离散数学练习(部分)解答

离散数学练习(部分)解答

《离散数学》练习解答

福建农林大学东方学院

2009 ——2010 学年第二学期

第一篇数理逻辑

二、解答题：

1、将下列命题符号化：

（1）明天不下雨又有空的话，我就会去

打球。

（2）只要她生病了，我都会去看她（只

有她生病了，我才会去看她）。

（3）每个旅客或坐头等舱或坐二等舱。

（4）有些汽车比任何火车都慢，但并非

所有的汽车都比火车慢。

解（1）设P：明天不下雨；Q：明天我有空；R：明天我去打球。则该命题可符号化为

P Q R

∧→。

（2）设P：她生病；Q：我去看她。则该命

题可符号化为()

→→。

P Q Q P

（3）设:M是旅客；:F坐；:G是

头等舱位；:H是二等

舱位。则该命题可符号化为

∀→∃∧∨∃∧。

x M x y G y F x y y H y F x y

(()((()(,))(()(,))))

（4）设:M是汽车；:W是火车；:F比

慢。则该命题可

符号化为

∃∧∀→∧⌝∀→∀→

(()((()(,))))((()((()(,)))))

x M x y W y F x y x M x y W y F x y

2、求公式(())

=→∨∧⌝的主合取范式和主

G P Q R Q

析取范式，并求使G取值为

真的所有指派。

解：G的主析取范式：

(())

=→∨∧⌝

G P Q R Q

=⌝∨∨∧⌝=⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝

(())()()()

P Q R Q P Q Q Q R Q

P Q R Q P Q R R R Q P P =⌝∧⌝∨∧⌝=⌝∧⌝∧∨⌝∨∧⌝∧∨⌝

()()[()][()()]

=⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝

P Q R P Q R R Q P R Q P

()()()()

=∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝

()()()

P Q R P Q R P Q R

⌝=∧∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧∨⌝∧∧⌝()()()()()

G P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R

练习解答第1页（共9页）

所以()

=⌝⌝的主合取范式为

G G

=⌝∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨∧⌝∨∨∧∨⌝∨⌝∧∨⌝∨

()()()()()

G P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R

使G取值为真的所有指派为：(1,0,1),(0,0,1),(0,0,0)

注意：若没有要求用等值演算，也可采用真

值表求。

三、逻辑推理题

1、用演绎法证明：P→（⌝Q→R），⌝S∨P，⌝Q,

⌝R├⌝S.

（应注明每一步推理所采用的推理规则）。

证明：（1）()S

⌝⌝（假设，否定结论引入）

（2）S（（1）置换，T规则）

（3）S P

⌝∨（前提，P规则）

（4）P（（2），（3）析取三段论，T规则）

（5）()

→⌝→（前提，P规则）

P Q R

（6）Q R

⌝→（（4），（5）假言推理，T规则）

（7）Q⌝（前提，P 规则）

（8）R（（7），（6）

假言推理，T规则）

（9）R⌝（前提，P

规则）

（10）R R

∧⌝（（8），（9）合取，T规则）

所以

→⌝→⌝∨⌝⌝⇒⌝

(),,,

P Q R S P Q R S

2、找出下列推导过程中的错误，并问结论

是否有效？如果是，写出正确的推导过

程。

（1）))(

P

∀规则P（前提引入）

x→

x

Q

)

(

(x

（2）()()

→ (1) ∀-

P y Q y

（3）)(x

∃规则P（前提引入）

xP

（4）)(y P(3) ∃-

（5）)(y Q (2),(4)假言推理（6）)(x

∃ (5) ∃+

xQ

练习解答第2页（共9页）

解该推导过程中由（3）推出结论（4）是错误的。这是因为第（2）步中已有变元y出现，因此由第（3）步中应用∃-规则时,不能再引入变元y。……………… 3分

结论)(x

∃是有效的，其正确推导过程为：

xQ

（1）)(x

xP

∃规则P

（2）)(y P(1) ∃-

（3）))(

P

x→

x

∀规则P

(

)

(x

Q

（4）()()

→ (3) ∀-

P y Q y

（5）)(y Q (2),(4)假言推理

（6）)(x

∃ (5) ∃+

xQ

3、有红、黄、绿、白四队参加足球联赛，如果红队第三，则当黄队不是第二时，绿队第四。或者白队不是第一，或者红队第三。已知绿队不是第四。试证明：如果白队第一，那么黄队第二。

（要求：设P：白队第一；Q：黄队第二；R：红队第三；S：绿队第四。并写出前提和结论的符号化及推理过程。）

解前提：(),,

→⌝→⌝∨⌝

R Q S P R S

结论：P Q

→

证明：（1）P附加前提引入

（2）P R

⌝∨前提引入

（3）R