弦振动 偏微分方程
弦振动方程中D'Alembert 公式的算子算法
弦振动方程中D'Alembert 公式的算子算法
陈名中
【期刊名称】《湖北科技学院学报》
【年(卷),期】2007(027)003
【摘要】主要讨论了运用算子的方法推导出弦振动方程中的D'Alembert公式.弦振动方程中的D'Alembert公式是偏微分方程中一个非常重要的基本公式.该公式的推导方法中一个最基本方法是特征线法.本文从另一角度即算子的方法,将弦振动方程写成算子的形式,再根据一阶线性偏微分方程的求解方法,最终推导出
D'Alembert公式.
【总页数】3页(P6-8)
【作者】陈名中
【作者单位】咸宁学院,数学系,湖北,咸宁,437100
【正文语种】中文
【中图分类】O175.27
【相关文献】
1.基于算子空间的公式发现算法研究 [J], 赵新昱;陈文伟;何义
2.直升机旋翼载荷中的非线性强迫振动方程迭代算法 [J], 刘祥件;沈锌康;薛正中
3.非线性弦振动方程的多辛算法 [J], 胡伟鹏;邓子辰;韩松迎;范玮
4.弦振动方程的导出在教学中的探讨 [J], 王良晨;胡学刚;李玲
5.弦动力学中几个算子行列式微分的求值问题 [J], 胡湘岳;黄铁铁
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解
具有非齐次定解条件的弦振动方程的解解决实际物理问题的关键在于对有关方程的可解性，而有关非齐次定解条件的方程解，是很多物理问题研究中不可缺少的重要内容。
本文就以弦振动方程为例，从定义开始，考察非齐次定解条件的解方式，总结出一系列可行的解决办法，以期能够对同学们对理论计算与实际解决物理问题中相关内容的了解产生一定的裨益。
2.振动方程的定义弦振动方程，即线性微分方程，是由描述弦振动现象的一种数学模型。
一般的弦振动方程的形式为:$$frac{d^2y}{dx^2}+P(x) frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$$ 式中P(x)，Q(x)和f(x)为弦振动方程的非齐次定解条件，可以通过求解这个弦振动方程来实现对弦振动的研究.3.齐次定解条件的求解非齐次定解条件的解法可以采用几种不同的方式进行求解，其中包括积分法、特解法、递推法以及解析法等。
3.1分法积分法是基于对弦振动方程进行积分求解的方法，即从未知函数的参数到函数的构建的过程，其具体实现需要解决相应的积分等价问题，但求解的复杂度很高。
3.2解法特解法是基于特解求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的特解，它可以通过积分系数的方式发现特解的解析解，而无需计算就可以求出特定的解。
3.3推法递推法是基于递推法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过将相关系数纳入递推式而求出解析解。
3.4析法解析法是基于解析法求解弦振动方程的方法，即针对特定的非齐次定解条件而求解的解析解，它可以通过分解解析解的参数和系数而求出解析解。
4.语本文以弦振动方程的解为例，探讨了关于非齐次定解条件的不同解法及其实现方式。
从定义、几种不同解法到实现方式，本文对弦振动方程的解有了比较详细的介绍，以期能够对同学们在解决物理问题中的用到的非齐次定解条件有更深入的了解，为实际的应用提供前期的理论基础。
初始条件与边界条件
热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体 温度的分布情况。若以 f(M) 表示 t =0 时物体内 一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表 示为
u M , t |t 0 f M .
§1.2
初始条件与边界条件
描述物理现象： 偏微分方程
特定条件
特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的 约束条件。
用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；
用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”。
初始条件
初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。 弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的 位移和速度。如果以 f(x) 和 g(x) 分别表示弦的 初位移和初速度，则初始条件可以表达为
热传导方程的Cauchy问题
utt a 2 uxx 0 u |t 0 ( x ) u | ( x ) t t 0
( x , t 0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称 为边值问题。
即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导
u 0. n S
过程可知，有边界条件
当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位 时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S dQ u k 上有 dSdt n，这表明温度沿外法线方向的方 向导数是已知的，故边界条件可以表示为
u M,t n S
u 第三类边界条件：给出 u 以及 n 的线性组合
u 在边界的值，即 n u f3 S
弦振动问题：当端点 x=l 被弹性支撑所支承，设 弹性支撑原来位置在 u=0，则 u 表示弹性支撑 xl 的应变。
特征理论----偏微分方程组省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第18页
第7章 特征理论 偏微分方程组
于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为
C-K型定理证实用是强函数方法，即用一个显著可解出问题与所考虑问题 相比较，故须要介绍强函数概念。
第19页
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.4.3 强函数
第20页
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.4.4 C-K 定理证实
（1） 唯一性（幂级数解法）。 （2） 存在性（强函数方法）。
附注 1 该定理断言解析解局部存在唯一性，并没有确保整体解存在性。
附注 2 由证实知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量解析函数，则在初始
平面
上任意点领域内都存在一个解析解。再由解唯一性知，把这些解
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.1ห้องสมุดไป่ตู้1 弱间断解与弱间断面
第1页
第7章 特征理论 偏微分方程组
例子
考虑弦振动方程
则
不是古典解，但它是弱间断解。
第2页
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.1.2 特征方程与特征曲面
设光滑曲面
是方程（7.1.1)弱间断面。
能够推出它应满足条件为下式在 上处处成立。
7.2.2 狭义双曲型方程组标准型
第9页
第7章 特征理论 偏微分方程组
将狭义双曲型方程化为标准型方法：
1.
求向量方程 2.
解。
令，
用T 左乘（7.2.2）式得：
第10页
第7章 特征理论 偏微分方程组
3.
第11页
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.3 双曲型方程组Cauchy 问题
第二章 三类典型的偏微分方程
单位时间内通过 B 端面的热量为：
Q x2k TkT(xx2,t)
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 ,t) T ( x x 1 ,t) ) d t
x2 2T(x,t)
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
等号两边用中值定理：并令 x 0
T2u (xx 2,t)g2u (tx 2,t)F (x,t) 等号两边除以
2tu2 a2x2u2 gf(x,t)
f (x,t) F(x,t)
为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量：x , t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
一阶线性偏微分方程求解例题
一阶线性偏微分方程求解例题
CH1典型方程和定解条件
【内容提要】
方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程) 主要方法：微元法；
泛定方程:
波动方程(双曲型)：
弦振动方程：
传输线方程：
电磁场方程:
热传导方程/扩散方程（抛物型）:
导热杆（无热源），
导热片（无热源）
稳恒方程(椭圆型):
Poisson方程：
Laplace方程：
2.定解条件：初始条件及边界条件
边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):
(2)第二类边界条件(Neumann条件):
(3)第三类边界条件(Robin条件):
3.定解问题的提法：
4.线性偏微分方程的基本性质
（1）.线性迭加原理
(2.)齐次化原理（冲量原理）
Duhamel原理：设是方程的解，
(是方程的解。
【典型习题】
1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题
解：初始条件：，杆的初始温度分布是，
边界条件：由杆的一端温度为零
，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律
故定解问题为：
该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题
3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题
解：设弦的两端为：，由题意有
弦的振动方程为
边界条件为：
初始条件为：
在点，取小段（是无穷小量），
由冲量定理有，(冲量=动量改变量)；
∴
于是，
故定解问题为
该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。
用常数变易法求解非齐次线性偏微分方程
的解，得特征值问题，
( ) + ( ) = 0, 0 < < (0) = ( ) = 0
(10)2018.8（下） 知识 237知识 第 16 期
求解特征值为
( )=
22
= 2 ( = 1,2,3 … ) ， 特 征 函 数 为
( = 1,2,3 … ) 。利用常数变易法，设
原模型有解形如 常微分方程初值问题, 求解得，
( )+ 2 ( )=
(0) = , (0) =
其中， ， ， 是 ( )， ( )， ( , ) 关于 ( ) 的傅
里叶系数。利用拉普拉斯变换法或常数变易法，求解该常微分
方程得，
( )=
+1
故(6),(2),(7)的解为，
+1
()
0
(−)
∞
( , )= [
+1
=1
3 总结与举例
+1
()
0
(− ) ] ()
变易法，设原模型有解形如
∞
( , )=
()
(2 + 1) 2
。
=1
代入得到常微分方程初值问题, 得，
(
,
)
=
32
3
1
−2
∞ (−1) +1 (2 + 1)3
=1
−(2
+1)2 42
2
2
(2 + 1) 2
（作者单位：中国地质大学（北京）数理学院）
. All Rights Reserved.
。代入得到
( )=
+
+
()
0
故固定的有界弦强迫振动模型的形式解为:
机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动
15
例6.1-1 考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相
应的固有振型，并作出振型图。
解：弦的固有频率：
i
i
L
T
(i 1,2,)
y(x) ,T
L
x
1
L
T，
2
2
L
T
，
3
3
L
T.
弦的固有振型：
Yi (x)
sin i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
Y1 ( x)
sin
L
x ， Y2 (x)
sin
x
L L/2
2 L
2hL
i2 2
sin
i
L
x
2hx cos i i L
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集， 而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外， 离散系统和连续系统的相似性便完备了。
21
例6.1-3 设张紧弦在初始时刻将中点拨离h (如图) ，然后
无初速地释放，求弦的自由振动。
y(x)
解：弦的初始形状就是 y(x,0):
h
O
2hx / L (0 x L / 2) y(x,0) 2h(1 x / L) (L / 2 x L)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦振动偏微分方程
弦振动是一种自然现象，指的是弦线在受到外力驱动后产生的振动。
这种振动可以通过偏微分方程进行描述和分析，以便更好地理解和预测弦线振动的特性。
偏微分方程是一种数学表达式，用于描述多个变量之间的关系。
在弦振动的分析中，最常使用的偏微分方程为一维波动方程。
该方程可表示为：
∂^2y/∂t^2=c^2∂^2y/∂x^2
其中，y表示弦线上任意一点的位移（以某个平衡位置为基准），t表示时间，x表示该点在弦线上的位置，c表示波速。
该方程表达的是弦线上任意一点的位移随时间和位置的变化情况。
解一维波动方程需要使用波动方程的通解形式。
通解形式有多种，其中最常用的是分离变量法。
首先，将y分解为关于时间t和位置x的两个未知函数F和G的积：
y=F(t)G(x)
由于y随时间的变化是二阶导数，所以F需要满足二阶常微分方程：
∂^2F/∂t^2+c^2kF=0
其中，k为常数，由于F只是时间t的函数，所以k只是一个常数。
同样，由于y随空间位置的变化是二阶导数，所以G需要满足二阶常微分方程：
∂^2G/∂x^2+kG=0
利用该方程的通解形式，可以得到F和G的解析形式：
F=Acos(ct)+Bsin(ct)
G=Ccos(kx)+Dsin(kx)
其中，A、B、C和D均为常数。
将F和G合并为y，即可得到y关于时间t和位置x的通解形式。
波动方程的解析解无法描述所有情况，但可以帮助我们了解弦振动的特性。
通过偏微分方程的求解，我们可以得到弦振动的幅度、波长、波速等参数，从而更好地进行振动相关的工程设计和控制。
在日常生活中，弦振动广泛应用于乐器演奏、声波传递、振动摄影等领域。
了解弦振动的特性和使用偏微分方程进行分析，可以更好地理解这些现象，同时也有助于我们将弦振动应用于更多的领域。