2.2.1直线平面平行的判定及其性质2
高中数学教学课例《2.2.1直线与平面平行的判定》课程思政核心素养教学设计及总结反思
α 内平移 b，得到直线 c，不难发现 ac（强调直线 a， c 没有公共点）．
紧接着，提出问题，直线 a 能与平面 α 内的无数 条直线都平行吗？（能）
教师追问，直线 a 与平面 α 内的这无数条直线有 公共点吗？（没有）
教师带领全体同学思考一个问题：“反过来，直线 a 与平面 α 内的无数条直线都平行，则 a 与平面 α 平 行吗？”
导者，学习的主体是学生．
本节课的教学达到了预期的效果，学生基本上掌握
了直线与平面平行的判定定理的内容，会注意到定理中
的三个条件缺一不可。通过例题的讲解和练习的训练，
学生学会了证明直线与平面平行的方法，知道了利用判
定定理证明的关键是要去平面内去找一条直线与已知 课例研究综
直线平行，将空间问题转化为平面问题。本节课由于时 述
间与平面互相转化的思想。培养学生主动探究知识、合 作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习 兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好习惯。
学生通过第一章课程的学习，对简单空间几何体的 结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的 画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实 例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初 步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不 学生学习能 久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达 力分析 能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象 概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发 现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的 理解是教学难点．教学时应注意及时纠正学生错误的地 方，这样有利于学生实现由平面图形到立体几何图形的 转变，更好的培养学生空间想象能力。
高中数学必修二2.2-直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定●知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b●知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1 C．2 D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB 1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
直线与平面平行的判定及其性质
2.2直线、平面平行的判定及其性质整理人：刘华伟基础知识：1. 直线和平面平行的定义：直线和平面没有公共点。
2. 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.即“线线平行，线面平行”。
符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示.3. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．即“线面平行，面面平行”。
用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭。
4. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.即“线面平行，线线平行”。
用符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.5. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 即“面面平行，线线平行”。
用符号表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒ ，如右图。
6. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等。
例题解析：例1 如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：//M N 平面PAD ；（2）若4M N BC ==，PA =直线P A 与MN 所成的角的大小。
βaαb解：（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点， ∴N H //=12D C。
由M 是AB 的中点，∴ NH //=AM ，即AMNH 为平行四边形。
∴ //M N AH 。
由M N PAD 平面⊄，AH PAD 平面⊂， ∴ //M N P A D 平面。
（2） 连接A C 并取其中点为O ，连接OM 、ON ， ∴ OM //=12BC ，ON //=12PA ， 所以O N M ∠就是异面直线P A 与MN 所成的角，且MO ⊥NO 。
人教版高中数学必修二 2.2(1-2) 直线、平面平行的判定定理
问题提出
1.直线与平面的位置关系有哪几种？ 平行、相交、在平面内.
2. 怎样判定直线与平面平行呢？
知识探究(一):直线与平面平行的背景分析
思考1：生活中，我们注意到门扇的 两边是平行的. 当门扇绕着一边转 动时，观察门扇转动的一边l 与门框 所在平面的位置关系如何？
l
思考2.在下正方体中指出直线BC、 B' C'与平面A' B' C' D' ，直线BC与 B' C' ，直线BC与平面A' B' C' D'之 间的位置关系。
D' A'
C' B'
D A
C B
定理 若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平行.
a
αb
a , b ，且 a//b a//.
思考2：三角板的一条边所在直线与桌 面平行，这个三角板所在平面与桌面平 行吗？两条边呢？
Io
思考3 在下正方体中指出直线A' C'、
B' D'与平面A' B' C' D' ，直线A' C' 与B'
D' ，直线A' C' 、B' D'与平面ＡＢＣＤ，
平面A' B' C' D'与ＡＢＣＤ平面的位置关
系。
A′ D
C′ B′
C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
作业： P55练习：1.
P62习题2.2A组：3，4.
P58练习：1， 3（做书上）．
2.2直线、平面平行地判定与性质
§2.2直线、平面平行的判定与性质高考会这样考1.考查空间平行关系及性质；2.大题中证明或探索空间的平行关系．备考要这样做1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．1．直线与平面平行的判定与性质[状元的深入理解]1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．1．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．2．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件．3．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则 ( ) A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交5．下列命题正确的是( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行方法与技巧1． 平行问题的转化关系2． 直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质． 3． 平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.【题型分类剖析】题型一 直线与平面平行的判定与性质例1 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明 方法一 如图所示． 作PM ∥AB 交BE 于M ， 作QN ∥AB 交BC 于N ， 连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QNDC，∴PM AB ＝QN DC，∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形， ∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二 如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK ， ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQBQ ，又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK， ∴AP PE ＝AQ QK，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .探究提高 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．求证：BE ∥平面PDF . 证明 取PD 中点为M ，连接ME ，MF ，∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME 綊12CD .∵F 是AB 的中点且四边形ABCD 是菱形，AB 綊CD ， ∴ME 綊FB ，∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF . ∵BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF . 题型二 平面与平面平行的判定与性质例2 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .思维启迪：要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行． 证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线．解已知：直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b.求证：a∥b.证明：如图所示，过直线a作平面γ，δ分别交平面α，β于直线m，n(m，n不同于交线b)，由直线与平面平行的性质定理，得a∥m，a∥n，由平行线的传递性，得m∥n，由于n⊄α，m⊂α，故n∥平面α.又n⊂β，α∩β＝b，故n∥b.又a∥n，故a∥b.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋yb＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 探究提高 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .证明如下： ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴QB ∥PA .∵P 、O 分别为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵D 1B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B 、QB ⊂平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO .【答题示范与提高】立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．规范解答解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.[2分]又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．[4分]图(a)设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，[5分]即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.[6分](2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，图(b)所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面．所以BG ⊂平面A 1BE .[8分]因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点， 所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ， 因此四边形B 1BGF 是平行四边形， 所以B 1F ∥BG ，[10分]而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ， 故B 1F ∥平面A 1BE . 答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置． 第二步：证明符合要求． 第三步：给出明确答案．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点和答题规范．另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法．温馨提醒 (1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力．(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB 1A 1的垂线，以致无法确定线面角．(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难．(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若直线m ⊂平面α，则条件甲：“直线l ∥α”是条件乙：“l ∥m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 已知直线a ，b ，c 及平面α，β，下列条件中，能使a ∥b 成立的是( ) A ．a ∥α，b ⊂αB ．a ∥α，b ∥αC ．a ∥c ，b ∥cD ．a ∥α，α∩β＝b3． 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )A ．平行B ．平行和异面C ．平行和相交D ．异面和相交4． 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. 如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边 形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM 于GH.求证：PA∥GH.9. (12分)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F—ABCD的体积．.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l22．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是 ( )A．①② B．①④C．②③D．③④3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( ) 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________． 5. 一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为________．6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.三、解答题7． (13分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A—PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．。
2.2.1直线与平面平行的判定
应用巩固：
a , b , a // b a //
【基础练习1】如图，四面体ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，AD的中点.试指出图中分 别与直线EF,GH,FG,EH平行的平面，哪些直线与 A 平面EFGH平行？ E H D
B
F
G
C
应用巩固：
a , b , a // b a //
【基础练习2】如图，在长方体ABCD—— A1B1C1D1中，E为DD1的中点。试判断BD1与平面 AEC的位置关系，并说明理由。
F
应用巩固：
a , b , a // b a //
【提高练习1】如图，在空间四边形ABCD中， E，F 分别是AB和BC上的点， 若AE：EB=CF：FB=1：3， 则对角线AC和平面DEF的位置关系如何？
复习
直线与平面有几种位置关系？
空间直线和平面的 位置关系 直线在平面内
a
图形表示
符号表示
a
a
a A
a
直线与平面相交
A
直线与平面平行
a //
直线和平面平行：没有公共点
拖我
a
c
b
a
探索研究
（1）
a c
（2）
操作确认
a
b
抽象概括：
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行. a
跳跃
应用巩固：
a , b , a // b a //
【提高练习2】已知，如图P是平行四边形 ABCD外一点同M，N分别是PC，AB的中 点。求证：MN//平面PAD
直线与平面平行的判定定理2.2
你能从上述的 两个实例中抽象概 括出几何图形吗？
四、得出结论： 请同学们根据所观察到的，尝试 从上述的两个实例中抽象概括出几何 图形并陈述平面外的直线与平面平行 的条件
a
b
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
a b a//
仔细分析下，判定 定理告诉我们，判定直 线与平面平行的条件有 几个，是什么？
定理中必须的条件有三个，分别为：
a在平面外，即a (面外) (面内) b在平面内，即b a与b平行，即a∥b(平行)
a b
用符号语言可概括为：
a b a∥ a ∥b
简述为：线线平行线面平行
a//
定理的应用
例一： 如图，空间四边形ABCD中，
a
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判 定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
那么，是否有简单 的方法来判定直线与平 面平行呢？
三、问题探究：
问题1：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封 面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什 么样的位置关系？ 问题2：门扇转动的一边与门框所在的平面之间的 位置关系．
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, B
F
D
E O
C
分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
又∵ AF=FE, ∴AB//OF,
∵ AB 平面DCF, 且OF 平面DCF ∴ AB//平面DCF
直线、平面平行的判定及其性质-最新教育文档
直线、平面平行的判定及其性质教学内容：直线与平面平行的判定和性质【基础知识精讲】1.直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.直线a在平面α内，记作aα.(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.记作a∩α=A(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.2.直线和平面平行的判定判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)即a∥b,aα，bαa∥α证明直线和平面平行的方法有：①依定义采用反证法②利用线面平行的判定定理③面面平行的性质定理也可证明3.直线和平面平行的性质定理性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).即a∥α,aβ，α∩β=ba∥b.这为证线线平行积累了方法：①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理【重点难点解析】本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN=AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.分析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P.∵ BE∥AF，∴ ΔBNP∽ΔFNA.∴ =，则=即 =.又 =，=，∴ =.∴ MN∥CP，CP平面CBE.∴ MN∥平面CBE.例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：α∩β=a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.∴ b∥c，显然cβ.∴ b∥β.又 bα，α∩β=a，∴ b∥a.又l∥b.∴ l∥a.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.例3 如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q 在SB上，R在SD上，且SP∶PC=1∶2，SQ∶SB=2∶3，SR∶RD=2∶1.求证：SA∥平面PQR.分析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.∴RQ∥BD∴=而=∴=∴PM∥ON∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR∴ SA∥平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.例4 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.【难题巧解点拨】例1 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD=CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.证在ΔADC中，因AE∶AD=CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).例2 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F求证：EF∥平面AC.分析如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN∵BB′⊥平面AC ∴BB′⊥AB，BB′⊥BC∴EM⊥AB，FN⊥BC∴EM∥FN，∵AB′=BC′，B′E=C′F∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°∴RtΔAME≌RtΔBNF∴EM=FN∴四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN平面AC&the re4;EF∥平面AC证法2 过E作EG∥AB交BB′于G，连GF∴=∵B′E=C′F，B′A=C′B∴=∴FG∥B′C′∥BC又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B∴平面EFG∥平面AC又EF平面EFG∴EF∥平面AC例3 如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH;(2)CD∥平面EFGH证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB.∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.【课本难题解答】1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：a∥b,a∩α=A，求证：b和α相交.证明：假设bα或b∥α.若bα，∵b∥a，∴a∥α.这与a∩α=A矛盾，∴bα不成立.若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c∴a∥α这与a∩α=A矛盾.∴b∥α不成立.∴b与α相交.2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：a∥b,aα，bβ，α∩β=c.求证：c∥a∥b【命题趋势分析】本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，它是高考中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.【典型热点考题】例1 在下列命题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β;C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行;D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.解对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确;平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确;对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确;应选C.例2 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对;若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.例3 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点;若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：α∩β=a,α∩=b,∩α=c.求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.证明：①如图一，设a∩b=A，∵α∩β=a.∴aα而A∈a.∴A∈α.又β∩=b∴b,而A∈b.∴A∈. 则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.从而a、b、c三线共点.②如图二，若a∥b，显然c，b∴ a∥而 aα, α∩=c.∴ a∥c从而a∥b∥c【同步达纲练习】一、选择题1.如果直线a平行于平面α，直线b∥a，点A∈α，A∈b,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.b∥αC.b∥α或bαD.b∩α=A2.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的线段，那么经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A.平行B.相交C.AC在平面内D.以上都有可能3.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是( )A.异面B.相交C.异面或平行D.异面或相交4.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三线段，它们的中点分别是P、Q、R，且PQ=2，QR=，PR=3，则AC与BD 所成角为( )A.60°B.30°C.90°D.120°5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点6.直线a∥平面α，P∈α，过点P 且平行于a的直线( )A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，不一定在α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在α内7.下列判断正确的是( )A.a∥α,bα，则a∥bB.a∩α=P,bα，则a与b不平行C.aα，则a∥αD.a∥α,b∥α,则a∥b8.若α∩β=a,l∩α=M,l∩β=n ，则a和1( )A.异面B.可平行C.相交，平行D.异面，平行9.若a∥b,b∥α，则( )A.a∥αB.a∩α=AC.a与α不相交D.以上都不对10.直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交二、填空题1.过平面外一点作一平面的平行线有条.2.若a∥平面α，b∥平面α，那么a,b 的位置关系是 .3.A、B、C、D四个点不在同一平面内，到这四点距离都相等的平面有个.4.已知直线a∥b，直线a∥α，则b与α的位置关系是( )三、解答题1.四面体A—BCD，被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.(1)求证：CD∥平面EFGH.(2)求异面直线AB、CD所成的角.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底面ABCD的中心.求证：OC1∥平面AB1D1【素质优化训练】1.如图，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1.求：(1)A点到CD1的距离.(2)A到BD1的距离.(3)A点到面BDD1B1的距离.(4)A点到面A1BD的距离.(5)AA1到面BB1D1D的距离.2.已知：空间四边形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点.求证：EF∥平面BDC.3.已知：a∥平面α，P∈α，P∈b,且a∥b.求证：bα.4.用平行于四面体ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体得一四边形MNPQ.如图：(1)求证：MNPQ是平行四边形.(2)若AC=BD，能截得菱形吗?如何截?(3)在什么情况下，可以截得一个矩形?(4)在什么情况下，能截得一个正方形吗?如何截?(5)若AC=BD=a，求证：平行四边形MNPQ的周长一定.(6)若AC=a，BD=b，AC和BD所成的角为θ，求平行四边形MNPQ面积的最大值，此时如何截取?【生活实际运用】教室内，日光灯管所示直线与地面平行，若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线平行，该怎样作出?提示：只需由灯管两头和地面引两条平行线，两条相交线与地面的交点连线就是与灯管平行的直线.【知识验证实验】一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?提示设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB=a，MA∥NB，MA=NB=b,∠A=∠B=90°.设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L 平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TK∥AB，交MA于K，则AK=ST.设ST=x，则x=b-KM.又KT=CT=，∠KTC=φ，有KC=asin.从而KM=∴x=b-【知识探究学习】三棱锥O—ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，底面ABC上有一点P到各侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，求点P到棱锥顶点O的距离.提示：如图，经过补形.OP==7cm.参考答案【同步达纲练习】一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D二、1.无数 2.平行、相交、异面 3.7 4.b∥α或bα.三、1.(1)略 (2)90°2.设正方形A1B1C1D1的中心为O1，证明AO1∥OC1即可.【素质优化训练】1.(1)(2)(3)(4)(5)2.略3.证：在α内取一点A(A异于P).∵a∥α.∴Aa，∴a、A确定平面β，设α∩β=a′，则a∥a′，又a∥b,∴a′∥b.若bα，则由于b∩α=P，且Pa′.∵a′α.∴b与a′为异面直线，这与a′∥b矛盾.∴bα.4.(1)略 (2)当M为AB中点时 (3)当AC⊥BD (4)当AC=BD，AC⊥BD，且M为AB中点. (5)2a (6)设MQ=x,PQ=y,=.S□=absinθ≤absinθ，Q为AD 中点时取等号.。
2.2.1_直线与平面平行的判定_课件
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质） EF 平面BCD BD 平面BCD EF// 平面BCD FE//BD
10
金太阳教育网
变式1:
品质来自专业 信赖源于诚信
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点，若 EB FD ，则EF
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2.2.1《直线与平面平行的判定》
1
金太阳教育网
教学目标
品质来自专业 信赖源于诚信
使学生掌握直线与平面平行的判定定理，并会用判定定理证明直线与平面 平行。 教学重点：直线与平面平行的判定定理的应用。 教学难点：判定定理的理解。
天花板平面
7
感受校园生活中线面平行的例子:
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
球场地面
8
金太阳教育网
定理的应用
A
F D
品质来自专业 信赖源于诚信
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
E B
求证：EF∥平面BCD.
直观感知，操作确认
4
金太阳教育网
探究问题，归纳结论
品质来自专业 信赖源于诚信
如图，平面 外的直线 a平行于平面 内的直线b。 （1）这两条直线共面吗？ （2）直线
a与平面 相交吗？
a
b
5
金太阳教育网
归纳结论
品质来自专业 信赖源于诚信
品质来自专业 信赖源于诚信
作业:
课本P68第3题
19
金太阳教育网
(2)2.2.1直线与平面平行的判定定理
教学过程
（一）直线与平面平行的性质定理
已知一条直线与平面平行，通过观察实物，或通过计算机演示动态图象，在平面内找出这条直线的平行线。
在学生进行充分探究之后，教师给出规范的证明过程。
（二）例题与练习 例题:P59例3，
动手操作：在木块上面画出地面的平行线。
由于看不见底面，所以找到一个平面。
让学生感受到性质定理中所提到的平面的作用，然后再进行论证。
P59例4，
首先根据题意画出图形，然后根据图形写出已知、求证，再综合运用公理4和直线与平面平行的性质定理，条理清晰地写出证明过程。
练习:如右图，b ∥c ，求证：a ∥b ∥c （学生板演） （三）小结与作业
线面平行的判定定理和性质定理，在逻辑上有不同的顺序， 即判定定理：线线平行→线面平行； 性质定理：线面平行→线线平行。
作业：P62—5、6题。