华东师大版九上数学第3课时 坡度问题
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第24章 解直角三角形24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题学习目标：1.理解坡度、坡角的概念（重点）.2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=l h.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究一、探究过程探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.第1题图 第2题图2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m二、课堂小结坡度、坡比问题图解坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.当堂检测1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米B ．3米C ．6米D ．12米第1题图 第2题图2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.第4题图第5题图5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是米．6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？能力提升7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？参考答案自主学习 一、新知预习坡度 坡角 大 陡 合作探究一、探究过程 【典例精析】例 解：如图，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.∵斜坡AB 的坡度i ＝1：3，∴tanA ＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE ＝69m.∴AB ＝≈72.7（m ）.∵斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，∴tan ∠D ＝＝.∴＝.∴DF ＝57.5m.∴AD ＝AE +EF +DF ＝69+6+57.5＝132.5（m ）．故斜坡AB 的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD 的长是132.5m ，斜坡AB 的长是72.7m ．【针对训练】1.（1）1∶3（2）21.8 （3）9 4∶3 （4）4∶3 52.A 二、课堂小结 h ∶l 当堂检测1. A2.B3.54.905.6. 解：作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠CBA ＝45°，BC ＝4千米，∴CD ＝ BD ＝4千米．∵坡面AC 的坡度i ＝1：，∴31＝.∴AD ＝CD ＝4.∴AC ＝＝8千米.∵AB ＝AD +BD ，∴AB ＝（4+4）千米.又∵AC +CB ＝（8+4）千米，∴AC +CB ﹣AB ＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73千米．7. 解：（1）设AE ＝5x ，∵斜坡AB 的坡比为i ＝12∶5，∴BE ＝12x ，由勾股定理，得AE 2+ BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得x ＝2，∴BE ＝12x ＝24米.（2）如图，作FH⊥AD于H，连接F A.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠F AH＝＝≈1.14，则∠F AH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．。
初中数学九上《坡比、坡度问题》华东师大版
（2） AD=AG+GH+HD=6.4+6+6.4=18.8(m)
S SHMED SABCD
6 29.4 5.2 6 18.8 3.2 92.04 39.68 52.36(m2)
2
2
答:增加部分的横断面积52.36 m2
解后反思
利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
10:53
B如C图为：6m是，一堤海高堤为的3横.2断m: ，面为为了梯提形: 高AB海C堤D，的已拦知水堤能顶力宽， 需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改 成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析： 1．将实际问题转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD,
如何利用条件求AD？ 3．土方数=S·l
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∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
在Rt△BCF中，同理可得： BF
4.2
7.90(米)
∴AB＝AE＋EF＋BF
tan 28
≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（米）.
答： 路基下底的宽约为27.1米．
12.51米
D
C
4.2米
初三上数学课件(华东师大)-坡度与坡角
h
坡度 (或坡比)，记作 i，即 i＝ l .坡度一般写成 1∶m 的形式．坡面
与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α，有 i＝hl ＝ tanα α 就 越大 ，坡面就 越陡 ．
.坡度越大，坡角
1．下列对坡度的描述正确的是( B )
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B．坡度是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
解：(1)∵FD∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡 AB 长 60 2米，D 是 AB 的中点，∴BD＝30 2米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝30 2× 22＝30(米)， BF＝DF＝30 米．∵斜坡 BE 的坡比为 3∶1，∴BEFF＝ 13，∴EF＝10 3米， ∴DE＝DF－EF＝(30－10 3)米，∴休闲平台 DE 的长是(30－10 3)米； (2)设 GH＝x 米，则 MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30 ＝63(米)，在 Rt△DMH 中，tan30°＝MDMH，即x－6330＝ 33，解得 x＝30＋21 3， ∴建筑物 GH 的高为(30＋21 3)米．
11．为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府 对城市建设进行了整改．如图，斜坡 AB 长 60 2 米，坡角(即∠BAC)为 45°，BC⊥AC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行 于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号)． (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 3∶1，求休闲平台 DE 的长； (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG＝33 米)，小亮在 D 点测得建筑 物顶部 H 的仰角(即∠HDM)为 30°.点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_10
A C ┌24．2解直角三角形第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角教学设计学习目标1、理解坡度、坡角的概念2、继续巩固解直角三角形的知识，提高学生的应用能力。
学习重难点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．自主学习A 、情境导入分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，回顾仰角与俯角等概念。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，何为倾斜程度呢？B 、明确目标使学生养成“先画图，再求解”的习惯；灵活运用坡度、坡角在实际问题情境下的应用，以及熟练应用直角三角形的边角关系。
C 、自主学习自学课本，理解坡度、坡角的概念，并能熟练应用于实际问题中，时间为10分钟。
合作探究看完课本后，对于课本中的例4，有不懂的地方，同桌之间交流，再解决不了得地方小组讨论解决，然后自己做完课后练习题，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指正。
E 、展示反馈由小组中的一名同学，回答练习题答案，其他同学根据自己的答案指出异同点。
F 、精讲点拨内容总结 坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i ＝lh =tan a 。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
方法归纳在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
G 、课堂小结坡度、坡角的的概念，坡度与坡角的关系，以及它们在实际问题中的实际应用。
H 、达标检测1、如图，有一斜坡AB 长40m ，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角. B2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求坡角∠ABC 的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).I 、 拓展提高3.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)AB C DB A E F。
九年级数学上册第24章4解直角三角形第3课时解直角三角形的应用_坡度坡角同步练习新版华东师大版
24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角知识点 1 坡度与坡角1．以下对坡度的描述正确的是( ) A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比2．若斜坡AB 的坡角为56°19′，坡度i ≈3∶2，则( ) A ．sin56°19′≈1.5 B ．cos56°19′≈1.5 C ．tan56°19′≈1.5 D ．tan56°19′≈233．如果坡角的余弦值为31010，那么坡度为( )A ．1∶10B ．3∶10C ．1∶3D ．3∶1 4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m 处的点D 离地面的高度DE ＝0.6 m ，又量得竿底与坝脚的距离AB ＝3 m ，则石坝的坡度为( )A. 34 B ．3 C. 35D ．4图24－4－245．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．图24－4－255．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD ＝4 m ，渠底宽BC ＝2 m ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，渠深1 m ，求渠壁的坡度和坡角α .图24－4－26知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度) 7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米图24－4－278．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米图24－4－289．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )A ．6 mB ．3 5 mC ．3 mD ．12 m图24－4－2910．［2017·泰州］小明沿着坡度i 为1∶3的直路向上走了50 m ，则小明沿垂直方向升高了______m.11．某地下车库的入口处有一斜坡AB ，其坡度i ＝5∶12，且AB ＝26 m ，则车库的深度为___________________m.12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s (米)与时间t (秒)之间的关系式为s ＝10t ＋2t 2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．图24－4－3013．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则该建筑物AB 的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图24－4－3114．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m 到达B 点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m 到达山顶C 点，则此山高为__________m.图24－4－3215．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度.(Ｋ参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值 )Ｋ图24－4－3316．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图24－4－3417．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°.已知BC ＝90米，且B ，C ，D 在同一条直线上，坡面坡度为12(即tan ∠PCD ＝12)．(1)求该建筑物的高度(即AB 的长)；(2)求此人所在位置点P 的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．图24－4－35教师详答1．B 2.C 3.C 4.B 5.30°6．解：分别过点A ，D 作AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F . ∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 为矩形， ∴EF ＝AD ，AE ＝DF . 又∵AB ＝DC ，∴Rt △ABE ≌Rt △DCF ， ∴BE ＝CF .∵AD ＝4 m ，BC ＝2 m ， ∴BE ＝CF ＝1 m ，∴渠壁的坡度i ＝1∶1， 即tan α＝1， ∴α＝45°.答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°.7．A [解析] 如图，假设AC ＝13米，作CB ⊥AB 于点B ， ∵cos α＝1213＝ABAC ，∴AB ＝12(米)，∴BC ＝AC 2－AB 2＝132－122＝5(米)， ∴小车上升的高度是5米． 故选A.8．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵BC AC ＝i ＝12，AC ＝12米，∴BC ＝6米．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝6 5米．故选B. 9．B10．25 [解析] 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ， ∵坡度i ＝1∶3， ∴tan A ＝1∶3＝33， ∴∠A ＝30°. ∵AB ＝50 m ， ∴BE ＝12AB ＝25 m ，∴小明沿垂直方向升高了25 m. 故答案为25.11．1012．解：如图，由题意知t ＝4时，s ＝72，i ＝1∶ 3.设BC ＝x ，则AC ＝3x ， 由勾股定理得AB ＝2x ＝72， ∴x ＝36， ∴BC ＝36，∴此人下降的高度为36米．13．A [解析] 作DE ⊥BC 于点E ，作AF ⊥DE 于点F ，如图． 设DE ＝x 米，则CE ＝2.4x 米，由勾股定理，得 x 2＋(2.4x )2＝1952， 解得x ＝75，∴DE ＝75米，CE ＝2.4x ＝180米， EB ＝BC －CE ＝306－180＝126(米)． ∵AF ∥DG ，∴∠1＝∠ADG ＝20°，∴tan ∠1＝tan ∠ADG ≈0.364.∵AF ＝EB ＝126米，tan ∠1＝DF AF≈0.364， ∴DF ≈0.364AF ＝0.364×126≈45.86(米)， ∴AB ＝FE ＝DE －DF ≈75－45.86≈29.1(米)． 故选A.14． (50 2＋100 3)15．解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则四边形CEBF 是矩形． ∵斜面DB 的坡度i ＝1∶3，∴∠BDE ＝30°. 在Rt △BED 中，BD ＝30，∴BE ＝BD ·sin30°＝15，ED ＝BD ·cos30°＝15 3， ∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝45 3. 在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∴AF ＝BF ·tan ∠ABF ≈45 3×43＝60 3，∴AC ＝AF ＋FC ＝AF ＋BE ≈60 3＋15. 答：楼房AC 的高度约为(60 3＋15)米． 16．[解析] 假设点D 水平移动到点D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，根据锐角三角函数的定义求出DE ，CE ，CE ′的长，进而可得出结论．解：假设点D 水平移动到D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝6 3(米)，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈6 30.81≈12.8(米)，∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)，∴DD′＝EE′≈7米．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°，∴AB＝BC·tan60°＝90 3.答：该建筑物的高度为90 3米．(2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE.设PE＝x，则BF＝PE＝x.在Rt△PCE中， tan∠PCD＝PECE＝12，∴CE＝2x.∵AF＝AB－BF＝90 3－x，PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，且在Rt△APF中，∠APF＝45°，∴AF＝PF，即90 3－x＝90＋2x.解得x＝30 3－30.答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 3－30)米．。
24.4解直角三角形第3课时坡度、坡角课件
第24章 解直角三角形
24.4 第3课时 坡度、坡角的问题
洛阳市双语实验学校
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
(3)边角之间的关系
自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡
AB的长丝13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ）
A.1：3
B.1：2.6
C.1:2.4
D.1:2
B
C
A
中考链接
如走i=图了1：，0.4小6的5明千斜从米坡点到向A达上处点走出了B发，1，s千i沿米nα着达=坡到角点153为C．α问，的小然斜明后坡从又向A沿上点着到坡点度C上为 升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
洛阳市双语实验学校
再见！
洛阳市双语实验学校
自学内容： 课本115页
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
B
【解】
A
C
α
FD
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版12
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版121．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h . 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝ih，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
【华东师大版】九年级数学上册 同步练习第24章解直角三角形第3课时解直角三角形的应用_坡度坡角
24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角知识点 1 坡度与坡角1．以下对坡度的描述正确的是( ) A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比2．若斜坡AB 的坡角为56°19′，坡度i ≈3∶2，则( ) A ．sin56°19′≈1.5 B ．cos56°19′≈1.5 C ．tan56°19′≈1.5 D ．tan56°19′≈233．如果坡角的余弦值为31010，那么坡度为( )A ．1∶10B ．3∶10C ．1∶3D ．3∶1 4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m 处的点D 离地面的高度DE ＝0.6 m ，又量得竿底与坝脚的距离AB ＝3 m ，则石坝的坡度为( )A. 34 B ．3 C. 35D ．4图24－4－245．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．图24－4－255．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD ＝4 m ，渠底宽BC ＝2 m ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，渠深1 m ，求渠壁的坡度和坡角α .图24－4－26知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度) 7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米图24－4－278．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米图24－4－289．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )A ．6 mB ．3 5 mC ．3 mD ．12 m图24－4－2910．［2017·泰州］小明沿着坡度i 为1∶3的直路向上走了50 m ，则小明沿垂直方向升高了______m.11．某地下车库的入口处有一斜坡AB ，其坡度i ＝5∶12，且AB ＝26 m ，则车库的深度为___________________m.12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s (米)与时间t (秒)之间的关系式为s ＝10t ＋2t 2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．图24－4－3013．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则该建筑物AB 的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图24－4－3114．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m 到达B 点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m 到达山顶C 点，则此山高为__________m.15．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度.(Ｋ参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值 )Ｋ图24－4－3316．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图24－4－3417．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°.已知BC ＝90米，且B ，C ，D 在同一条直线上，坡面坡度为12(即tan ∠PCD ＝12)．(1)求该建筑物的高度(即AB 的长)；(2)求此人所在位置点P 的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．图24－4－35教师详答1．B 2.C 3.C 4.B 5.30°6．解：分别过点A ，D 作AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F . ∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 为矩形， ∴EF ＝AD ，AE ＝DF . 又∵AB ＝DC ，∴Rt △ABE ≌Rt △DCF ， ∴BE ＝CF .∵AD ＝4 m ，BC ＝2 m ， ∴BE ＝CF ＝1 m ，∴渠壁的坡度i ＝1∶1， 即tan α＝1， ∴α＝45°.答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°.7．A [解析] 如图，假设AC ＝13米，作CB ⊥AB 于点B ， ∵cos α＝1213＝ABAC ，∴AB ＝12(米)，∴BC ＝AC 2－AB 2＝132－122＝5(米)， ∴小车上升的高度是5米． 故选A.8．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵BC AC ＝i ＝12，AC ＝12米，∴BC ＝6米．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝6 5米．故选B. 9．B10．25 [解析] 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ， ∵坡度i ＝1∶3， ∴tan A ＝1∶3＝33， ∴∠A ＝30°. ∵AB ＝50 m ， ∴BE ＝12AB ＝25 m ，∴小明沿垂直方向升高了25 m. 故答案为25.11．1012．解：如图，由题意知t ＝4时，s ＝72，i ＝1∶ 3.设BC ＝x ，则AC ＝3x ， 由勾股定理得AB ＝2x ＝72， ∴x ＝36， ∴BC ＝36，∴此人下降的高度为36米．13．A [解析] 作DE ⊥BC 于点E ，作AF ⊥DE 于点F ，如图． 设DE ＝x 米，则CE ＝2.4x 米，由勾股定理，得 x 2＋(2.4x )2＝1952， 解得x ＝75，∴DE ＝75米，CE ＝2.4x ＝180米， EB ＝BC －CE ＝306－180＝126(米)． ∵AF ∥DG ，∴∠1＝∠ADG ＝20°，∴tan ∠1＝tan ∠ADG ≈0.364.∵AF ＝EB ＝126米，tan ∠1＝DF AF≈0.364， ∴DF ≈0.364AF ＝0.364×126≈45.86(米)， ∴AB ＝FE ＝DE －DF ≈75－45.86≈29.1(米)． 故选A.14． (50 2＋100 3)15．解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则四边形CEBF 是矩形． ∵斜面DB 的坡度i ＝1∶3，∴∠BDE ＝30°. 在Rt △BED 中，BD ＝30，∴BE ＝BD ·sin30°＝15，ED ＝BD ·cos30°＝15 3， ∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝45 3. 在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∴AF ＝BF ·tan ∠ABF ≈45 3×43＝60 3，∴AC ＝AF ＋FC ＝AF ＋BE ≈60 3＋15. 答：楼房AC 的高度约为(60 3＋15)米． 16．[解析] 假设点D 水平移动到点D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，根据锐角三角函数的定义求出DE ，CE ，CE ′的长，进而可得出结论．解：假设点D 水平移动到D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝6 3(米)，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈6 30.81≈12.8(米)，∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)，∴DD′＝EE′≈7米．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°，∴AB＝BC·tan60°＝90 3.答：该建筑物的高度为90 3米．(2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE.设PE＝x，则BF＝PE＝x.在Rt△PCE中， tan∠PCD＝PECE＝12，∴CE＝2x.∵AF＝AB－BF＝90 3－x，PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，且在Rt△APF中，∠APF＝45°，∴AF＝PF，即90 3－x＝90＋2x.解得x＝30 3－30.答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 3－30)米．。
初中数学华东师大版九年级上册坡比、坡度问题 课件PPT
BC AC1、坡角来自i= h : l 坡面 h
α 水平面 l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
ih l tan 坡度等于坡角的正切值
初中数学华东师大版九年级上册 《坡比、坡度问题》
类型：获奖课件PPT
——坡度、坡角
温故知新
三边之间关系 锐角之间关系
边角之间关系 (以锐角A为例)
a2+b2=c2（勾股定理）
∠A+∠B=90º
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
cos
A
A的邻边 斜边
AC AB
tan
A
A的对边 A的邻边
温故知新
特殊角的三角函数值
快速抢答：（看谁又快又准！说出角的度 数）
例1 例2
1、斜坡的坡度是 √3:1 则坡角α=__6_0___度。
2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 1_：__1____。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是1__:___3_
_。
h α
L
九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时坡度坡角在解直角三角形中的应用作业课件华东师大版
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分) 8．在平昌冬奥会上，一运动员乘滑雪板沿坡比 为 1∶ 3 的斜坡笔直滑下，滑下的距离 s(m)与 时间 t(s)间的关系为 s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时 间为 4 s，则此人下降的高度为( C ) A．72 m B．36 3 m C．36 m D．18 3 m
解：延长 BC 交 OP 于点 H. ∵斜坡 AP 的坡度为 1∶2.4，∴APDD ＝152 ，设 AD＝5k，则 PD＝12k， 由勾股定理，得 AP＝13k， ∴13k＝26，解得 k＝2，∴AD＝10，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BH⊥PO， ∴四边形 ADHC 是矩形，CH＝AD＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°， ∴PH＝BH，设 BC＝x，则 x＋10＝24＋DH，∴AC＝DH＝x－14，在 Rt△ABC 中，tan 76°＝ABCC ，即x－x14 ≈4.01. 解得 x≈18.7，经检验 x≈18.7 是原方程的解． 答：纪念碑 BC 的高度约为 18.7 m
解：由题意知，AH＝10 m，BC＝10 m，在 Rt△ABC 中，∵∠ CAB＝45°， ∴AB＝BC＝10 m，在 Rt△DBC 中，∵∠CDB＝30°，∴DB
＝ tan
BC ∠CDB
＝10
3
m.
∵DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10 3 ＋10＝20－ 10 3 ≈2.7 m，∵2.7 m＜3 m， ∴建筑物需要拆除
第10题图
11．某居民楼紧挨一座山坡 AB，经过地质人员 勘测，当坡度不超过 45°时，可以确保山体不滑 坡，如图所示，已知 AE∥BD，斜坡 AB 的坡角 ∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造， 改造后，斜坡 BC 与地面 BD 成 45°角，AC＝10 m．则斜坡 BC＝_3_3_.3_ m(结果精确到 0.1 m，参考 数据： 2 ＝1.41， 3 ≈1.73).