2020版高考数学一轮复习课时规范练63坐标系与参数方程理北师大版

课时规范练63 坐标系与参数方程
基础巩固组

1.已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

2.(2019届广东珠海9月摸底,22)在直角坐标系xOy中,直线l过定点P(1,-)且与直线OP垂直
.
以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-2cos θ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;

(2)设直线l与曲线C交于A、B两点,求的值.
3.(2018河南一模,22)在直角坐标系xOy中,已知直线l1:(t为参
数),l2:(t为参数),其中α∈0,,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相
同长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0.
(1)写出l1,l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设l1,l2分别与曲线C交于点A,B,点A,B都不是坐标原点,求|AB|的值.

4.(2018江西师大附中三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(θ为参数),在以
O
为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin(α-θ)=2sin α.其中α为直线l的倾斜
角(α≠0)
(1)求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)直线l与x轴的交点为M,与曲线C1的交点分别为A,B,求|MA|·|MB|的值.
5.(2018湖北5月冲刺,22)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(,0),倾斜角为,以坐标原点
O
为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)求直线l的参数方程;
(2)若A点在直线l上,B点在曲线C上,求|AB|的最小值.

6.(2018河南郑州摸底)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已
知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为4,,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆
心,4为半径.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(2)试判定直线l圆C的位置关系.
综合提升组
7.(2018广西钦州第三次质检,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,
以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线
C
的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0.
(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;
(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.

8.(2018重庆西南大学附中模拟)已知平面直角坐标系xOy中,过点P(-1,-2)的直线l的参数方程
为(t为参数),l与y轴交于点A,以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcos θ(m>0),直线l与曲线C交于M、N两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的一个极坐标;
(2)若=3,求实数m的值.
创新应用组
9.(2018河北衡水中学押题一)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极
点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,
B
两点.
(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;
(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.
10.(2018湖南长沙模拟二)在直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=2,曲线C的参数方程为
(α为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;
(2)射线OM:θ=β其中0<β≤与曲线C交于O,P两点,与直线l交于点M,求的取值范围.

参考答案
课时规范练63 坐标系与参数方程
1.解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到直线l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.
当sin(θ+α)=-1时,| PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
2.解 (1)曲线C的直角坐标方程为y2=2x,
直线l的参数方程为(t为参数).
(2)设点A、B对应的参数分别为t1、t2,
将直线l与曲线C的方程联立得t2-8t+4=0,(*)

可知t1,t2是(*)式的两根,则
故t1、t2同正.
+=+===2.
3.解 (1)l1,l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R),θ2=α+ (ρ∈R).
曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0,即为ρ2-4ρcos θ=0,
利用ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,
得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.

(2)因为ρ1=4cos α,ρ2=4cosα+,

所以|AB|2=+-2ρ1ρ2cos=16cos2α+cos2α+-cos
αcosα+

=16cos2 α+(cos α-sin α)2-cos α(cos α-sin α)=
8,

所以|AB|的值为2.
4.解 (1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=4,
直线l的直角坐标方程为xsin α-ycos α=2sin α.

(2)直线l与x轴的交点为M(2,0),直线l的参数方程可设为(t为参数),
将直线l的参数方程代入圆C1的方程(x-1)2+y2=4,
得t2+2tcos α-3=0,
故|MA|·|MB|=|t1·t2|=3.
5.解 (1)直线l的参数方程为

(t为参数),

即(t为参数).
(2)由(t为参数),
得x-y-3=0.
由ρ=2sin θ
得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,
即x2+(y-1)2=1.
所以曲线C是以点Q(0,1)为圆心,1为半径的圆.

又点Q到直线l:x-y-3=0的距离为d==2.
故|AB|的最小值为2-1=1.
6.解 (1)直线l的参数方程为(t为参数),

则(t为参数),M点的直角坐标为(0,4),
圆C的方程为x2+(y-4)2=16,且
代入得圆C极坐标方程为ρ=8sin θ.
(2)直线l的普通方程为x-y-5-=0,

圆心M到直线l的距离为d==>4,
∴直线l与圆C相离.
7.解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,直线l的

参数方程为(t为参数),
将参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos α+12=0.
∵直线l与曲线C
有公共点,

∴Δ=64cos2α-
48≥0,

∴cos α≥,或cos α≤-.
∵
α∈[0,π),

∴α的取值范围是0,∪,π.
(2)曲线C的方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,
其参数方程为(θ为参数),
∵M(x,y
)为曲线上任意一点,

∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+2sinθ+
,

∴x+y的取值范围是[1-2,1+2 ].
8.解 (1)∵ρsin2θ=mcos θ,∴ρ2sin2θ=mρcos θ,
∴y2=mx(m>
0),

A点坐标为(0,-
1),

其一个极坐标为A1,π.

(2)将(t为参数),代入y2=mx,得t2-(4+m)t+m+4=0.
∵=
3,

∴t1=3t2.

∴∴m=.
9.解 (1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,
解得t1=0,t2=-2.
所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1-t2|=2.
(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.
圆C的参数方程为

(θ为参数),
可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离
d==2cosθ+-.

当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+.
所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2.
即△ABP的面积的最大值为2+2.
10.解 (1)∵
∴直线l的极坐标方程是ρcos θ=
2,

由消参数得x2+(y-2)2=4,
∴曲线C
的极坐标方程是

ρ=4sin θ.

(2)将θ=β分别代入ρ=4sin θ,ρcos θ=2,得|OP|=4sin β,|OM|=,
∴

=sin 2β.
∵0<β≤,∴0<
2β≤,

∴0<
sin 2β≤,

∴的取值范围是0,.