状态空间平均法建模总结

7.1 状态空间平均法
151109，状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC 元
件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量，
按照功率开关器件的“ON”和“OFF”两种状态，利用时间平均技术，得到一个
周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态
空间平均模型。
对于不考虑寄生参数的理想 PWM 变换器，在连续工作模式（CCM）下一个开
关周期有两个开关状态相对应的状态方程为：

11i
xAxBv
0tdT (7-1)

22i
xAxBv
dTtT (7-2)

式中d为功率开关管导通占空比，/ondtT，ont为导通时间，T为开关周
期； vLCxi，x是状态变量，x是状态变量的导数，Li是电感电流Cv是电容
电压，iV是开关变换器的输入电压；1A,2A,1B,2B是系数矩阵与电路的结构参
数有关。
对式（7.1）和（7.2）进行平均得到状态平均方程为

xAxBv 0tT
(7-3)

式中，12(1)AdAdA，12(1)BdBdB，这就是著名的状态空间平均
法。可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若d为常数，则这个方程描述的
系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路
来替代。
对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值ˆdDd、'ˆ'dDd、
'
1DD
、ˆvgVgvg、ˆxXx。其中ˆd、ˆvg、ˆx是相应D、vg、X的扰

动量，将之代入到式（7-3）为：

ˆˆˆˆ()()iiXxAXxBVv (7-4)
''
1212ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()()()iii
AXxBVvAxBxDdADdAXDdBDdBV


(7-

5)
将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。

1212ˆˆˆˆ[()()]ii
xAxBvAAXBBVd
(7-6)
将(7-6)进行拉式变换，得到s域小信号模型，其中等号左边的ˆx拉式变换
后的结果为
ˆ
sx(s)
。

1212ˆˆˆˆ()()()[()()]()ii
sxsAxsBvsAAXBBVds
(7-7)

可通过此式求出对应拓扑的传递函数。

7.2 简单boost电拓扑状态空间平均法建模
151110，Boost直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感L、滤
波电容 C、功率开关 Q、二极管VD和负载R组成。

C
R

L
Q
D

Vg
图7-1 Boost电路拓扑结构
在 0tdT期间，功率开关Q导通，二极管D截止，电源电压Vg全部加
到电感L上，为电感L储存能量，电容C给负载R供电。此时，电路的状态方程
如下：

()()()()looditLVgtdtdututCdtR
(7-8)
在 dTtT期间，功率开关Q关断，二极管D承受正压并导通，电感
L
放电，电源和电感共同为负载R供电，并为电容C充电。其状态方程如下：

()()()()()()loooLditLVgtutdtdututCitdtR
(7-9)
由式（7-8）和式（7-9）取平均得式（7-10）boost电路的状态空间模型如
下：
110()110LTLTToToTdididtLVgtLudduCRCdt (7-10)
根据式（7-6）得到boost电路的动态小信号模型为：
ˆ110ˆˆˆ()11ˆˆ0OLLLoouddiiLLdtVgdtLdiuduCRCCdt
(7-11)
将式（7-11）等号两边进行拉普拉斯变换得到式（7-12）。

(1)()()()()()(1)()()oLooLOLudVgssisusdsLLLusIdsUisdsCRCC
(7-12)
化简式（7-12）得到输入到输出的传递函数为:

22ˆ()0ˆ()1ˆ()(1)odsusdLVgsLCssdR (7-13)

由控制到输出的传递函数为：
2
22
ˆ
()0

(1)(1)ˆ()(1)ˆ()(1)oousLsduusRdLdsLCssdR




（7-14）

7.3 Boost直流变换器建模的验证
不考虑纹波时，所得到平均化的Boost 电路状态方程如式（7-10）所示，
再将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型:
110110LLoodididtLVgLudduCRCdt (7-14)
假设图7-1电路中的参数为Vg=30V，R=4，C=470μF，L=400μH，d=0.5。
根据状态平均法公式（7-14）的数学模型，使用Simulink进行仿真建模得
出图7-2：

图7-2 基于状态空间法boost仿真模型
对图7-2的两路输出进行观察的到图7-3和图7-4的电压、电流输出波形图。

图7-3 电压、电流输出波形
00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90t/s
Uo
iL
图7-4 放大后的输出波形
由图7-3和图7-4可以看出，给定输入电压30V，占空比0.5，输出电压为
60V和理论值接近。输出负载为4，则输出端电流为15A，由此可知输入侧电
流为30A与理论值接近。另外，通过图7-4的短时间内输出波形可以看出，利用
状态空间平均法不能产生电压和电流的纹波，这是因为在建模过程中使用了纹波
近似，忽略了纹波的影响。
下面将考虑纹波对输出的影响，需要修改状态方程，修改后的状态方程如
（7-15）所示：

m10m10LLoodiidtLVgLuduCRCdt (7-15)
其中，定义变量m作为开关器件通断的标志。m=1 时表示关断，m=0时表示
开通，其他参数均未改变，另设功率管开关频率为10K，由以上状态方程构造
Boost
电路的模型如图7-5所示，仿真结果如图7-6所示。

图7-5 开关频率为10K，输出带纹波的电压、电流波形
利用simulink中的电力电子模块搭建Boost升压电路模型，在相同参数下

00.0050.010.015
0
20
40
60
80
100t/s
Uo
iL

00.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90t/s
iL
Uo
的波形图如下所示：
图7-6 电力电子模块仿真输出波形
二者波形几乎吻合，由此可证明状态空间平均法建模的正确性。
纹波的产生原因，是功率开关器件的动作引起的，当开关频率发生变化时，
其产生的纹波也不同。由状态空间平均法可知，当开关器件的动作频率增大时，
对应的纹波在减小，当频率增大到一定程度后，纹波可以忽略不计。图7-7为开
关频率为50K时，电压、电流的波形图。

图7-7开关频率为50K电压、电流的波形图
由图7-5和图7-6对比可以清楚地发现，随着开关频率的增加，纹波在减小，
与理论分析相符。
结论，已经初步掌握了一阶状态空间平均法的建模方法，对状态空间平均法
纹波的产生，工作的原理有了大概的了解，接下来要仔细研究争取尽快掌握二阶
状态模型时的建模及仿真。

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-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
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iL
Uo

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50
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