大学微积分3.5
《微积分(一)》同步练习册
.Word 资料第二章 极限与连续 §2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项，考察n →∞时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：（1） sin ,sin 2,,sin ,n πππK K ； （2） 1111,,,,242n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭K K2. 求下列数列极限： （1）n ；（2）3322lim ln(21)2ln ln 3n n n n n →∞⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（3）设0,1a a >≠，1,2,;n x n =K 求n n x ∞→lim ；（4）设101,,1,2,nkn k q x qn =≤≤==∑K ，求n n x ∞→lim ；（5）1,2,;n x n n ==K 求n n x ∞→lim ；（6）,1,2,;n x n ==K 求n n x ∞→lim ；（7）()()223sin ,1,2,;2cos n n n x n n n -==+K 求n n x ∞→lim .3. 设0,1,2,,,i a i k >=K 求()112lim ;n n n n kn a a a→∞+++K4. 设2221212n nx n n n n=++++++L ，求lim ;n n x →∞5.设n x =++L lim ;n n x →∞§2.2 函数极限1. 由函数xy e -=的图形考察极限lim ;lim ;lim ;x x xx x x e e e ---→+∞→-∞→+∞2. 由函数arctan y x =的图形考察极限lim arctan ;lim arctan ;x x x x →+∞→-∞limarctan ;x x →∞3. 求下列函数极限：（1）(2lim 2;x x →-∞+ （2）232037lim ;235x x xx x x →+--（3）2lim x -→ （4）x →（5）()7815(34)lim;51x x x x →∞-+ （6）3113lim .11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭4. 设1,0()0,01,1x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<-⎩，讨论极限0lim ()x f x →是否存在.5.设1()ln ,1x f x a x x <≤=+>⎪⎩，且极限1lim ()x f x →存在，求实数a 的值.§2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限03lim 2x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示3x 的取整函数。
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院(系)主管教学负责人签字:杨家宽 制表人：沈学勤 联系电话：87792105
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4——4
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4——5
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4——12。
微积分
设边长由 x 0 变到 x 0 + ∆ x ,
∆x
则 ∆S = ( x 0 + ∆x ) 2 − x 0
2
= 2 x 0 ∆x + ( ∆x )
(1) (2)
2
x0∆x
x0
的高阶无穷小。 （1）是 ∆S的线性主部 （2）是 ∆x的高阶无穷小。 ） ） ;
, ）可忽略， 当∆x 很小时（2）可忽略，于是∆S ≈ 1 （）
π = sin( x + n ⋅ ) 2
同理可得
(cos x )
(n)
π = cos( x + n ⋅ ) 2
２、间接法: 利用已知的高阶导数公式 通过导数运算法则 间接法: 利用已知的高阶导数公式, 变量代换等方法, 阶导数。 变量代换等方法 求出 n 阶导数。 常用高阶导数公式
(1) ( a )
2
1 cos 2 x 1 + cos 4 x − + 4 2 8 3 cos 2 x cos 4 x = − + 8 2 8 =
∴ (sin x )
4 (n)
4 n−1 nπ nπ n −1 = ⋅ cos( 4 x + ) − 2 ⋅ cos( 2 x + ) 2 2 2
三、小结 1、高阶导数的定义; 、高阶导数的定义 2、高阶导数的计算： 、高阶导数的计算： （1）直接法 ）直接法; 思考题 （2）间接法 ）间接法.
三、微分法则 1、微分公式（基本初等函数的微分） 、微分公式（基本初等函数的微分） d (C ) = 0 d ( x µ ) = µ x µ −1 dx
∆y o( ∆x ) ∆y o ( ∆x ) = A + lim =A lim → = A+ , 于是 ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x
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学分 课程号 课 程 名 称 考试 31110011 大学计算机基 试 础 31110030 C程序设计基 试 础及实验 06110220 微积分Ⅰ 试
06110230 06110240 06110250 06110290 06110310 06110300 06111041 08110013
2 2
第四学年 第四学年 13 第四学年 第四学年
2.5 2.5 2
第四学年 第四学年 第四学年 第四学年
3 第四学年
2 2
2 2 27
第四学年 第四学年
试 试 试 试 试
试
试 试
第二学年
学分 课程号
06110260 06110280 06111051 06111060 08110043 10120560 10120580 10120570 10120590
课 程 名 称 概率论 随机过程 大 学 物 理 （甲）Ⅱ 大学物理实验 工程训练 电路原理Ⅰ** 电路原理实验 Ⅰ** 电路原理Ⅱ** 电路原理实验 Ⅱ** 模拟电子技术 基础** 模拟电子技术 实验** 数字电子技术 基础** 数字电子技术 实验** 信号分析与处 理（乙） 工程电磁场与 波（乙） 最低学分小计
第三学年 第三学年 第三学年 第三学年 2 3 3 2 2.5 第三学年 2.5 第三学年 2.5 2 2 第三学年 9 第三学年 第三学年 第三学年 第三学年 第三学年 第三学年
2.5 2
第三学年 第三学年 2 第三学年
2.5 第四学年 2 第四学年 3 3.5 2 第四学年 第四学年 第四学年
13
14100010 06112032 06112040 09100010
微积分(一)同步练习
§1.1 函数与映射一、指出下列函数是由那些简单初等函数复合而成：1.2arcsin y x =；2.x y ln ln ln =. 、设)(x f 的定义域为](1,0，求下列函数的定义域：1.)(2x f ；2.)(cos x f ；3.)(ax f )0(>a .三、设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g .四、用x x f sin )(=的图形作下列函数图形：1.)2(+=x f y ；2.)(2x f y =；3.)2(x f y =.五、已知(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf .六、设定义在(,)-∞+∞的函数()f x 严格递增，且有[()]()f f x f x =，求()f x .七、证明：241()1x f x x+=+在(,)-∞+∞内有界. §1.2数列与极限 §1.3函数的极限一、根据数列极限的定义证明：1.0sin lim =∞→n n n ；2.21)21(lim 222=+++∞→nn n n n . 二、若lim 0n n x a →∞=≠，证明||||lim a x n n =∞→.反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例.三、根据函数极限的定义证明：1.8)13(lim 3=-→x x ； 2.2)4(lim 2-=--+∞→x x x x .四、设31,1()2, 1x x f x x x ->⎧=⎨<⎩，试求：1.)(lim 1x f x →； 2.)(lim 2x f x →； 3.)(lim 0x f x →.五、设函数||35||3)(x x x x x f -+=，试求：1.)(lim x f x +∞→；2.)(lim x f x -∞→；3.0lim ()x f x +→； 4.0lim ()x f x -→； 5.)(lim 0x f x →. §1.4无穷大与无穷小 §1.5极限运算法则 一、下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量：1.ln x )1(→x 及)0(+→x ；2.)21(sin +xx )0(→x .二、证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大. 三、计算下列极限：1.)2141211(lim n n ++++∞→ ； 2.12lim ++++∞→x x x x x ；3. 2231lim 9x x x x →---； 4. 232121lim 1x x x x x x →-+--+.四、计算下列极限：1. 10515(1)(21)lim (32)x x x x →∞+-+ ； 2 53153lim()11x x x→--- 3 x →∞ 五、已知 22lim 222=--++→x x bax x x ，求常数,a 和b . §1.6极限存在准则 §1.7无穷小的比较一、计算下列极限：1.x x x csc 20)sin 31(lim -→； 2.x x x x x x )cos 1(1sin3sin lim20++→；3. 6lim sin()tan 26x x x ππ→-； 4. 1lim()1x x x x →∞+-.二、利用夹逼准则证明：1. 1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n n ； 2. 01lim []1x x x+→=.三、设01>=a x ，)2(211nn n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限.四、确定α的值，使αx x x 41~sin 1tan 1+-+ （)0→x .§1.8 函数的连续性与间断点 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质一、 判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续.1.23122+--=x x x y 1,2x x ==；2.tan x yx= x k π=,)2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ.二、 讨论函数nnn x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型.三、 求下列极限：1.0e 1x →-； 2.11031lim 31xx x+→-+.四、设函数2(),1[ln ln()],f x b x x x x=⎨⎪⎪-+⎪⎩ 02002x x x ππ-<<=<<，问b a ,为何值时，)(x f 在(,)22ππ-内连续五、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.第一章习题课一、计算下列极限：1.)1311(lim31xx x ---→； 2.)11(lim 22--+∞→x xx ； 3.()0lim 1cos x x x →-； 4. 0lim x +→；5.xx arctan 3lim ∞→ ； 6.limx ．二、已知 1)11(lim 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b ． 三、设0x →时，()12511ax+-与ln cos x 是等价无穷小，求常数a 的值．四、设a b c <<，证明：方程1110x a x b x c++=---在(),a b 与(),b c 内各至少有一实根． 五、设()f x 在[]0,2a 上连续，()()02f f a =，证明：存在[]0,a ξ∈使得()()f f a ξξ=+． §2.1导数概念 §2.2函数的求导法则（一）一、 下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义，A 分别表示什么？1.000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆， 则A = ；2.A xx f x =→)(lim0，且)0(f '存在，则A = ； 3.000()()lim h f x h f x h A h→+--= 则A = ．二、 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：1.x y sin = ；2.21sin ,00, 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩． 三、 设函数2, 1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在1x =处可导，b a ,应取什么值？四、设sin ,(),x f x x ⎧=⎨⎩ 0≤>x x ,求)(x f '. 五、 已知函数)(x f 可导，且对任何实数y x ,满足：（1）()e ()e ()x y f x y f y f x +=+；（2）(0)e f '=，证明：1()()e x f x f x +'=+. 六、 求下列函数在给定点处的导数：1.x x y cos sin -=， 求6π='x y ； 2.23()5x f x x =+， 求)0(f '和)2(f '§2.2函数的求导法则（二） §2.3高阶导数一、求下列函数的导数：1.23253++-=x x e x y ；2.23e 2x x y +-=⋅；3.3)(arcsin x y = ；4.)ln(22x a x y -+= ；5.)1ln(ln ln 2+=x y ；6.xx y +-=11arcsin ；7.y =； 8.xy 1arcsin = ．二、 设)(x f 可导，求d d y x： 1.()(e )e x f x y f =⋅ ； 2.)(cos )(sin 22x f x f y +=.三、 求下列函数的二阶导数：1.21sin e x y x -=⋅；2.)1(ln 2x x x y ++=.四、 设6)10()(+=x x f ，求)2(f '''、)2()6(f及)2()20(f .五、求2234x y x x =--的n 阶导数.§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 §2.5 函数的微分一、 求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：1.y x y x ln cos )sin(=+ ；2.y x x y =.二、 用对数求导法求下列函数的导数：1. xx y tan )(sin =； 2.54)1()3(2+-+=x x x y .三、 求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x，22d d yx ：1. ⎪⎩⎪⎨⎧==32bty at x ； 2. ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x .四、 求曲线在所给参数值相应的点处的切法线方程：1.⎩⎨⎧==t y t x cos sin ， 4t π=处；2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t aty t at x ，2t =处.五、求下列函数的微分：1.21arcsin x y -=；2.x yy x arctan ln 22=+.六、求||y x x =的微分.第二章习题课一、设3e ,0()sin ,0x b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩，且)(x f 在0=x 处可导，求b a ,的值．二、求下列函数的导数：1.x x arc y 2cot 2-=；2.ln(e x y = ．三、设)2002(sin )22)(sin 12(sin )(2002---=t t t t f πππ，求)1(f '.四、设))((y x g f u +=，其中)(x y y =由方程2e sin()y y x y +=+确定，且g f ,一阶可导，求d d u x .五、设()f x 在e x =处有连续的一阶导数，且2(e)e f '=，求0d lim (e d x f x+→.六、已知⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln ，求224d d ,|d d t y yx x π=.七、设x y 3cos =，求)(n y .§3.1中值定理一、验证函数32()4710f x x x x =+--在[1,2]-上满足罗尔定理的条件，并确定ξ的值．二、设()f x 在(,)a b 内可导，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，证明：在(,)a b 内存在一点c ，使得()0f c '=．三、证明：1≥x 时，有π≡++212arcsin arctan 2xxx ．四、设01210=++++n a a a n ，证明：方程010=+++n n x a x a a 在)1,0(内必有一个零点．五、设1,0><<p x y ，证明：)()(11y x px y x y x py p p p p -≤-≤---．六、若()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()(),f x f x '=-且(0)1f =，则()e x f x -=．七、设()f x 在[,]a b 上二阶可导，123,,x x x 为[,]a b 上的三个点，123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，证明：存在一点ξ，使得()0f ξ''=．§3.2罗必达法则 §3.3泰勒公式一、求下列极限：1.20)1ln(lim xx x x +-→； 2.)32(lim 11x x x x -∞→ ；3.)ln 11(lim 1xx x x --→； 4.110(1)lim[]e xx x x →+；5.xx x 1)(ln lim +∞→ ； 6.22lim (tan )x x x ππ--→．二、若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x→+．三、求x +1的3阶麦克劳林展开式．四、求12-=x y 在20=x 处的3阶泰勒公式．五、利用泰勒公式求下列极限：1.21lim[ln(1)]x x x x →+∞-+ ；2.x xx x x 30sin cos sin lim -→ ．§3.4函数单调性和曲线的凹凸性 §3.5函数的极值与最大值（1）一、求下列函数的单调区间：1.69323+--=x x x y ； 2.xxy 2ln = ．二、证明下列不等式：1.x x x 1321->>时，；2.02x π≤≤时，2sin x x π≥．三、 讨论方程x x 2ln =的实根数目．四、求下列函数的凹凸区间及拐点：1.123+=x x y ； 2.e x y x = ．五、 已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,．六、求下列函数的极值：1.x x y ln 2=；2.|)1(|2-=x x y ．§3.5函数的极值与最大值（2） §3.6函数图形的描绘一、求函数x x y 2+=在区间]4,0[上的最大值和最小值．二、 已知船航行一昼夜的费用由两部分组成：一为固定部分a 元；另一为变动部分，它与速度的立方成正比.试问当船的航程为s 时，船应以怎样的速度v 行驶，费用最省？三、过平面上点(1,4)P 作一直线，使得它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和最小，求此直线的方程．四、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点．五、试作函数241x xy +=的图形．六、作函数e xy x=的图形．第三章习题课一、求下列极限：1.1ln sin1xx x→--； 2.2lim tan4nn nπ→∞⎛⎫+⎪⎝⎭；3.11lim cotsinxxx x→⎛⎫⋅-⎪⎝⎭； 4.xxxxxcba1)3(lim++→．二、 证明下列不等式：1. 设0x >，证明：()()221ln 10x x x ++-<；2.01x <<时，2e sin 12xx x -+<+．三、 求椭圆22334x xy y -+=上离原点O 最远及最近的点.四、求数列中最大的一项.五、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，则必有ξξξξ)()()1,0(f f -='∈使得.六、设]0[)(c x f ，在上有定义，)(x f '存在且单调减少，0)0(=f ，试用拉格朗日定理证明： 对)()()(,0b f a f b a f c b a b a +≤+≤+≤≤≤有.§4.1不定积分的概念和性质 §4.2换元积分法一、 下列不定积分：1.2d x⎰； 2.21()d x x x -⎰；3.422d 1x x x-+⎰； 4.2332d 5x x x x ⋅-⋅⎰；5.22d sin cos x x x ⎰；6.cos 2d sin cos xx x x+⎰；⎰．7.cot(sin csc)d-x x x x(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的二、一曲线过点2方程．三、 设1)0(,sec )(tan 22=='f x x f ，求)(x f ．§4.2换元积分法（续）求下列不定积分：1. x ⎰； 2.；3. x ；4.d e e x x x-+⎰；5. 3cos d sin x x x ⎰；6.3sin d x x ⎰；7. arcsin xx ； 8. sin cos d 2xx x ⎰；9.1lndlnxxx x+⎰；10.3222d()xa x-⎰；11. x；12.§4.3分部积分法 §4.4有理函数的积分求下列不定积分：1.2ln ()d x x x ⎰； 2.2sin d x x x ⎰；3.1e d x x x +⎰；4.x ⎰；5.22arctan d 1x x x x +⎰； 6.22d (1)(1)xx x -+⎰；7.5d (1)x x x +⎰； 8.2sin d 2cos x x x -+⎰；9.dsin tan xx x +⎰； 10.；11. ．第四章习题课一、求下列不定积分：1. 4sin cos d 2sin x x x x +⎰； 2. x ；3.⎰； 4.2d 12tan xx +⎰；5.6.2cos sin d x x xx x-⎰；7. x； 8.1182d (1)x xx +⎰ ．二、设e ,0()2ln(1) ,2x x x f x x x x x -⎧≤=<<-≥⎪⎩，计算()d f x x ⎰.三、设)()(x f x F ='，0≥x 时成立x x F x f 2sin )()(=，且1)0(,0)(=≥F x F ，求)(x f .§5.1定积分的概念与性质 §5.2微积分基本公式（1）（2） 一、 用定积分定义，计算() (1)d ba x x ab +<⎰．二、 利用定积分的几何意义，说明下列等式成立的理由．1311.d 0x x -=⎰； 2 0 02.sin d 2sin d 22x x x x ππ=⎰⎰； 03.x π=⎰．三、设()f x 在[],a b 上连续非负，且有()[]000,,f x x a b >∈，证明() d 0ba f x x >⎰．四、不计算比较大小 24 1d x x ⎰还是 25 1d x x ⎰，并说明严格不等式成立的原因．五、计算下列函数的导数：221.x x ⎰； 382.x t ⎰； 3 cos22 e3.sin d xxx x ⎰．六、求下列极限：22 02cos d 1.limx x x x x →⎰； ()2222 0e d 2.lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰．七、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导且()0f x '≥，令()() 1d xaF x f x x x a =-⎰，证明在(),a b 内有()0F x '≥．§5.2微积分基本公式（3） §5.3定积分的换元法和分部积分法（1）一、计算下列各定积分：11.1d x ⎰； 2 02.cos d x x π⎰；23 43.tan d x x ππ⎰； 24.()d f x x ⎰，其中()21,11,12x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．二、 计算下列各定积分：2 01.sin d 4x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 22 02.sin d x x π⎰；3e 13.⎰14.5. 36.x x ⎰．三、设()f x 是连续函数，求证：220()()(2)a a a af x dx f x dx f a x dx =+-⎰⎰⎰，并求2sin 1cos x xdx xπ+⎰．§5.3定积分的换元法和分部积分法（2） §5.4反常积分一、计算下列各定积分：201.e d xx x ⎰；2 02.sin d t t t πωω⎰，ω为非零常数；4 03.e cos 2d x x x π⎰； 4.x ．二、计算120ln(1)(2)x I dx x +=-⎰．三、求20|sin |I x x dx π=⎰．四、判定下列反常积分的敛散性，若收敛，计算广义积分的值.() 01.e cos d ,0pt t t p ωω+∞->⎰； 2 d 2.46x x x +∞-∞++⎰；12 0d 3.1x xx -⎰； 2 04.x ⎰．五、证明：2440011dx x dx x x +∞+∞==++⎰⎰第五章习题课 一、设 2 02tan()sec d x y x x y t t ---=⎰，求d d y x .二、设sin ,0(),()20 ,x x f x x g x π⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩其他，当0≥x 时，求 0()()()d x F x f t g x t t =-⎰.三、计算下列定积分： 1. 2 2x ππ-⎰； 2. 0d x x ⎰；3. ln 0x ⎰；4. 3 0[]d x x x ⎰，其中[]x 为不超过x 的最大整数．四、 计算 3|| 3(||)e d x x x x --+⎰.五、证明： 2 0sin 1d 2xx x ππ<<⎰.六、已知 1ln ()d 1x t f x t t =+⎰，求)21()2(f f +.七、设n 为自然数，求 4 0tan d n n I x x π=⎰.§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何学上的应用（1）（2）一、求由下列各曲线所围成的图形的面积：2221.2y x x y =+=与（两部分都要计算）； 2.ln ,y x y =轴与直线ln 2,ln 4y y ==．二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：()1.2sin 0a a ρθ=>； ()2.sin ,(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤．三、 把抛物线()()2002 0 0y px p x x x =>=>及所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．四、求由曲线32,0,4y x y x ===所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．五、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．六、记()V ξ为曲线2,0,0,1y y x x x ξ====+所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积，求lim ()V ξξ→+∞．§6.2定积分在几何学上的应用（3） 第六章习题课 一、求曲线ln cos 02y x x a π⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭的弧长．二、在摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩上求分摆线第一拱成3:1的点的坐标．三、设曲线0 , [0,]y t xπ=∈⎰，求曲线之长.四、求1yx=与直线3y x x==及所围图形的面积．五、求双纽线22cos 2r a ϕ=所围图形的面积．六、求()sin ,00y x y x π==≤≤所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体的体积．§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程一、 判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：1.1cot ,21cos dy x y y dx x=-=- 2.2121,ln cos()y y y C x C ''=+=-+二、 确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给的初始条件：1.2202,|3x x y C y =-==2.1222cos sin ,|1,|2x x y C x C x y y ππ=='=+==三、 设曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线满足的微分方程。
高等数学（微积分学）专业术语名词概念定理等英汉对照
高等数学（微积分学）专业术语名词概念定理等英汉对照目录第一部分英汉微积分词汇Part 1 English-Chinese Calculus Vocabulary第一章函数与极限Chapter 1 function and Limi t (1)第二章导数与微分Chapter 2 Derivative and Differential (2)第三章微分中值定理Chapter 3 Mean Value theorem of differentials and the Application of Derivatives (3)第四章不定积分Chapter 4 Indefinite Intergrals (3)第五章定积分Chapter 5 Definite Integral (3)第六章定积分的应用Chapter 6 Application of the Definite Integrals (4)第七章空间解析几何与向量代数Chapter 7 Space Analytic Geomertry and Vector Algebra (4) 第八章多元函数微分法及其应用Chapter 8 Differentiation of functions Several variables and Its Application (5)第九章重积分Multiple Integrals (6)第十章曲线积分与曲面积分Chapter 10 Line(Curve ) Integrals and Surface Integral s (6) 第十一章无穷级数Chapter 11 Infinite Series (6)第十二章微分方程Chapter 12 Differential Equation (7)第二部分定理定义公式的英文表达Part 2 English Expression for Theorem,Definition and Formula第一章函数与极限Chapter 1 Function and Limi t (19)1.1映射与函数(Mapping and Function ) (19)1.2数列的极限(Limit of the Sequence of Number) (20)1.3函数的极限(Limit of Function) (21)1.4无穷小与无穷大(Infinitesimal and Inifinity) (23)1.5极限运算法则(Operation Rule of Limit) (24)1.6极限存在准则两个重要的极限(Rule for theExistence of Limits Two Important Limits) (25)1.7无穷小的比较(The Comparison of infinitesimal) (26)1.8函数的连续性与间断点(Continuity of FunctionAnd Discontinuity Points) (28)1.9连续函数的运酸与初等函数的连续性(OperationOf Continuous Functions and Continuity ofElementary Functions) (28)1.10闭区间上联系汗水的性质(Properties ofContinuous Functions on a Closed Interval) (30)第二章导数与数分Chapter2 Derivative and Differential (31)2.1 导数的概念(The Concept of Derivative) (31)2.2 函数的求导法则(Rules for Finding Derivatives) (33)2.3 高阶导数(Higher-order Derivatives) (34)2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率(Derivatives ofImplicit Functions and Functions Determined by Parametric Equation andCorrelative Change Rate) (34)2.5 函数的微分(Differential of a Function) (35)第三章微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and theApplication of Derivatives (36)3.1 微分中值定理(The Mean Value Theorem) (36)3.2 洛必达法则(L’Hopital’s Rule) (38)3.3 泰勒公式(Taylor’s Formula) (41)3.4 函数的单调性和曲线的凹凸性(Monotonicityof Functions and Concavity of Curves) (43)3.5 函数的极值与最大最小值(Extrema, Maximaand Minima of Functions) (46)3.6 函数图形的描绘(Graphing Functions) (49)3.7 曲率(Curvature) (50)3.8 方程的近似解(Solving Equation Numerically) (53)第四章不定积分Chapter 4Indefinite Integrals (54)4.1 不定积分的概念与性质(The Concept andProperties of Indefinite Integrals) (54)4.2 换元积分法(Substitution Rule for Indefinite Integrals) (56)4.3 分部积分法(Integration by Parts) (57)4.4 有理函数的积分(Integration of Rational Functions) (58)第五章定积分Chapter 5 Definite Integrals (61)5.1 定积分的概念和性质(Concept of Definite Integraland its Properties) (61)5.2 微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus) (67)5.3 定积分的换元法和分部积分法(Integration by Substitution andDefinite Integrals by Parts) (69)5.4 反常积分(Improper Integrals) (70)第六章定积分的应用Chapter 6 Applications of the Definite Integrals (75)6.1 定积分的元素法(The Element Method of Definite Integra (75)6.2 定积分在几何学上的应用(Applications of the DefiniteIntegrals to Geometry) (76)6.3 定积分在物理学上的应用(Applications of the DefiniteIntegrals to Physics) (79)第七章空间解析几何与向量代数Chapter 7 Space Analytic Geometry and Vector Algebar (80)7.1 向量及其线性运算(Vector and Its Linear Operation) (80)7.2 数量积向量积(Dot Product and Cross Product) (86)7.3 曲面及其方程(Surface and Its Equation) (89)7.4 空间曲线及其方程(The Curve in Three-space and Its Equation (91)7.5 平面及其方程（Plane in Space and Its Equation) (93)7.6 空间直线及其方程（Lines in and Their Equations) (95)第八章多元函数微分法及其应用Chapter 8 Differentiation of Functions of SeveralVariables and Its Application (99)8.1 多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functionsof Several Variables) (99)8.2 偏导数(Partial Derivative) (102)8.3 全微分(Total Differential) (103)8.4 链式法则（The Chain Rule) (104)8.5 隐函数的求导公式(Derivative Formula for Implicit Functions). (104)8.6 多元函数微分学的几何应用(Geometric Applications of Differentiationof Ffunctions of Severalvariables) (106)8.7方向导数与梯度(Directional Derivatives and Gradients) (107)8.8多元函数的极值(Extreme Value of Functions of Several Variables) (108)第九章重积分Chapter 9 Multiple Integrals (111)9.1二重积分的概念与性质(The Concept of Double Integralsand Its Properities) (111)9.2二重积分的计算法(Evaluation of double Integrals) (114)9.3三重积分(Triple Integrals) (115)9.4重积分的应用(Applications of Multiple Itegrals) (120)第十章曲线积分与曲面积分Chapte 10 Line Integrals and Surface Integrals (121)10.1 对弧长的曲线积分(line Intergrals with Respect to Arc Length) (121)10.2 对坐标的曲线积分(Line Integrals with respect toCoordinate Variables) (123)10.3 格林公式及其应用(Green's Formula and Its Applications) (124)10.4 对面积的曲面积分(Surface Integrals with Respect to Aarea) (126)10.5 对坐标的曲面积分(Surface Integrals with Respect toCoordinate Variables) (128)10.6 高斯公式通量与散度(Gauss's Formula Flux and Divirgence) (130)10.7 斯托克斯公式环流量与旋度(Stokes's Formula Circulationand Rotation) (131)第十一章无穷级数Chapter 11 Infinite Series (133)11.1 常数项级数的概念与性质(The concept and Properties ofThe Constant series) (133)11.2 常数项级数的审敛法(Test for Convergence of the Constant Series) (137)11.3 幂级数(power Series). (143)11.4 函数展开成幂级数(Represent the Function as Power Series) (148)11.5 函数的幂级数展开式的应用(the Appliacation of the Power Seriesrepresentation of a Function) (148)11.6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质(The UnanimousConvergence of the Series of Functions and Its properties) (149)11.7 傅立叶级数（Fourier Series） (152)11.8 一般周期函数的傅立叶级数(Fourier Series of Periodic Functions) (153)第十二章微分方程Chapter 12 Differential Equation (155)12.1微分方程的基本概念（The Concept of DifferentialEquation) (155)12.2可分离变量的微分方程(Separable Differential Equation) (156)12.3齐次方程(Homogeneous Equation) (156)12.4 一次线性微分方程(Linear Differential Equation of theFirst Order) (157)12.5全微分方程(Total Differential Equation) (158)12.6可降阶的高阶微分方程(Higher-order DifferentialEquation Turned to Lower-order DifferentialEquation) (159)12.7高阶线性微分方程(Linear Differential Equation of HigherOrder) (159)12.8常系数齐次线性微分方程(Homogeneous LinearDifferential Equation with Constant Coefficient) (163)12.9常系数非齐次线性微分方程(Non HomogeneousDifferential Equation with Constant Coefficient) (164)12.10 欧拉方程(Euler Equation) (164)12.11 微分方程的幂级数解法(Power Series Solutionto Differential Equation) (164)第三部分常用数学符号的英文表达Part 3 English Expression of the Mathematical Symbol in Common Use第一部分英汉微积分词汇Part1 English-Chinese Calculus V ocabulary 第一章函数与极限Chapter1 Function and Limit集合set元素element子集subset空集empty set并集union交集intersection差集difference of set基本集basic set补集complement set直积direct product笛卡儿积Cartesian product开区间open interval闭区间closed interval半开区间half open interval有限区间finite interval区间的长度length of an interval无限区间infinite interval领域neighborhood领域的中心centre of a neighborhood领域的半径radius of a neighborhood左领域left neighborhood右领域right neighborhood 映射mappingX到Y的映射mapping of X ontoY 满射surjection单射injection一一映射one-to-one mapping双射bijection算子operator变化transformation函数function逆映射inverse mapping复合映射composite mapping自变量independent variable因变量dependent variable定义域domain函数值value of function函数关系function relation值域range自然定义域natural domain单值函数single valued function多值函数multiple valued function 单值分支one-valued branch函数图形graph of a function绝对值函数absolute value符号函数sigh function整数部分integral part阶梯曲线step curve当且仅当if and only if(iff)分段函数piecewise function上界upper bound下界lower bound有界boundedness无界unbounded函数的单调性monotonicity of a function 单调增加的increasing单调减少的decreasing单调函数monotone function函数的奇偶性parity(odevity) of a function对称symmetry偶函数even function奇函数odd function函数的周期性periodicity of a function周期period反函数inverse function直接函数direct function复合函数composite function中间变量intermediate variable函数的运算operation of function基本初等函数basic elementary function初等函数elementary function幂函数power function指数函数exponential function对数函数logarithmic function三角函数trigonometric function反三角函数inverse trigonometric function 常数函数constant function双曲函数hyperbolic function双曲正弦hyperbolic sine双曲余弦hyperbolic cosine双曲正切hyperbolic tangent反双曲正弦inverse hyperbolic sine反双曲余弦inverse hyperbolic cosine反双曲正切inverse hyperbolic tangent极限limit数列sequence of number收敛convergence收敛于 a converge to a发散divergent极限的唯一性uniqueness of limits收敛数列的有界性boundedness of a convergent sequence子列subsequence函数的极限limits of functions函数()f x当x趋于x0时的极限limit of functions () f x as x approaches x0左极限left limit右极限right limit单侧极限one-sided limits水平渐近线horizontal asymptote无穷小infinitesimal无穷大infinity铅直渐近线vertical asymptote夹逼准则squeeze rule单调数列monotonic sequence高阶无穷小infinitesimal of higher order低阶无穷小infinitesimal of lower order同阶无穷小infinitesimal of the same order 等阶无穷小equivalent infinitesimal函数的连续性continuity of a function增量increment函数()f x在x0连续the function ()f x is continuous at x0左连续left continuous右连续right continuous区间上的连续函数continuous function函数()f x在该区间上连续function ()f x is continuous on an interval不连续点discontinuity point第一类间断点discontinuity point of the first kind第二类间断点discontinuity point of the second kind初等函数的连续性continuity of the elementary functions定义区间defined interval最大值global maximum value (absolute maximum)最小值global minimum value (absolute minimum)零点定理the zero point theorem介值定理intermediate value theorem第二章导数与微分Chapter2 Derivative and Differential速度velocity匀速运动uniform motion平均速度average velocity瞬时速度instantaneous velocity圆的切线tangent line of a circle切线tangent line切线的斜率slope of the tangent line位置函数position function导数derivative可导derivable函数的变化率问题problem of the change rate of a function 导函数derived function左导数left-hand derivative右导数right-hand derivative单侧导数one-sided derivatives()f x在闭区间【a,b】上可导()f x is derivable on the closed interval [a,b]切线方程tangent equation角速度angular velocity成本函数cost function边际成本marginal cost链式法则chain rule隐函数implicit function显函数explicit function二阶函数second derivative三阶导数third derivative高阶导数nth derivative莱布尼茨公式Leibniz formula对数求导法log- derivative参数方程parametric equation相关变化率correlative change rata微分differential可微的differentiable函数的微分differential of function自变量的微分differential of independent variable微商differential quotient间接测量误差indirect measurement error 绝对误差absolute error 相对误差relative error第三章微分中值定理与导数的应用Chapter3 MeanValue Theorem of Differentials and the Application of Derivatives 罗马定理Rolle’s theorem费马引理Fermat’s lemma拉格朗日中值定理Lagrange’s mean value theorem驻点stationary point稳定点stable point临界点critical point辅助函数auxiliary function拉格朗日中值公式Lagrange’s mean value formula柯西中值定理Cauchy’s mean value theorem洛必达法则L’Hospital’s Rule0/0型不定式indeterminate form of type 0/0不定式indeterminate form泰勒中值定理Taylor’s mean value theorem泰勒公式Taylor formula余项remainder term拉格朗日余项Lagrange remainder term 麦克劳林公式Maclaurin’s formula佩亚诺公式Peano remainder term凹凸性concavity凹向上的concave upward, cancave up凹向下的，向上凸的concave downward’concave down拐点inflection point函数的极值extremum of function极大值local(relative) maximum最大值global(absolute) mximum极小值local(relative) minimum最小值global(absolute) minimum目标函数objective function曲率curvature弧微分arc differential平均曲率average curvature曲率园circle of curvature曲率中心center of curvature曲率半径radius of curvature渐屈线evolute渐伸线involute根的隔离isolation of root隔离区间isolation interval切线法tangent line method第四章不定积分Chapter4 Indefinite Integrals原函数primitive function(antiderivative) 积分号sign of integration被积函数integrand积分变量integral variable积分曲线integral curve积分表table of integrals换元积分法integration by substitution分部积分法integration by parts分部积分公式formula of integration by parts有理函数rational function真分式proper fraction假分式improper fraction第五章定积分Chapter5 Definite Integrals曲边梯形trapezoid with曲边curve edge窄矩形narrow rectangle曲边梯形的面积area of trapezoid with curved edge积分下限lower limit of integral积分上限upper limit of integral积分区间integral interval分割partition积分和integral sum可积integrable矩形法rectangle method积分中值定理mean value theorem of integrals函数在区间上的平均值average value of a function on an integvals牛顿－莱布尼茨公式Newton-Leibniz formula微积分基本公式fundamental formula of calculus换元公式formula for integration by substitution 递推公式recurrence formula反常积分improper integral反常积分发散the improper integral is divergent反常积分收敛the improper integral is convergent无穷限的反常积分improper integral on an infinite interval无界函数的反常积分improper integral of unbounded functions绝对收敛absolutely convergent第六章定积分的应用Chapter6 Applications of the Definite Integrals元素法the element method面积元素element of area平面图形的面积area of a luane figure直角坐标又称“笛卡儿坐标(Cartesian coordinates)”极坐标polar coordinates抛物线parabola椭圆ellipse旋转体的面积volume of a solid of rotation旋转椭球体ellipsoid of revolution, ellipsoid of rotation曲线的弧长arc length of acurve可求长的rectifiable光滑smooth功work水压力water pressure引力gravitation变力variable force第七章空间解析几何与向量代数Chapter7 Space Analytic Geometry and Vector Algebra向量vector自由向量free vector单位向量unit vector零向量zero vector相等equal平行parallel向量的线性运算linear poeration of vector 三角法则triangle rule平行四边形法则parallelogram rule交换律commutative law结合律associative law负向量negative vector差difference分配律distributive law空间直角坐标系space rectangular coordinates坐标面coordinate plane卦限octant向量的模modulus of vector向量a与b的夹角angle between vector a and b方向余弦direction cosine方向角direction angle向量在轴上的投影projection of a vector onto an axis数量积，外积，叉积scalar product,dot product,inner product 曲面方程equation for a surface球面sphere旋转曲面surface of revolution母线generating line轴axis圆锥面cone顶点vertex旋转单叶双曲面revolution hyperboloids of one sheet旋转双叶双曲面revolution hyperboloids of two sheets柱面cylindrical surface ,cylinder圆柱面cylindrical surface准线directrix抛物柱面parabolic cylinder二次曲面quadric surface椭圆锥面dlliptic cone椭球面ellipsoid单叶双曲面hyperboloid of one sheet双叶双曲面hyperboloid of two sheets旋转椭球面ellipsoid of revolution椭圆抛物面elliptic paraboloid旋转抛物面paraboloid of revolution双曲抛物面hyperbolic paraboloid马鞍面saddle surface 椭圆柱面elliptic cylinder双曲柱面hyperbolic cylinder抛物柱面parabolic cylinder空间曲线space curve空间曲线的一般方程general form equations of a space curve 空间曲线的参数方程parametric equations of a space curve螺转线spiral螺矩pitch投影柱面projecting cylinder投影projection平面的点法式方程pointnorm form eqyation of a plane法向量normal vector平面的一般方程general form equation of a plane两平面的夹角angle between two planes 点到平面的距离distance from a point to a plane空间直线的一般方程general equation of a line in space方向向量direction vector直线的点向式方程pointdirection form equations of a line方向数direction number直线的参数方程parametric equations of a line两直线的夹角angle between two lines垂直perpendicular直线与平面的夹角angle between a line and a planes平面束pencil of planes平面束的方程equation of a pencil of planes行列式determinant系数行列式coefficient determinant第八章多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application一元函数function of one variable多元函数function of several variables内点interior point外点exterior point边界点frontier point,boundary point聚点point of accumulation开集openset闭集closed set连通集connected set开区域open region闭区域closed region有界集bounded set无界集unbounded setn维空间n-dimentional space二重极限double limit多元函数的连续性continuity of function of seveal连续函数continuous function不连续点discontinuity point一致连续uniformly continuous偏导数partial derivative对自变量x的偏导数partial derivative with respect to independent variable x高阶偏导数partial derivative of higher order二阶偏导数second order partial derivative 混合偏导数hybrid partial derivative全微分total differential偏增量oartial increment偏微分partial differential全增量total increment可微分differentiable必要条件necessary condition充分条件sufficient condition叠加原理superpostition principle全导数total derivative中间变量intermediate variable隐函数存在定理theorem of the existence of implicit function 曲线的切向量tangent vector of a curve法平面normal plane向量方程vector equation向量值函数vector-valued function切平面tangent plane法线normal line方向导数directional derivative梯度gradient 数量场scalar field梯度场gradient field向量场vector field势场potential field引力场gravitational field引力势gravitational potential曲面在一点的切平面tangent plane to a surface at a point曲线在一点的法线normal line to a surface at a point无条件极值unconditional extreme values 条件极值conditional extreme values拉格朗日乘数法Lagrange multiplier method拉格朗日乘子Lagrange multiplier经验公式empirical formula最小二乘法method of least squares均方误差mean square error第九章重积分Chapter9 Multiple Integrals二重积分double integral可加性additivity累次积分iterated integral体积元素volume element三重积分triple integral直角坐标系中的体积元素volume element in rectangular coordinate system柱面坐标cylindrical coordinates柱面坐标系中的体积元素volume element in cylindrical coordinate system球面坐标spherical coordinates球面坐标系中的体积元素volume element in spherical coordinate system反常二重积分improper double integral曲面的面积area of a surface质心centre of mass静矩static moment密度density形心centroid转动惯量moment of inertia参变量parametric variable第十章曲线积分与曲面积分Chapter10 Line(Curve)Integrals and Surface Integrals对弧长的曲线积分line integrals with respect to arc hength第一类曲线积分line integrals of the first type对坐标的曲线积分line integrals with respect to x,y,and z第二类曲线积分line integrals of the second type有向曲线弧directed arc单连通区域simple connected region复连通区域complex connected region格林公式Green formula第一类曲面积分surface integrals of the first type对面的曲面积分surface integrals with respect to area有向曲面directed surface对坐标的曲面积分surface integrals with respect to coordinate elements第二类曲面积分surface integrals of the second type有向曲面元element of directed surface高斯公式gauss formula拉普拉斯算子Laplace operator格林第一公式Green’s first formula通量flux散度divergence斯托克斯公式Stokes formula环流量circulation旋度rotation,curl第十一章无穷级数Chapter11 Infinite Series一般项general term部分和partial sum余项remainder term等比级数geometric series几何级数geometric series公比common ratio调和级数harmonic series柯西收敛准则Cauchy convergence criteria, Cauchy criteria for convergence正项级数series of positive terms达朗贝尔判别法D’Alembert test柯西判别法Cauchy test 交错级数alternating series绝对收敛absolutely convergent条件收敛conditionally convergent柯西乘积Cauchy product函数项级数series of functions发散点point of divergence收敛点point of convergence收敛域convergence domain和函数sum function幂级数power series幂级数的系数coeffcients of power series 阿贝尔定理Abel Theorem收敛半径radius of convergence收敛区间interval of convergence泰勒级数Taylor series麦克劳林级数Maclaurin series二项展开式binomial expansion近似计算approximate calculation舍入误差round-off error,rounding error欧拉公式Euler’s formula魏尔斯特拉丝判别法Weierstrass test三角级数trigonometric series振幅amplitude角频率angular frequency初相initial phase矩形波square wave谐波分析harmonic analysis直流分量direct component基波fundamental wave二次谐波second harmonic三角函数系trigonometric function system 傅立叶系数Fourier coefficient傅立叶级数Forrier series周期延拓periodic prolongation正弦级数sine series余弦级数cosine series奇延拓odd prolongation偶延拓even prolongation傅立叶级数的复数形式complex form of Fourier series第十二章微分方程Chapter12 Differential Equation解微分方程solve a dirrerential equation 常微分方程ordinary differential equation偏微分方程partial differential equation,PDE微分方程的阶order of a differential equation微分方程的解solution of a differential equation微分方程的通解general solution of a differential equation初始条件initial condition微分方程的特解particular solution of a differential equation 初值问题initial value problem微分方程的积分曲线integral curve of a differential equation 可分离变量的微分方程variable separable differential equation 隐式解implicit solution隐式通解inplicit general solution衰变系数decay coefficient衰变decay齐次方程homogeneous equation一阶线性方程linear differential equation of first order非齐次non-homogeneous齐次线性方程homogeneous linear equation非齐次线性方程non-homogeneous linear equation常数变易法method of variation of constant暂态电流transient stata current稳态电流steady state current伯努利方程Bernoulli equation全微分方程total differential equation积分因子integrating factor高阶微分方程differential equation of higher order悬链线catenary高阶线性微分方程linera differential equation of higher order 自由振动的微分方程differential equation of free vibration强迫振动的微分方程differential equation of forced oscillation 串联电路的振荡方程oscillation equation of series circuit二阶线性微分方程second order linera differential equation线性相关linearly dependence线性无关linearly independce二阶常系数齐次线性微分方程second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient二阶变系数齐次线性微分方程second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient特征方程characteristic equation无阻尼自由振动的微分方程differential equation of free vibration with zero damping 固有频率natural frequency 简谐振动simple harmonic oscillation,simple harmonic vibration微分算子differential operator待定系数法method of undetermined coefficient共振现象resonance phenomenon欧拉方程Euler equation幂级数解法power series solution数值解法numerial solution勒让德方程Legendre equation微分方程组system of differential equations常系数线性微分方程组system of linera differential equations with constant coefficient第二部分定理定义公式的英文表达Part2 English Expression for Theorem, Definition and Formula第一章函数与极限Chapter 1 Function and Limit1.1 映射与函数 (Mapping and Function)一、集合 (Set)二、映射 (Mapping)映射概念 (The Concept of Mapping) 设X , Y 是两个非空集合 , 如果存在一个法则f ，使得对X 中每个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应 , 则称f 为从X 到 Y 的映射 , 记作:f X Y →。
托马斯微积分课件3.6 Linearization and Differentials
3.1 Extreme Values of Functions 3.2 The Mean Value Theorem and Differential Equations 3.3 The Shape of a Graph 3.4 Graphical Solutions of Autonomous Differential Equations 3.5 Modeling and Optimization 3.6 Linearization and Differentials 3.7 Newton’s Method
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3.6.1
Linearization
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Tangent at the point (1,1):
the tangent :
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f x0 x f x0 f x0 x
let x x0 x
f x f x0 f x0 x x0
Conditions: 1) f x0 , f x0
2) x -x0 = x 0
当 x 很小时, —————————————————————— x 1 x
x x
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Exercises
P293 7, 8(e). P294 13(a), 18, 20, 24, 33.
微积分(一)同步练习册(各节练习参考答案)
各章同步练习参考答案第二章 极限与连续 §2.1 答 案1.（1）πn sin ，0； （2）()nn 211--，0.2.（1）1； （2）i ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=+1,1,11q n q q q q x n n ，ii ）当()1,1-∈q 时qq x n n -=∞→1lim ，当1,1-≠>q q 时∞=∞→n n x lim ，当1-=q 时n n x ∞→lim 不存在；（3）25； （4）2ln ； （5）41-； （6）5； （7）1； （8）23．3. 1lim =∞→n n x ．4. 21lim =∞→n n x .5. {}k a a ,,max 1Λ.§2.2 答 案1. 极限状态分别为0，∞+，不存在．2.2π，2π-，不存在．3. （1）21； （2）57-； （3）32-； （4）15854； （5）23；（6）21-； （7）9． 4. ()0lim 0=→x f x ．5．极限不存在． 6. 23=a ． 7．()x x x f 22-=()f x ．§2.3 答 案1． 略.2． 3． 3． 6. 4． 略．§2.4 答 案1．0．2．1）32； 2）1． 3．（1）43； （2）1-； （3）0．4．1=a ，1-=b .§2.5 答 案1．（1）2-e ； （2）21-e ； （3）e ； （4）2e .2．2=a ，2ln =b ．3．()⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=1,10,00,1x x x x f ，间断点0=x ． §2.6 答 案1~5．略．第三章 导数与微分 §3.1 答 案1.（1）2+-=x y ； （2）0=y ．2.（1）当 1≠x 时，2)1(1+-='x y ； （2）x y 3cos 3='．3. 当c a 2=且2c b -=时，)(x f 在c 可导．4.（1）)(30x f '； （2）)(0x f '-； （3）)(20x f '．5.（1）函数)(x f 在0=x 处连续且可导，并且0)0(='f ； （2） 函数)(x f 在0=x 处可导，并且0)0(='f ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin 2)(x x xx x x f 在0=x 处不连续，在其他点处连续．§3.2 答 案1.（1）221--+='x xy ； （2）1))((-++='b a ex b a e y ；（3）233225xx y π--='； （4）)(212321--+-='x x y ；（5）x x x x x x y ln cos sin ln sin ⋅++⋅='； （6）12211)()(-+--+++='b a b a x b a ab x xab y ；（7）x x x x x x y cot csc tan sec sec -+='； （8）2)cos (sin sec 3x x x y +='； （9）22)1(4--='x xy ．2．（1）2)(4x x e e y -+='； （2）)11cot (2xx arc e y x+-='； （3）)sin cos (cos x x x x x e y x--='-．§3.3 答 案1．（1）4234)1(34x x x x y -+-='； （2）2ln )(ln 1ln 22ln x x y xx -⋅='；（3）))2(cos 26sin()4sin(22x x y -='； （4）xxxe e e y 3332)cot()(csc 6-='； （5）()()x x x y ln ln ln 2='；（6）22a x y +='.2．（1） 34414341)1()6)(32(31)1)()6)(32(41)6(2(+-+-+-++--x x x x x x x ； （2）))ln(sin sin cos (cot )(sin cos x x x x x y x-⋅='；（3）xx x y x2)2(ln +='．3．（1）)](2)()[(22222x f x x f x xf dx dy'+=； （2）04==πx dxdy .4．（1）21； （2）y x y x dx dy -+=． 5．略．§3.4 答 案1．（1）dx xx dy 212--=； （2）dx x xe dy x)1(22+=； （3）dx x x e dy x)2sin (sin 2+=； （4）dx e e dy xx21+=． 2．（1）dx y a xb dy 22=； （2）dx y y y dy 112122---=． 3．008.21.83≈．4．)22)(12()12(π--+-=a x y ．5．t bady dx t a b dx dy tan ,cot -=-=． §3.5 答 案1．（1）2222)1(62,12--=''-='x x y x x y ； （2）12124,2--=''='x x e y ey ；（3）32222)1(26,)1(2x x y x x y +-=''+-='； （4）3))cos(1()sin(,)cos(1)cos(y x y x y y x y x y +-+-=''+-+='． 2．（1）π21)1,0(-='-y ； （2）2)1,0(41-π=''-y ． 3．)2)1(2sin(21)(π-+=-n x yn n ．§3.6 答 案1．,2105,6162x MR x x MC -=+-=21499x x MC MR ML -+=-=．2．2,48400150-====x x ML ML ． 3．（1）a E =； （2）)9(2-=x xE ．4．195)105(≈D 万（单位）．第四章 中值定理与导数的应用§4.1 答 案1~4．略．§4.2 答 案1~2．略． 3.21． 4. 1.02020134e 0.02≈．§4.3 答 案1．（1）16； （2）12； （3）12； （4）2π； （5）1； （6）e ； （7）2ln 2； （8）2e ； （9）2e ； （10）13-； （11）16． §4.4 答 案1．（1）单增区间为(,1)(3,)-∞+∞U ，单减区间为(1,3)； （2）单增区间为1(,)2+∞，单减区间为1(0,)2． 2． 略．3．（1）拐点为2x =，上凸区间为(,2)-∞，下凸区间为(2,)+∞； （2）拐点为2x =，上凸区间为(,1)(1,2)-∞--U ，下凸区间为(2,)+∞． 4． 略.§4.5 答 案1．（1）2)1(=f 为极小值，2)1(-=-f 为极大值；（2）0)5(=f 为极小值，108)3(=f 为极大值．2．61,32-=-=b a ；1x 是极小值点，2x 是极大值点． 3．（1）ee y 2)(2-=-为最小值，最大值不存在；（2）4)0(-=f 为最小值，2)3(=f 为最大值．4．36216)6(24222+-=-+=x x y x d ，)4,4(),(±=y x 时52min =d ． §4.6 答 案1．（1）垂直渐近线为1-=x ；斜渐近线为1-=x y ； （2）垂直渐近线为1-=x 与1=x ；水平渐近线为0=y ； （3）水平渐近线为0=y ．2．解：单调递增区间为)1,1(-，单调递减区间为)1,(--∞与),1(+∞；上凸区间为),2(+∞，下凸区间为)1,(--∞与)2,1(-．垂直渐近线为1-=x ，水平渐近线为0=y 。
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
浙江大学本科教学大类课程层次关系一览表
浙江大学本科教学大类课程层次关系一览表
说明：
1.粗线边框内的课程为一个基本单元。
2.符号“≥”为单向关系，表示修读高层次课程后可免修低层次课程。
例如：“011A0011，宏观经济学（甲），
3.0”≥“011A0012，宏观经济学（乙），2.0”表明修读“宏观经济学(甲)”后可以免修“宏观经济学（乙）”，反之不可。
3.符号“≈”为相似关系。
例如：“111Z0040，射频微波通信电路，
4.0”≈“‘11120050，高频电子线路，3.5’+‘11120741，射频与微波电路及其设计，2.0’”表明“射频微波通信电路”和“‘高频电子线路’+‘射频与微波电路及其设计’”中任学一组课程后可免修另一组课程。
4.对于上表中未列出的相近课程，学生申请免修需填写《浙江大学本科课程免修申请表》，经开课院（系）同意后方可免修，申请表可到现代教务管理系统网页下载。
本科生院教务处
二○一一年三月。