Chap2.1数列的极限
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
高等数学第2章第1节数列极限的概念
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限． 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n+-会任意小，只要n 充分大． 如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可； 要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n nαα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim 0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n+→∞-= . （2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明 （１） 关于ε：①ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n-都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列．数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
《数列的极限 》课件
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
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• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
第2章极限与连续
第２章 极限与连续２.１ 数列的极限1. 数列及其极限一、数列极限的描述性定义1.依照某种规律排列的一串数叫做数列。
数列中的每一个数叫做数列的项。
数列中的一般项称为通项,用x n 表示。
2.看几个数列的实例： 1,4,9,16,25,…,n 2,… 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,…3.数列可以看成为自变量取正整数值n 的函数 即:x n ＝f(n)4.数列的极限对于数列x 1,x 2,x 3,…,x n ,…，当项数n 无限增大时，它的通项x n 无限趋近于某一个常数a ，则称a 为数列{x n }的极限。
记作 a x n n =+∞→lim 或x n →a(n →+∞)5.具有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列 例如：⑴ ,21,,41,21,11-n ⑵ ,1)1(,,45,34,23,2n n n +---⑶ ,1,,43,32,21+n n⑷ 1,-4,9,-16,25,-36,…,(-1)n+1n 2,… 其中，⑴⑶是收敛数列，⑵⑷是发散数列。
[几点说明]1.数列的收敛与否与这个数列的增减性无关例如上面的收敛数列中，⑴是递减数列，⑶是递增数列。
常数列一定是收敛数列。
2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。
3.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。
例如，常数列可以达到它的极限，但上面的例子都不能达到它们的极限。
二、数列极限的精确定义 1.无限趋近于a 的意义是指：⑴随着n 的增大，数列的项x n 与a 之间的距离越来越小⑵只要n 足够大，数列的项x n 与a 之间的距离可以小于给定的任何正数 ⑶无论你给定一个多小的正数，都一定可以在数列中找到一项x N ，使这一项后面所有的项与a 之间的距离小于你给定的那个正数。
定义2.1对于给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个自然数N ，使得当n ＞N 时，不等式|x n －a|＜ε成立，那么，就称a 是数列{x n }的极限。
第二章--数列极限习题解答
第2章 数列极限§2.1 数列极限的概念一 基本内容一、数列极限的定义lim 0,0,n n n a A N n N a A εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．在用-N ε定义证明极限时有两种方法．1 分析法由不等式n a a ε-<寻找n 与ε的关系，从而求N 的方法称为分析法． 2 综合法由n a a -经放大得到n 的简易表达式，从而求出N 的方法称为综合法． 二、数列发散的定义0000lim 0, 0, , n n n a a N n N a a εε→∞≠⇔∃>∀>∃>∍-≥“”．数列{}n a 发散, lim n n a a a →∞⇔∀≠00, 0, (, )a U a εε⇔∀∃>∍“外有{}n a 的无穷多项”． 三、无穷小数列数列{}n a 称为无穷小lim 0n n a →∞⇔=．性质(1) 无穷小的和差仍是无穷小； (2) 无穷小的积仍是无穷小； (3) 无穷小与有界量的积仍是无穷小； (4) lim ()n n n a a a a →∞=⇔-为无穷小．二 习题解答1 设1(1)nn a n+-=，1,2,,0n a ==．(1) 对下列ε分别求出极限定义中相应的N ，10.1ε=，20.01ε=，30.001ε=；(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对？(3) 对给定的ε，是否只能找到一个N ？解：(1) 因为1(1)20n n a a n n +--=-≤，所以2n ε>时，n a a ε-<，故10.1ε=时，20N =；20.01ε=时，200N =；30.001ε=时，2000N =．(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这不能证明n a 趋于0．必须是0ε∀>，2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，0n a ε-<，才能证明n a 的极限为0．(3) 因为lim 00,0,0n n n a N n N a εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”，而1n N >+时，亦有0n a ε-<，故N 的选取不唯一．2 按-N ε定义证明．(1) lim11n nn →∞=+．证：因为11111n n n n -=<++，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时， 11nn ε-<+， 故lim 11n nn →∞=+． (2) 2233lim 212n n n n →∞+=-．证：因为222223323212124232n n n n n n n n n n +++-=<<--+-，所以0ε∀>，取1max 3,N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，2233212n n n ε+-<-，故2233lim 212n n n n →∞+=-． (3) !lim 0n n n n→∞=．证：因为!12310n n n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-=<⋅⋅⋅⋅，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N>时，!0n n nε-<，故!lim 0n n n n →∞=．(4) limsin 0n nπ→∞=．证：因为sin 0sin n n n πππ-=<，所以0ε∀>，取N πε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，sin 0n πε-<，故limsin 0n n π→∞=．(5) lim 0n n na→∞=(1)a >．证：设1a h =+，则10a h >⇒>，且当2n >时，21(1)(1)2n n a h n n h =+>-，于是2222440(1)(2)n n n n a a n h n n h nh -=<=<-+-，所以0ε∀>，取24max 2,N h ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，0n n aε-<，故lim 0n n na →∞=．3 指出哪些是无穷小数列？(1) n．解：因为1lim0(0)n n αα→∞=>，所以0n=．故是无穷小数列． (2) n解：因为1(1)n a >，所以1n =．故非无穷小数列．(3) 31limn n →∞． 解：因为1lim 0(0)n n αα→∞=>，所以31lim 0n n →∞=．故31n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列．(4) 1lim 3n n →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以1lim 03nn →∞=．故13n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列．(5)n解：因为lim 0(||1)n n q q→∞=<，所以0n =．故⎧⎫是无穷小数列． (6) n解：因为1(1)na >，所以1n =．故非无穷小数列．4 证明：若lim n n a a →∞=，则k N +∀∈，lim n k n a a +→∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，于是当n N >时，k N +∀∈，n k a a ε+-<，故lim n k n a a +→∞=．5 用定义证明(1) 数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．证：取012ε=，则2N ∀>，取01n N =+，则011112N n N ->>+，故数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．(2) 数列{}(1)nn -发散．3n >证：a R ∀∈，0a =时，取01ε=，则2N ∀>，取02n N =，则(1)0021n n N --=>，当0a ≠时，取01ε=，则||N a ∀>，取02n N =，则(1)02||1n n a N a N --≥->>，故数列{}(1)nn -发散．6 证明数列{}n a 收敛于n a a a ⇔-为无穷小数列，并用此结论证明(1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭． 证：()⇒设{}n a 收敛于a ，则lim n n a a →∞=，即0,0,n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒-<“”，于是lim 0n n a a →∞-=，即n a a -为无穷小数列．()⇐设n a a -为无穷小数列，则lim 0n n a a →∞-=，于是0,0,()0n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒--<“”，即lim n n a a →∞=．因为(1)111n n n -+-=，而1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列，所以 (1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭．7 证明若lim n n a a →∞=，则lim n n a a →∞=，举例说明反不成立．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，此时亦有||||n n a a a a ε-<-<，故lim n n a a →∞=．反之不成立，例如：(1)nn a =-，lim 1n n a →∞=，但lim n n a →∞不存在．8 用-N ε语言证明． (1)lim0n →∞=．证：0=<，所以0ε∀>，取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >0ε<，故lim0n →∞=．(2) 312lim0n nn →∞+++=．证：因为33212(1)1022n n n n n n n n n +++++-=<=，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，3120n n ε+++-<，故312lim 0n nn→∞+++=． (3) lim 1n n a →∞=，其中1, n n n n a n n -⎧⎪=⎪⎪⎩为偶数为奇数．证：当2n k =时，1111n n a n n--=-=；当21n k =+时， 111n a n-===<， 所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，1n a ε-<，故lim 1n n a →∞=．9 设,1n n a ∀≥-，lim 0n n a →∞=，用-N ε语言证明1n =．1n a=≤．证：因为lim 0n n a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a ε∍>⇒<“”，而1n a ≤，于是n N >1ε<，故1n =．10 利用上题结果求极限．(1)) limnn→∞．解：n==3322n--()22999222n nn nn=<=，故)3limnn→∞=．(2)n．解：=，所以1122-=-12n=<，故1n=．(3)n．解：因为=，11-=-=<<1n=<．故1n=．(4)n．提示：=．解：==，=<=故0n=．§2.2 收敛数列的性质一基本内容一、收敛数列的一般性质性质1 (唯一性) 若数列{}n a收敛，则极限唯一．性质2 (有界性) 若数列{}n a收敛，则必有界．性质3 (保号性) 若数列{}n a收敛，且lim0nna A→∞=>，则0,0nN n N a∃>∍>⇒>“”．性质3'(保号性) 如果limnna A→∞=，又, 0nn a∀>，则0A≥．性质4 (有序性) 设lim,nna A→∞=lim,nnb B→∞=(1) 若A B >，则0, n n N n N a b ∃>∍>⇒>“”； (2) 若0, n n N n N a b ∃>∍>⇒>“”，则A B ≥． 性质5 (夹逼性) 设lim lim n n n n a b l →∞→∞==，且数列{}n c 满足00, n n n N n N a c b ∃>∍>⇒≤≤“”，则{}n c 收敛，且lim n n c l →∞=．二、收敛数列的四则运算定理1 若{},{}n n a b 收敛，则{}, {}, {}, (lim 0)n n n n n n n n n n a a b a b a b b b →∞⎧⎫+-⋅≠⎨⎬⎩⎭也收敛，且(1) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+；(2) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞-=-；(3) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；(4) lim lim lim nn n n n nn a a b b →∞→∞→∞=．三、数列与其子列的关系数列{}k n 是自然数集的一个无穷子集，且严格单调上升，则数列12,,,,k n n n a a a 称为数{}n a 列的子列，记作{}k n a ．定理2 数列{}n a 收敛{}n a ⇔的任一个子列都收敛，且极限相同．二 习题解答1 求下列极限．(1) 32331lim 423n n n n n →∞++++．解：323323311311lim lim 2342344n n n n n n n n n n→∞→∞++++==++++． (2) 212lim n nn→∞+．解：221212limlim 0n n n n n n →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． (3) 11(2)3lim (2)3n nn n n ++→∞-+-+．解：111121(2)31333lim lim (2)33213nn n n n n n n +++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (4))lim n n →∞．解：)1lim2n n n n →∞-===． (5))lim10n n→∞+．解：)lim10lim 1lim 2lim 10n n n n n n n n →∞→∞+=+++ 10=．(6) 22111222lim 111333n n n →∞++++++． 解：2211122111112222lim lim 211111133333113n n n n n n →∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭+++-==⎛⎫+++- ⎪⎝⎭-．2 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，证明0,n n N n N a b ∃>∍>⇒<“”．证：因为lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，所以取2b aε-=，则110,2n b aN n N a a -∃>∍>⇒-<“”， 220,2n b aN n N b b -∃>∍>⇒-<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，2n n a ba b +<<，故结论成立．3 设{}n a 为无穷小数列,{}n b 有界,证明{}n n a b 为无穷小数列．证：因为{}n b 有界，所以0,,n M n b M ∃>∍∀≤“”，又{}n a 为无穷小数列，所以0,0,n N n N a Mεε∀>∃>∍>⇒<“”，于是n N >时， n n a b M Mεε<⋅=，故{}n n a b 为无穷小数列．4 求下列极限．(1) 111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭．解：111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭11111lim 12231n n n →∞⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭1lim 111n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． (2)22)nn →∞⋅． 解：22)nn →∞⋅2111222lim22n n +++→∞==．(3) 21321lim 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭． 解：设21321222n n n S -=+++，则13212122nn n S --=+++．于是 212222112222n n n n S --=++++-1112112122123122212n n n nn n ----=+⋅-=---， 所以21321lim 3222n n n →∞-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．(4)n ．解：因为，而2n ≥1≤=， 又1n =，所以1n =． (5) 222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭． 解：因为2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+，而21lim 0(2)n n n →∞+=，21lim0n n n →∞+=，所以222111lim 0(1)(2)n n n n→∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭． (6) 2lim nn →∞⎛⎫++． 解：2n≤++++，而1n n ==，1n n ==，所以2lim 1nn →∞⎛⎫++=+． (7) 2lim nn →∞⎛⎫++-． 解：同上得 2lim 1n n →∞⎛⎫+=-．(8) n n n→∞++．解：因为1n n ++≤<1n nn →∞++=． (9) n解：n≤1n =，1n ，所以1n ．5 设{}n a 与{}n b 一个是收敛数列，一个发散数列，证明{}n n a b ±是发散数列．又问{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列．证：不妨设数列{}n a 发散，数列{}n b 收敛，假设数列{}n n a b ±收敛，则{}{}n n n n a b b a ±=收敛，但{}n a 发散，矛盾，故{}n n a b ±发散．此结论对{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不成立，例如1n a n =，n b =0n n a b =→，0n na b =→．6 证明下列数列发散．(1) (1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭．证：因为n 为奇数时，lim(1)11nn nn →∞-=-+，n 为偶数时， lim(1)11n n nn →∞-=+， 所以(1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散．(2) {}(1)nn -．证：因为n 为奇数时，{}(1)nn -发散，所以{}(1)nn -发散．(3) cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．证：因为8n k =时，limcoslimcos214n k n k ππ→∞→∞==，84n k =+时， limcoslimcos(21)14n k n k ππ→∞→∞=+=-， 所以cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．7 判断下列结论是否成立(若成立，给出证明；若不成立，举出反例) ． (1) 若{}21k a -和{}2k a 都收敛，则{}n a 收敛；(2) 若{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛,且极限相同,则{}n a 收敛． 解：(1)结论不成立，例如：(1)n n a =-，(2) 结论成立．实因：{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛，且极限相同，不妨设32313lim lim lim k k k n n n a a a a --→∞→∞→∞===，则113222313330,0,0,0,k k k K k K a a K k K a a K k K a a εεεε--⎧∃>∍>⇒-<⎪∀>∃>∍>⇒-<⎨⎪∃>∍>⇒-<⎩“”“”“”，取123max{,,}N K K K =，则n N >时，n a a ε-<，故{}n a 收敛．8 求下列极限．(1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅． 解：因为1n =时，12≤，假设n k =时结论成立，即13210242n n -<⋅⋅⋅<，则1n k =+时，132121242(1)2(1)k k k k++⋅⋅⋅++==<<所以13210242n n -<⋅⋅⋅<，故1321lim 0242n n n →∞-⋅⋅⋅=．(2) 1!lim!np n p n =→∞∑．解：因为1!!(2)(2)!(1)!!2(1)!!n p n p n n n n n n =<<--+-+<-+∑，所以1!211!np p n n =<<+∑，故1!lim 1!np n p n =→∞=∑．(3) lim (1)n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，01α<<．解：因为10α-<，所以11(1)n n αα--+<，从而111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n ααααα---+=++<+=+，于是10(1)n n n ααα-<+-<，而1lim 0n n α-→∞=，所以lim (1)0n n n αα→∞⎡⎤+-=⎣⎦．(4) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞+++，1α<． 解：因为22(1)(1)(1)nααα+++22(1)(1)(1)(1)1nααααα-+++=-1211n αα+-=-， 所以221lim(1)(1)(1)1n n αααα→∞+++=-．9 设12,,,m a a a 为m 个正数，证明{}12max ,,,m na a a =．证：设{}12max ,,,m a a a M =，则n M ≤≤，而1n =，所以{}12max ,,,m n M a a a ==．10 设lim n n a a →∞=，证明(1) []limn n na a n→∞=．证：因为1[]n n n na na na -<≤，所以[]1n n n na a a n n-<≤，而lim n n a a →∞=，1lim n n a a n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故[]lim n n na a n →∞=． (2) 若0a >，0n a >，则1n =．证：因为lim 0n n a a →∞=>，所以取2aε=，则 0,2n aN nN a a ∃>∍>⇒-<“”，从而322n a a a <<1n =．§2.3 数列极限存在的条件一 基本内容一、单调有界定理定义1 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≥，数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≤．数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀>(严格单调上升)， 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀<(严格单调下降)． 定理1 单调有界数列必有极限．推论 如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调上升，则, n n a a ∀≤；如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调下降，则, n n a a ∀≥．二、柯西收敛准则数列{}n a 收敛0, 0, ,m n N m n N a a εε⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．> 0, 0, n+p n N p n N a a εε⇔∀∃>∍∀⇒-<“, >”． 数列{}n a 发散0000>0, >0, >, , - 00n +p n N n N p a a εε⇔∃∀∃∃∍≥0“”．二 习题解答1 利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求下列极限．(1) 1lim 1n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1nnn n n n e --→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2) 11lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1lim 1n nn n n e n n n +→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭． 解：11111lim 1lim 1lim 1111nn n n n e n n n +-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (4) 1lim 12nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：12211lim 1lim 122nnn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5) 21lim 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：212211lim 1lim 11nn nn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (6) 211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 提示：21111n n n +<-．解：因为211111111nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++≤+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211lim 1nn e n n →∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．2 试问下面的解题方法是否正确？ 求lim 2n n →∞．解：设2n n a =及lim n n a a →∞=，由于12n n a a -=，两边取极限()n →∞得2a a =，所以0a =．解：给出的解题方法错误．实因在{}n a 的极限存在时，才能设lim n n a a →∞=，而lim 2nn →∞发散，所以出现了错误的结论．3 证明下列数列极限存在，并求其值． (1)设1a =1n a +=1,2,n =．解：因为12a =，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，12k a +=从而,2n n a ∀<．又1,n n n a a +∀=>，所以{}n a ，于是由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=a =由此得2a =，0a =(舍去)，故lim 2n n a →∞=．(2) 设1a =(0)c >，1n a +=，1,2,n =．解：因为1a ，假设n k =时k a ，则1n k =+时，1k a +== 从而,n n a ∀．又 2,021(21)14n n n a a c ∀<<+-<+，于是2,nn n a a c ∀-<，所以1,n n n a a +∀=，即{}n a ． 由单调有界定理知{}n a 收敛，设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =，解之得a =，a =舍去)， 故lim n n a →∞=．(3) 设!nn c a n =(0)c >，1,2,n =．解：当[]n c >时，()[]110123[][]1123[]nc n c c a c c n c n+<=<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 而[]11lim0123[]c n c c n+→∞⋅=⋅⋅⋅⋅，故lim 0!nn c n →∞=．4 利用11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列的结论，证明111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列． 证：因为11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以2111,1121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫∀+>+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，于是 11111111111n n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111121n n n +-⎛⎫⎛⎫<++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭11111111221n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭121(1)(3)12(2)n n n n n +++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭1221431244n n n n n n +++⎛⎫=+⋅ ⎪+++⎝⎭1112n n +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭ ．5 应用柯西收敛准则，证明下列数列{}n a 收敛．(1) 2sin1sin 2sin 222n n na =+++． 证：因为12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p +++++++++ 12111111111222222n n n p n p n n ++++⎛⎫≤+++=-<< ⎪⎝⎭， 所以0ε∀>，取1max 1,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，0p ∀>，12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p ε+++++++++<， 故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．(2) 222111123n a n =++++． 证：因为222111(1)(2)()n n n p ++++++111(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p <+++++++-+111n n p n <-<+， 所以0ε∀>，取1N ε=，当n N >时，0p ∀>，222111(1)(2)()n n n p ε+++<+++，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．6 证明：若单调数列{}n a 含有一个收敛子列，则{}n a 收敛．证：不妨设{}n a ，且有收敛子列{}k n a ，记lim k n n a a →∞=，则{}kn a ，且,kn k aa ∀≤．于是,k k n k a a a ∀≤≤，即{}n a 有上界，故由单调有界定理知结论成立．(1)n >7 证明：若0n a >，且1lim 1n n n ar a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=．证：因为0n a >，且1lim 1n n n a r a →∞+=>，所以取012r ε-=，则110,2n n a r N n N r a +-∃>∍>⇒-<“”．即121n n a a r +<+．因为改变数列的有限项不改变数列的敛散性，所以不妨设120,1n n a n a r +∀><+，于是11211121201n n n n n n a a a a a a a a a r ----⎛⎫<=⋅⋅⋅⋅< ⎪+⎝⎭，而112lim 01n n a r -→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，故由夹逼性定理知lim 0n n a →∞=． 8 证明：若{}n a 为递增(递减)有界数列，则{}lim sup n n n a a →∞=，{}()inf n a ．又问逆命题是否成立．证：设{}n a ，因为{}n a 有界，从而有上确界，设{}sup n a a =，则,n n a a ∀≤，且0,0,N N a a εε∀>∃>∍>-“”，由单调性知n N >时，N n a a a a a εε-<≤≤<+，即n a a ε-<，故{}lim sup n n n a a a →∞==．同理可证{}n a 时，{}lim inf n n n a a →∞=．9 利用不等式11(1)()n n n b a n a b a ++->+-，(0)b a >>，证明111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递减数列，并由此推出11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为有界数列．证：当0b a >>时，1n ∀≥有1111()()n n n n n n b a b a b ab a b a ++---=-++++()(1)n b a n a >-+，于是1122(1)(1)()n n n n n b n b n a b a a a aa ++++⎛⎫>+-+=- ⎪⎝⎭．取111a n =++，11b n=+，则422(1)(1)(1)(2)2n b n n n n a a n n n +++-=-++3232441144n n n n n n+++=>++， 从而12n n b a ++>，即()()1211111n n nn +++>++，故()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭． 而121111(11)4n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界．10 证明：13, 1nn e n n ⎛⎫∀-+< ⎪⎝⎭．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n n e n +→∞+=，又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 且()1lim 1n n e n →∞+=，所以()()11111n n e n n ++<<+，于是()()()1111111n n n e n n n +-+<+-+()3111ne n n n n=+<<．故结论成立．11 给定两个正数11,a b 11()a b <，令11,2n nn n a b a b +++=(1,2,)n =， 证明lim n n a →∞、lim n n b →∞存在且相等．证：因为11,2n nn n a b n a b +++∀==，所以 1,{}n n n nn n n a b a a n a a a +++∀=≤=⇒ 且有上界1b ；1,{}n n n n b b b +∀=≥=⇒ 且有下界1a ，故由单调有界定理知lim n n a →∞、lim n n b →∞存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式12n n n a b a ++=两边取极限得2a ba +=，从而ab =，故结论成立．12 设{}n a 为有界数列，记{}1sup ,,n n n a a a +=，{}1inf ,,n n n a a a +=，证明 (1) {}n a 为递减有界数列，{}n a 为递增有界数列，且,,n m m n a a ∀≤．证：因为{}{}1121,sup ,,sup ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≥=，所以，而{}{}1121,inf ,,inf ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≤=，所以{}n a，于是当m n >时，n n m a a a ≤≤；当m n =时，n n m a a a ≤=；当m n <时，n m m a a a ≤≤．故结论成立．(2) 设lim , lim n n n n a a a a →∞→∞==，则a a ≤．证：在不等式n m a a ≤两边取极限即知结论成立． (3) {}n a 收敛a a ⇔=．证：()⇒设lim n n a →∞，则0,0N ε∀>∃>，2n n N a a ε∍>⇒-<“”，即,22n n N a a a εε∀>-<<+， 从而2n a a ε≤+，2n a a ε≥-，于是022a a a a εεε⎛⎫≤-≤+--= ⎪⎝⎭，故由ε的任意性知a a =．总练习题21 求下列数列的极限． (1) n解：因为3<=1n =，所以由夹逼性定理知3n =．(2) 5lim n n n e→∞．解：因为55550160(11)n n nn n nnn n n n e C C CC <<=<++++ 5(1)(2)(3)(4)(5)6!n n n n n n n =-----， 而5lim 0(1)(2)(3)(4)(5)6!n n n n n n n n →∞=-----，所以由夹逼性定理知 5lim 0n n n e→∞=． (3) lim n →∞．解：limn →∞limlimn n →∞→∞=- 0n n =-=．2 证明：(1) 2lim 0n n n q →∞=(1)q <．证：当0q =，结论显然成立，当0q ≠时，由1q <知11q>，令11h q =+，则3331(1)(1)(2)6n n n h h C h n n n q=+>=--，于是2236(1)(2)nn n q n n n h <--．而2223366(1)(2)(1)(2)nn n n q n n n h n n n h -<<----，又236lim 0(1)(2)n n n n n h →∞=--， 所以2lim 0n n n q →∞=．(2) ln lim0n nn α→∞=(1)α≥．证：因为2222ln 220n n n n n αααααα<<=，而22lim 0n n α→∞=，所以ln lim 0n nn α→∞=． 6n >(3)0n =．证：因为0(1)n n <=⋅⋅-111111223(1)n n n nn++++⋅⋅-<=，所以0<且0n =，故结论成立．3 设lim n n a a →∞=，证明(1) 12lim nn a a a a n→∞+++=，又问此等式能否反过来推出lim n n a a →∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以10,0N ε∀>∃>，12n n N a a ε∍>⇒-<“”，固定1N ，设112N M a a a a a a =-+-++-，则1n N >时， 12122na a a n N M M a nn n n εε+++--≤+⋅<+． 而lim 0n Mn →∞=，所以就上述2,0N ε∃>，22M n N n ε∍>⇒<“”，取 12max{,}N N N =，则n N >时，1222na a a a nεεε+++-<+=，故12lim nn a a a a n→∞+++=．反之不成立，例如(1)n n a =-，12lim 0n n a a an→∞+++=，但{}n a 发散．(2) 若,0n n a∀>，则n a ．证：因为lim n n a a →∞=，所以当0a =时，由平均不等式得120na a a n +++≤，从而0n a =．当0a ≠时，11lim n na a →∞=，则121111lim n n a a a n a→∞+++=， 于是12lim111n n na a a a →∞=+++，而1212111nn na a a nna a a +++≤≤+++，所以n a ．4 应用上题结论证明下列各题．(1) 1112lim 0n n n→∞+++=． 证：因为1lim 0n →∞=，所以1112lim0n n n→∞+++=． (2) 1n =(0)a >．证：设1a a =，1,1n n a ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是111lim n n x→∞=⋅⋅⋅=．(3) 1n =．证：设11a =，1,n nn a n ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是12n n n n ⋅⋅⋅=-． n(4)n=．证：设1nan=，则lim0nna→∞=，于是nn n=⋅⋅=．(5)ne =．证：因为1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以(1)limnnnnen→∞+=，于是由3(2)题的结论得nnen⋅⋅=．ne=，从而lim1n n nnen→∞==+．(6) 1nnn→∞++=．证：因为1n，所以31nnn→∞+=．(7) 若1lim nnnbab+→∞=，(0)nb>，则na=．证：设11a b=，11,nnnbn ab-∀>=，则1lim lim nnn nnba ab→∞→∞-==，于是1nn nnab-=⋅⋅=．5 证明：若{}n a为递增数列，为{}n b递减数列，且lim()0n nna b→∞-=，则limnna→∞与limnnb→∞都存在且相等．证：因为{}na，{}n b，所以数列{}n na b-．又lim()0n nna b→∞-=，于是sup{}0n na b-=，从而sup{}0n n n n n na b a b a b-≤-=⇒≤．由此知{}n a有上界1b，{}n b有下界1a，故lim nna→∞与limnnb→∞都存在．设limnna a→∞=，limnnb b→∞=，则lim lim lim()limn n n n nn n n na a a ab b b→∞→∞→∞→∞==--==，综上可知结论成立．6 利用单调有界数列必有极限的证明下列极限收敛，并求其极限．(1)116,na a+==(1,2,,)n=．解：因为165a=>，假设n k=时，5ka>，则1n k=+时，15ka+=>=，所以{}na有下界5．又1,n nn a a+∀=，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=a=解之得5a=，故lim5nna→∞=为所求．(2)115,na a+==(1,2,,)n=．解：因为156a=<，假设n k=时，6ka<，则1n k=+时，16na+==,所以{}na有上界．又1,n nn a a+∀=>，从而{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=两边取极限得a，解之得6a=，故lim6nna→∞=为所求．(3)112,na a+==(1,2,,)n=．解：因为12a=n k=时，ka<1n k=+时，1ka+===，所以{}na有上界．又nn1,nn a+∀=na==>，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=两边取极限得a=，解之得a，故limnna→∞=为所求．(4)11144,23n nna a aa+⎛⎫==+⎪+⎝⎭(1,2,,)n=．解：因为141a=>，假设n k=时，1ka>，则1n k=+时，114141123213k kka aa+⎛⎫⎛⎫=+>+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．所以{}na有下界．又141412323nn n nn n naa a aa a a+⎛⎫⎛⎫=+<+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()11122n n n na a a a=+<+=，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式11423n nna aa+⎛⎫=+⎪+⎝⎭两边取极限得1423a aa⎛⎫=+⎪+⎝⎭，解之得1a=，故lim1nna→∞=为所求．(5)11313,1nnnaa aa+-==+(1,2,,)n=．解：因为131a=>，假设n k=时，1ka>，则1n k=+时，131122111k k kkk ka a aaa a+-++-==>++．所以{}na有下界．又21313121111n n n nn n n nn n na a a aa a a aa a a+---+-==+-=++++2(1)1nn nnaa aa-=-<+，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1311nnnaaa+-=+取极限得311aaa-=+，解之得1a=，故lim1nna→∞=为所求．7 设数列{}n a满足0M∃>，对一切n∀，21321n n nA a a a a a a M-=-+-++-≤，证明数列{}n a与{}n A都收敛．证：因为n∀，21321n n nA a a a a a a M-=-+-++-≤，所以{}nA有上界，又{}nA，故由单调有界定理知{}nA收敛．于是，由柯西收敛准则知，0,0Nε∀>∃>，,n p nn N A A pε+∍>⇒-<∀“”，即12n n n pA A Aε++++++<．从而n N>时，21321()()()n p n n n n n n p n pa a a a a a a a+++++++--=-+-++-21321n n n n n p n pa a a a a aε++++++-≤-+-++-<，故由柯西收敛准则知{}n a收敛．8 设0a>,0σ>,112a aaσ⎛⎫=+⎪⎝⎭,112n nna aaσ+⎛⎫=+⎪⎝⎭,1,2,n=．证明数列{}na解：因为112a aaσ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，假设n k=时，ka1n k=+时112k kka aaσ+⎛⎫=+⎪⎝⎭所以{}n a有下界．又11122n n n n a a a a σ+⎛⎫⎛=+< ⎪ ⎝⎝⎭(()1122n n n n a a a a <<+=， 所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限得12a a a σ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解之得a = 故lim n n a →∞9 设110a b >>，记112n n n a ba --+=，11112n n n n n ab b a b ----=+，2,3,n =．证明数列{}n a 与{}n b证：因为11111122n n n n n n n n a b a b a b a b ------+=≥=+，所以 ,n n n a b ∀≥．于是n ∀，122n n n n n n a b a a a a +++=≤=，又 n ∀，12221111n n n n n nn n n na b b b a b a b b b +==≥=+++ ， 从而{}n a 且有下界1b ，{}n b 且有上界1a ，故{}n a ，{}n b 收敛．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+两边取极限得2a b a +=，2abb a b=+，从而得a b =．又111111111122n n n n n n n n n n a b a ba b a b a b a b --------+=⋅===+，所以11ab a b =，故lim lim n n n n a b →∞→∞==．10 按柯西收敛准则叙述数列{}n a 发散的充分必要条件，并用它证明下列数列{}n a 是发散的．(1) (1)n n a n =-； (2) sin2n n a π=． 解：{}n a 发散0000,0,,N n m N ε⇔∃>∀>∃>，000n m a a ε∍->“”．(1) 取01ε=，则0N ∀>，取001,3n N m N =+=+，于是00,n m N >，且00041n m a a ε-=>=，故{}(1)n n -发散．(2) 取01ε=，则0N ∀>，取002,2n N m N ππ=+=-，于是00,n m N >，且00021n m a a ε-=>=，故sin 2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．11 设lim n n b b →∞=，lim n n a a →∞=，记{}max ,n n n S a b =，{}min ,n n n T a b =，1,2,n =．证明 (1) {}lim max , n n S a b →∞=； (2) {}lim min , n n T a b →∞=．提示：参考第一章总练习题1． 证：(1) 因为{}()max ,2n n n n n n n a b a b S a b -++==，所以{}()lim max , 2n n a b a b S a b →∞-++==．(2) 因为{}()min ,2n n n n n n n a b a b T a b --+==，所以{}()lim min , 2n n a b a b S a b →∞--+==．12 证明下列不等式． (1) k n ∀<，k N ∈，111112121112!3!nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121111!k k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 证：因为k n ∀<，122111111nn n n n n C C C n n n n ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭1221111k n n n kC C C n n n >++++ 21(1)1(1)(1)112!!kn n n n n k n n n k n ---+=+⋅+⋅++， 所以()()()()111112121112!3!n n n n n+>+-+--+ ()()()1112111!k k n n n-+---． (2) 证明：()()11111nn e n n++<<+．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n n e n +→∞+=， 所以()111n e n+<+．又()11n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ ，且()1lim 1n n e n →∞+=，所以()11ne n +<．故()()11111n n e n n++<<+． (3) e e ⋅<<． 证：nn ⋅⋅== ()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ ⇒ ． 而n e =，于是,n e ∀<e <．又n n +⋅⋅=所以()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⇒ ， 而n e =，所以,n e ∀>．从而 1111(1)!!(1)n n n n n n n n n e n e e n n n nn ++-++>⇒>⋅>+，e ⋅>⋅e e ⋅<<． (4) 证明：11122!3!!e n >++++．证：因为 ()1,1mm e m∀>+， 当m n >时，()()()()111112211112!!n e m n m m m->+-++---，令m →∞，则11122!3!!e n >++++． (5) 证明：()1111122!3!!nn n +<++++． 证：()122111111nn n n n nC C C nn n n +=++++ 2(1)(1)2111112!!n n n n n n n n n n--⋅=+⋅+⋅++⋅()()()()111112211112!!n n n n n n-=+-++---11122!3!!n <++++．(6) 证明：()111lim 22!3!!n e n →∞++++=． 证：因为()1111122!3!!ne n n +<++++<，而()1lim 1nn e n→∞+=，所以()111lim 22!3!!n e n →∞++++=． 13 求极限0n x ≥ ⎝．解：当01x ≤≤时，21132nnx x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，所以此时nn。
2.1数列极限
设有一圆，其内接
正六边形的面积 A1
R
正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
则得一数列：
A1 , A2 , A3 ,, An ,
显然，An却不会等于圆面积，但是，这些正多 边形的面积必将随着边数的增加而不断接近圆的面
积，这个“不断接近”的过程就是一个极限的过程。 而且，当 n 时，An无限接近于圆的面积。
证
反证法 设
lim
n
xn
a, lim n
xn
b,
且a b
取
b
2
a
，由定义有
自然数N1,当
n
N1 时
xn
a
ba 2
a
ba 2
x
a
ba 2
(1)
自然数N2, 当 n N2 时
ba
ba
ba
xn b 2 b 2 x b 2 (2)
取 N max{N1, N2}, 当 n N 时，(1)与(2)同时成立
1
xn
1
; 10000
显然 1 , 1 , 1 一个比一个小，但毕竟是确定数。 10 100 10000
一般地，要使 xn 1 ( 可以任意小), 只要
n
1
1
即可，即从第[
1
1]
项开始，以后所有项
都满足 xn 1 .
同理可观察数列(2)，用数学语言表达为：
定义2 设{xn}是一个数列，a为一个确定的数。若
2 ,,
,1 (1)n , ;
n
23
n
(3) {2n},
即 2,4,6, ,2n, ;
1 (1)n
(4) {
2.1 数列及其极限
2.1 数列及其极限当前讲授一、数列的概念引例公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子在《庄子·天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．它用一个很朴素、很形象的例子说明了物质的无限可分性．我们把逐日取下的棰的长度顺次排列出来，便得到一串按一定顺序排列的无穷多个数，，，……，，……．这一串数就构成了一个数列．定义：称按一定顺序排列起来的无穷多个数，，，…，，…为数列，其中的第项为数列的通项或一般项．数列常简记为．说明：数列可以理解为正整数的函数，从而也可以写成，它的定义域是全体正整数．例如，引例中的数列的通项可以写为．定义：对于数列，若有成立，则称数列单调增加；若有成立，则称数列单调减少．单调增加和单调减少的数列统称为单调数列．对于数列，若存在正数，使得对于所有的，都有，则称数列有界，否则称数列为无界．二、数列的极限定义：当无限增大时，如果数列的一般项能无限接近于某个确定的常数，则称数列以为极限或称数列收敛于，记为或其中表示无限增大．如果时，不能无限接近于某一个确定的常数，则称数列发散或不收敛．典型例题例2.1.1 观察下列数列的敛散性，并在收敛时求出其极限．(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ．解(1) ∵时，一般项无限接近于0，∴，即数列收敛于0．(2) ∵时，一般项无限接近于0，∴，即数列收敛于0．(3) ∵这个数列的特点是正项和负项交错排列，在变大的过程中，数列的取值虽然会在0点两侧来回变动，但会分别在两侧越来越接近0，当时，能无限接近0，∴，即数列收敛于0．(4) 这个数列的特点也是正项和负项交错排列．因为这个数列总在1和之间来回取值，没有一个确定的趋向，所以此数列发散，即极限不存在．(5) 当时，一般项也无限增大，可记为，所以数列发散，即极限不存在．(6) 这个数列是常数列．显然，，即常数列收敛于．几点说明：(1) 数列的极限反映了数列的变化趋势．例如数列的极限反映出该数列的变化趋势．(2) 以零为极限的变量称为无穷小量，例如，因为，，，所以、、都是当时的无穷小量．(3) 绝对值无限变大的变量称为无穷大量，例是时的无穷大量．如果我们再分细一点，当时，相应的取值在数轴上是沿轴正向运动，无限变大，而相应的取值在数轴上是沿轴负向运动，绝对值无限变大，可分别记为和．三、收敛数列的基本性质性质1(极限的唯一性) 若数列收敛，则其极限唯一．性质2(收敛数列的有界性) 收敛数列必然有界．性质2的逆命题是不成立的，即有界数列未必收敛．例2.1.1中的数列就是一个有界数列，但它是发散的．注意：数列有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件．思考无界数列是否收敛？无界数列不满足收敛的必要条件，所以是发散的．例如数列的项排列为，显然此数列无界，所以它是发散的．性质3（保号性）(1)设，若（或），则存在正整数，使得时，（或）．(2)设，若存在正整数，使得时，（或），则（或）．性质3中的第(1)条是说，若数列的极限大于零，则该数列从某项开始，后面所有的项全大于零；若数列的极限小于零，则该数列从某项开始，后面所有的项全小于零．简述为：当充分大时，数列的项与其极限值保持相同的符号．性质3中的第(2)条是说，若收敛数列从某项开始，后面所有的项全大于零，则其极限一定不会是负数；若收敛数列从某项开始，后面所有的项全小于零，则其极限一定不会是正数．四、数列极限的运算法则及存在法则1、四则运算法则设，，则(1)；（简述为：代数和的极限等于极限的代数和）(2)；（简述为：乘积的极限等于极限的乘积）(3)（此时）．（简述为：商的极限等于极限的商，但要求分母的极限不为零）其中(1)和(2)可推广至有限项的情形．推论设，则(1)，为常数，即常数因子可以提到极限号外．(2)，为正整数．在中令是常数列即可推得(1)．对于任意正整数，有．注意：四则运算法则的应用前提是及均存在．例如，，但不能写为：．2、极限存在的两个准则准则1（夹逼定理）若数列，，满足不等式，且，，则数列收敛，且．准则2单调有界数列必有极限．根据此准则，运用一定的技巧，我们可以证明数列是收敛的，且，是一个无理数．它的值是，通常取．指数函数和自然对数函数中的底数就是这个常数．说明：(1) 这是一个非常重要的极限类型，将作为公式应用．括号内的变量是趋向1的，指数趋向于，记作“”，以后遇到“”型极限可考虑使用它．(2) 此极限式更一般的形式为，若在自变量的某一变化过程中，，即是无穷小量，则．例如，．典型例题例 2.1.2求下列数列的极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；解(1) ．(2) ．(3) ．(4)．以上四个极限题有共同之处，都是求分式的极限，且当时，分子分母均是无穷大量．我们把这种类型的极限叫做无穷大比无穷大型，记为．例 2.1.3求下列极限：(1) ；(2) ．解(1) ．(2) ∵，即，而，，由夹逼定理，即得．例 2.1.4在下列式子中，错误的选项是（）．(A) ；(B) ；(C) ；(D) ．分析此题4个选项均为“”型极限，所以考虑利用重要极限．解(1) ∵．∴(A)正确．(2) ∵．∴(B)正确．(3)．∴(C)正确．(4) ∵，∴(D)不正确．也可以这样求极限：．备注：本题用到初等数学中的公式：，．小结(1)数列极限的概念；(2)无穷小量和无穷大量的概念；(3)收敛数列的基本性质；(4)数列极限的四则运算法则；(5)数列极限存在的两个准则；(6)重要极限及其在解“”型极限题中的应用．。
高数讲义系列之二
高数讲义系列之二高数讲义系列之二第二章极限与连续2．1数列的极限1、数列：按照某一规律排列的无穷多个数，叫无穷数列，记为｛a n｝=a1,a2,a3…a n…,其中每一个数叫做数列的项，第n项a n叫数列的通项。
2、观察一组数列，当项数n无限增大时，a n是否无限趋近于一个常数①0，1/2，1/22…1/2n-1… 该数列数值越来越趋近于0，极限等于0②1,-1/2,1/3,-1/4…(-1)n+11/n…该数列数值越来越趋近于0，极限等于0③1,1/2,2/3,3/4…n/n+1…该数列数值越来越趋近于1，极限等于1④1,-1,1,-1…(-1)n+1…该数列数值越来越趋近的数不唯一，极限不存在⑤1,3,5,7…2n-1…该数列数值越来越趋近无穷大，极限不存在（或∞）3、数列极限的定义：对于数列｛a n｝，当项数n趋近无穷大时（n→∞），若通项a n无限接近于一个确定的常数A（a n→A），则A是｛a n｝的极限。
记为：lim a n = A 含义是：n→∞，a n→A注意：①极限是一个常数，极限是A，并不表示取到了A，而是无限趋近于A。
②极限不存在有两种情况：1）无穷大2）不唯一③常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
④若极限存在，则数列收敛，若极限不存在，则数列发散。
4、几个常用极限①n→∞, q n→0 (|q|<1)，即-1与1之间的数乘无穷大次方趋近于0②n→∞,a开n次方→1 （a>0），即大于0的数开无穷次方趋近于1③n→∞，a→a，即常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
作业：习题2-1（P21）：1、22．2 数项级数的基本概念1、数项级数的定义：给定一个数列：｛u n｝=u1,u2,u3…u n…,将所有项相加：∑u n= u1+u2+u3+…+u n+…形成的式子叫数项无穷级数，简称级数，u n是一般项或通项。
2、级数与数列的区别与联系：①数列关注的是某一项的值，级数关注的是所有项的和。
第二章 数列极限
注 5 “ ε − N ”定义的否定叙述： lim an ≠ a ⇔ ∃ε 0 > 0 ， ∀N ∈ N * ， ∃n0 > N 使
an0 − a ≥ ε 0 。
按定义验证 lim an ≠ a 的关键是求出不等式组（视 N 为定数，视 n 0 、 ε 0 为待求数）
n →∞
n0 > N ， an0 − a ≥ ε 0
显然看出 lim
n →∞
。 关） ，使 an0 − a ≥ ε 0 ” 验证分析：取 ε 0 =
1 ， 200
an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ；
对 N = 1 ， ∃ n0 = 201 > N ⇒ 对 N = 10 ， ∃ n0 = 210 > N ⇒
定义 1*： lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ，在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项。
n →∞
lim an ≠ a ⇔ ∃ ε 0 > 0 ，在区间 (a − ε 0 , a + ε 0 ) 之外有 {an } 的无限项。
n →∞
四
收敛与发散的概念
数列{ an }收敛 ⇔ { an }存在有限极限；
( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项，则称 {an } 收敛于 a ，记作 lim an = a 。
n →∞
注 2 在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项 ⇔ ∃N , ∀n > N ，有 an − a < ε 。 事实上： “⇐” 已知 ∃N ，∀n > N 有 a − ε < an < a + ε ，这说明在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多