导数的应用(精品教案)

导数的应用（一）

【课前小测】

1. 曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )． A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15

2. 函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( )． A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1)，(0,1)

D ．[－1,0)，(0,1]

3. 若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9

4. 已知函数f (x )＝14x 4－4

3x 3＋2x 2，则f (x )( )．

A ．有极大值，无极小值

B ．有极大值，有极小值

C ．有极小值，无极大值

D ．无极小值，无极大值 5. 已知x ＞－1，则函数y ＝x ＋1

x ＋1的最小值为( )．

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

【知识梳理】

（一）利用导数研究函数单调性

①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()x f `≥0在(),a b 上恒成立；

③在区间(),a b 上为减函数⇒

()x f `≤0在(),a b 上恒成立.

利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: ①求()f x '，讨论()f x '的零点问题; ②确定()f x '在(),a b 内符号;

③若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在

(),a b 上是减函数

（二）利用导数研究函数的极值

极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）

当函数)(x f 在点0x 处连续时（何为函数在点上连续？），

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤： ①先留意下)(x f 的定义域，再求导函数()f x '；

②求方程()0f x '=的根0x ，判定0x 是否落在所关注的区间内；

③检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；“左负右正”

⇔()f x 在0x 处取极小值。

（三）利用导数研究函数的最值

最值定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在（,a b ）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 注意：若要在开区间上讨论最值问题，此时端点值取不到，可能不存在最值。

（四）一般的三次函数)0()(2

3>+++=a d cx bx ax x f 的图象与性质：

导函数2()32(0)f x ax bx c a '=++>，抛物线开口向上，记方程2

()320f x ax bx c '=++=的判别式 .1．函数的定义域与值域均为R 。

2．图象有两种形状：

（1）若2

2120b ac =-≤△()， 其导数恒大于等于0，

原函数无极值，原函数图象如右所示

（2）若22120b ac =->△()，令2

()320f x ax bx c '=++=

两根为12,x x 且12x x <，其原函数图象如右所示

3、三次函数的图象与x

轴的交点个数的问题即三次方程解的个数的问题 由三次函数的图象分析可得方程0)(=x f 的解有以下几种情况：

有且只有一个实数解⇒

12

1

x x =2

x x =

有两个不同的实数解⇒

有三个不同的实数解⇒

思考：三次函数

()(23+++=a d cx bx ax x f 的图象？？？

（五）用函数的单调性来证明不等式： ①当，有； ②当，有；

【导学一】利用导数求函数的单调区间

【例1】已知函数f (x )＝x

2

－ax ＋3在(0,1)上为

减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________．

【例2】已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，

则该函数的图象是( )．

12

【我爱展示1】

设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（ ）

【例3】已知()1

--=ax e x f x

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；

（3）是否存在a ,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

【我爱展示2】

已知函数()13--=ax x x f