不等式的四个基本性质
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质
等式的基本性质一：
等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个 整式 , 所得结果仍是等式。
如果 a = b , 那么 a + c = b + c (或 a – c = b – c ) 等式的基本性质二：
等式两边都乘以（或除以）同一个 数（除数 不能是零），所得结果仍是等式。
如果a = b , 那么 a c = b c（或 a／c =
2 ＜3 2 ×5 ＿ 3 ×5 2×0.3 ＿ 3× 0.3 10×2 10÷5 10＞－10 ＿ －10×2 ＿ －10÷5
2×（－1）＿ 3×（－1） 2÷（－3）＿ 3÷（－3）
10×（－3）＿－10×（－3）
10×（－7）＿－10×（－7）
思考并交流，你发现了不等式的那些性质？
不等式的基本性质二：
不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变。
如果a﹤b , 那么a + c﹤b + c (或 a – c﹤b – c)
Hale Waihona Puke 如果a﹥b , 那么a + c﹥b + c (或 a – c﹥b – c)
做一做： 如果在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个数，结果会怎样？完成下列填空。
b／c，c ≠ 0 ）
做一做: 如果在不等式的两边都加上（或减去）
同 一个整式，结果会怎样？完成下列填空。
2 ＜ 5
2 －1 ＿ 5 －1 2＋3 ＿ 5＋3
7 ＞ － 7
7 ＋2 ＿ － 7 ＋2
7－(－5）＿－7－（－5） 7 －3 ＿ －7 －3 7 －b ＿ －7 －b
2＋（－7）＿ 5＋（－7） 2 ＋a ＿ 5 ＋a
高中数学中的不等式性质
高中数学中的不等式性质不等式在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是解决数学问题的有效工具，还在其他科学领域具有广泛应用。
在学习不等式性质时，我们需要了解不等式的基本定义和性质，理解不等式的运算规则，并学习如何解决与不等式相关的问题。
下面将详细讨论高中数学中的不等式性质。
一、不等式定义不等式是数学中的一种大小关系表达式，用于描述两个数或多个数的大小关系。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
不等式在现实生活中有很多应用，比如描述温度、距离、价格等的大小关系。
二、不等式的性质1. 前述性质对于任意实数a、b和c，不等式具有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a是成立的。
（2）对称性：若a ≥ b，则b ≤ a；若a > b，则b < a。
（3）传递性：若a > b且b > c，则a > c。
2. 加减性在不等式中，如果两边同时加上（或减去）相同的数或同一个正数，不等式的方向不变。
举个例子：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。
3. 乘除性在不等式中，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
举个例子：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。
需要注意的是，当乘以一个负数时，不等式的不等号方向会发生改变。
4. 平方性在不等式中，如果两边同时取平方，不等式的方向可能发生改变。
举个例子：若a > b且a > 0，则a^2 > b^2；但如果a < 0，则a^2 < b^2。
5. 初等不等式基于加减性、乘除性和平方性，我们可以通过变换不等式，将其化简为简洁的形式。
不等式除法时需要注意分母不能为零。
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质不等式的基本性质：1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a > b ，c>0，那么ac > bc 或 a c > b c． 3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac < bc 或a c < b c． 一、填空1．在式子①224>+x ②412≤-x ③43<x ④0162≥-x ⑤32-x ⑥33<+b a 中属于不等式的有 .（只填序号）2．如果0,<>c b a ，那么ac bc .3.若b a <，用“＜”“＞”填空.⑴ 6-a 6-b ⑵ a 5- b 5-⑶ k a 3- k b 3- ⑷ c a + c b +⑸5+-c a c b -+5二、选择4．x 的3倍减5的差不大于1，那么列出不等式正确的是（ ）A ． 153≤-x B.153≥-xC ．153<-x D.153>-x5.已知b a >，则下列不等式正确的是（ ）A ．b a 33->- B.33b a ->- C.b a ->-33 D.33->-b a三、解答题6.用不等式表示下列句子的含义.⑴ 2x 是非负数.⑵ 老师的年龄x 比赵刚的年龄y 的2倍还大.⑶ x 的相反数是正数.⑷y 的3倍与8的差不小于4.7.用不等式表示下列关系.⑴x 与3的和的2倍不大于-5.⑵a 除以2的商加上4至多为6.⑶a 与b 两数的平方和为非负数.8、解方程（1）（x-1）—（3x+2）= —（x-1）． （2）3y-2=5y-2（3）--23x 514+x =1x 3- （4）20328x y x y -=⎧⎨+=⎩9．一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．。
不等式的基本性质
结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
1.1.1不等式的基本性质
类型二 不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则 1 1 .
ab
(2)c>a>b>0,则 a b .
ca cb
(3)若 a ＞b ,则ad>bc.
cd
(4)设a,b为正实数,若a- 1 <b- 1 ,则a<b.
a
b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义 “⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不 可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以 把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可 逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
d
c
d
c
同乘以-1得
a
3
d
3 b. c
2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e<0”,其
他条件不变,证明:
a
e c
2
＞
b
e d
2
.
【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,
又a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以(a-c)2>(b-d)2>0,
所以
a
1 c
2
＜
b
1 d
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 ( )
不等式的基本性质
如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明 ：因为 所以 即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论 或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得 的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都 减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少 岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年 龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc． 证明：因为 ac－bc＝(a－b)c， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc； 所以 当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．
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不等式的四个基本性质
《不等式的四个基本性质》
不等式是数学中一个重要的概念，它是用来判断两个数大小关系的符号表达式，用於限定变量的一系列值范围，是数学中重要的研究问题，涉及到许多数学应用，如优化问题等。
一般而言，不等式的四个基本性质是指：互换律、结合律、抵消律和对称性。
首先，不等式的互换律指的是变量在不等式中的顺序不会造成结论的改变，也就是说如果“x > y”，那么“y < x”也是成立的，数学上就满足交换律，所以这也是
不等式的一个基本性质。
其次，不等式的结合律是指可以在不等式的右边或左边添加同号的数，而不会改变不等式的结果，也就是说，“x > y”，当把m+n（m和n为正数）添加到右边时，“x > y + m+n ”也同样成立，所以这也是不等式的一个基本性质。
此外，不等式的抵消律指的是在不等式式左右加上少量
同号的数，可以抵消掉它们，也就是将等式变成不等式。
比如，“x = y + m+n”时，可以令“x > y+m-n”成立，因此抵消律也是不等式的一个基本性质。
最后一个不等式的基本性质是对称性，指的是不等式可以将大于（>）和小于（<）符号进行互换，使得其结果改变，而不必改变数字部分。
如“x > 2”，可以将大
于号换成小于号，得“x < 2”，所以对称性也是不等
式的一个基本性质。
总之，不等式的四个基本性质分别是：互换律、结合律、抵消律和对称性，是在探究不等式时需要遵循的基本性质，是研究不等式的前提。
理解并熟练掌握这四个性质有利于解决更多复杂不等式。