2017-2018学年高中数学第二章解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.2习题精选北

合集下载

专题1-1-2 余弦定理练-2017-2018学年高二数学同步课堂新人教A版必修五含解析精品

一、选择题1.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，b=3，c=5，A=120°，则a=( )A.7B.错误！未找到引用源。

C.49D.19 【解析】选A.a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5cos 120°=49，所以a=7.2.在△ABC中，a=3，b=错误！未找到引用源。

，c=2，那么角B等于( )A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.cosB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，所以B=60°.3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=错误！未找到引用源。

bc，sinC=2错误！未找到引用源。

sinB，则A=( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.由余弦定理得：cosA=错误！未找到引用源。

，由题知b2-a2=-错误！未找到引用源。

bc，c2=2错误！未找到引用源。

bc，则cosA=错误！未找到引用源。

，又0°<A<180°，所以A=30°.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若错误！未找到引用源。

>0，则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知错误！未找到引用源。

<0，即cosC<0.因为0°<C<180°，所以90°<C<180°.所以△ABC为钝角三角形.[【补偿训练】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.在△ABC中，已知AB=7，BC=5，AC=6，则错误！未找到引用源。

2017-2018版高中数学第二章解三角形1.1正弦定理(二)学案北师大版必修5

1.1 正弦定理（二）【学习目标】1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用两边夹角求三角形面积. ET问题导学---------------------------- 知识点一正弦定理的常见变形1. sin A : sin B : sin C= _________________ ;2 亠=旦=亠= _____________________a+b+c _______ =sin A sin B sin C sin A+ sin B+ sin C ------------------------------ '3. ___________ a= ___________ , b= _________ ,c= ;4. ________________sin A= ____________ , sin B=__________ , sin C= .知识点二判断三角形解的个数思考1 在厶ABC中, a = 9, b= 10, A= 60°,判断三角形解的个数.梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一.a b b sin A 例如在△ ABC中，已知a, b及A的值•由正弦定理= ，可求得sin B= .sin A sin B a 在由sin B求B时，如果a>b，则有A>B,所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a<b,则有A<B,所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个.思考2已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及其一边对角；④已知一边两角.其中只有类型③解的个数不确定.知识点三三角形面积公式的拓展思考如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积•那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？1 1 梳理△ ABC中，角代B, C的对边分别为a, b, 6则厶ABC的面积S= q ab sin C= ?bc sin A1题型探究=§ac sin B.类型一判断三角形解的个数引申探究例1中b= 28 cm A= 40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ ABC有两解（范围中保留sin 40° ）?例1 在厶ABC中，已知a= 20 cm b= 28 cm, A= 40°,解三角形.（角度精确到1°,边长精确到1 cm）登录91淘漢网iwww.91 ）.听名师牯餅湮程——利用正弦宦珅探究三角能解的个數反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值•或者根据该正弦值（不等于1时）在0°〜180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.跟踪训练1已知三角形中a= 2J3, b= 6, A= 30°,判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ ABC中，角A, B, C分别对应边a, b, c, a= 2b sin A,求cos A+ sin C的取值范围.反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：（1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素. （2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函数），从而转化为函数的值域或最值问题.跟踪训练2仁ABC中，若C= %求b的取值范围.类型三三角形面积公式的应用命题角度1已知边角求面积例 3 在厶ABC中, AB=・.3, AC= 1, B= 30°，求△ ABC的面积.1 1 1反思与感悟三角形面积公式S= q ab sin C, S= q bc sin A, S= q ac sin B中含有三角形的边角关系.因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系.首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积.跟踪训练3 在厶ABC中, a= 1, A= 30°, C= 45°，则△ ABC的面积为（）A亚B.迈C•血D. 42 4 2 4命题角度2给出面积求边角例4在厶ABC中, A= 60°, AB= 2，且△ ABC的面积为乎，则AC的长为 ___________反思与感悟利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标.跟踪训练4 已知锐角三角形ABC的面积为3 3, BC= 4, CA= 3，则角C的大小为（）当堂训练A. 75° B . 60° C . 45° D . 30°1.在△ ABC中, AC= 6, BC= 2, B= 60°，则角C的值为（）A. 45°B. 30°C. 75°D. 90°a b c2 .在△ ABC中，若= = ，则△ ABC是（）cos A cos B cos CA. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形3 厂3•已知△ ABC的面积为2,且b= 2, c =羽，贝U sin A= _________ .规律与方法1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解•首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.2 .判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.22 R 3.2 F Sin A 2R sin B 2R sin C 4.2R 2R 2R 知识点二思考 1 解 sin B = |sin A 普V=攀而爭乎 <1,所以当B 为锐角时,故对应的钝角 B 有90°<B <120°, 也满足A + B <180°,故三角形有两解. 思考2如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题. 知识点三思考 △ ABC 中，如果已知边 AB BC 和角B,边BC 上的高记为h a ，贝U h a = AQ n B.从而可求面积. 题型探究因为 0°<B <180°,且 b >a , B >A (1)当 B ~ 64° 时， C = 180°— (A + B )〜180°— (40 ° + 64° ) = 76°, a sin C 20sin 76 ° c = = ~ 30(cm). sin A sin 40 ⑵当B ~ 116°时， C = 180°— (A + B )〜180°— (40 ° + 116° ) = 24°, a sin C 20sin 24 ° c = = 〜13(cm). sin A sin 40 综上，B ~ 64°, S 76°, c ~ 30 cm 或 B ~ 116°, S 24°, c ~ 13 cm. 引申探究合案精析问题导学知识点一满足sin B = 5*3 9 的角有60°<B <90o 例1解根据正弦定理, sin B = bs ^= 28血 40 ° a 20 ~ 0.899 9.解如图，/ A= 40°, CDLADAC= 28 cm,以C为圆心，a为半径画圆弧，当C氐a v AC 即b sin A v a< b,28sin 40 °< a< 28 时，△ ABC有两解（△ ABC, △ ABC均满足题设）.跟踪训练 1 解a= , b= 6, a<b, A= 30° <90°又因为b sin A= 6sin 30 ° = 3, b sin A< a< b, 所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得b sin A sin B—a6sin30 °—2 3―2，因为b>a, B>A B€(0 ° ,180° ), 所以B= 60°或120°.当B—60°时，C—90°,c —a2+ b2—4.3;当B—120° 时，C—30°,c—a—2 3.所以B= 60°,C—90°, c — 4 3或B—120°, C—30°, c—2.3.例 2 解■/ a= 2b sin A由正弦定理，得sin A= 2sin B sin A,又T A€ (0 ,寺),sin A M0,• sin B= 2. T B为锐角，• B=nn.2 6令y = cos A+ sin C=cos A+ sin [ n —B+ A ]n n=cos A+ sin cos A+ cos sin A6 6由锐角△ ABC知,〒< 3sin i A +n所以 A= n - 3B>0,所以 0<B <§, 所以 1<cos B <1,所以 1<2cos B<2,又b = sjn_C =空晋=2cos B , b sin B sin Bc U<21b• C = 60° 或 120°. ①当 0= 60° 时，A = 90°,S MB = 2x x 1 —2 ； ②当 0= 120° 时，A = 30° S ^ABC = 2 x1 x sin 30nnp - f,跟踪训练3 D [B = 180°A- 0= 180°- 30°- 45°= 105°, 由正弦定理，得 a si n b = B 「= _ x sin A 1 42 1 .6 + ,2 6+ ,2 1 •- S ^ABC = g ab s in 0= 2 x 1xT x sin 45 ] 4 .]••• cos A + sin C 的取值范围是3.跟踪训练2 解因为A + B + 0= n,C = 2B ,所以 •/ 0° 1解由正弦定理，得丽一• sinC=f .sin C 2<0<180°, ABAC • 0>B ,例4 1跟踪训练4 B 当堂训练1. C2.B3. _3 ~2。

2017-2018学年高中数学第二章解三角形 10 正弦定理课时作业北师大版必修5

由正弦定理得＝，
即2sin(135°－C)＝ sinC，
即2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝ sinC.
所以cosC＝0，得C＝90°.
又因为B＝45°，所以A＝45°，
从而△ABC是等腰直角三角形．
14．在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；
解析：要使三角形有两解，则asinB<b<a，
即
所以2<x<2 .
答案：(2,2 )
13．(山东曹县一中月考)△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解析：因为lgsinB＝－lg ，
所以sinB＝，
又因为0°<B<90°，所以B＝45°，
由lga－lgc＝－lg ，得＝ .
解析：在△ABC中，由正弦定理，
有＝，
所以sinC＝＝，所以C＝30°或150°(舍去)．
所以A＝30°，所以a＝c＝ .
答案：
8．(滨州一中月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，b＝2，则＝________.
解析：因为A，B，C成等差数列，
所以A＋C＝2B，
|
11．在△ABC中，A：B：C＝4：1：1，b＝1，则a为()
A．3 B．2
C. D.
解析：∵A：B：C＝4：1：1
∴A＝4α，B＝α，C＝α
∴A＋B＋C＝6α＝180°
∴α＝30°，
∴A＝120°，B＝30°，
由正弦定理得＝
∴ ＝，∴a＝ .
答案：D
12．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．

第二章用余弦定理正弦定理解三角形【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

平线平行,得α=β.
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,
当堂检测
反思感悟 1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解
决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
sin
B之间的
m,达到点B.
距离.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
南偏西44°50'方向上
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的(
)
答案(1)C (2)等腰直角三角形
第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形
冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100 m.
如果甲从A出发,以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙
从B出发,以7 m/s 的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思

高中数学解三角形精选题目(附答案)

高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ，即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

高中数学必修二课件：余弦定理、正弦定理习题课

A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝
(A ) A．1
B．2
C．3
D．4
13 ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
解析设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝ 13 ， ∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝12，所以C＝π3 .
(2)由已知，得12absin
C＝3
2
3 .
π 又C＝ 3 ，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析 (1)因为cos A＝35，A∈(0，π)，所以sin A＝45. 又由A→B·A→C＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsin A＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2 5.
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( A )
A．－14
1 B.4
C．－23
＝ac，c＝2a，则cos B＝____4____．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A＝
3 5
，
A→B·A→C＝3.
方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

2018年高考数学专题17正弦定理和余弦定理及解三角形热点题型和提分秘籍理

专题17 正弦定理和余弦定理及解三角形1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【变式探究】 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。

若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。

答案：（1）A （2）45【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．120° D．150°热点题型二判断三角形的形状例2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。

高中数学必修二第1课时余弦定理、正弦定理 (2)

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理、正弦定理基础过关练题组一余弦定理1.△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=( )A.√2B.√3C.2D.32.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.1523.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.150° B.90° C.135°D.120°4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=( ) A.π2B.π3C.π4D.π65.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形( )A.无解B.有一个解C.有两个解D.解的个数不确定6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC 的周长等于( ) A.12 B.20 C.26 D.10√37.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010 D .-3√10108.(2019山东菏泽一模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=√2,cos A=-√24,则b 的值为 .9.在△ABC 中,abca 2+b 2+c 2(cosA a+cosB b+cosC c)= .10.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为 . 11.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,且∠DAC=90°,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3.求BD 的长.12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2A+B-cos22C=1.(1)求C的大小;的值.(2)求cb题组二正弦定理13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a<bsin AD.a≥bsin A14.(2020安徽淮北师范大学附属实验中学高二上期末)在△ABC中,AC=2√2,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为()A.12πB.8πC.16πD.4π15.在△ABC中,a=2√3,b=2√2,∠B=45°,则∠A=()A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°16.(2020北京西城高三上期末)在△ABC中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=()A.4B.2√2C.2√3D.2√617.(多选)(2019山东济南高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°18.△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若3b ·cos C=c(1-3cos B),则c ∶a=( ) A.1∶3 B.4∶3 C.3∶1D.3∶219.(2020湖北名师联盟高三上期末)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,则cos A= .20.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为 . 21.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4.(1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a=2√3,tan A+B2+tan C2=4,sinBsin C=cos2A2.求A,B及b,c.题组三利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状23.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形24.(2020湖南大学附属中学高二上期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定25.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形26.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定27.(多选)在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC的形状为(易错)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形能力提升练题组一利用余弦定理、正弦定理解三角形1.(2020河南洛阳高二上期末,)在△ABC中,已知A=60°,a=2√3,b=2,则B=(易错)A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°2.()在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶6,则sin B等于()A.2√149B.√149C.√115D.2√1153.(2020河北石家庄高一期中,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ab =sinBcosC,且sin(A-C)=sin B-34,则sin B=.4.()如图所示,设P是正方形ABCD内部的一点,P到顶点A,B,C的距离分别是1,2,3,求正方形的边长.深度解析题组二利用余弦定理、正弦定理求最值或取值范围5.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)△ABC的内角A,C的对边分别为a,c,若∠C=45°,c=√2,且满足条件的三角形有两个,则a的取值范围为()A.(√22,1) B.(√2,2) C.(1,2) D.(1,√2)6.(2020安徽阜阳高二上期末,)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2=√3ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.(√32,32) B.(√22,2) C.(12,32) D.(√3,2)7.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二上月考,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca =cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为()A.3B.3+3√2C.4D.4+4√28.(2020辽宁锦州高一期末,)锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是.9.(2020山西大同第一中学高三线上考试,)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,则asin C=,a+b的取值范围是.题组三余弦定理、正弦定理的综合应用10.(2020广东深圳中学高一上期末,)秦九韶是我国南宋著名的数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S=√14[a2c2-(a2+c2-b22)2].若c2sin A=4sin C,B=π3,则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为()A.√3B.2C.2√3D.411.(2020辽宁沈阳一中高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2),p=(c,cos C2)共线,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若lg a-lg c=lg sin B=-),则△ABC的形状是()lg√2,且B∈(0,π2A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形13.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则B=.14.(2019天津,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;)的值.(2)求sin(2B+π6答案全解全析基础过关练1.B 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=12+22-2×1×2×12=3,所以b=√3(负值舍去),故选B.2.C∵cos C=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=-12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos C=3×5×(-12)=-152.故选C.3.D 设长度为5、7、8的边所对的角分别为角A 、B 、C,由三角形的性质易知A,C 分别为最小角,最大角,B 为中间角,所以B 为锐角,因为cos B=52+82-722×5×8=12,所以B=60°,所以A+C=120°.故选D.4.A 由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a 2+b 2-c 2=ab,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C=π3.因为sin A=12,A ∈(0,π),所以A=π6或A=5π6.当A=π6时,B=π2;当A=5π6时,A+C>π,不合题意.故选A.5.C 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得102=152+c 2-2×15×ccos 30°,∴c 2-15√3c+125=0,解得c=15√3±5√72∈(5,25), ∴c 有两解,即△ABC 有两个解,故选C. 6.B 根据cos A=b 2+c 2-a 22bc 及已知得12=b 2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC 的周长等于7+5+8=20.故选B.7.C 设BC 边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.在△ABC 中,由余弦定理的推论,知cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =2222×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.8.答案 1解析由余弦定理的推论可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b =-√24,整理得b 2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去). 9.答案 12 解析原式=abc a 2+b 2+c 2·bccosA+accosB+abcosCabc=bc (b 2+c 2-a 22bc )+ac (a 2+c 2-b 22ac )+ab (a 2+b 2-c 22ab)a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 22(a 2+b 2+c 2)=12.10.答案 7解析由余弦定理的推论及已知得cos A=AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23.设AC 边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=(AC 2)2+AB 2-2·AC 2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC 边上的中线长为7. 11.解析 ∵∠DAC=90°,∴sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD, ∴cos ∠BAD=2√23. 在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD,即BD 2=18+9-2×3√2×3×2√23=3,∴BD=√3.12.解析 (1)∵在△ABC 中,2cos 2A+B 2-cos 2C=1,∴2sin 2 C2-cos 2C=1, ∴cos 2C+1-2sin 2 C2=cos 2C+cos C=0,∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去). 又∵0<C<π,∴C=π3. (2)∵a=3,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理,得c=√a 2+b 2-2abcosC =√9+4-6=√7, ∴c b =√72.13.D 由a sinA =b sinB ,得a=bsinA sinB .在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sinB ≥1,∴a ≥bsin A. 14.D 设△ABC 的外接圆的半径为R, 则由正弦定理可得ACsin ∠ABC =2R, 即2R=2√2sin135°=√2√22=4,所以R=2,所以△ABC 的外接圆的面积S=πR 2=4π.故选D. 15.B由a sinA =bsinB ,得sin A=asinB b =2√3×√222√2=√32,∵0°<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°. 16.D ∵a=6,A=60°,B=75°, ∴C=180°-60°-75°=45°, ∴由asinA =csinC ,得c=asinC sinA =6×sin45°sin60°=2√6.故选D.17.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sin C=csinB b=8√315<1,且c>b,所以角C 有两解.选项C:因为sin B=bsinA a=4√27<1,且b>a,所以角B 有两解.选项D:因为sin B=bsinAa<1,且b<a,所以角B 仅有一解.故选BC.18.C 由3bcos C=c(1-3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化简可得sin C=3sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,∴c ∶a=sin C ∶sin A=3∶1.故选C. 19.答案√63解析 ∵a=3,b=2√6,B=2A,∴由正弦定理可得a sinA =b sinB =b2sinAcosA , ∴cos A=b 2a =2√62×3=√63. 20.答案 2√3-2解析 ∵A=60°,C=45°,∴B=75°,∴最小边长为c.由正弦定理,得2sin75°=csin45°.又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 45°sin 30°=√6+√24,∴c=2sin45°sin75°=2×√22√6+√24=2√3-2.21.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理,得ACsinB =ABsinC ,∴AB=AC ·sinC sinB =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C),∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4) =-cos Bcos π4+sin Bsin π4. 又cos B=45,sin B=35, ∴cos A=-45×√22+35×√22=-√210.∵0<A<π,∴sin A=√1-cos 2A =7√210. ∴cos (A -π6)=cos Acos π6+sin Asin π6 =-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.22.解析由tan A+B 2+tan C2=4, 得tanπ-C 2+tan C2=4, 即sin π-C2cos π-C 2+sin C2cos C 2=4, 整理得cos 2 C2+sin 2 C2sin C2cos C2=4,又∵sin C=2sin C2·cos C 2,∴2sinC=4, ∴sin C=12.又C ∈(0,π),∴C=π6或C=5π6.又sin Bsin C=cos 2 A 2=1+cosA 2=1-cos(B+C)2,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos Bcos B+sin BsinC,∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1, ∵B ∈(0,π),∴B-C=0, ∴B=C=π6,故A=2π3. 由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2√3sin 2π3=4,所以b=c=4sin π6=2.故b=c=2,A=2π3,B=π6. 23.C 解法一:由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =a2b ,整理得b 2=c 2,即b=c,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C. 解法二:∵a=2bcos C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcos C. 又∵A+B+C=π, ∴sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∵0<B<π且0<C<π,∴-π<B -C<π. ∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.24.B 解法一:由bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,即sin(B+C)=sin 2A,即sin A=sin 2A.易知0<A<π,sin A ≠0,所以sin A=1,即A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B.解法二:由余弦定理的推论及已知得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =a ·sin A,整理得2a 2=2a 2sin A,易知a 2≠0,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B. 25.B 由cos 2 B 2=a+c2c 可得,1+cosB 2=a+c2c ,即cos B=ac .解法一:由余弦定理的推论可得a 2+c 2-b 22ac =ac ,整理,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B. 解法二:由正弦定理可得cos B=sinAsinC ,即cos Bsin C=sin A. 又A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴cos Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, ∴sin B=0或cos C=0. ∵B,C ∈(0,π), ∴cos C=0,C=π2.∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.26.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c)x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 27.AB 解法一:∵acos A=bcos B,∴由余弦定理的推论得,a ·b 2+c 2-a 22bc =b ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0, ∴c 2(a 2-b 2)+(b 2+a 2)(b 2-a 2)=0, ∴(b 2-a 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴b 2=a 2或a 2+b 2-c 2=0, ∴b=a 或∠C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选AB.解法二:由正弦定理及已知,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 因为2A,2B ∈(0,2π), 所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选AB. 易错警示注意区分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的区别.能力提升练1.A 由asinA =bsinB ,得sin B=bsinA a =2√3=12, ∵b<a,∴B<A,∴B=30°,故选A. 易错警示本题易错选C.要注意题中的隐含条件“b<a,即B<A ”,故B 只能等于30°.2.A 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶6及正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0. 由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =9k 2+36k 2-25k 22×3k×6k =59,则sin B=√1-cos 2B =2√149.3.答案 12解析因为sin(A-C)=sin B-34, 所以sin(A-C)=sin(A+C)-34, 所以2cos Asin C=34.因为2a b =sinBcosC ,所以2sin Acos C=sin 2B, 所以2(sin Acos C+cos Asin C)=sin 2B+34,整理得sin 2B-2sin B+34=0,解得sin B=12或sin B=32(舍去).故答案为12. 4.解析设正方形的边长为x(1<x<3),∠ABP=α,则∠CBP=90°-α.在△ABP 中,cos ∠ABP=x 2+22-124x =x 2+34x ,在△CBP 中,cos ∠CBP=x 2+22-324x =x 2-54x ,又cos 2∠ABP+cos2∠CBP=1,∴(x 2+34x )2+(x 2-54x )2=1,即x 4-10x 2+17=0,∴x 2=5+2√2或x 2=5-2√2.如果x 2=5-2√2,那么AC=√10-4√2<3,∴点P 到点C 的距离不可能为3,∴x 2=5-2√2舍去,∴x=√5+2√2,即正方形的边长为√5+2√2. 主编点评当已知条件中边的关系较多时,可考虑用余弦定理,同时方程思想的运用在本题中得到了充分的体现.5.B 因为满足条件的三角形有两个,所以asin C<c<a,所以√22a<√2<a,所以√2<a<2. 6.A 由题意得a 2+c 2-b 2=√3ac, ∴由余弦定理的推论得cos B=√3ac 2ac =√32. 又B 为锐角三角形ABC 的内角,∴B=π6.∴cos A+sin C=cos A+sin (5π6-A)=√32sin A+32cos A=√3sin (A +π3).∵△ABC 为锐角三角形,∴{0<A <π2,0<5π6-A <π2, ∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<√32,∴√32<√3sin (A +π3)<32.故cos A+sin C 的取值范围为(√32,32).7.D 根据余弦定理的推论得b+c a =cos B+cos C=a 2+c 2-b 22ac +a 2+b 2-c 22ab ,整理得2b 2c+2bc 2=a 2b+bc 2-b 3+a 2c+b 2c-c 3,即b 2c+bc 2=a 2b+a 2c-(b 3+c 3),所以(b+c)(b 2+c 2-a 2)=0,所以b 2+c 2=a 2,所以A=90°,sin A=1,则bc=8,所以a+b+c=√b 2+c 2+(b+c)≥√2bc +2√bc =4+4√2,当且仅当b=c=2√2时取等号,所以△ABC 的周长的最小值为4+4√2.故选D.8.答案 4;(2√2,2√3)解析因为C=2A,所以sin C=2sin Acos A,由正弦定理得c=2acos A,所以c cosA =2a=4.因为△ABC 是锐角三角形,所以C=2A ∈(0,π2),B=π-A-C=π-3A ∈(0,π2),所以A ∈(π6,π4),所以cos A ∈(√22,√32),所以c=4cos A ∈(2√2,2√3).9.答案 √3;(1+√3,4+2√3)解析由正弦定理,可得asin C=csin A=2sin π3=√3.由a sinA =b sinB =c sinC ,可得a=c ·sinA sinC =√3sinC ,b=c ·sinB sinC =2sin (2π3-C )sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinC sinC=1+√3(1+cosC)sinC =1+2√3cos 2 C 22sin C 2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得0<C<π2,0<2π3-C<π2,所以π6<C<π2, 所以π12<C 2<π4,所以2-√3<tan C 2<1.所以1<1tan C 2<2+√3, 所以1+√3<1+√3tan C 2<4+2√3,即1+√3<a+b<4+2√3.10.A 因为c 2sin A=4sin C,所以c 2a=4c,即ac=4.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-4,所以a 2+c 2-b 2=4. 所以S △ABC =√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2]=√14[42-(42)2]=√3.故选A.11.A ∵向量m=(a,cos A 2),n=(b,cos B 2)共线,∴acos B 2=bcos A 2.由正弦定理得sin Acos B 2=sin Bcos A 2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2=2sin B 2cos B 2·cos A 2.∵cos A 2≠0,cos B 2≠0,∴sin A 2=sin B 2.∵0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B 2,即A=B,同理可得B=C,∴△ABC 为等边三角形.故选A.12.C ∵lg a-lg c=lg sin B=-lg √2,∴a c =sin B=√22.∵B ∈(0,π2),∴B=π4.由正弦定理,得a c =sinA sinC =√22,∴sin C=√2sin A=√2sin (3π4-C)=√2(√22cosC +√22sinC),化简得cos C=0,∵C ∈(0,π),∴C=π2,∴A=π-B-C=π4,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选C.13.答案 π6解析 ∵m ⊥n,∴√3cos A-sin A=0,∴tan A=√3.又0<A<π,∴A=π3.∵acos B+bcos A=csin C,∴由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C, ∴sin(A+B)=sin 2C,∴sin C=sin 2C.又sin C ≠0,∴sin C=1,∴C=π2,∴B=π6.14.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,所以b=43a,c=23a.由余弦定理的推论可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a =- 14. (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78, 故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B ·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.。

2019年高中数学第二章解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理达标练习北师大版

2.1.1 正弦定理[A 基础达标]1．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B ．π6C.π3或2π3D ．π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sinA ≠0，sinB ＝32，所以B ＝π3或2π3. 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( ) A ．3∶2∶1 B ．3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D.因为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，所以a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 3．符合下列条件的△ABC 有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° B ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 C ．b ＝c ＝1，B ＝45°D ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°解析：选C.对于A ，由正弦定理得1sin 30°＝2sin B ，所以sin B ＝22.又a <b ，所以B ＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B ，a ＋b ＝c ，构不成三角形．对于C ，b ＝c ＝1，所以B ＝C ＝45°，A ＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D ，a <b ，所以A <B ，而A ＝100°，所以没有满足条件的三角形． 4．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tanB ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sinB cos B ＝sin A sin 2Bcos A .因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a的值为( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3D ． 2解析：选D.由正弦定理，得sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 所以sinB ＝2sin A ．所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于__________．解析：由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin Bsin C＝1×2232＝63. 答案：637．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________．解析：在△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52b ，A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝52sin B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝54. 答案：548．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案：29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C 的大小．解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ．所以sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.10．在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解：由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，得a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]，所以a 2·cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．由正弦定理，得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B .因为0<A <π，0<B <π，所以sin A >0，sin B >0，0<2A <2π，0<2B <2π，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[B 能力提升]11．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 3解析：选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC <BC sin B ，即12<k sin 60°，即k >83时，三角形无解；当AC ＝BC sin B ，即12＝k sin 60°，即k ＝83时，三角形有一解；当BC sin B <AC <BC ，即32k <12<k ，即12<k <83时，三角形有两解；当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形有一解．综上，0<k ≤12或k ＝83时，三角形有一解．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为__________．解析：由1＋tan A tan B ＝2cb可得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2c b，由正弦定理可得1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B整理得sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝2sin Csin B ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，又因为0<A <π，所以A ＝π3.答案：π313．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.14．(选做题)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin Bsin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状； (2)求a ＋cb的取值范围．解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，得a ＋b a ＝bb －a，所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2. 所以△ABC 是直角三角形．(2)由第一问知B ＝π2，所以A ＋C ＝π2，所以C ＝π2－A .所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin Csin B＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2.所以22＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4<1，所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4<2，即a ＋cb的取值范围是(1， 2 )．。

应用正弦定理和余弦定理解三角形-2018原创精品之高中数学(文)黄金100题系列+Word版含解析 (1)

第 35题应用正弦定理和余弦定理解三角形 I．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC中，cmccmbcma15,10,9，解三角形．

【解析】由余弦定理得：bcacbC2cos222

=109215109222=-4511=-0．2444，∴C≈104°， ∴BA,都是锐角，由正弦定理得

ABsin9sin10104sin15，[KS5UKS5U]

∴15104sin10sinB=0．6468，∴B=40°， ∴CBA180=36°．

精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第10页A组第4题（1）．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形．【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角．

II．考场精彩·真题回放【例2】【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角

形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则

下列等式成立的是 A．2ab B．2ba C．2 D．2 【答案】A 【解析】sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A．【例3】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，

【命题意图】本类题问题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查考生运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．

【难点中心】解答此类问题的关键是正余弦定理，注意确定一解还是两解． BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【答案】1510,24 【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBCBFCD，△ABE中，

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1.2 余弦定理
课后篇巩固探究
A组

1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos C=,则边c长为 ( )

A.2 B.3 C. D.
解析:因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.
答案:B
2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,
所以三角形的形状为等边三角形,故选C.
答案:C

3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°

解析:由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cos C==-,得
C=150°,故选D.
答案:D
4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为( )

A.4 B.6 C.5 D.6

解析:因为S△ABC=acsin B=·c·sin 45°=c=2,
所以c=4.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25,所以b=5.
所以△ABC外接圆直径2R==5.
- 2 -

答案:C
5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是,则△ABC的面积是( )

A. B. C. D.
解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin A=.
又A>B>C,所以A=120°,
所以cos A=-,即=-,
所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.
所以a=7,b=5,c=3,A=120°.

S△ABC=bcsin A=×5×3×.
答案:A
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=,则c= .

解析:因为cos B=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2,所以c=4.
答案:4
7.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4bc,则sin A的值
为 .

解析:由已知得b2+c2-a2=bc,于是cos A=,从而sin A=.

答案:
8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则= .
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,

则=ca·cos B=ca·
- 3 -

=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.
答案:19
9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解(1)由b2=a2+c2-2accos B,

得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.

(2)在△ABC中,sin B=,
由正弦定理得sin A=.
因为a=c,所以A为锐角,
所以cos A=.

因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
10.导学号33194039已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且≤A≤.
(1)求角A的大小;
(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解(1)因为p∥q,所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos 2A-2cos2A=0,

所以1+2cos 2A=0,所以cos 2A=-.

因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.
- 4 -

又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.
联立可得解得

所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.
B组

1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=( )

A. B. C. D.
解析:由S=(a2+b2-c2),得absin C=×2abcos C,
所以tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.
答案:A
2.在△ABC中,若sin A-sin A·cos C=cos Asin C,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin Acos C=cos Asin C可化为

a·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.
答案:B
3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1,则角A的范围是( )

A. B.
C. D.
解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cos
A=,所以0答案:A
- 5 -

4.在△ABC中,若边长和内角满足a2-b2=bc,=2,则A= .
解析:因为=2,
所以c=2b.
又a2-b2=bc,所以cos A=,又A∈(0,π),所以A=.
答案:
5.已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对边分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos
C
的值为 .
解析:bccos A+accos B+abcos C

=bc·+ac·+ab
·

=(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c
2
)

=(a2+b2+c2)=.
答案:
6.导学号33194040已知点O是△ABC的重心,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
且2a·+b·c·=0,则角C的大小是 .

解析:因为点O是△ABC的重心,所以=0,
又因为2a·+b·c·=0,所以2a=b=c=k(k>0),从而a=,b=k,c=k,由余

弦定理得cos C=,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.
答案:
7.导学号33194041在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=3.
- 6 -

(1)求cos C的值;
(2)若,且a+b=9,求c.

解(1)因为tan C=3,所以=3,
又因为sin2C+cos2C=1,解得cos C=±,
由tan C>0知,C为锐角,所以cos C=.
(2)由,得abcos C=,即ab=20.
又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=41-2×20×=36,故c=6.

8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.

解(1)由余弦定理知,cos B=,cos C=.
将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.
所以cos B==-=-.
因为B为三角形的内角,所以B=.
(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accos B,即b2=(a+c)2-2ac-2accos B得,
13=16-2ac,所以ac=3.
- 7 -

所以S△ABC=acsin B=.