指数函数图像及其性质课件
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4.2.1指数函数及其性质(优质课件)
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数 的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， 此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的 图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求 下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,
中职教育数学《指数函数及其图象、性质》课件
(25
)
(0.14
2
5
1
)4
22
1 22
0.11
1 14
10
0.1
3
3
(2)42 (22 )2 23 8
3
3
(4)164 (24 )4 23 8
主要错误：
(
3)0.0001
1 4
( 1 )4 10000 0.1
2
3. (1)a 9 9 a2
5
(2)a 3
1
3 a5
3
(3)a 2 a3
(4)
( 1 )3 4
<
( 1 )4 4
y ( 1 )x 在R上是减函数 3 4 4
2. 求函数 y ( 1 ) x 1 的定义域
2
解： 为使函数有意义，必须 (1)x 1 0 (1)x 1 (1)x (1)0
2
2
22
f ( x) ( 1 )x 在R上是减函数 x 0 ∴函数的定义域是(,0]
1 3
1
1
(2) 0.3 2 与0.3 3
解：y
0.3 x
在R上是减函数
1 2
1 3
1
1
32 33
1
1
0.32 0.33
例3.（补例）解不等式：
(1) 2 x 4 x1 解： 原不等式化为 2 x 22( x1)
y 2x 在R上是增函数 由2x 22( x1) x 2( x 1)
四、作业
1、教材 P 45习题4.2第1、2、3题 2、练习册P26～27 4.2全部
(3) 0 0.01 1 y (0.01)x 在R上是减函数
(4) 20 1 y 20x 在R上是增函数
指数函数的图像和性质-课件
，
0.80.2
；
（3）0.3 −0.3 ，, 0.2−0.3 ；
（4）1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同，指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利用
2
质
指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像，
整理出了，指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 ， = 3 ， = （ ）
1
2
， = （ ） 的图像，我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。
应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
（4） 3
1 −2 −3
（6） ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测：
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ，y = （ ）x 的图像与性
函
数
( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无 公共点 ？
共点？
函数的 定义
讨论函数的
域是什么？
单调性？
中职数学基础模块上册《指数函数的图像与性质》课件
渐近线
当x趋于无穷大或无穷小时 ，y值会趋于一个常数，这 个常数就是指数函数的渐 近线。
04
指数函数的性质
指数函数的单调性
指数函数在其定义域内是单调的 ，单调性取决于底数a的取值范
围。
当a>1时，函数在定义域内是增 函数；当0<a<1时导数 来判断，导数大于0时，函数单 调递增；导数小于0时，函数单
指数函数具有连续性、可导性、可积性等性质， 这些性质在数学分析和实际应用中都有重要的意 义。
练习题与答案解析
• 练习题一：判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明 理由。
练习题与答案解析
y = 2^x y = x^2
y = (1/2)^x
练习题与答案解析
• y = log_2(x)
练习题与答案解析
1 2 3
指数函数的概念
指数函数是函数的一种形式，其一般形式为 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，其中 x 是自变量，y 是因变 量。
指数函数的图像
指数函数的图像是单调的，当 a > 1 时，函数在 x > 0 时单调递增，当 0 < a < 1 时，函数在 x > 0 时单调递减。
指数函数的性质
中职数学基础模块上 册《指数函数的图像 与性质》ppt课件
目 录
• 引言 • 指数函数的概念与定义 • 指数函数的图像 • 指数函数的性质 • 指数函数的应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
知识背景
介绍指数函数的概念、定义和基 础知识，为学习指数函数的图像 与性质提供必要的前提。
应用背景
阐述指数函数在实际生活和科学 领域中的应用，如增长率、复利 计算等，强调学习指数函数的重 要性。
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
指数函数图像和性质_课件
x 0, 则a 1
(4)自左向右看,y=ax(a>1)的图 像逐渐上升;y=ax(0<a<1)的图像 (4) a>1,y=ax是增函数 当0<a<1,y=ax是减函数 逐渐下降
比较下列各题中两个值的大小： ①
1 .7
2.5
，
1.7
3
解 ：利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值；
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
图象特征
(1)图象都位于x轴上方 (2)图象都过（0,1 )点
函数性质
(1)x取任何实数都有ax>0 (2)a为任何正数,总有a0 =1
x (3)y=ax(a>1)的图像在第一 x 0 , 则 a 1 x 象限内的纵坐标都大于1,在 3当a 1时, x 0 , 则 0 a 1 第二象限的纵坐标都小于1; x x 0 , 则 0 a 1 x y=a (0<a<1)的图像正好相反 当0 a 1时, x
比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值（常用的特殊值是0和1），再利用单调性比较大小
补充练习
1.下图是①y=ax②y=bx③y=cx④y=dx的图像,则 a,b,c,d与1的大小关系是 (B) A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d
①
②
y③
B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c
当a>1时,a的值越大,图像越靠近y轴,递增速度越快. 当0<a<1时,a的值越大,图像越靠近x轴,递减的速度越快.
人教版高中数学必修一指数函数的性质与图像-课件牛老师
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
y 2x
1
O1
x
指数函数的性质
y
1 2
x
指数函数的性质
x
2
1
1 2
0
y
42 2 1
y
1 2
x
1 21 2
21 1 22 4
指数函数的性质
(0, )
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
1
y
1 2
x
O1
x
(x0 , y0 )
y
风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒
原上，闪着寒冷的银光。
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠 叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶 上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
北京市中小学空中课堂
指数函数的性质与图像
高一年级 数学
主讲人 韩露 北京师范大学附属中学
情境与问题
情境与问题
x
5730 5730 2 57303
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
人教B版高一数学必修第一册指数函数的性质与图像-课件
得到的细胞个数 y 满足 y 2x .
指数函数的性质
y 2x
指数函数的性质
y 2x
x
2
1
1 2
0
1 21
2
y
1 4
12 22
1
22
4
指数函数的性质
(0, )
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
y 2x
1
O1
x
指数函数的性质
y
1 2
x
指数函数的性质
y
1 2
x
x
2
1
1 2
1
O1
y
1 2
x
x
y
1 2
x
指数函数的性质与图像 y
y 2x y 3x y 5x
y
1 3
x
y
1 5xy1 5xy 5x
y
1 3
x
y 3x
y
1 2
x
1
y 2x
O1
x
函数
图像
性质
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
y ax (a 1) y ax (0 a 1)
0
1 21
2
y
4
2
2
1
21 22
1 4
指数函数的性质
(0, )
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
1
y
1 2
x
O1
x
(x0 , y0 )
y
1 2
x
(x0 , y0 )
y 2x
(x0 , y0 )
指数函数的性质
y 2x
指数函数的性质
y 2x
x
2
1
1 2
0
1 21
2
y
1 4
12 22
1
22
4
指数函数的性质
(0, )
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
y 2x
1
O1
x
指数函数的性质
y
1 2
x
指数函数的性质
y
1 2
x
x
2
1
1 2
1
O1
y
1 2
x
x
y
1 2
x
指数函数的性质与图像 y
y 2x y 3x y 5x
y
1 3
x
y
1 5xy1 5xy 5x
y
1 3
x
y 3x
y
1 2
x
1
y 2x
O1
x
函数
图像
性质
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
y ax (a 1) y ax (0 a 1)
0
1 21
2
y
4
2
2
1
21 22
1 4
指数函数的性质
(0, )
指数函数的图像
y
1
O1
x
指数函数的图像
y
1
y
1 2
x
O1
x
(x0 , y0 )
y
1 2
x
(x0 , y0 )
y 2x
(x0 , y0 )
课件6：4.1.2 指数函数的性质与图像
∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1