山西省2016届高三假期综合练习(五)数学(理)试题 PDF版含答案
高三数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．246．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，s in15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．487．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P、Q，求出P∩Q即可．【解答】解：P={x||x|＜3，且x∈Z}={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}={x|0≤x≤3，且x∈N}={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得si nθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：y=0时， =1不成立，即可判断出真假；命题q：由于函数f（x）在R 上单调递增，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若x，y∈R，x=y，则=1，y=0时不成立，因此是假命题；命题q：若函数f（x）=e x，由于函数f（x）在R上单调递增，则对任意x1≠x2都有＞0成立，是真命题．因此在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是②④．故选：D．4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出向量•的值，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵•（+）=2，∴•+2=2，即•=﹣2+2=2﹣1=1则cos＜，＞==，则＜，＞=，故选：D5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．故选：B．6．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆C：（x﹣c）2+y2=4a2的圆心为（c，0），半径为2a，由直线和圆相切的条件可得，=b=2a，可得c==a，即有e==．故选：C．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为﹣1 ．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由于（2x﹣1）dx==6，化简解得m．令x=1，即可得出二项式（1﹣2x）3m展开式各项系数和．【解答】解：∵（2x﹣1）dx==6，化为：m2﹣m﹣（1﹣1）=6，m＞1，解得m=3．令x=1，则二项式（1﹣2x）3m即（1﹣2x）9展开式各项系数和=（1﹣2）9=﹣1．故答案为：﹣1．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【考点】几何概型．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，k FN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故答案为：4．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为②．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆命题的定义结合方程根的关系进行判断．②根据三角函数的周期公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据函数与方程的关系进行判断．④根据幂函数的定义和性质进行判断．⑤根据向量夹角和数量积的关系进行判断．⑥构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是若a≤，则方程ax2+x+1=0有两个实数根，当a=0时，方程等价为x+1=0，则x=﹣1，此时方程只有一个根，故①错误；②f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，若“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”，则，则|a|=1，则a=±1，则充分性不成立，反之成立，即“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件正确，故②正确，③由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，作出两个函数y=2x和y=x2的图象如图，由图象知两个函数交点个数为3个，故③错误；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0），错误，当a＜0时，函数的图象不过点（0，0），故④错误，⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”且≠λ，λ＜0；故⑤错误，⑥设f（x）=sinx﹣x，则函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是奇函数，∵f（0）=sin0﹣0=0，∴f（x）=0的根只有一个0，解集方程sinx=x有一个实根．故⑥错误，故正确的是②，故答案为：②三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．（Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）=，【分析】而由x的X围可以求出x+的X围，从而可得出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（A）=2即可求得A=，从而由余弦定理和不等式a2+b2≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）；∵；∴；∴；∴f（x）的值域为[1，2]；（Ⅱ）∵f（A）=2，∴；在△ABC中，∵0＜A＜π，∴；∴；∴|AB||AC|=|AB|2+|AC|2﹣1≥2|AB||AC|﹣1；∴|AB||AC|≤1；∴；∴的最大值为．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表某某息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表某某息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为ξ29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．运用面面垂直的性质定理，可得DO⊥平面ABC，又直线AE⊥平面ABC，可得AE∥DO，运用线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接AO，运用线面平行和线面垂直的性质，求得OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求得O，A，B，E的坐标，假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，求得P的坐标，求得平面PBE，ABE 的法向量，运用向量的夹角公式，计算可得P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD=BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD=CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO=a，因为BC=2，所以，所以．在△ACD中，AC=2．所以AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2=1，a=1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，即有=+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为={x，y，z}，由=（0，0，1），=（，﹣1，0），则，即，取x=1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为={x，y，z}，则，取x=1+λ，则平面PBE的一个法向量为=（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ===，化简得6λ2+λ﹣1=0，解得λ=或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令g（x）=x2﹣（a+2）x+1，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数F（n）=2lnn+n ﹣，（n＞e），根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（Ⅱ）证明：，令：g（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣m）（x﹣n）=0，所以：m+n=a+2，mn=1，若f（x）在内有极值点，不妨设0＜m＜，则：n=＞e，且a=m+n﹣2＞e+﹣2，由f′（x）＞0得：0＜x＜m或x＞n，由f′（x）＜0得：m＜x＜1或1＜x＜n，所以f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减；（1，n）递减，（n，+∞）递增当x1∈（0，1）时，；当x2∈（1，+∞）时，，所以：=，n＞e，设：，n＞e，则，所以：F（n）是增函数，所以，又：，所以：．【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F 四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，【解答】解：（1）当时，由，得，所以直线方程为，由，得曲线C的普通方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8=0，所以，，所以M的坐标为（2）把直线的参数方程代入，得：，所以，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：，所以，，所以，所以．所以直线L的斜率为±．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值X围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的X围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得。
山西省2016届高考假期综合练习(二)英语试题 PDF版含答案
2016届山西高考假期综合练习2英语参考答案及评分标准选择题答案1~5 BCBAC 6~10 CBBCA 11~15 CAABA 16~20 CBBAC21~23 BCC 24~27 ABDA 28~31 BDDB 32~35 CADD36-40 DCFGA 41~45 BDCAB 46~50 DADCB 51~55 ADCAB56~60 DCADB非选择题参考答案评分要求：严格按照标准答案评判。
完全正确给分，否则不给分。
拼写错误、名词单复数、大小写、词性错误等，都视为错误。
61. or 62. responsible 63. humans 64. Though/Although65. ourselves 66. up 67. opened 68. expectation69. trying 70. best短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）Life is full of ups and downs but it is never too easy to achieve success. As the English sayingandwent, “Failure is the mother of success.” I was asked to play in a table tennis match last term.goesAfter the match, I was confident I would win. However, I failed. How sadly I was! Luckily, my Before sadP.E. teacher helped me out. He told me not to lose my heart. He also helped me∧my skills.withWith her help, my confidence returned and I came up with several new idea. The next day, thoughhis ideasI had to play against another more skillful boy, I beat him! So don’t be afraid of failure. If we canskilleddeal with it good, failure can be the mother of success。
2016全国三卷理科数学高考真 题及答案
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题 未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13） （14） （15） （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
的最大值为A. （Ⅰ）求f＇（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明
≤2A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题 卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点. （I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
（13）若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为_____________. （14）函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。 （15）已知f(x)为偶函数，当
时，
，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。 （16）已知直线
解：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即， 解得． （18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，，， ， . 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用 线性回归模型拟合与的关系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知， ，，，， ，，. 设为平面的法向量，则，即，可取， 于是.
2016年全国3卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅲ卷)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
2016届山西省太原五中高考数学二模拟试卷(理科)(4月份)解析版
2016年山西省太原五中高考数学二模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•太原校级二模）若复数满足（3﹣4i）z=|4+3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．2．（5分）（2016•太原校级二模）设集合P={x|x2+2x﹣8≤0}，，则P∩Q=（）A．B． C． D．3．（5分）（2016•太原校级二模）下列命题中假命题的是（）A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），e x＞x+1C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx04．（5分）（2016•太原校级二模）由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（）A．[（1﹣y）﹣y]dy B．[（﹣x+1）﹣x]dxC．[（1﹣y）﹣y]dy D．x﹣[（﹣x+1）]dx5．（5分）（2016•太原校级二模）向量与向量的夹角为π，，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（）A．（﹣7，8）B．（9，﹣4）C．（﹣5，10）D．（7，﹣6）6．（5分）（2016•太原校级二模）己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．7．（5分）（2009•湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（）A．B．C． D．8．（5分）（2016•太原校级二模）△DEF的外接圆的圆心为O，半径R=4，如果，且，则向量在方向上的投影为（）A．6 B．﹣6 C． D．9．（5分）（2010•山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种10．（5分）（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C． D．11．（5分）（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．312．（5分）（2016•太原校级二模）已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016•太原校级二模）太原五中是一所有着百年历史的名校，图1是某一阶段来我校参观学习的外校人数统计茎叶图，第1次到第14次参观学习人数依次记为A1，A2，…，A14，图2是统计茎叶图中人数在一定范围内的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是．14．（5分）（2016•太原校级二模）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，则a的值为．15．（5分）（2016•太原校级二模）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，，则球O的表面积为．16．（5分）（2016•太原校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，切圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2010•湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．18．（12分）（2016•太原校级二模）现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．（1）求这4个人恰好有1个人去A地的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．19．（12分）（2016•河南校级二模）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20．（12分）（2016•太原校级二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1：+=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：+为定值．21．（12分）（2016•太原校级二模）设函数f（x）=e x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g （x）．（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a=1时，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1＞0，x2＞0），且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离；（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•湖北模拟）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•太原校级二模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N，P（﹣2，﹣4）．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•太原校级二模）函数f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|．（1）解不等式f（x）＜0；（2）若m，n∈R+，，求证：n+2m﹣f（x）＞0恒成立．2016年山西省太原五中高考数学二模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•太原校级二模）若复数满足（3﹣4i）z=|4+3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i）z=|4+3i|，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），∴z=，z的虚部为．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016•太原校级二模）设集合P={x|x2+2x﹣8≤0}，，则P∩Q=（）A．B． C． D．【分析】求出P与Q中不等式的解集确定出P与Q，找出两集合的交集即可．【解答】解：P={x|x2+2x﹣8≤0}=[﹣4，2]，=（，9），则P∩Q=（，2]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2016•太原校级二模）下列命题中假命题的是（）A．∃x0∈R，lnx0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），e x＞x+1C．∀x＞0，5x＞3x D．∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0【分析】根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可．【解答】解：对于A：比如x0=时，ln=﹣1，是真命题；对于B：令f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1＜0，f（x）递减，∴f（x）＞f（0）=0，是真命题；对于C：函数y=a x（a＞1）时是增函数，是真命题，对于D：令g（x）=x﹣sinx，g′（x）=1﹣cosx≥0，g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，是假命题；故选：D．【点评】本题考查了命题的判断，考查函数的性质，是一道基础题．4．（5分）（2016•太原校级二模）由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（）A．[（1﹣y）﹣y]dy B．[（﹣x+1）﹣x]dxC．[（1﹣y）﹣y]dy D．x﹣[（﹣x+1）]dx【分析】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练进行图形的转换，掌握定积分几何意义，不难得到正确的答案．【解答】解：如图，由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积S=∫0[（1﹣x）﹣x]dx，即∫0[（1﹣y）﹣y]dy．故选C．【点评】考查学生会利用导定积分几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力．定积分就是求函数F（X）在区间（a，b）中图线下包围的面积．即y=0 x=a x=b y=F（X）所包围的面积．5．（5分）（2016•太原校级二模）向量与向量的夹角为π，，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（）A．（﹣7，8）B．（9，﹣4）C．（﹣5，10）D．（7，﹣6）【分析】向量与向量夹角为π，可设=（﹣3k，4k），其中k＜0．由向量模的公式列式可解出k=﹣2，从而得到=（6，﹣8）．再根据向量的起点A的坐标（1，2），可得向量的终点B的坐标．【解答】解：∵向量与向量的夹角为π，∴设=k，其中k＜0由此可得，解之得k=﹣2（舍2）∴=（6，﹣8）由点A的坐标是（1，2），设B（m，n），得=（m﹣1，n﹣2）=（6，﹣8）则有，解之得m=7，n=﹣6∴点B的坐标为（7，﹣6），故选：D【点评】本题给出一个向量的模的大小，且和已知向量反向的情况下求向量的坐标，着重考查了平面向量的坐标运算和向量模的公式等知识，属于基础题．6．（5分）（2016•太原校级二模）己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）（2009•湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（）A．B．C． D．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求．∵k OB=﹣，k OA=，∴tan∠BOA=||=1，∴∠BOA=．∴劣弧AB的长度为2×=．故选B．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．8．（5分）（2016•太原校级二模）△DEF的外接圆的圆心为O，半径R=4，如果，且，则向量在方向上的投影为（）A．6 B．﹣6 C． D．【分析】由便可得出DO经过EF的中点，从而有DO⊥EF，而连接OF便可得到△DOF为等边三角形，这样即可得到∠DFE=30°，根据DF=4即可求出EF的值，从而计算便可求出在方向上的投影．【解答】解：如图，由得，；∴DO经过边EF的中点；∴DO⊥EF，连接OF，∵=4；∴△DOF为等边三角形；∴∠ODF=60°；∴∠DFE=30°，且；∴在方向上的投影为．故选：B．【点评】考查向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，三角函数的定义，以及一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．9．（5分）（2010•山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位，对于排列有影响要分两类：一类为甲排在第一位共有A44种，另一类甲排在第二位共有A31A33种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A44=24种，另一类甲排在第二位共有A31A33=18种，∴故编排方案共有24+18=42种，故选B．【点评】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”．10．（5分）（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C． D．【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．11．（5分）（2016•太原校级二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．12．（5分）（2016•太原校级二模）已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）﹣f（x2），转化为求在x1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）∴0≤x1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为，∴x1+≥，x1≥，∴≤x1＜．∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）﹣f（x2）=x1f（x1）﹣f（x1）2=﹣（x1+）=x12﹣x1﹣，设y=x12﹣x1﹣=（x1﹣）2﹣，（≤x1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[﹣，）．故选：B．【点评】本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点和方程之间的关系，利用二次函数的单调性是解决本题的关键，综合性强，难度较大．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016•太原校级二模）太原五中是一所有着百年历史的名校，图1是某一阶段来我校参观学习的外校人数统计茎叶图，第1次到第14次参观学习人数依次记为A1，A2，…，A14，图2是统计茎叶图中人数在一定范围内的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是9．【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次参观学习中人数大于等于90的次数，结合茎叶图可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次参观学习中人数大于等于90的次数；根据茎叶图的含义可得人数超过90的次数为9个．故答案为：9．【点评】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．14．（5分）（2016•太原校级二模）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，则a的值为4．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后根据f′（1）=0，f（1）=10可求出a，b的值，再根据函数的单调性进行检验即可确定最后答案．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+b∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10∴f′（1）=2a+b+3=0，f（1）=a2+a+b+1=10解得a=﹣3，b=3或a=4，b=﹣11，当a=﹣3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2≥0，∴x=1不是极值点当a=4，b=﹣11时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（x﹣1）（3x+11），在x=1的左右附近，导数符号改变，满足题意∴a=4故答案为：4．【点评】本题考查函数的极值与其导函数的关系，函数取到极值时一定有导函数等于0，反之不一定成立．15．（5分）（2016•太原校级二模）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，，则球O的表面积为16π．【分析】证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．（5分）（2016•太原校级二模）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，切圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是．【分析】讨论：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．【解答】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=，∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==．故答案为：．【点评】本题考查了两圆相切的性质、椭圆的性质，主要是椭圆的离心率，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2010•湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．【点评】本题主要考查了数列的递推式．对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列．18．（12分）（2016•太原校级二模）现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．（1）求这4个人恰好有1个人去A地的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【分析】（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地旅游的概率为，设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件A i（i=0，1，2，3，4），P（A i）=，由此能求出这4个人恰好有1个人去A地的概率．（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）由题意这4人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地旅游的概率为，设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=，∴这4个人恰好有1个人去A地的概率：P（A1）==．（2）由题意ξ的可能取值为0，3，4，P（ξ=0）=P（A0）+P（A4）==，P（ξ=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（ξ=4）=P（A2）=═，0 3 4Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．19．（12分）（2016•河南校级二模）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A 1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查二面角，空间中两直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20．（12分）（2016•太原校级二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1：+=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：+为定值．【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB为锐角，得到•＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．【解答】解：（1）由题意得：c=1，∴a2=b2+1，又因为点P（1，）在椭圆C上，∴+=1，解得：a2=4，b2=3，则椭圆标准方程为+=1；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵∠AOB为锐角，∴•＞0，即x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，整理得：（1+k2）•+2k•+4＞0，即＞0，整理得：k2＜，即＜k2＜，解得：﹣＜k＜﹣或＜k＜；（3）由题意：C1：+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=﹣=﹣，∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），化简得：x2x+y2y=④，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，把P点的坐标代入④、⑤得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．【点评】此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21．（12分）（2016•太原校级二模）设函数f（x）=e x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g （x）．（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a=1时，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1＞0，x2＞0），且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离；（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）、根据题意先求出函数F（x）的函数表达式，再求出其导函数F′（x），令F′（0）=0便可求出a的值；（Ⅱ）、根据题意可知（x1）=g（x2），令h（x）=x2﹣x1=e x+sinx﹣x，求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离；（Ⅲ）、令φ（x）=F（x）﹣F（﹣x），求出其导函数，便可求出φ（x）的单调性，进而可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）F（x）=e x+sinx﹣ax，F′（x）=e x+cosx﹣a．因为x=0是F（x）的极值点，所以F′（0）=1+1﹣a=0，a=2．（2分）又当a=2时，若x＜0，F'（x）=e x+cosx﹣a＜0；若x＞0，F'（x）=e x+cosx﹣a＞0．∴x=0是F（x）的极小值点，∴a=2符合题意．（4分）（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x轴，由f（x1）=g（x2）得：，所以．令h（x）=e x+sinx﹣x，h′（x）=e x+cosx﹣1＞0，当x＞0时恒成立．∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1．∴|PQ|min=1．（9分）（Ⅲ）令φ（x）=F（x）﹣F（﹣x）=e x﹣e﹣x+2sinx﹣2ax．则φ′（x）=e x+e﹣x+2cosx﹣2a．S（x）=φ′′（x）=e x﹣e﹣x﹣2sinx．因为S′（x）=e x+e﹣x﹣2cosx≥0当x≥0时恒成立，（11分）所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，（12分）∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立；因此函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，φ′（x）≥φ′（0）=4﹣2a当x∈[0，+∞）时恒成立．当a≤2时，φ′（x）≥0，φ（x）在[0，+∞）单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0．故a≤2时F（x）≥F（﹣x）恒成立．（13分）【点评】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，是各地高考的热点和难点，属于中档题，同学们要加强训练．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•湖北模拟）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．（1）求证：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求BF的值．【分析】（1）连接CD，证明△ABD∽△DCE，即可证明：=（2）若BD=3，EC=2，CA=6，求出DE，证明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．【解答】（1）证明：连接CD，则∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，=，∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE=∠ABD，∴△ABD∽△DCE，∴=．（2）解：∵=，BD=3，∴BD=CD=3，∠CBD=∠BCD，∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，∴∠CDE=∠CBD，DE2=EC•EA=16，∴DE=4，∴∠CDE=∠BCD，∴DE∥BC，∴∠E=∠ACB=∠ADB，∴△DCE∽△BFD，∴，∴BF==．【点评】本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•太原校级二模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N，P（﹣2，﹣4）．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x﹣2．（2）点P（﹣2，﹣4）在直线l上，可得直线l的标准方程：，代入抛物线方程可得：m2﹣m+4a+32=0，|PM|=m1，|PN|=m2，|MN|=|m1﹣m2|=，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|MN|2=|PM|•|PN|，即可得出．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），可得直角坐标方程：y2=2ax（a＞0）．直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y=x﹣2．（2）点P（﹣2，﹣4）在直线l上，可得直线l的标准方程：，代入抛物线方程可得：m2﹣m+4a+32=0，△=﹣4（4a+32）=2a2+16a＞0，（a＞0）．∴m1+m2=，m1m2=4a+32．|PM|=m1，|PN|=m2，|MN|=|m1﹣m2|===．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，∴2a2+16a=m1m2=4a+32，化为：a2+6a﹣16=0，a＞0，解得a=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、弦长公式、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•太原校级二模）函数f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|．（1）解不等式f（x）＜0；（2）若m，n∈R+，，求证：n+2m﹣f（x）＞0恒成立．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据基本不等式的性质，利用1的代换，先求出n+2m的最小值，利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最大值，进行比较即可．【解答】解：（1）由f（x）＜0得f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|＜0，即|x+1|＜|x﹣2|，平方得x2+2x+1＜x2﹣4x+4，即6x＜3，得x＜，即不等式的解集为（﹣∞，）．（2）∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（+）=4+1++≥5+2=5+4=9，∴n+2m≥9﹣2=7，当且仅当+=，即n+1=2（2m+1）时取等号，∴n+2m的最小值为7，∵f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，∴f（x）的最大值为3，则n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m﹣f（x）＞0恒成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用基本不等式以及绝对值不等式的性质求出相应的最值是解决本题的关键．。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
（A） （B） （C） （D）
（2）设 ，其中 是实数，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列 前 项的和为 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（4）某公司的班车在 ， ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（21）（本小题满分12分）
已知函数 有两个零点．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 是 的两个零点，证明： ．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图， 是等腰三角形， ．以 为圆心，
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线 与⊙ 相切；
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。晖军頷损铖榄煬种撵摈賠宽櫬皱鳏趨飩黌埡蕭弳龉鶘鈉縝飆徠賻繭蓟閏贐錳寿袄帐鲍農亏厩壙届线鱿舊赞龅诨銨续呓恽习餓圇权匭姍鋇顓员贺頻轨稅個燜够镍鏽鐘闔鹌兹約侣蜆况脹鍔飯裝饱匮繼谗贱馍党漸啭锴泺媯黄繞橫钫。
（11）平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面
， 平面 ，则 所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 ， 为 的零点， 为
图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
（A）11（B）9（C）7（D）5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。懾圇贄疗锈鎳沒蚀棧屨惭綻釗滄脓玑鲚窑濘盡湊鏇鷥錠閾胆竞繪锖缨肾糁勱萤哝鹩灤詎資纪緱赢诽麩讥鹰鋪鏑竖囂饨斷壇钶钟睾嬷韫薈殮禄阏铈鉻質铪稱悫惨茔俦牵鈣頃赢痙悫鹤担隱遞訟兴踬讽栈涣瀏锣辫闡綢務盜儉謁骄隊。
2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
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绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至3 页，第Ⅱ卷 3 至5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ，则S I T=(A) [2 ，3] (B) （- ，2] U [3,+ ）(C) [3,+ ）(D) （0，2] U [3,+ ）4i（2）若z=1+2i ，则zz 1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量u uvBA1 2( , )2 2,u u u vBC3 1( , ),2 2则ABC=(A)30 0 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低0C，B 点表示四月的平均最低气气温的雷达图。
图中 A 点表示十月的平均最高气温约为150C。
下面叙述不正确的是温约为 51(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于20 C 的月份有 5 个（5）若tan 34 ，则2cos 2sin 2(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)16254 3 1（6）已知 3a 2 ，4b 4 ，3c 25 ，则（A ）b a c （B）a b c（C）b c a（D）c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=2（A ）3 （B）4 （C）5 （D）6（8）在△ABC中，πB = ，BC 边上的高等于413BC ,则cos A=（A）31010 （B）1010（C）10- （D）10-3 1010(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB BC，AB=6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π（B）92 （C）6π（D）323（11）已知O 为坐标原点， F 是椭圆C：2 2x y2 2 1( 0)a ba b的左焦点，A，B 分别为 C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF⊥x 轴.过点 A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点 E.若直线BM 经过OE 的中点，则 C 的离心率为（A ）13 （B）12（C）23（D）343（12）定义“规范01 数列”{a n} 如下：{ a n} 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k 2m ，a1,a2, ,a k 中0 的个数不少于 1 的个数.若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（A ）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第( 13) 题~第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第( 22) 题~第( 24) 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若x，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016届山西省高三高考适应性模拟演练(三)数学(理)试题
2016届山西省高三高考适应性模拟演练（三）数学（理）试题数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数41013i i+-+的共轭复数为（ ） A ．5i + B ．5i -+ C ．5i - D ．5i -- 2. 若集合{}{}2|15,|3,A x x x B y y x x A =<<==-∈，则A B = （ ）A ．()1,2B ．()2,2-C ．()1,5-D ．()2,5-3. ()()1122,,,P x y Q x y 分别为抛物线24y x =上不同的两点,F 为焦点，若2QF PF =，则（ ）A ．2121x x =+B ．212x x =C ．2121y y =+D ．212y y =4. 设A 、B 、C 、D 四点都在同一个平面上，且45AC DC BC +=，则（ ）A ．4AB BD =B ．5AB BD =C ．4AC BD = D ．5AC BD =5. 将函数cos 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 四位男演员和五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）A ．544456452A A A A -B ．54445645A A A A - C ．544455442A A A A - D ．54445544A A A A -7. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，给出下列两个命题： 命题:p 若39,S S 都大于9，则6S 大于11.命题:q 若6S 不小于12,则39,S S 中至少有1个不小于9.那么, 下列命题为真命题的是（ ）A ．q ⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ∧⌝8. 执行如图所示的程序框图, 则输出的y 等于（ ）A ．1-B ．0C ．1021D ．20459. 设0a >,且,x y 满足约束条件390416000ax y x y x a y --≤⎧⎪+-≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩,若z x y =+的最大值为7,则3y x +的最大值为（ ）A ．138 B ．158 C ．37 D ．17810. 某几何体是组合体, 其三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+ D ．16163π+ 11. 设函数2y ax =与函数ln 1x y ax+=的图象恰有3个不同的交点, 则实数a 的取值范围为 （ ） A． B．,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D．⎫⎫⎪⎬⎪⎭⎪⎭12. 已知,n n S T 分别为数列与212n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和, 若101013n S T >+,则n 的最小值为（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数()()()33log 1,03,0x x f x g x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩,为奇函数, 则()2g -= ．14. 设()72345678123456781x x a x a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++,则1234567837153163127255a a a a a a a a +++++++= ．15. 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E 为AB 的中点,3CE =, 异面直线11A C与CE ,且四边形11ABB A 为正方形, 则球O 的直径为 ． 16. 如图, 在ABC ∆中,4AB =, 点E 为AB 的中点, 点D 为线段AB 垂直平分线上一点, 且3DE =.固定边AB ,在平面ABD 内移动顶点C ,使得ABC ∆的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点, 且C 、D 在直线AB 的同侧, 在移动过程中, 当CA CD +取得最小值时,点C 到直线DE 的距离为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且()sin 2sin a c B c A +=.（1）若()sin 2sin A B A +=,求cos C ；（2）求证：BC 、AC 、AB 边上的高依次成等差数列.18. 某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气,对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多,果实偏小，落果增多,对产量影响较大.为此有关专家提出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案,每种方案都需分两年实施.实施方案1：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产童的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5.实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前的1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4实施每种方案第一年与第二年相互独立，令1X 表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数2X 表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数.(1)分别求12,X X 的分布列和数学期望；(2)不管哪种方案，如果实施两年后,脐橙产童不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元.为了实现两年后的平均利润更大,应该选择哪种方案？19. （本小题满分12分）如图, 已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,16AA =, 且1AA ⊥底面ABCD .点,P Q 分别在棱1,CD BC 上, 且12,43DP DD BQ ==.（1）证明：PQ 平面11ABB A ； （2）求二面角P QD A --的余弦值.20. （本小题满分12分）如图,12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点,,D E 是椭圆的两个顶点,12F F = 若点()00,M x y 在椭圆C 上, 则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”. 直线l 与椭圆交于,A B 两点, ,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ,已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值, 求出该定值；若不为定值, 请说明理由. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()()221122,2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈,且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若()()20f x x mx n +-≥ 恒成立, 求m n +的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在O 的直径AB 的延长线上取点P ,作O 的切线,PN N 为切点, 在AB 上找一点M ,使PN PM =,连接NM 并延长交O 于点C .（1）求证：OC AB ⊥；（2）若O 的半径为OM MP =,求MN 的长. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ,过点P 作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为,A B ,求矩形OAPB 的面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式512211a a x x x x-+<+--<对()0,x ∈+∞恒成立. （1）求实数a 的取值范围；（2）不等式11x x a -++≤的解集为A ,不等式428x ≤≤的解集为B ,试判断A B 是否一定为空集？请证明你的结论.山西省2016届高三高考适应性演练（三）数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CDAAD 6-10.ACCDB 11-12.CB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.2- 15.4 16.6- 三、解答题111222,,,222a b c a b c S S S S ah bh h h h h a b c ===∴===,()21122,,a c a c b ac ac b a c b ++=∴=∴+= .222S S Sa cb ∴+=,即2a c b h h h +=,从而BC 、AC 、AB 边上的高依次成等差数列. 18. 解：（1）1X 的可能取值为0.88,1,1.1,1.25,其分布列为10.880.310.3 1.10.2 1.250.2 1.034EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 2X 的可能取值为0.8,1,1.2,1.5,其分布列为20.80.210.3 1.20.2 1.50.3 1.15EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2,根据题意： 利润()()10.30.3120.20.22015.2=+⨯++⨯=(万元),利润()()20.20.3120.20.32016=+⨯++⨯=(万元),∴利润1<利润2,∴实施方案2平均利润更大, 故应该选择方案 2.19. 解：（1）证明：在线段1AA 上取一点M ,使得123AM AA =,连结,PM BM . 11122,3,6,33DP DD A D AD PM AD ===∴ ,又2,,3BQ AD PM BQ ∴∴ 四边形BQPM 为平行四边形,,PQ BM BM ∴⊂ 平面11,ABB A PQ ⊄平面11ABB A ,PQ ∴ 平面11ABB A.（2）由题设知,1,,AA AB AD 两两垂直, 以A 为坐标原点,1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别为()()()()()10,0,0,0,6,0,6,4,0,0,4,4,0,3,6A D Q P D .由题设知,()()16,2,0,0,3,6DQ DD =-=- . 设()1,,n x y z =是平面PQD 的一个法向量, 则1110n DQ n DD ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 即 620360x y y z -=⎧⎨-+=⎩,取6y =,得()12,6,3n = ,又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n = ,所以1212123cos ,7n n n n n n ===,故二面角P QD A --的余弦值为37. 20. 解：（1）由题可得2222c a b c ==⎨⎪-=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ,1212,,,22x x P y Q y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由OP OQ ⊥,即()121204x x y y +=*①当直线AB 的斜率不存在时,112112S x y y =⨯-=. ② 当直线AB 的斜率存在时, 设其直线为()0y kx m m =+≠,联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222418440k x kmx m +++-=,则()222122441641,41m k m x x k -∆=+-=+,同理22122441m k y y k -=+,代入()*,整理得22124m k +=,此时2161m h S ∆=>=∴=.综上,AOB ∆ 的面积为定值1. 21. 解：（1）()()()()221'2221222x f x ax bx a b ax b e x x x x ⎡⎤=++-++-+++-+⎣⎦ ())()2212322x ax a b x a e x x ⎡=+++-+⎣. ()'00f a ∴==,又()010,1f a b b =-+=∴=.（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔->-++⎪⎝⎭ ,整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101011101022x x x x x e x e x x ->⎧-<⎧⎪⎪⎛⎫⎨⎨⎛⎫-++>-++< ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎝⎭⎩或,令()()()()21(1),'(1),'12x x x e x x h x g g x e x x h x e -++==+==--,当0x >时,()'10xh x e =-> ；当0x <时,()'10xh x e =-<,()h x ∴ 在(),0-∞单调递减；在()0,+∞单调递增, ()()00h x h ∴≥=,即()()'0,g x g x ≥∴在R 上单调递增,而()00g =；故2211(1)00;(1)0022x x e x x x e x x x -++>⇔>-++<⇔<.∴当0x <或1x >时,()0f x > ；同理可得, 当01x ≤≤时,()0f x ≤,∴ 由()()20f x x mx n +-≥ 恒成立可得, 当0x <或1x >时,20x mx n +-≥ ；当01x ≤≤时, 20x mx n +-≤ ；故0和1是方程20x mx n +-=的两个根,从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.22. 解：（1）连结ON ,则ON PN ⊥,且OCN ∆；等腰三角形, 则,,,OCN ONC PN PM PMN PNM ∠=∠=∴∠=∠ 90OCM OMC ONC PNM ∠+∠=∠+∠= ,90,COM OC AB ∴∠=∴⊥ .（2）在Rt ONP ∆中, 由于()(22222222,,2,412,2OM MP OP PN ON PM PN PN PN PN =∴=+∴=+∴=+∴=,从而4.2,2,2OP OM BM OB OM AM OA OM ==∴==-==+=,根据相交弦定理可得：MN CM BM AM = ,又4,2BM AMCM MN CM ==∴=== .23. 解：（1）由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++⎪⎝⎭得()2222sin cos 1,222x y x y ρρθρθ=++∴+=++, 即()()22114x y -+-=,故曲线C 的参数方程为12cos (12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数).（2）由（1）可设点P 的坐标为()[)12cos ,12sin ,0,2θθθπ++∈,则矩形OAPB 的面积为()()12cos 12sin 12sin 2cos 4sin cos S θθθθθθ=++=+++,令2sin cos ,12sin cos 4t t πθθθθθ⎛⎫⎡=+=+∈=+ ⎪⎣⎝⎭, 22131222222S t t t ⎛⎫=++-=+-⎪⎝⎭,故当t =时,max 3S =+.24. 解：（1）不等式512211a a x x x x-+<+--<对()0,x ∈+∞恒成立等价于不等式5122a x x a -<+--<+对()0,x ∈+∞恒成立. 设()21,02123,2x x f x x x x -<<⎧=+--=⎨≥⎩,则()(]1,3,23,51,1 4.f x a a a ∈-∴+>-≤-∴<≤（2）设()2,1112,112,1x x g x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩, 由()g x 的图象及14a <≤知, 当4a =时, 满足不等式11x x a -++≤的x 的最大可能取值为2.又[]2,3B =,故当4a =时,{}2A B =≠∅ , 当14a <<时,A B =∅ . 即A B 不一定为空集.。
2016届山西省太原市高三(下)第三次模拟数学(文)试题(解析版)
2016届山西省太原市高三（下）第三次模拟数学（文）试题一、选择题1．已知集合1{1,2,}2A =，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B = （ ） A ．1{}2B ．{2}C ．{1}D ．φ 【答案】C【解析】试题分析：因}41,4,1{=B ，故}1{=B A ,选C. 【考点】交集运算.2．已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为14i -C ．||5z =D ．z 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】B【解析】试题分析：因i ii i z 412822)1)(35(+=+=++=,故选B.【考点】复数及运算.3．已知数列{}n a 中，13a =，130n n a a +-=，3log n n b a =，则数列{}n b 的通项公式n b =（ ）A ．13n +B ．3nC ．nD ．1n - 【答案】C【解析】试题分析：因31=+nn a a ,故数列{}n a 是等比数列,又31=a ,则n n n a 3331=⋅=-,所以n a b n n ==3log ,选C.【考点】等比数列的定义和对数运算.4．已知5件产品中有2件次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B【解析】试题分析：从5件产品中取2件的取法种数为1025=C ,从5件产品中取2件恰有一件是次品的取法种数为61213=C C ,所以恰有一件次品的概率是6.053106===P ,故应选B.【考点】概率及求解.5．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”B ．若命题:p 00,10x R x ∃∈+≤，则:,10p x R x ⌝∀∈+>C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件D ．若向量,a b满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角【答案】D【解析】试题分析：因0a b ⋅<0a b ∙< ,故两向量的夹角为钝角或平角,其它命题不难验证都是正确的,故应选D. 【考点】命题真假的判断． 【易错点晴】本题是一道命题真假的判定的问题.问题中提供了四个命题,其中命题A 的是正确的,考查的是将一个命题的原命题改成其逆否命题后是真还是假的问题.解答时将结论与条件对调,再将其全部否定即可看出是正确的；命题B 考查的是存在性命题与全称命题的关系,这里借助全称命题与存在性命题是互为否定的这一事实即可知道也是正确的；命题C 的判断最易出错,其实可借助正弦定理sin sin A B >等价于b a >,而b a >等价于A B >划这是显然的事实,所以是正确的. 6．若用下边的程序框图求数列1{}n n+的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）A ．1,100?i S S i i +=+≥ B ．1,101?i S S i i +=+≥ C ．,100?1iS S i i =+≥- D ．,101?1iS S i i =+≥- 【答案】B【解析】试题分析：因1=i 有意义,故不能选C ，D ，又当100>i 时,流程图中的计算没有结束,故101>i ,应选B.【考点】算法流程图的识读和计算．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．38cmB ．312cmC ．3323cm D ．3403cm 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为33222231222=⨯⨯⨯+⨯⨯=V ,故应选C. 【考点】三视图及体积的计算．8．设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则322x y+的最大值是（ ）A ．64B ．32 C．．1 【答案】B【解析】试题分析：设z y x =+23,平行移动x y 23-=,当该直线经过点)1,1(A 时,在y 轴上的截距z 取最大为5,此时yx 232+取最大值为3225=,故应选B.【考点】线性规划的可行域及应用．9．已知函数sin()2cos()(0)y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=（ ） A ．45-B ．35-C ．45D ．35【答案】A【解析】试题分析：由题设可知)23()21(f f =,即ϕϕϕϕsin 2cos sin 2cos --=+,所以21tan -=ϕ,因此54411)21(2cos sin 22sin -=+-⨯==ϕϕϕ,故应选A. 【考点】三角函数的对称性、同角关系及二倍角公式．10．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且123||4||PF PF = ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B．5 【答案】D 【解析】试题分析：设)0,(),,(200c F y x P ,则002200(,),(,0),(,)OP x y OF c PF c x y ===-- A,因22()0OP OF PF +⋅=,故020202=--y x c ,即22020c y x =+,故点P 在以坐标原点为圆心c 为半径的圆上,所以02190=∠PF F ,设t PF t PF 3,421==,由双曲线的定义可得a t 2=,又2224916c t t =+,即c t 52=,所以c a 522=,即5=e ,故应选D. 【考点】双曲线及有关性质和向量的数量积公式．11．函数()f x 是定义R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()2f x x =，若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(0,)5 B ．22(,)53 C ．2(0,)3 D ．2(,1)3【答案】B【解析】试题分析：原方程可化为)()2(x f x a =+,由题设函数)(),2(x f y x a y =+=的图象有四个不同的交点,由于函数)2(+=x a y 是斜率为a 且过定点)0,2(-的动直线,函数)(x f y =的图象也经过定点)0,2(-,如图,当动直线过)2,1(A 时,斜率32=k ;当动直线过)2,3(B 时,斜率52=k .结合图形可知当3252<<a 时,两个函数的图象恰好有四个不同的交点.故应选B.【考点】函数的图象、基本性质,函数与方程思想及数形结合思想．【易错点晴】本题是一道典型的数形结合综合问题.考查的重点是数形结合的数学思想和综合运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时充分利用题设条件,先将方程变形为)()2(x f x a =+,这是两边一动一静的两个函数,在同一平面直角坐标系中准确地画出其图象是解答本题的关键,也是解答好本题的难点之所在.特别是函数)2(+=x a y ,一定要理解它是过定点)0,2(-的动直线,再结合函数)(x f y =的图象就可获解.12． 数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则1{}na 的前100项和为（ ） A ．100101 B ．99100 C ．101100 D ．200101【答案】D【解析】试题分析：由11n n a a a n +=++可得n a a n n +=-+11,取1,,3,2,1-⋅⋅⋅=n n ,并将这些等式两边相加可得因2)1()121(11+=-++++-+=n n n n a a n ,因)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ,故101200)101111(211001=-=∑=i ia ,故应选D. 【考点】数列求和的叠加和裂项相消等方法． 【易错点晴】本题重点考查是数列求和的方法,解答时可充分借助题设条件,先想方设法求出数列{}n a 的通项公式,再求数列1{}na 的前100项和.在求数列{}n a 一的通项公式时,依据11n n a a a n +=++道可得n a a n n +=-+11,再对n 取值1,,3,2,1-⋅⋅⋅=n n ,并将所得这1-n 个等式两边相加,抵消去相同的项并化简计算可得2)1(+=n n a n ,当得到)1(21+=n n a n 时,再巧妙地将其变形为)111(21+-=n n a n ,运用裂项相消的方法从而使问题获解.二、填空题13．已知||2a = ，||3b = ，且a 与b 的夹角为60，则|2|a b -= ．【答案】13【解析】试题分析：因为139341644)2(222=+⨯-=+⋅-=-,所以13|2|=-.【考点】向量的模及数量积公式．14．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(5)f a -= ．【答案】47-【解析】试题分析：若1≤a ,则322-=-a,即12-=a ,不合题设;故1>a ,即3)1(log 2-=+-a ,解之得7=a 代入(5)f a -=47241)2(-=-=-f . 【考点】分段函数的求值．15．曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标围成的三角形的外接圆方程是 ．【答案】21)21()21(22=-+-y x 【解析】试题分析：因x x f ln 1)(/+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)21,21(-,则圆的方程为21)21()21(22=-+-y x . 【考点】导数的几何意义和圆的方程．【易错点晴】本题是一道以曲线与直线相切为前提条件,重在考查圆的标准方程的求法的代数与解析几何相结合的综合问题.解答时要充分借助题设条件,先对()ln f x x x =求导,确定切线的斜率1=k ,求出曲线的切线方程1-=x y ,再求出其与坐标轴的交点坐标)0,1(),1,0(B A -,最后求出其圆心坐标)21,21(-和半径22=r ,依据圆的标准方程的形式写出其标准方程.16．棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，若与1D B 平行的平面截正方体所得的截面面积为S ，则S 的取值范围是 ．【答案】2(0,)2【解析】试题分析：如图,过1D B 的平面为N BMD 1,其中N M ,分别是11,CC AA 的中点,由于11,2,3BD AC a AC MN a BD ⊥===,即B D MN 1⊥,所以过1D B 与N M ,的截面的面积为22621a BD AC S =⋅=,因此S的取值范围是2(0,)2.M1A C【考点】正方体及截面面积的计算．【易错点晴】本题考查是空间几何体的截面面积的计算问题,求解时先依据题设条件求出与直线1D B 重合时平面N BMD 1的面积时,即满足题设条件的截面面积的最大值,再保持与1D B 平行平移这个截面,结合图形可以看出其面积可以为零,即经过点1B 时;也可以变到最大这种情形（即经过直线1D B 与N M ,）其面积为226a ,进而确定了其截面面积的取值范围是.三、解答题17．已知ABC ∆是斜三角形，,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若sin cos c A C .（1）求角C ； （2）若c =sin sin()5sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2）435. 【解析】试题分析：（1）运用正弦定理求解；（2）借助题设条件及余弦定理求出b a ,即可求解. 试题解析:（1）根据正弦定理：sin sin a cA C=，可得sin sin c A a C =，∵sin cos c A C =，∴sin cos a C C =，∴sin tan cos C C C ==(0,)C π∈，∴3C π=. （2）∵sin sin()5sin 2C B A A +-=，∴2sin cos 25sin cos B A A A =⨯， ∵,,A B C 为斜三角形，∴cos 0A ≠，∴sin 5sin B A =， 由正弦定理可得5b a =，又由余弦定理可得2212122a b ab =+-⨯， 解得1,5a b ==，∴11sin 152224ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【考点】正弦定理余弦定理及运用．18．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量(1,2,,10)i I i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑ .（1）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+； （2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声音源的影响，这两个生源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=，已知点P 的声音能量等于声音能量1I 和2I 之和，请根据()I 中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】（1）^10lg 160.7D I =+；（2）会，理由见解析.【解析】试题分析：（1）运用题设和回归系数的公式求解；（2）依据题设条件及回归方程推证验算求解即可. 试题解析:（1）令lg i i W I =，先建立D 关于I 的线性回归方程，由于10^11021()()5.1100.51()iii ii W W D D b W W ==--===-∑∑， ∴^^45.710(11.5)160.7a D bW =-=-⨯-=， ∴D 关于I 的线性回归方程是：^10160.7D W =+， ∴D 关于I 的线性回归方程是：^10lg 160.7D I =+. （2）∵10121410I I +=， ∴101010211212121241410()()10(5)910I I I I I I I I I I I ---=+=++=++≥⨯， 根据（1）中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值：^1010lg(910)160.710lg960.760D -=⨯⨯+=+>，∴点P 会受到噪声污染的干扰.【考点】线性回归方程及运用．19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，且平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（1）求证：//AF 平面BDGH ；（2）求E BFH V -.【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】试题分析：（1）运用线面平行的判定定理求证；（2）借助题设条件及转化化归的思想求解即可. 试题解析:（1）证明：设AC BD O = ，连接OH ，在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，又因为AF ⊄平面BDGH ，OH ⊂平面BDGH ， 所以//OH 平面BDGH .（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF ，则H 到平面BDEF 的距离为CO 的一半，又因为AO =，所以132BEF S ∆=⨯⨯=1132E BHF H BEF V V --==⨯=.【考点】直线与平面的位置关系及棱锥公式的运用．20．已知点P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点（1F是圆心），点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的中垂线与1PF 交于M 点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 经过2F ，与抛物线24y x =交于12,A A 两点，与C 交于12,B B 两点，当以12B B 为直径的圆经过1F 时，求12||A A .【答案】（1）22143x y +=；（2）964.【解析】试题分析：（1）运用椭圆的定义进行推证；（2）借助题设条件及直线与椭圆的位置关系求解即可. 试题解析:（1）由题意得：12(1,0),(1,0)F F -，圆1F 的半径为4，且2||||MF MP =， 从而121112||||||||||4||MF MF MF MP PF F F +=+==>，∴点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴长24a =，得到2a =，焦距22c =，则短半轴b =所以椭圆方程C 为：22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴垂直时，1233(1,),(1,)22B B -，又1(1,0)F -，此时11210B F B F ⋅≠ ，所以，以12B B 为直径的圆不经过1F，不满足条件. 当直线l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，因为2F 在椭圆内部，所以恒有两个交点，设111(,)B x y ，222(,)B x y ， 则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+， 因为以12B B 为直径的圆经过1F ，所以11210B F B F ⋅= ，所以1212(1)(1)0x x y y ----+=，即2221212(1)(1)()10k x x k x x k ++-+++=， 解得：297k =. 由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以0k ≠，设133(,)A x y ，244(,)A x y ，则234222442k x x k k++==+，341x x =. 所以12342464||229A A x x p k =++=++=. 【考点】直线与椭圆的位置关系及运用．【易错点晴】解析几何是高考必考的考点,也是中学数学教与学的过程中的难点.解答本题时充分运用题设条件,借助代数的思想和方法从方程的角度对问题进行了深层次的研究.本题的推证过程体现代数中方程函数在几何问题中的灵活运用.本题重点考查的是运算求解能力,问题以直线与抛物线的位置关系为前提,以为直径12B B 圆经过1F ，求12||A A 的长为背景,巧妙的设置了求12||A A 的问题,运用了分析推证的方法进行求解使得问题获解.21．已知函数2()2ln ()2x f x ax x a R =++∈，在2x =处取得极值. （1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若方程()f x m =有三个实根123,,x x x （123x x x <<），求证：312x x -<.【答案】（1）3a =-，增区间是(0,1),(2,)+∞，减区间是(1,2)，（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）运用导数的知识进行求解；（2）借助题设条件及导数的运算进行推证即可.试题解析:（1）由已知'2()f x x a x =++，'2(2)202f a =++=，∴3a =-， 所以2'232(2)(1)()3,0x x x x f x x x x x x -+--=-+==>， 由'()0f x >，得01x <<或2x >；由'()0f x <，得12x <<，所以函数的单调递增区间是(0,1),(2,)+∞，单调递减区间是(1,2).（2）由（1）知，极小值(2)2ln 24f =-，极大值为5(1)2f =-， 可知方程()f x m =三个实根满足123012x x x <<<<<， 设1()()(2)h x f x f x =--，(0,1)x ∈，2'''14(1)()()(2)0(2)x h x f x f x x x -=--=>-， 则11()(1)(1)(21)0h x h f f <=--=，即()(2)f x f x <-，(0,1)x ∈，所以211()()(2)f x f x f x =<-，由（1）知函数()f x 在(1,2)上单调递减， 从而212x x >-，即122x x +>，①同理设2()()(4)h x f x f x =--，(1,2)x ∈，2'''22(2)()()(4)0(4)x h x f x f x x x -=--=>-， 22()(2)(2)(42)0h x h f f <=--=，即()(4)f x f x <-，(1,2)x ∈，322()()(4)f x f x f x =<-，由（1）知函数()f x 在(2,)+∞上单调递增， 从而324x x <-，即324x x +<，②由①②可得：312x x -<得证.【考点】导数在研究函数的单调性及推理论证中的运用．【易错点晴】本题是一道研究函数的单调性的综合性问题,本题是设置重点考查导数在研究函数的单调性问题中的运用及运用导数进行推理论证的方法和能力.解答第一问时充分借助转化与化归的数学思想和方法,将求单调区间问题转化为解不等式的问题；第二问中证明灵活运用分类整合的数学思想和方法对函数的零点进行合理有效的转化,运用分析推证的方法进行求解使得问题获证.22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，BC 为圆O 的直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.【解析】试题分析：（1）运用圆幂定理和相似三角形进行推证；（2）借助题设条件及圆幂定理求解即可.试题解析:（1）∵PA 是圆O 的切线，∴PAB ACB ∠=∠，又P ∠是公共角，∴ABP ∆∽CAP ∆， ∴2AC AP AB PB==，∴2AC AB =. （2）由切割线定理得：2PA PB PC =⋅，∴20PC =，又5PB =，∴15BC =，又∵AD 是BAC ∠的平分线，∴2AC CD AB DB==, ∴2CD DB =，∴10CD =，5DB =，又由相交弦定理得：50AD DE CD DB ⋅=⋅=. 【考点】圆中的相交弦定理、切割线定理及三角形的相似等知识．23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.【答案】（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=；（2. 【解析】试题分析：（1）运用消元法消参即可；（2）借助题设条件及点到直线的距离公式建立目标函数求解即可.试题解析:（1）221:(4)(3)1C x y ++-=，222:1649x y C +=， 1C 的圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点的椭圆.（2）当2t π=时，(4,4)P -，(8cos ,3sin )Q θθ，故3(24cos ,2sin )2M θθ-++， 3C 为直线270x y --=，M 到3C的距离4cos 3sin 13|d θθ=--， 从而当4cos 5θ=，3sin 5θ=-时，d. 【考点】参数方程与直角坐标方程的互化及运用．24．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>.【答案】（1）(,3][3,)-∞-+∞ ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）运用分类整合的数学思想去绝对值进行求解；（2）借助题设条件运用分析法推证.试题解析:（1）由题意，原不等式等价为|2||2|6x x -++≥， 令2,2()|2||2|4,222,2x x g x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩，所以不等式的解集是(,3][3,)-∞-+∞ .（2）要证()||()b f ab a f a>，只需证|1|||ab b a ->-，只需证22(1)()ab b a ->-，而22222222(1)()1(1)(1)0ab b a a b a b a b ---=--+=-->，从而原不等式成立.【考点】不等式的解法和推证方法及运用．。
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6、从所有无重复数字的两位数中任取出一个数，记事件 A :该两位数的个位 第5题 数字与十位数字和为奇数。则 p( A) （ A． ）
5 8
B．
1 2
2
C．
7 9
D．
5 9
7、已知抛物线 x 4 5 y 的焦点与双曲线 线的离心率为（ A． ） C．
x2 y2 1(a R) 的一焦点重合，则该双曲 a 4
其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2
D．3
12、如图，正△ABC 的中心位于点 G（0 ，1） ，A（0，2） ，动点 P 从 A 点出发沿△ABC 的边界 按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ AGP=x（0≤x≤2π） ，向量 OP 在 a (1, 0) 方向的投影 为y （O 为坐标原点） ， 则 y 关于 x 的函数 y=f （x） 的图象是 （ ）
2
二．填空题：本大题共四小题，每小题 5 分 13、设 a ( , sin ) ， b (cos , ) 且 a b ，则 tan
14、已知数列 an 为等比数列, 且a2 6, a10 12, 则a6 __________ 15、一个三棱锥的三视图如右图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分 别是 1，2，4，则这个几何体的外接球的表面积为______________ 16 、直线 l : y m ( m 为实常数)与曲线 E : y | ln x | 的两个交点 A、B 的横 坐标分别为 x1 、 x2 ，且 x1 x2 ,曲线 E 在点 A、B 处的切线 PA、PB 与 y 轴分别交 于点
值为（ ）
i=1, s=0
否 A．2 B．3 C．4 D．5
5、如图给出的是计算Biblioteka 1 1 1 2 4 6）
1 的值的一个程序框图，则判断 2014
D． i 1006
是
S=S+
输出 S
框内应填入的条件是（ A． i 1006
结束 C． i 1007
i=i+1
B． i 1007
) 2 cos( B C ) 0 ， 6 （1）求 A 的大小； （2）若 a 6 ，求 b c 的取值范围.
18、(本小题满分 12 分) 某车间的工人由熟练工和非熟练工组成，其中熟练工 20 人，现用 分层 抽样的方法从该车间的工人中抽出了 9 名工人，其中抽到了熟练工 6 人。 （1）先从抽出的 9 人中抽出 2 人进行某项指标调查，求至多有一名熟练工的概率 （2）假设该车间的工人分为高学历和非高学历两类，所有熟练工中高学历者有 15 人， 所有非熟练工中高学历者 4 人。请列出 2×2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为熟练工 与高学历有关？要说明理由。附：临界值表（部分） ： 2 P （χ x0 ） 0.10 0.05[ 0.025 0.010
2016 届山西高考假期综合练习理数 5
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
2 1、已知集合 A= x N x 3 0 ，B= x Z x x 2 0 ，则集合 A
B（
）
A． 1
）
2 Sn 2 2 1 对任意的数列 {an } 及任意正整数 n 都成立，则实数 m 的取值范围为 an ma2 2 （n 1）
（ ） A． ( , ]
1 2
B． , 5 2
1 1
C． ,
1 5
D． ( , ]
x x a 0( x 0) x 只有 3 个实根，则实数 a
3 4
1 4
．
M、N.
有下面 4 个结论： ① | MN | 2; ②三角形 PAB 可能为等腰三角形;③若直线 l 与 y 轴的交点为
Q, 则 PQ 1; ④当 x1 是函数 g ( x) x2 ln x 的零点时, AO ( O 为坐标原点)取得最小值.
其中正确结论的序号为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. ( 本小题满分 12 分 ) 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，已知
2i i 3 （ i 为虚数单位）的 共轭复数为（ i 1 B． i 1 C． 1 i D． 1 2i
1 4 、 若函数f ( x )与g ( x )的图像关于直线y x对称，已 知 函 数 f ( x ) 2
x
, 则 开 始
f (2) g (2) 的
3 5 5
5 2
B． 5
5 3 3
D．
1
8、如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．由增加的长度决定 9、记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn an bn ( a , b常数） 。若不等式
2
1 5
10、设符号 的取 值范围是（ A．
x 表示超过 x 的最小整数，若方程
）
1 1 1 1 1 1 1 1 B． [ , ] C． , D． , , 3 4 2 3 2 3 4 5 n 11.已知数列 an 满足 an n k n N ,0 k 1 ，给出下列命题： 1 ①当 k 时，数列 an 为递减数列 2 1 ②当 k 1 时，数列 an 不一定有最大项 2 1 ③当 0 k 时，数列 an 为递减数列 2 k ④当 为正整数时，数列 an 必有两项相等的最大项 1 k
B． 0,1
C． 0,1, 2
D． 1, 2 ）
2、复数 z
A． 1 2i 3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围” ，q 是 “乙降落在指定范围” ，则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为（ ） C. (p) (p) D. ( p p) B.((p) (p)) A.(p) (p)