统计量及其抽样分布概论(PPT 68页)
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统计学(8)抽样分布ppt课件
23
三、两个样本方差比的抽样分 布
1. 两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)的一个样本， Y1，Y2，… ，Yn2是来自正态总体X2~N(μ2,σ22 )
2. 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本
3. 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)， 分母自由度为(n2-1) F分布，即
第八章 抽样分布
ppt课件完整
1
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
ppt课件完整
2
所谓统计推断，就是根据概率论所揭示的随机变 量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信息， 对总体的某些性质或数量特征进行推断。
参数估计
统计推断 假设检验
这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同 而已。 参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一 未知参数； 假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有 某种性质或数量特征。
21
一、两个样本均值之差的抽样分 布
1. 两个总体都为正态分布，即 X1 ~N(1,12，) X2 ~N(2,22)
2. 两个样本均值之差 X1 X2的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
E(X1X2)12
•
方差为各自的方差之和
2
2
2 X1X2
1
2
n n 1
2
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X
n
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15
二、样本比例的抽样分 布
比例：
1. 比例：指总体(或样本)中具有某种属性的单位与 全部单位总数之比。
• 例1：不同性别的人与全部人数之比
• 例2：合格品与全部产品总数之比
第5章 概率分布与统计量抽样分布优秀课件
b
P(a X b) a f (x)dx F(b) F(a)
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
2. 方差为
第5章 概率分布与 统计量抽样分布
随机变量的概念
随机变量
(random variables)
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
n
E( X ) xi pi i 1
( X取有限个值）
E( X ) xi pi i 1
( X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
(variance)
1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为D(X)
2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为
D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
概率是曲线下的面积
b
P(a X b) a f (x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
(distribution function)
1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x) 来表示
2. 分布函数定义为
x
F(x) P(X x) f (t)dt ( x )
3. 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
P(a X b) a f (x)dx F(b) F(a)
分布函数与密度函数的图示
1. 密度函数曲线下的面积等于1 2. 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
1. 连续型随机变量的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
2. 方差为
第5章 概率分布与 统计量抽样分布
随机变量的概念
随机变量
(random variables)
1. 一次试验的结果的数值性描述 2. 一般用 X、Y、Z 来表示 3. 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 4. 根据取值情况的不同分为离散型随机变
量和连续型随机变量
离散型随机变量
(discrete random variables)
n
E( X ) xi pi i 1
( X取有限个值）
E( X ) xi pi i 1
( X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
(variance)
1. 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为D(X)
2. 描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 计算公式为
D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
概率是曲线下的面积
b
P(a X b) a f (x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
(distribution function)
1. 连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x) 来表示
2. 分布函数定义为
x
F(x) P(X x) f (t)dt ( x )
3. 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
第六章 统计量及其抽样分布
样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分 布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
第 一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观 察值1 2
3
4
11
1.
20.
52. 0.
5
21
2.
25.
03. 5.
0
23
2.
30.
53. 0.
5
24
3.
35.
04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章 统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律 （1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平 均数估计总体平均数提供了理论依据。 （2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率 提供了理论依据 2、中心极限定律 （1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体 中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u， 方差为s2/n的正态分布。 （2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足 够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)
统计学--抽样与抽样分布 ppt课件
1 n
n i 1
xi ,
S2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
n
1
1
n i 1
xi 2
nx
2
,
S
1 n 1
n i 1
( xi
x)2 .
ppt课件
11
抽样方法
ppt课件
12
概率抽样
(pro概b率ab抽il样ity也s叫am随机pl抽in样g)，是指按随机原则抽取样本。
ppt课件
14
简单随机抽样
(simple random sampling)
1. 从总体N个单位(元素)中随机地抽取n个单位作为 样本，使得总体中每一个元素都有相同的机会(概 率)被抽中
2. 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 3. 特点
简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便
随机原则，就是排除主观意识的干扰，使总体每一个单位都有 一定的概率被抽选为样本单位，每个单位能否入选是随机的。
特点
能有效地避免主观选样带来的倾向性误差（系统偏差）， 使样本资料能够用于估计和推断总体的数量特征，而且 这种估计和推断得以建立在概率论和数理统计的科学理 论之上
可以计算和控制抽样误差，说明估计的可靠程度。
(1) 样本均值 :
X
1 n
n i 1
Xi,
(2)
样本方差:
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
1 n 1
正态样本统计量的抽样分布概述PPT课件【精编】
6.2 正态样本统计量的抽样分布
6.2.1 正态分布
6.2.2 2 (n) (卡方)分布
6.2.3 t分布(学生分布)
6.2.4 F分布 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论 6.2.6 Excel实现
确定统计量的分布—— 抽样分布, 是数理统计的 基本问题之一. 采用求随机向量的函数的分布的方法 可得到抽样分布.由于样本容量一般不止 2 或 3 (甚 至还可能是随机的), 故计算往往很复杂, 有时还 需要特殊技巧或特殊工具.
-z/2 = z1-/2
/2
1 z•2/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 , , X n 相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密
1 x e ,
1 2
x 2
2
0.8
x 0 0.6
0.4
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
正态样本统计量的抽样分布概述PPT课 件【精 编】
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
,
2
n
上(双)侧 分位数的概念
设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) , 为给定常数, 0 < <1 若
6.2.1 正态分布
6.2.2 2 (n) (卡方)分布
6.2.3 t分布(学生分布)
6.2.4 F分布 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论 6.2.6 Excel实现
确定统计量的分布—— 抽样分布, 是数理统计的 基本问题之一. 采用求随机向量的函数的分布的方法 可得到抽样分布.由于样本容量一般不止 2 或 3 (甚 至还可能是随机的), 故计算往往很复杂, 有时还 需要特殊技巧或特殊工具.
-z/2 = z1-/2
/2
1 z•2/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 , , X n 相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密
1 x e ,
1 2
x 2
2
0.8
x 0 0.6
0.4
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
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正态样本统计量的抽样分布概述PPT课 件【精 编】
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
,
2
n
上(双)侧 分位数的概念
设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) , 为给定常数, 0 < <1 若
统计量及其抽样分布
E
X
n
n
2
,
n
2D
X
2n2 m n 2 mn 2n 4
,
n
4
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
当总体分布为正态分布N , 2 时，可以
得到下面的结果：X 的抽样分布仍为正态分布，
数学期望为 ，方 差为 ， 则2 n
X : N , 2 n
当用样本均值估计总体均值时，平均来
说没有偏差（无偏性）；当n越来越大时，X 的 分散程度越来越小，估计越来越准确。
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率
（2）计算样本均值超过9.9的近似概率
（3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内 的近似概率
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形 状，当n充分大时，样本均值的分布近似服从 正态分布 X : N 10，0.62 36
PX
9.9
P
X 10 0.1
9.9 10 0.1
布，记为 t : t n
n 2时，E t 0
n 3时，D t n
n2
如果X : N , 2
则 n X
, , , X
1 n
n i 1
Xi
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
: t n 1
S
如果X,Y是两个相互独立的总体，
X :
N
1, 2
，Y :
N
2, 2
，X
【例】设一个总体，含有4个元素（个体）， 即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、 X2=2、X3=3 、X4=4 。
总体的均值、方差及分布如下
1 N
n i 1
Xi
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
统计量和抽样分布
n
( Ｘ i ) 2 当 为 已 知 时 ,是 统 计 量 ,未 知 时 不 是 统 计 量 .
i 1
二、常用的统 计量
样本均值
样本方差与标 准差
样本中位数， 分位数
样本相关系数
EX4 x4
1
x2
e 2dx3
2
D X 2 E X 4 (E X 2 )2 3 1 2 2
D2=Dn X2n DX22n i=1 i=1
Chapter 8 统计量和抽样
分布
• 概率统计: 概率论&数理统计? • Chapter 1~ Chapter 7.
• Chapter 8~ Chapter 12.
• 两个常见的统计分析软件
(1)SAS(Statistical Analysis System) (2)SPSS.
01
概率与统计在研究形式及研 究方法上的不同之处:
(数理)统计学就是使用有效方法收集并整理数据、分析 数据, 进而得出结论的一门学科.
统计学的主要内容: 抽样调查、试验设计、点估计、区 间估计和假设检验.
统计方法的特点
数据推理. “一切由数据说话”.
结果具有随机性.
研究和揭示现象之间在数量层面上的 相关关系，但不肯定有因果关系;
例：吸烟有害健康？
第一节 统计 与统计学
一、统计的研究对象
• 例1 某厂生产的元件是否合格. • 例2 总统选举之民意测验. • 统计的研究对象是(1)大量现象中(2)总
体的数量特征.
•
统计特征：1、大量的现象？
社会经济现象， 自然现象
2、数量特征
（二者都具有客观性，与纯粹的数 学相区别）
从一个层面看, 总体就是统计问题所要研究的对象全体, 其中每 个对象就是个体.
( Ｘ i ) 2 当 为 已 知 时 ,是 统 计 量 ,未 知 时 不 是 统 计 量 .
i 1
二、常用的统 计量
样本均值
样本方差与标 准差
样本中位数， 分位数
样本相关系数
EX4 x4
1
x2
e 2dx3
2
D X 2 E X 4 (E X 2 )2 3 1 2 2
D2=Dn X2n DX22n i=1 i=1
Chapter 8 统计量和抽样
分布
• 概率统计: 概率论&数理统计? • Chapter 1~ Chapter 7.
• Chapter 8~ Chapter 12.
• 两个常见的统计分析软件
(1)SAS(Statistical Analysis System) (2)SPSS.
01
概率与统计在研究形式及研 究方法上的不同之处:
(数理)统计学就是使用有效方法收集并整理数据、分析 数据, 进而得出结论的一门学科.
统计学的主要内容: 抽样调查、试验设计、点估计、区 间估计和假设检验.
统计方法的特点
数据推理. “一切由数据说话”.
结果具有随机性.
研究和揭示现象之间在数量层面上的 相关关系，但不肯定有因果关系;
例：吸烟有害健康？
第一节 统计 与统计学
一、统计的研究对象
• 例1 某厂生产的元件是否合格. • 例2 总统选举之民意测验. • 统计的研究对象是(1)大量现象中(2)总
体的数量特征.
•
统计特征：1、大量的现象？
社会经济现象， 自然现象
2、数量特征
（二者都具有客观性，与纯粹的数 学相区别）
从一个层面看, 总体就是统计问题所要研究的对象全体, 其中每 个对象就是个体.
第5章_统计量及其抽样分布
1.
2.
分布的变量值始终为正
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称 期望为： E( 2)=n ，方差为：D (2)=2n(n 为自由 度)
3.
可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自 由度为n1+n2的2分布
统计量是样本的一个函数 统计量是统计推断的基础
5.1.2 常用统计量
样本均值 样本方差 样本变异系数 1 n k x i 样本k 阶矩 mk n i 1 1 n k x x i 样本k 阶中心矩 k n i 1 样本偏度 样本峰度
掌握
n→∞时， 2分布的极限分布是正态分布。
2分布 (图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
不同容量样本的抽样分布
2
2-分布 (用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算2分布右 单尾的概率值
语法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df为自 由度，x,是随机变量的取值 2. 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度 时相应的反函数值
2.
U n1 F V n2
F ~ F (n1 , n2 )
5.3.3 F分布 (F distribution)
F分布的概率密度函数为:
n1 n1 n 2 1 n1 2n2 2 ) ( n n 1 1 n 2 1 ( ) ( x ) (1 x ) f ( x ) n1 n 2 n 2 n2 n2 ( 2 ) ( 2 ) 0
2.
分布的变量值始终为正
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不 对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称 期望为： E( 2)=n ，方差为：D (2)=2n(n 为自由 度)
3.
可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自 由度为n1+n2的2分布
统计量是样本的一个函数 统计量是统计推断的基础
5.1.2 常用统计量
样本均值 样本方差 样本变异系数 1 n k x i 样本k 阶矩 mk n i 1 1 n k x x i 样本k 阶中心矩 k n i 1 样本偏度 样本峰度
掌握
n→∞时， 2分布的极限分布是正态分布。
2分布 (图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
不同容量样本的抽样分布
2
2-分布 (用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算2分布右 单尾的概率值
语法：CHIDIST(x,degrees_freedom) ，其中df为自 由度，x,是随机变量的取值 2. 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度 时相应的反函数值
2.
U n1 F V n2
F ~ F (n1 , n2 )
5.3.3 F分布 (F distribution)
F分布的概率密度函数为:
n1 n1 n 2 1 n1 2n2 2 ) ( n n 1 1 n 2 1 ( ) ( x ) (1 x ) f ( x ) n1 n 2 n 2 n2 n2 ( 2 ) ( 2 ) 0
数理统计统计量及其分布ppt文档
Xi ,
S2 1 n n1i1
2
Xi X
1 n
U2 i1
Xi 2
Fx1
G x(1)
n
H xi2 i 1
• 注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般 是依赖与未知参数的.
5.3.2 样本均值及其抽样分布
• 定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算 术平均值称为样本均值x，一般用 表示,即
• 证明: 为任意给定常数c
2
2
xi
c
xi
xxc
2
2
xi x nxi c 2xi xxi c
2
2
2
xi x nxi c xi x
• 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，x为
样本均值
1) 若总体分布为N(,2)，则 x~N(,n2)
2) 若总体分布未知或者不是正态分布,但
ak
1 n
n i1
xi k
称为样本 k阶原点矩
bk
1 n
n i1
(xi
x)k
称为样本k阶中心矩
请回答：x , s *2 , s 2 是样本矩吗？
定义5.3.5 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
1 b3/b23/2 称为样本偏度.
说明: 1 b3/b23/2 称为样本偏度.
1、 1 反映了总体分布密度曲线的对称性信息.
5.3.5 次序统计量 及其分布
一、次序统计量的定义及性质
定义 5.3.7 设x1,x2,...x.n是取自总 X的体样,本 x(i)称为该
样本的i个 第次序统.它 计的 量取值是样本 由观 小测 到 大排列后得i到 个的 观第 测 . 值