三大数学思想妙解三角题
浙教七下第1章三角形的初步知识 聚焦求角问题中的数学思想方法 辅导文章
聚焦求角问题中的数学思想方法四川 向茂江在学习与三角形有关的角时，同学们会遇到许多求角的问题，其中有些题目看似简单，却很难入手，或者是由于思考不全而造成漏解，怎么办？要知道，数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙。
本文将谈谈数学思想方法在这类题目中的运用，希望对同学们的解题有所帮助。
一、整体思想例1. 如图1，若P 为∠B 、∠C 的角平分线的交点，求12BPC A ∠-∠的值。
分析：本题的关键在于从整体着眼，利用PBC PCB ∠+∠建立与A ∠与BPC ∠的关系。
解：∵11,,22PBC ABC PCB ACB BPC ∠=∠∠=∠∠=180º()PBC PCB -∠+∠ ∴12BPC A ∠-∠=180º111222ABC ACB A ⎛⎫-∠+∠+∠ ⎪⎝⎭=180º12-⨯180º=90º. 二、方程思想例2. 如图2，在ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB=3∶4∶5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，求∠BHC 的度数。
分析：根据三角形的内角和定理，结合已知条件可先求出∠A 、∠ABC 、∠ACB ，因为∠BHC 在BHC 中，则需先求出∠DBC 和∠ECB 的值。
解：设3A x ∠=，则4,5,ABC x ACB x ∠=∠=∴345x x x ++=180º. ∴x =15º.即∠A=45º，∠ABC=60º，∠ACB=75º，在△DBC 中，由∠DBC=90º知△DBC 是直角三角形，∴∠DBC=90º-75º =15º。
在△ECB 中，由∠CEB=90º知△ECB 是直角三角形，∴∠ECB=90º-60º =30º。
在△BHC 中，∠BHC=180º-15º-30º=135º.点评：由于∠A ∶∠ABC ∶∠ACB=3∶4∶5，设3A x ∠=，则4,5,A B C x A C B x ∠=∠=再根据三角形内角和定理，就可以得到一个关于x 的方程，即345x x x ++=180º，从而求得∠A 、∠ABC 、∠ACB ，这种方法会经常用到，要注意掌握。
等腰三角形中的数学思想
等腰三角形中的数学思想数学思想是解数学题的金钥匙，在等腰三角形中，根据题目的特征，巧妙灵活地运用数学思想解题，可化繁为简，起到事半功倍之效，同时也可有效地防止某些错误发生，现举例说明.一. 方程思想例1:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,求这个等腰三角形的底边长.分析:这是几何中的代数问题,不妨考虑通过设未知数,利用方程(组)思想来解决. 解:设这个等腰三角形的腰长分别为2xcm,底边长为ycm,则⎩⎨⎧=+=21,123y x x 或⎩⎨⎧=+=12,213y x x ()舍⎩⎨⎧==174y x 或⎩⎨⎧==.5,7y x 答:这个等腰三角形底边长是5cm评注:方程(组)思想是数学学习中的一个重要思想,它是通过设未知数,利用题意来设法建立方程(组),在求解,求出三角形的边必须用三角形边与边不等关系来检验,决定取舍. 二. 分类讨论思想例2 已知等腰三角形的一个角为400，则其顶角为（ ）.A.400B.800C. 400或800D. 1000分析：因为并未说明等腰三角形中400的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论。
例3 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则它的周长是__________. 周长是13或14. 三. 整体思想例3：如图2，在△BAC 中，AB=AC,AB+BC=13,AB 边的垂直平分线MN 交AC 于D,求△BCD 的周长.解:∵MN 垂直平分AB 交AC 于D,∴BD=AD.又∵AB=AC, ∴△BCD 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=13.评注:本题若分别求三边长,则不易求解,而巧妙地应用整体思想求解严防等腰三角形中的“陷阱”一、利用顶角与底角不分设陷对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论。
九年级数学解直角三角形 如此简单 5种类型全包括 专题讲解
∴ = 即
∴∠A=600
∴∠B=300
根据勾股定理得：AC=
解直角三角形经典题型三：
已知直角三角形中两条边的比，和一条边的长度。求三角形的边。
已知在 中∠C=900，AB=2， ，求AC。
解：因为 所以可设BC=K,则AC=2K，有
即 5K2=4
解得：K1= K2=- (舍去)
已知直角三角形中一个角和一条边，解直角三角形
已知在 中∠C=900，∠A=450，BC=12,解直角三角形。
解：在RT 中∵∠A=450
∴∠B=900-450=450
∵BC=12
∴AC=BC=12
∴ = 即AB=
∴AB= =12
解直角三角形经典题型二：
已知直角三角形中两条边，解直角三角形
已知在 中∠C=900，AB=2，BC= ,解直角三角形。
所以：AC=2K=
解直角三角形变式训练一：（高频考题）
已知：如图RT ，∠B=300，∠ADC=600BD=24求AC
解：∵∠B=300，∠ADC=600
∴∠DAB=300即 是等腰三角形
∴AD=BD=24
在RT 中
∵∠ADC=600
∴ 即 =
∴AC= 24=12
解直角三角形变式训练二：（高频考题）
已知：如图RT ，∠B=300，∠ADC=450BD=24求AC
解：∵∠ADC=450
∴RT 是等腰直角三角形
设AC=x ,则CD=x
在RT 中∵∠B=300BD=24
∴ 即
∴
解得：x=
解直角三解形5种经典题型全概括
解直角三角形必备知识点一：
直角三角形的5个要素:三条边，两个角。
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(11大核心考点)-2024年高考数学二轮复习讲练测
5．（2021•浙江）在中，∠ = °， = ，是的中点， = ，则 = ；
∠ = ．
6．（2022•甲卷）已知中，点在边上，∠ = °， = ， = ．当 取得最小值时，
，得 = 2或 =
∈ 0, ，得sin = 1
7
− 2（舍），
− cos 2
2
2
15
4
=
=
2sin⋅cos
3 15
．
4
3
3
= sin，所以 = 6cos．
在 △ 中，再由余弦定理得 cos =
所以 6 =
15
，
4
所以△ 的面积 = 1 sin = 1 × 3 × 2 ×
2
=
3
= 0, ∴ ∠ = ， =
2
2
3
7
1+4−2
7
，解得AD为
9
1
+
16
3
2
− )=
=
3
，cos∠
3
129
12
4
3 3
，sin∠ =
，
43
43
3
1
, sin∠ = ，
2
2
7 3
+ ∠) = 2 43，
cos∠ = −cos∠ = −
cos∠ = cos(
（2）在△ 中，由正弦定理得sin = sin ⇒ sin2 = sin ⇒
16+2 −9
2×4×
，解得 = 21．
2 + 2 − 2
2⋅
高中解三角形,你不得不知的5种解法!
高中解三角形,你不得不知的5种解法!在高中数学学习中，解三角形是非常重要的一部分。
掌握解三角形的方法能够帮助我们解决与三角形相关的各种问题。
本文将介绍5种常用的解三角形的方法，帮助你更好地理解和应用。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中的边和角关系的重要工具。
设三角形ABC 的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC利用这个定理，我们可以通过已知的两个角和一个边，推导出其他未知的边或角。
二、余弦定理余弦定理也是解决三角形中的边和角关系的重要方法之一。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表达为：c² = a² + b² - 2abcosC利用余弦定理，我们可以通过已知的三个边或两个边和一个角，求解未知的边或角。
三、正切定理正切定理是解决三角形中的边和角关系的另一种方法。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正切定理可以表达为：tanA = (2ar)/(a²-b²)tanB = (2br)/(b²-a²)利用正切定理，我们可以通过已知的两个边和一个角，求解未知的边或角。
四、角平分线定理角平分线定理是解决三角形中的角平分线与三边的关系的重要定理。
设角ABC的角平分线为AD，连接点D到边BC的交点为D，则角平分线定理可以表达为：BD/DC = AB/AC利用角平分线定理，我们可以通过已知的两个边，求解未知边或角平分线。
五、相似三角形和比例关系相似三角形和比例关系也是解决三角形问题的重要思想。
如果两个三角形的对应角相等，则称这两个三角形为相似三角形。
在相似三角形中，对应边的比例相等。
利用相似三角形和比例关系，我们可以通过已知的两个三角形，求解未知的边或角。
综上所述，解三角形是高中数学学习中的基础内容，掌握不同的解法能够帮助我们解决各种三角形相关的问题。
解直角三角形中考题型解题技巧
解直角三角形中考题型解题技巧
解直角三角形中考题型通常包括以下几种：
1.
直接求角度和边长：给出一个已知的角度和一条边的长度，要求另一条边的长度或两个角度的大小。
2.
已知两个角度和一条边长，求另一条边长：给出两个已知的角度和一条边的长度，要求另一条边的长度。
3.
已知三个角度和三条边长，求第四个角度：给出三个已知的角度和三条边的长度，要求第四个角度的大小。
下面是一些解题技巧：
1.
利用三角函数公式：在解直角三角形时，可以使用正弦、余弦、正切等三角函数公式来计算角度和边长。
例如，对于一个直角三角形ABC,其中∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,则
sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b。
2.
利用勾股定理：在解直角三角形时，可以使用勾股定理来计算斜边和直角边的长度。
例如，对于一个直角三角形ABC,其中∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,则根据勾股定理有a^2+b^2=c^2。
3.
利用相似三角形：在解直角三角形时，可以使用相似三角形的性质来计算角度和边长。
例如，对于一个直角三角形ABC,其中∠C=90°，AB=c,AC=b,BD=x,CD=y,则根据相似三角形的性质有x/a=y/b。
4.
注意单位换算：在解题时需要注意单位换算的问题，特别是在涉及到长度和角度的计算时。
例如，如果题目中给出的角度是以度为单位的，而要求的答案是以弧度为单位的，则需要将角度转换为弧度。
高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理
解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π；2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3．正弦定理：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 变形：①角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 R c C Rb B R a A 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。
4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论：1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
解三角形题型及解题方法归纳总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版解三角形题型及解题方法归纳总结三角形是数学中最基础、最重要的几何图形之一，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说非常重要。
下面我们就以三角形的结构特征及解题方法来归纳总结一下。
首先，三角形的基本特征有三边、三角形内心、三条对角线以及三个角。
在三角形的结构特征里，最重要的是三角形的三个角，其中有一些理论概念，如两边之和大于第三边、两边之积等于第三边的高乘以底边的一半等。
其次，根据三角形的特性，学生在解决三角形题目时，应该先领会三角形题目给出的条件，确定出题目给出的条件，然后根据解三角形题目所使用的公式，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后根据求解得到的结果检查答案是否正确。
接下来，我们来看看具体的解三角形的步骤分为三个步骤：1.据三角形的边长确定三角形形状，分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形。
2.据三角形形状确定求解方法，分为直接求解、相似三角形求解、余弦定理求解、正弦定理求解和余切定理求解。
3.据给出的公式求解三角形的边长、角的大小、面积等，并检查答案的正确性。
最后，我们还要重点强调以下几点：1.掌握三角形的特征，如：三条边的关系、三角形的三个角的关系等，并要熟练掌握相应的理论公式，以便能够解决具体的解三角形题目。
2.解决三角形问题时，要根据问题形式确定求解方法，并要求正确掌握解题步骤和运算公式，以便能够准确答题。
3.解决三角形问题时，我们还要特别注意一下两边之和大于第三边及两边之积等于第三边的高乘以底边的一半这两条关系，这些关系在解题中起到很重要的作用。
综上所述，三角形是数学中最基础的几何图形，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说至关重要。
要正确掌握解三角形题型与解题方法，首先应学习三角形的基本特征，了解常见的解三角形的方法，熟练掌握解三角形问题所应用的各种理论公式，其次要正确理解具体的解三角形题目给出的条件，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后再检查所得结果的正确性。
人教版-数学-九年级下册-锐角三角函数中的数学思想
锐角三角函数中的数学思想 数学思想是数学的灵魂，学习了锐角三角函数，下面向大家介绍其中的一些数学思想．一、数形结合思想 在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．例1 已知tanA=43，求sinA 的值． 分析：此已知条件可转化为：已知Rt △ABC 中，∠C=90°， tanA=43，求∠A 正弦值． 解：如图1，若设AC=3k ，BC=4k ，那么必有AB=5k ，所以sinA=53=AB AC ． 二、转化思想 将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高．例2 如图2，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC ．分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．解：作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，因为∠B=45°，所以BD=AD=AB·sin45°=8×22=42， 在Rt △ACD 中，AD=42，∠C=60°，所以AC=638232460sin ==︒AD ． 三、方程思想通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想．例3 如图3，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰图1图2角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．解：作CD ⊥AB 垂足为D ，设气球离地面的高度是x cm ，在Rt △ACD 中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x ，在Rt △CBD 中，∠CBD=60°，所以tan60°=BD CD ，所以BD=x 33因为AB=AD-BD ，所以20=x -x 33，所以x =30+303， 所以气球离地面的高度是（30+303）m ．四、建模的思想解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．例4 如图4，公路PQ 和公路PN 在P 处交汇，∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160m ，设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN 上由P 向N 方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s ，如果有影响，那么影响的时间是多长？分析：学校是否会受影响，取决于点A 到PN 的距离与100m 的长短的比较． 解：过点A 作AB ⊥PN ，垂足为B ，因为∠NPQ=30°，所以AB=801602121=⨯=AP (m)<100m ．所以学校会受影响．设拖拉机行至C 处时学校刚受影响，超过D 处时不在受影响，则AC=AD=100(m)， 在Rt △ABC 中，BC=608010022=-，同理BD=60，所以CD=120．所以学校受影响的时间为t=s s m mh km m24/.5120/18120==．图4 图3。
2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想(解析版)
直角三角形中的分类讨论思想知识方法精讲1．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．5.分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
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Ｓ ＾ （
９
ｌ
角 度 六 ： 对 目 标 函 数 平 方 消 元
解法 ９ ： 利 用 极 坐 标 消 元 （ 三 角 代 换 ）
为 因
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ａ
＋
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５ ｃ ＋ ２ ａ ｃ ＝８ ４ （＊）
令
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的 关 系 是 决 问 题 的 关 键 ．
在讲 解例
３
后 ，教 师提出
如 下 题 问
：
例 ４
２０ １ ６
（
年高
考课标
ＩＩ
卷理 科第
９
题 ）
若
予 ｃ ｏ ｓ （
ａ － ）
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ａ
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⑷吾
＾ ｝ Ｂ
（
）
｝ Ｃ
－
（
）
Ｄ
－
（
）
分 析 本 题 常 规 思 路 如 例 ３ 要 去 寻 找 ２ ａ 这 个 角
的值
，
可 以利
用
方
程
的
思
想
来处
理 ．
例 知 数 在 取得 ２
已函
ｙ ＝ ｓ ｉ ｍ ： ＋ ２ｃ ｏ ｓ ａ：
：ｃ ＝ ０
最 大 值 则 ，
ｔ ａ ｎ０＝
？
分析 ：
本题 常规 思
路是 利
用
辅助角
公式把
已 知
解 形 形 函 数
析 化 式
为 角 的 “
２８ ，
２ ４ ＜ ４６ ２
２８ ，
以６
＂
围 是 Ａ （ Ｖ§ ，
］ ．
解 法 造 代 构 １ ０ ：
齐 次式
数消元 ２
２
为 因 ，
５ ａ ＋ ５ ｃ ＋
由 于 ２ａｃ ＝８４ ，
２
（ ａ ＋ ｃ ）
＝ａ
２
＋
２
ｃ ＋
２ａ
ｃ ＝
８
４ｘ
”
名 一
一
式 ，
如 ＝ ｙ
Ｗ 史 ｓ ｉｎ （ ０ ＋
）
的 形 式 ， 但 由 于 史 不 是 特 殊 角 ， 很 多 学
生 便 望 而 却 步 ， 无 法 再 进 行 下 去 ． 若 本 题 从 函 数 的 角
度 来 处 理 ， 则 可 另 辟 蹊 径 ． 因 为 该 函 数 在 ＊ ＝ ０ 取 得
４４ ？
？
中 学 数 学 研 究
年 ２０ １ ８
第 １ ２ 期
＾ ｆ Ｊ６ ■
＜ ｓ
－
ｆ ．
解法 ８ ： 利 用 正 交 变 换 （ 旋 转 变 换 ） 不 改 变 曲 线
图 形 特 征 来 研 究
依据正 交变换矩 阵
Ｓ ｉ ｎ０
０ ｅ ＿
同 的 细 节 从 不 同 的 途 径 反 复 考 查 同 一 细 节 以 不 同
，
，
＇
的 方 式 进 行 组 合 从 不 同 的 角 度 来 利 用 它 们 ． “ 你 可 ，
以 尝试寻 找过去 所 获 知识 之 间
联”
的
系．
试 着 想 想
过 去 类 似 情 况 下 是 什 么 帮 助 了 你 试 着 在 你 考 查 过 ，
的 过 程 中 认 出 些 一 你 熟 悉 的 东 西 试 着 在 你 认 清 的 ，
东西
中 发现一些有 用
的东
西 ，
这是 对一个 问 题
多
角
度 认 识 的 直 观 体 现 ．
三 大 数 学 思 想 妙 解 三 角 题
福 建省 莆 田 第 二 中 学 蔡 海 涛 （ ３５ １ １３ １ ）
值 所 值 最 大 ， 以 函 数 在 ＊＝ ０ 取 得 极 ， 则 ／
＝〇 ，
ｘ ＝ ｅ
本 题 即 可 轻 松 获 解．
略解 知 得 依 题 得 ： 由 已
＇
ｙ
＝ ｃｏ ｓ ＊－ ２ ｓ ｉ ｎａ： ，
意
则 ｃ
ｏ
ｓ
０
２ －
ｓｉ ｎ
０＝ ０
，
ｔ ａｎ０ ＝
性求
０＞
的值
再 确
，
定Ｐ
值 的
．
其 实本题 也可 以 利 用
函 数与 方程的 思 想 ，
利 用 已 知 条 件 求 解 含 ｗ 和 ｐ 的 方 程 组 来 处 理 ．
ＴＴ
ｙ ｙ ｏ＞ ｉ ＋９＝
７ Ｔ
，
；
；；
３ ｔｔ
＾ — 〇）
＜ｐ
＝
目
函
６的
围，
由 ２６
转 化 为 求 解 ＝ ａ ＋ ｃ
２
２
２
ａ ＋ ｃ
ｐ （
）
＝ ａ ＋ ｃ ＋ ２ａ ｃ＝
２ （ １
８４ １ ＋ｓ ｉ
ｆ
＋ ｓ ｉ ｎ２ ０ ） ＝
ｆ）
＾ ５ ＋ ｓ ｉ ｎ ２０
的范围 令尤 ，
＝
ｉ ＋
２ ｔａｎ
２
４ ＋ ８
１ ［
—
（
）
＋２ — ］
色
ｄ 山
，
２
由
５ ＋
５ （
―
）
＋ ２ —
ａ ａ
形 边 关 知 含 三 角 三
系
即 ａ ＜３ ｃ ｃ ＜３ ａ
＾ ，
，
〈 ■
＜３ ，
后 面 同 解 法 ９ 可 计 算 ．
波 利 亚 在 其 《 怎 样 解 题 》 中 提 到 解 题 需 要 寻 求 有 用 的 思 路 ， “ 从 不 同 的 角 度 来 考 虑 题 目 ” ， 强 调 不
）＋
］
பைடு நூலகம்
ｔ ａ ｎ ａ － ＋ｔ ａ ｎ — ＋ １ （ ＾
＾
１
—
ｔ
ａ
ｎ
ａ — ￣
ａｎ －
ｔ
－
ｙ （
）
４ ４
１
—
—
６
评析 把复角 ：
ｊ ａ －
■
看做 一 个 整体 ， 发 现 角
ａ 与
ｆ 解 角 ａ －
解．
整体思想在三角
函数 中
的 应 用 是十 分广
泛的
研
，
像 质 形 数 的 究 如 函
ｙ ＝４ ｓ ｉ ｎ （ 〇 Ｍ ： ＋ 沪 ）
图
与性
时 亦 ，
：
，
与
角
之 ａ －
间
ｆ
的关
系，
但 显 然本题难度 比例 ３
大 得
多 ， 并 非 通 过 简 单 的 加 减 就 能 发 现 这 两 个 角 的 关 系 ．
教 学 中 发 现 一 部 分 学 生 又 不 知 所 措 了 ， 这 也 说 明 了
这 部 分 学 生 仅 仅 是 生 搬 硬 套 ， 没 有 领 会 到 例 ３ 运 用 的 整 体 思 想 方 法 ， 应 该 把 已 知 角 看 成 一 个 整 体 ． 为 了
取
沒
代 入 式 得 又 ＝
（ ＊ ）
＋
＝ｌ
ｌ
（
），
２
６
＝
ａ
＋ ｃ
予 ｂ
＂
＾ 另 可 得 ＝
ｙ，
ａ＜３ ｃ ， ｃ＜ ３ ａ
２％
－
ｙ
＜０
，
２ｘ
＋
ｙ
＞
形 合 纵 标 用 数 矛 ０ ２
（
），
［ ！
２ （ １ ） （
）
结
可求
坐
７ 的 限 制 为
／
＾
评析
为
：
了
更好 地运 用 整 体 思 想 换 元是 条 不 错 ，
的 途径 ， 可以 把 已知 角 “ 钱 行”
化为 单角
更 清 楚 地
，
发现待 求角
与
已知角
的关系 ．
在 给值 求 值 通 过 寻 找 ，
待 求 角 与 已 知 角 关 系 的 问 题均 可 用 这种 方 法 进行 求
）
ｔａ ｎ
ａ
－
（
－
－
？）
各 则 ＝
，
ａ ｔ ａ ｎ
＝ ？
４〇
分析 本 题 思 路是 发 现 角 ：
ａ
与
角
ｆ ａ －
的 差 为
予 从 予 予 可 求 得 ，
而 由 ｔ ａｎ ａ＝ ｔ ａ ｎ ［ （ ａ－
＋
）
即
］
的 值 ｔａｎａ
．
略 解 ｜ 予 ： ｔ ａ ｎ ａ ＝ｔ ａ ｎ ［ （ ａ －
题 １ ７
）
某 同
学 用 五 点 法 画 函 数／ “
”
＋ 妒 ＊
（
）
？ ＝ ／ｌ ｓ ｉ ｎ （ ＆ ；
＞ ０ ）
（
？
＜
，
｜ 妒 Ｉ
＜ Ｉ
） 在 某 个 一 周 期 内 的 图 像 时 ， 列 表 并 填 入