高中数学选修2-1主要内容

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

形式：

原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示

p的否定；即不是p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

四种命题间的相互关系：

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1.2 充分条件与必要条件

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．

一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q.

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地，

若p?q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；

若p≠>q，但q ?p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

1.3 简单的逻辑连接词

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

一般地，我们规定：

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定”。

若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。

1．4全称量词与存在量词

所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：

?∈

,()

x M p x

它的否定￢P

￢P(x)

特称命题P：

x M p x

?∈

,()

它的否定￢P：

?x∈M，￢P(x)

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

第二章圆锥曲线与方程

2.1曲线与方程

(二)几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：

设弦的中点为M(x，y)，连结OM，

则OM⊥AM．

∵k OM·k AM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或

差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上，

∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义

写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程．

分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．

(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a 2b 2=4b 2-a 2．

2.2 椭圆

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}

12|2M MF MF a +=．

焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程)0(122

22>>=+b a b

y a x ．

焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22

2210y x a b a b

+=>>．

椭圆的简单几何性质

①范围：由椭圆的标准方程可得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理

可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭

圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a

e =

叫做椭圆的离心率（10<

?→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；???→→→椭圆越接近于圆

时当a

，b ，c e 00 ．

椭圆的第二定义

当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=

e a

e 时，

这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．

对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦

点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b

x a y 的准线方程是c a y 2

±=．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几

何意义．

由椭圆的第二定义e d

MF =∴

|可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a c

a x e ed MF +=--==|)(|||2

左

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =?。

cos 2)2(212

2212

12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ

θθcos 12)cos 1(244)

cos 1(24)(2

222

22121+=

+-=+-+=

∴b c a c PF PF PF PF 12

22121sin sin tan 21cos 2

F PF b S PF PF b θθθθ?∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2

121212cos PF PF F F PF PF -+=

θ2

21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122

222

--o

x e a b a x a ≤≤-0Θ 22

a x o

≤∴

性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得：

1222242)(2cos 2

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.2112221)

(2222

2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。（2000年高考题）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在

一点,P 使得,1200

21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2

e -≥即2212

e -≥-

, 于是得到e 的取值范围是.1,23???

?? 性质四：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e 。

,,1221βα=∠=∠F PF F PF

由正弦定理得：

βαsin sin )

180sin(122

1PF PF F F o

由等比定理得：

αβαsin sin )

sin(2121++=

+PF PF F F

而)sin(2)sin(2

1βαβα+=+c F F ，β

αβαsin sin 2sin sin 21+=

++a

PF PF ∴

αβαsin sin )sin(++==

a c e 。已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．

解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜

∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3

2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ

Θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(2

sin )

60sin(120sin )

180sin(21θθθθ-+=-+-=o o

o o ，

整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)

∴53cos 1sin =

+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525

3153

2=-?

．

2.3 双曲线

把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}

122M MF MF a -=．

焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程)0(122

22>>=-b a b y a x ．

焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程)0(122

22>>=-b a b

x a y ．

①范围：由双曲线的标准方程得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这

说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；

②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线b

y x a

=±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；

⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a

e =叫做双曲线的离心率（1e >）．双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2

:a l x c

=的

距离之比是常数1c

e a

>时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2

:a l x c

=叫双曲线的一条准线，常数e 是双曲线的离心率。双曲线上

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF 是双曲线的焦半径。

2.4 抛物线