第一章 空间几何体章末复习提升
1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.
这三种几何体都是多面体.
(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面.
(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体.
2.空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种.
画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.
(2)斜二测画法：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量.
3.几何体的侧面积和体积的有关计算
柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
题型一 空间几何体的三视图和直观图的应用
三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化.
(1)画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体所成的图象，可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以经过想象透视的轮廓线)的投影就是所要画出的视图. (2)检验所画视图是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征.
(3)在旋转体的三视图中，一般有两个视图是相同的，并且这两个相同的视图中包含这个旋转体的轴截面.
(4)斜二测画法的画图规则可以简要说成：“竖直(与z 轴平行)或水平(与x 轴平行)放置的线段画出时，长度、方向都不变；前后方向(与y 轴平行)放置的线段画出时，与水平方向成45°(或135°)角，长度画成原长度的一半(仍表示原长度)”.
在画直观图时，首先应该画出图形中决定其形状、位置和大小的一些关键点.
对三视图的考查是高考命题的热点，每年都有涉及，主要以选择题和填空题两种形式考查，难度一般不大. 例1 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A.45，8
B.45，8
3
C.4(5＋1)，83
D.8,8
答案 B
解析 由正视图，知四棱锥的底面是边长为2的正方形.因为四棱锥的高为2，所以V ＝13×22×2＝8
3.四棱锥的侧面
是全等的等腰三角形，底为2，高为5，所以S 侧＝4×1
2
×2×5＝4 5.
跟踪训练1 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案 D
解析 A 项的正视图如图(1)，B 项的正视图如图(2)，故均不符合题意；C 项的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选D.
题型二 几何体的表面积和体积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题等，都涉及表面积和体积的计算.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱体、锥体、台体，在计算中要重视其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用；对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用.
例2 如图所示，半径为R 的半圆O 的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且分别切AB ，BC ，CD 于点A ，E ，D ，将半圆O 与直角梯形ABCD 分别绕AD 所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3∶4，求圆台的体积.
解 设圆台的上、下底面半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则根据题意，得圆台的高AD ＝2R ，DC ＝CE ＝r 1，AB ＝BE ＝r 2，OE ＝R ，∠BOC ＝90°，OE ⊥BC ， 所以r 1·r 2＝R 2，l ＝r 1＋r 2.
又因为S 球＝4πR 2，S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)·l ， 且S 球∶S 圆台侧＝3∶4，
所以4πR 2∶πl (r 1＋r 2)＝3∶4，所以(r 1＋r 2)2＝16
3R 2，
所以V 台＝13πh ·(r 21＋r 2
2＋r 1·r 2) ＝π
3·2R [(r 1＋r 2)2－r 1·r 2] ＝π3·2R ·????163R 2－R 2＝269πR 3. 故圆台的体积为26
9
πR 3.
跟踪训练2 如图是在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.
解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r
2，∴r ＝1，
S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π. 题型三 转化与化归思想
例3 边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( ) A.10 cm B.5 2 cm C.5π2＋1 cm D.5
2π2＋4 cm 答案 D
解析 圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E ′F ＝1
2·2π·????52＝52π(cm)， ∴E ′G ＝
52＋????52π2＝52π2
＋4(cm).
跟踪训练3 如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳子长度的最小值. 解 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥. 连接MB ′，P 、Q 分别为圆台的上、下底面的圆心. 在圆台的轴截面中， ∵Rt △OP A ∽Rt △OQB ， ∴OA OA ＋AB ＝P A QB
，
∴
OA OA ＋20＝5
10
.∴OA ＝20(cm).
设∠BOB ′＝α，
由扇形弧'BB 的长与底面圆Q 的周长相等， 得2×10×π＝2×OB ×π×α
360°，
即20π＝2×(20＋20)π×α
360°，∴α＝90°.
∴在Rt △B ′OM 中，
B ′M ＝OM 2＋OB ′2＝302＋402＝50(cm)， 即所求绳长的最小值为50 cm.
题型四 割补法和等积法在求体积中的应用
体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，割补法和等积法是常用的技巧方法. (1)将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题(割补法)；
(2)三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此可以通过选择合适的底面，将其转化为底面积和高容易求的三棱锥的体积问题(等积法).
例4 如图所示，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧＝1
2
Sa . 面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积V 证明 方法一(分割法)
如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.
三棱柱体积为V ，显然三棱锥A ′－ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积为1
3Sa ，
故有13V ＋13Sa ＝V ，即V ＝1
2
Sa .
方法二 (补全法)
如图所示，将三棱柱ABC －A ′B ′C ′补成一个四棱柱ABD ′C －A ′B ′DC ′. 其中AC ∥BD ′，CD ′∥AB . 即四边形ABD ′C 为一个平行四边形.
显然三棱柱BD ′C －B ′DC ′的体积与原三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积相等. 以BCC ′B ′为底面，点A ′到面BCC ′B ′的距离为高， 显然补形后的四棱柱的体积为Sa .
故原三棱柱ABC －A ′B ′C ′的体积V ＝1
2
Sa .
跟踪训练4 如图所示，在棱台A 1B 1C 1－ABC 中，111B A B C V -＝4 cm 3，1C ABC V -＝16 cm 3，求此棱台的体积.
解 设111 A B C S ＝S 1，S △ABC ＝S 2，棱台的高为h . 因为111B A B C V -＝1
3S 1h ＝4，
所以S 1h ＝12.
又因为1C ABC V -＝1
3S 2h ＝16，
所以S 2h ＝48.
所以S 1S 2＝14，则A 1B 1AB ＝12
.
又三棱锥C 1－A 1B 1B 与三棱锥C 1－A 1AB 等高，
而1?A AB S ＝112?A B B S ，
所以11C A AB V -＝1112C A B B V -＝8(cm 3)， 所以V 棱台＝4＋8＋16＝28(cm 3).
研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.