *dy= 2pz3/ π(x2+z)2 3pz
= 2p/ πz*cos4θ=αz p0
• σx= 2p/ πz* cos2θsin2θ=αx p0 • τxz＝ τzx＝ 2p/ πz* cos3θsinθ=αzx p0
• 由以上公式可知，附加应力与y轴无关。
2.4.5 非均质和各项异性地基中的附加应力 在以前介绍的均假定土体为均质、各项同性、半 无限的直线变形体。一般来说，只有当地基在很大 深度内是均质和各项同性时才适用。
硬土层
软土层
• 应力集中现象 当在基底以下不深处存在硬土 层时，则在土层界面以上基础轴线附近的σz比均 质时增大，边缘处应力减小的现象。 • 应力扩散现象 当存在软土层时，产生了与应 力集中相反的现象。
σcz=γz
σcx= σcy =K0σcz
τyz
A
σcx
τxy= τzx= τyz=0
K0－侧压力系数
τyx
静止土压力系数
•土颗粒之间的应力称为有效应力。一般不再说明 的话，自重应力是指其有效应力。
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
土力学完整课件土中应力计算
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
土力学第三章土体中的应力计算
§3 土体中的应力计算 §3.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。 目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
§3 土体中的应力计算 §3.2 地基中自重应力的计算
地基中任意点的附加应力
角点法
BA CD
两种情况：
a.矩形面积内
z
(KA sKB s
K
C s
K
D s
)p
b.矩形面积外
h
ig
a
df
z
(K
begh s
K
afgh s
K cegi s
K
df s
gi
)p
b
c e 29
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
Lz
Ks
F(B, L, z)
F( B
,
) B
F(m, n)
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
z
查表3-2
28
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间 满足线性关系
角点下垂直附加 叠加原理 应力的计算公式
一般三维应力状态: 1 2 3 三轴应力状态： 1 2 3
忽略中主应 力的影响
理论研究和工程实践中广泛应用