大学物理2-1第四章(刚体力学)习题答案

习 题 四

4-1 一飞轮的半径为2m ，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程2at x =给出，其中2s m 0.2=a 。试求飞轮在t 时刻的角速度和角加速度。

[解] 设重物的加速度为t a ，t 时刻飞轮的角速度和角加速度分别为ω和β，则

a t

x

a 2d d 22t ==

因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 βR a =t 则 2t rad/s 0.22

0.222=?===

R a R a β 由题意知 t =0时刻飞轮的角速度00=ω

所以 s rad 0.20t t t ==+=ββωω

4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s 内其角速度均匀地增加到200min rad ，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s 后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间 [解] 分三个阶段进行分析

10 加速阶段。由题意知 111t βω= 和 112

12θβω= 得

2

21

11211t ωβωθ==

20 匀速旋转阶段。 212t ωθ=

30

制动阶段。331t βω= 332

1

2θβω= 2

23

13213t ωβωθ== 由题意知 100321=++θθθ 联立得到

πωωω21002

2

3

1211

1?=+

+t t t

所以 s 18360

2002560200

2660200210022=???-??-

?=

ππππt 因此转动的总时间 s 19418356321=++=++=t t t t

4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A ，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm ，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A 相邻的齿孔B 。(1)若测得这时齿轮的角速度为600r ，齿轮到反射镜的距离为500 m ，那么测得的光速是多大(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大 [解] (1) 齿轮由A 转到B 孔所需要的时间5

1031

26005002?=

?==

ππωθt 所以光速 s m 10310315002285

?=??==

T

L c

(2)齿轮边缘上一点的线速度 s m 1088.126001052

2?=???==-πωR v

齿轮边缘上一点的加速度 ()2

522

2s m 1010.71052600?=???==-πωR a

4-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s 与时间t 的关系为

2

0302

6t a t a s +=

τ。求证它的切向加速度每经过时间τ均匀增加0a 。 [证明] 该点的切向加速度 00

22t d d d d a t a t s t v a +===

τ

所以 ()00000t τt a a t a a t a a a =???

??+-??????++=-+τττ 因此，切向加速度每经过时间τ均匀增加0a

4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a 、b 。中心O 取为原点，坐标系如图所示。设薄板的质量为M ，求证薄板对Ox 轴、Oy 轴和Oz 轴的转动惯量分别为

2Ox 12

1

Mb J =

2Oy 121

Ma J = ()

22Oz

12

1

b a M J += [解] 根据转动惯量的定义 ?

=m r J d 2

对ox J 取图示微元，有 ?=m mb J 2ox

d 1212121mb = 同理可得 2oy 12

1

ma J =

对于 ????+

=+==m y

m x m y x m r J d d d )(d 2

2222oz

22ox oy 12

1

121mb ma J J +=

+=

4-6 一个半圆形薄板的质量为m 、半径为R ，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大

[解] 建立坐标系，取图示面积元 θd d d r r s =，根据转动惯量的定义有

???==π

θπθ

2

222ox d d 2sin d R

r r R m

r m y J 200

232

4

1

d d sin 2mR r r R m R

=

=

??πθπ

4-7 一半圆形细棒，半径为R ，质量为m ，如图所示。求细棒对轴A A '的转动惯量。 [解] 建立图示的坐标系，取图示l d 线元，θλλd d d R l m ==， 根据转动惯量的定义式有

??=='π

θθλ0

222

A A d sin d R R m x J

20

22

2

1

d sin mR mR =

=?π

θθπ

4-8 试求质量为m 、半径为R 的空心球壳对直径轴的转动惯量。 [解] 建立如图所示的坐标系，取一θθθd +→的球带，

θπd 2d rR s =它对y 轴的转动惯量

θππd 24d d 2

2

2

rR R

m

r m r I == 又 θcos R r =

x

y r

θ

0dr

r d θy

dm

θ

x

dm

z

O a

y

b

x

所以 θθd cos 2

d 32

mR I =

222

323

2

d cos 2d mR mR I I ===??-

π

π

θθ 此即空心球壳对直径轴的转动惯量。

4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为1m 和2m 的物体，且1m >2m 。设定滑轮是质量为M ，半径为r 的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 [解] 物体21,m m 及滑轮M 受力如图所示

对a m T g m m 1111:=- (1) 对a m g m T m 2222:=- (2)

对βJ r T r T M ='

-'21:

(3)

又 2/2Mr J = (4)

βr a = (5)

'

=11T T (6)

'

=22T T (7)

联立（1）-（7）式，解得

2/)(2121M m m g

m m a ++-=

g m M m m M m T 121212

/2

/2+++=

M

R

2

m 1

m 2

m 2

T ρm ρ2N ρg

M ρ2

T ρ1

T ρ1

m 1

ρg

m ρ1

g m M m m M m T 221122

/2

/2+++=

4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m =2kg 、r =0.05m ，M =8kg 、R =0.10m 。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力1T =1 kg ，2T =2kg 时，求鼓轮的角加速度。

[解] 根据转动定律，取顺时针方向为正

βJ R T r T =+-21 (1)

2/2/22MR mr J += (2)

联立(1)，(2)式可得 22

2

21rad/s 6.3422=++-=MR

mr R T r T β

4-11 质量为M 、半径为R 的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m 的人，在转盘上从静止开始沿半径为r 的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度

[解一] 取m 和M 组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为v ，圆盘的角速度为ω，设人转动方向为正方向，则 0)(=++ωωJ r v mr

(1) 而 2/2

MR J =

(2)

联立（1）、（2）式可得

2

22/mr

MR mvr

+-

=ω 人在转盘上走一周所用的时间v r t /2π=

转盘转过的角度为

πωθ22/2

22

mr MR mr t +-== 负号表示方向与正方向相反。

[解二]

由角动量守恒定律可解（见上）

v m MR

mr

22

)2(

+-

=ω

又因为 t

s

v t d d ,d d =

=θω 所以r s π2=?代入即可

πθ22/2

22

mr MR mr +-=

4-12 如图所示，一质量为m 的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合。圆盘形工件的内、外直径分别为1D 和2D 。该工件在外力矩作用下获得角速度0ω，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经历了时间t 。试求轴处所受到的平均阻力f [轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中心轴的转动惯量为

()22218

1

D D m +]。 [解] 根据角动量定理 12ωωI I t M -= 2

1

D f M ?

-= ()

2

2

218

1D D m I += 联立上述三式得到 ()

t D D D m f )4(12

2210+=ω

4-13 一砂轮直径为1m ，质量为50kg ，以900min r 的转速转动，一工件以200 N 的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为

22

1

mR ，其中，m 和R 分别为砂轮的质量和半径)。 [解] 根据角动量定理， 12ωωI I Mt -=

NR M μ-=

22

1

mR I =

02=ω

联立上述四式得到 5.08

.112002602900215020

=?????

==πωμNt

mR

4-14 以20m N ?的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s 内该轮的转速由零增大到100min r 。此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s 而停止，试求转轮的转动惯量。

[解] 设转轮的转动惯量为J ，摩擦力矩为f M ，则根据角动量定理

??=2

1

d d 0

L L t

L t M

考虑到本题力矩为常矢量，以外力矩方向为正方向，有 0)(1-=-ωJ t M M f (1) ωJ t M -=-02f

(2)

联立(1)、(2)式可得

100

10

60210060210010

202

11

ππω

ω?+??=

+=

t t Mt J 2kg.m 4.17=

4-15 设流星从各个方向降落到某星球，使该星球表面均匀地积存了厚度为h 的一层尘埃(h 比该星球的半径R 小得多)。试证明：由此而引起的该星球自转周期的变化为原来的自转周期的

()RD hd 5倍。式中R 是星球的半径，D 和d 分别为星球和尘埃的密度。

[解] 取星球和尘埃为研究对象，在尘埃落向星球的过程中，系统的角动量守恒。设开始时星球的转动惯量为1J ，角动量为1ω，星球的自转周期为1T ；当落上厚度为h 的尘埃后，转动惯量为

2J ，角速度为2ω，自转周期为2T ，由角动量守恒得：

2211ωωJ J =

而 1

12ωπ

=

T 2

22ωπ

=

T

得到

2

1

21J J T T =

设尘埃对自转轴的转动惯量为0J ，则 012J J J += 而 23

13

452DR R J π?=

因此 ()233

0343452dR R h R J ??

????-+=

ππ

所以 ()()[]

D d R h DR R dR R h R J J T T 113513

452343432113

23233

1012-++

=???????-++=+=πππ 又因为 h <

RD

hd

D R h d T T 51335112+

=+= 因此

RD

hd

T T T 5112=

-

4-16 如图所示的飞船以角速度s rad 20.0=ω绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量

2m kg 2000?=J 。若宇航员想停止这种转动，启动了两个控制火箭。它们装在距转轴r ＝1.5 m

的地方。若控制火箭以v =50s m 的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率s kg 2d d =t m 。试问这两个切向火箭需要开动多长时间 [解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统。在喷气过程中，dt 时间内喷出的气体为dm ，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为 mru mru L m

==

?0g d

当飞船停止转动时，它的角动量为零。

0=-ωI mru (也可由系统角动量守恒得)

所以 ru

I m ω

=

所求的时间为 s 67.250

5.122

.02000=???===ru I m t αωα

4-17 一冲床飞轮的转动惯量为2

m kg 25?，转速为min r 300，每次冲压过程中，冲压所需的能量完全由飞轮供给。若一次冲压需要做功4000J ，求冲压后飞轮的转速将减少至多少 [解] 设冲压后飞轮的转速为2ω，由动能定理得

2

222

2

212221ωωωω-=-=J

J J A 所以 rad/s 8.2525

4000

2)602300(

22212=?-?=-

=

πωωJ

A

4-18 擦地板机圆盘的直径为D ，以匀角速度ω旋转，对地板的压力为F ，并假定地板所受的压

力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为μ，试求开动擦地板机所需的功率(提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率)。 [解] 在圆盘上取一细圆环，半径r ，宽度为d r ，则其面积为r r s d 2d π=

此面积元受到的摩擦力为 ()r r D F

f d 22d 2

ππμ??

=

所以此面元所受的摩擦力矩为 f r M d d ?= 其方向与ω方向相反 其大小 r r D

F r r D F

r f r f r M d 8d 24d sin d d 22

2μππμθ=??

=== 又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为

FD r r D

F M M D μμ31d 8d 2

22

===?

? 所以所需要的功率 ωμωFD M N 3

1

==

4-19 如图所示，A 、B 两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连结。

轮A 的转动惯量2

1m kg 10?=J ，开始时轮B 静止，轮A 以

min r 6001=n 的转速转动，然后使A 与B 连结，轮B 得以加

速，而轮A 减速，直至两轮的转速都等于min r 200=n 为止。求：(1)轮B 的转动惯量；(2)在啮合过程中损失的机械能是多少

[解] (1)以飞轮A ，B 为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有

ωωω)(B A B B A A J J J J +=+

而 rad/s 202m

kg 101A 2

1A ππω==?==n J J

s rad 3

2020

B π

πωω=

==n 所以 2A A

B m kg 20103

2032020?=?-

=-=πππω

ωωJ J 在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为

2

)(22

B A 2

A A ωωJ J J E +-

=?

J 1032.1)3/20()2010(5.0)20(105.0422?=?+?-??=ππ