湖北艺考生高考数学讲义-平面向量、解析几何

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2020届新高考数学艺考生总复习第四章第2节平面向量的基本定理及坐标表示课件

1．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且 λ＋μ＝1 常被当作隐含条件运用． 3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
考点二平面向量的坐标运算(自主练透)
[题组集训]
1．若向量 a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，52，则 c 可用向量 a，b 表示为( )
A.12a＋b
B．－12a－b
C.32a＋12b
D.32a－12b
解析：A [设 c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→ ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ (x2－x1，y2－y1) ，
→ |AB|＝
x2－x12＋y2－y12 .
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2)如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝ mA→B＋121A→C，则实数 m 的值为 ______ .
[解析] 设|B→P|＝y，|P→N|＝x，
则A→P＝A→N＋N→P＝14A→C－x＋x yB→N，①
A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋x＋y yB→N，②
①×y＋②×x 得A→P＝x＋x yA→B＋4x＋y yA→C，
令4x＋y y＝121，得 y＝83x，代入得 m＝131.
[答案]
3 11
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

备战(湖北版)高考数学分项汇编专题05平面向量(含解析)理

【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编专题05 平面向量（含解析）理一．选择题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =( )A ．（31,22）B ．（13,22）C ．（133,44） D ．（1,0）2. 【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若1,2＝且AB OQ PA BP ⋅=，则点P 的轨迹方程是（）A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y x C. )0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x3. 【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（）A.(-15,12)B.0C.-3D.-11【答案】C【解析】试题分析：由题意知，)6,5(2-=+b a ，所以3)2(-=∙+c b a ，选C.4.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于（） A.)2,6(-π B.)2,6(π C.)2,6(--π D.)2,6(π-5. 【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实m 使得AB AC mAM +=成立，则m =（）A.2B.3C.4D.5 【答案】B【解析】试题分析：因为0MA MB MC ++=,所以M 为ABC ∆的重心.如图所示，在ABC ∆中，点G 是边BC 的中点，所以2AB AC AG +=，又因为23AM AG =, 所以23AB AC AG AM +==，故 3.m = G MCB A6.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于（）A ．4π-B ．6πC ．4π D ．43π 【答案】C【解析】试题分析：(1,2)a ∴=，(1,1)b =-，22(1,2)(1,1)(3,3)a b ∴+=+-=，(1,2)(1,1)(0,3)a b -=--=，设2a b +与a b -的夹角等于θ，2222(3,3)(0,3)92cos 2923303θ∴===+⋅+，4πθ∴=，选C . 7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-二．填空题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 .【答案】[-6,2]【解析】试题分析：∵22222||28252(102)134a b a b ab k k k k +=++=+++-+=++,由题意得k 2+4k+-12≤0,解得-6≤k ≤2,即k 的取值范围为[-6,2].2. 【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .【答案】（Ⅰ）31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）255- 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则2. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷11】设向量)3,3(=a ，)1,1(-=b ，若)()(b a b a λλ-⊥+，则实数λ= .三．解答题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.【解析】依题意,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-= .23)(2t x x x f ++-='则若函数)(x f 在)1,1(-上是增函数，则在)1,1(-上0)(≥'x f ，所以x x t 232-≥在)1,1(-恒成立，设x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为直线31=x 且开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即故实数t 的取值范围是5≥t .2.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知向量(c o s ,s i n ),(c o s ,a a abc ββ===-r r r （Ⅰ）求向量b c +的长度的最大值；（Ⅱ）设a 4π=，且()a b c ⊥+，求cos β的值。

高考数学复习专题07 平面向量(解析版)

专题07平面向量考纲解读三年高考分析1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量基本定理和向量的坐标运算是考查的重点，解题时常用到等价转化的数学思想和数形结合的数学思想，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度. 1、主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.2、主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.3、主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD ＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD 交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．1．【山东省聊城市2019届高三三模】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B 【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B2．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知向量a r与b r 的夹角为120︒，3a =r，||13a b +=rr，则||b =r（） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】解：根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+r r r r r r 293||||13b b =-+=r r ；∴解得4b =r，或1-（舍去）．故选C ．3．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合】已知1a =r ，2b =r ()a ab ⊥-r r r ，则向量a r 在b r方向上的正射影的数量为（）A ．1B 2C ．12D ．22【答案】D 【解析】由()a a b ⊥-r r r 得()0a a b ⋅-=r r r ，所以1a b a a ⋅=⋅=r r r r，所以向量a r 在b r方向上的正射影的数量为2cos ,22a b a a b b⋅===r rr r r r ，故选D.4．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO uuur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C5．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习】已知平面向量,a b r r 的夹角为23π，且1,2a b ==r r ，则a b +=r r（）A ．3B ．3C ．7D ．7【答案】B 【解析】22221||||||2||||cos 14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭r r r r r r ,所以a b +=r r3故选:B.6．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅u u u r u u u r的最小值是（）A ．95- B ．0C ．45-D ．1【答案】A 【解析】由等腰梯形的知识可知5cos B = 设BP x =，则5CP x =，∴2565·()?··1?·((5)?·(1)55EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x x u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=-+-=-，05x Q 剟∴当35x =时，·EP BP u u u v u u u v 取得最小值95-．故选：A ．7．【广东省2019届高三适应性考试】已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则（）A ．0OM BC •=u u u u r u u u rB ．0OM AB •=u u u u r u u u rC ．//OM BC u u u u r u u u rD ．//OM AB u u u u r u u u r【答案】D 【解析】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+u u u u r u u u r u u u r，230OA OB OC u u u r u u u r u u u r r ++=，可得OA OC ++u u u r u u u r 2（OB OC +u u u r u u u r）23OA OB OA +=-+u u u r u u u ru u u r 40OM =u u u u r r ，即2（OA OB u u u r u u u r -）+120OM =u u u u r r ，可得AB =u u u r6OM u u u u r ，即OM u u u u r ∥AB u u u r ，故选：D ．8．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u r（）A ．4B ．6C ．23D ．3【答案】B 【解析】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B ．9．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试】在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB =，1AC =，E ，F 为AB 的三等分点，则CE CF u u u v u u u v⋅=（）A ．89B ．109C ．179D ．259【答案】C 【解析】因为AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，化为AB AC 0⋅=uu u r uu u r，因为2AB =，1AC =，所以224,1AB AC ==u u u r u u u r ，又因为E ，F 为AB 的三等分点，所以()()E C CF CA AE CA AF ⋅=+⋅+uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r1233CA AB CA AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r2229CA AB CA AB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r21714099=+⨯+=，故选C.10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u u r ()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（）A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .11．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r 若CP C 12,Q ⋅=uu r uu u r则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 12．【广东省2019届高考适应性考试】若向量a r ，b r ，c r满足a b ≠r r ，0c ≠r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则a b a bc++-r r r r r 的最小值是（） A 3 B ．22C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，c OC =r u u u r ,则由()()0c a c b -⋅-=r r r r 得0AC BC ⋅=u u u r u u u r,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB u u ur ，因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r 从而2a b a bc++-≥r r r r r ，选C. 13．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知12,e e u v u u v 是夹角为3π的两个单位向量，向量122a e e =+v u v u u v ，12b ke e =-v u v u u v ，若0a b ⋅=v v，则实数k 的值为____．【答案】54【解析】()()121202ke a b e e e ⋅==+-⋅v v u v u u v u v u u v ，因为22121e e ==u v u u v ，1212e e ⋅=u v u u v ，所以1522022a b k k k ⋅=-+-=-=v v ，所以54k =，填54.14．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】在ABC ∆中，3AB =，2BC =，7AC =，则BA BC ⋅=u u u v u u u v______．【解析】解：在ABC ∆中，3AB =，2BC =，7AC =，可得9471cos 2322B +-==⨯⨯，则13232BA BC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r .故答案为：3．15．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】已知向量(1,2)a =v，(2,1)b =v ，(1,)c n =v，若(23)a b c -⊥v v v，则n =_____【答案】4 【解析】23(4,1)a b -=-v r；∵()23a b c -⊥v v r ；∴()230a b c -=v vr g；∴4n =．故答案为：4．16．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知平面向量1a =r，2b =r ，223a b r r +=，则a r 在b r方向上的射影为_____．【答案】12【解析】223a b +=r Q r ()222222448412a b a ba ab b a b ∴+=+=+⋅+=+⋅=r r r r rr r r r r解得：1a b ⋅=r ra ∴r 在b r 方向上的射影为：1cos ,2a b a a b br r r r r r ⋅== 本题正确结果：1217．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三】已知向量()cos ,sin a θθ=r，向量(1,22b =-r ，则3a b -r r的最大值是______.【解析】由题意，向量()cos ,sin a θθ=r ，则()33cos ,3sin a θθ=r，所以向量3a r的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由3b =r，则其终点也在此圆上，当3a r 与b r反向时，3a b -r r 为最大，最大值为6.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=u u u v u u u v，点P 在边CD 上，则AP PC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______．【答案】250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为点P 在边CD 上，所以设()01DP λDC λAB λ==≤≤u u u r u u u ru u u r ，则 λAP AD DP A A D B =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，() 1PC λAB -=u u ur u u u r ，所以()()1PC A AP D λλAB AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()223 141161612445224λλλλλλ⎛⎫=-+-⨯=-++=-- ⎪⎝+⎭，又01λ≤≤，所以2504AP PC ≤⋅≤u u u r u u u r ，故答案为250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】直线x y a +=与圆C ：()2212x y -+=交于A ，B 两点，向量CA u u u r ，u u rCB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数a 的取值集合为______.【答案】{}12,12+ 【解析】解：由CA u u u r ，u u r CB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得CA CB ⊥u u u r u u u r ，圆C ：()2212x y -+=的圆心为()1,0，半径为2，点C 到直线x y a +=的距离为1，由112a d -==，得12a =±.故实数a 的取值集合为{}12,12-+.20．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟】如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，10cos24ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．165【解析】因为10cos24ABC ∠=，所以22101cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，8325355c a ⨯+≤=，当且仅当855a =，515c =时等号成立，故填165 5.1．在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值为5．【解答】解：设k，则k∈[0，1]；建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（，），C（，），由k，k，可得k（2k，k），同理可得（2k，），∴•（2k）（2k）k＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，∵k∈[0，1]，∴﹣（k+1）2+6≥﹣1+6＝5，•的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．故答案为：D．2．已知，，若，则k＝8．【解答】解：2（9，2+2k），3（﹣1，6﹣k）；∵（2）∥（3），∴9（6﹣k）﹣（﹣1）（2+2k）＝0，解得k＝8．故答案为：8．3．已知非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4）则，夹角的余弦值为【解答】解：∵非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4），∴||||，且•（﹣4）40，即．设，夹角为θ，则cosθ，故答案为：．4．已知向量，且，则与的夹角为．【解答】解：∵；∴；∴4k＝3；∴；∴，且；设与的夹角为θ，则：；又0≤θ≤π；∴．故答案为：．5．已知，且，共线，则向量在方向上的投影为．【解答】解：由，且，共线，得1×（﹣4）﹣2t＝0，解得t＝﹣2．∴向量在方向上的投影为．故答案为：．。

高考数学讲义含试题答案解析——平面向量的概念及其线性运算

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念2．向量的线性运算__三角形__法则__平行四边形__法则的相反向量与(1)|λa |＝|λ||a |； 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得！！！ b ＝λa ###. 4．必会结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若点P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(3)若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔点P 为△ABC 的重心．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)单位向量只与模有关，与方向无关．( √ ) (2)零向量的模等于0，没有方向．( × ) (3)若两个向量共线，则其方向必定相同．( × ) (4)AB →＋BA →＝0.( √ )解析 (1)正确．由定义知模为1的向量叫单位向量，与方向无关． (2)错误．零向量的方向是任意的．(3)错误．可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定． (4)正确.AB →＋BA →＝AB →－AB →＝0.2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( D ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向D ．不一定共线解析可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A ，B ，C 选项都不正确，故D 项正确．3．点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( A ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →解析如图，由于D 是AB 的中点，所以CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.4．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果为！！！ OS →###.解析 OP →－QP →＋MS →－MQ →＝(OP →＋PQ →)＋(MS →－MQ →)＝OQ →＋QS →＝OS →.5．已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为！！！－13###. 解析 ∵a ＋λb 与－(b －3a )共线，∴存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，∴⎩⎨⎧μ＝13，λ＝－13.一平面向量的概念平面向量概念中的几点注意(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 的单位向量是a|a|.【例1】 (1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b. 其中正确命题的序号是( A ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．①④(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 (1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →.③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a ∥b不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③，故选A ．(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．二平面向量的线性运算平面向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【例2】 (1)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( D ) A ．0 B ．BE →C ．AD →D ．CF →(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为！！！ 311###.解析 (1)因六边形ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.(2)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →) ＝－13AB →2＋⎝⎛⎭⎫13λ－23·AB →·AC →＋23·λAC →2 ＝－3＋3⎝⎛⎭⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，则λ＝311.三平面向量共线定理的应用(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1 a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【例3】设两个非零向量a 和b 不共线．(1)如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解析 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线．又AB →与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1．即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线．1．下列命题中正确的是( C )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行解析由于零向量与任一向量都共线，所以A 项不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 项不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 项不正确；对于C 项，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C ．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( B )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b解析如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，故DF →＝13AB →，则AF →＝12a ＋12b ＋13⎝⎛⎭⎫12a －12b ＝23a ＋13b . 3．(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是____4____，解析由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥ |(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4. 又|a ＋b |＋|a －b |2≤(a ＋b )2＋(a －b )22＝a 2＋b 2＝5，∴|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5. 4．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．解析 (1)证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2， ∴CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2.又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，解得k ＝2.易错点向量线性运算法则、几何意义不明错因分析：对向量线性运算法则，几何意义的理解准确，从而不能熟练运用运算法则和几何意义来解题．【例1】已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则S △ABP S △ABQ＝________.解析如图，无论多少倍的AB →，因为底不变，恒为AB ，所以S △ABP ＝15S △ABC ，S △ABQ ＝14S △ABC ，所以S △ABP S △ABQ ＝45.答案 45【跟踪训练1】已知O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，求△AOC 的面积．解析如图，设AC 中点为M ，BC 中点为N . ∵OA →＋OC →＋OB →＋OC →＝0，∴2OM →＋2ON →＝0， ∴OM →＋ON →＝0，O 为中位线MN 的中点， ∴S △AOC ＝12S △ANC ＝12×12S △ABC ＝14×4＝1．课时达标第24讲[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a －12bD ．a ＋12b解析 AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2018·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确． 3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析 ∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2018·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15B ．25C ．35D ．45解析由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2018·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心解析如图，设AB →|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故▱AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| 得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题7．已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝__3__.解析由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝__3__.解析由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为__－1__.解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1．三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →. 由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23. 11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析由N 是OD 的中点得AN →＝12A D →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎨⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎨⎧ m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13. 12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。

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湖北艺考生高考数学讲义平面向量、解析几何
说明：高考分数为25~30分，此部分向量计划2讲（第一讲：向量基本定义及向量关系问题；第二讲：与解析几何、立体几何综合问题），解析几何计划4讲（第一讲：轨迹方程求法；第二讲：椭圆、双曲线及抛物线、圆的定义及在高考试卷中的考查；第三讲：简单练习题；第四讲；高考考什么？艺术生需要学哪些知识）（一）选择题
79、在ABC ∆中，给出以下命题：①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ； ③若（0)()=-∙+AC AB AC AB 则ABC ∆为等腰三角形； ④若AC AB ∙＞0，则ABC ∆为锐角三角形；
上述命题中正确的是（）
A ①②
B ①④
C ②③
D ②③④ 80、直线13
4;
=+y x 与椭圆E ：
19
16
2
2
=+
y
x
相交于A 、B 两点，该椭圆上有点P ，使得∆PAB
的面积等于3，则这样的点P 共有（）个。

A 1 B 2 C 3 D 4 81、若三点A （1，1），B （2，-4），C （x,-9）共线，则x 的值为（）（共线问题） A 1 B 3 C 4.5 D 51 82、把点（3，4）按向量a
平移至点（-2，1），则y=x
2的图象按向量a
平移后的图象的函数解析式为（）（类似问题08、09年湖北高考已考） A y=32
5
+-x B y=32
5
--x C y=32
5
++x D y=32
5
-+x
83、直线xcos θ+y-1=0(θ)R ∈的倾斜角的范围是（）直线与三角函数的综合（基础知识）
A[0,π) B[
]4
3,4ππ
C[-
]4
,4π
π D[0，
],4
3[
]4
πππ
⋃
84、变量x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≤+-1025530
34x y x y x ,设z=x y ,则z 的取值范围是（）线性规划必考注意
应用问题 A[
522,52] B[]522,1 C[-522,52] D[-1，-5
2
] 86、点P 是双曲线
15
4
2
2
=-
y
x
右支上一点，F 是该双曲线的右焦点，点M 是线段PF 的中点，
若3=OM ，则点P 到该双曲线的右准线的距离为（）
A
3
4 B
4
3 C
3
20 D 4
（二）填空题
87、当P(m,n)为圆x 2
+(y-1)2
=1上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c 的取值范围是
88、若A 、B 、C 三点共线，点C 分有向线段AB 所成的比为-3，则点B 分有向线段AC 所成的比为（定比分点考试必考） 89、已知点C(1,y)分有向线段AB 所成的比为3:5,又知A （-2，5），B （x,-3）,则x+y=
90、设A （-2，3），B （3,2），若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点,则a 的取值范围是 91、过点P （1，2）引一直线，使它与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线的
方程为 92、若直线ax+2by-2=0(a,b )+∈R 始终平分圆08242
2=---+y x y x 的周长，则b
a
21+
的最
小值为（定点问题）
93、一束光线从点A （-1，1）出发经x 轴反射到圆C:()()1322
2
=-+-y x 上的最短路程是
94、抛物线y=x 2上点A 处的切线到直线3x-y+1=0的角为45
，则点A 的坐标是
95、如果椭圆
19
36
2
2
=+
y
x
的一条弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程为
96、与圆042
2
=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆的圆心轨迹方程是
97、椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的
取值范围是 98、设双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的交点为F ，以AB 为
直径的圆恰好过F 点，则双曲线的离心率为 99、已知P 是焦点为F 1、F 2的双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 上一点，PF 1⊥PF 2，且tan 21F PF ∠=
2
1,则双曲
线的离心率为能否得出什么公式？结论 100、在抛物线y=4x 2
上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐标是
101、已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22
>=p px y 的准线相切，则=p
（三）温馨提示：
通过以上问题的讨论，你是否注意到下面几个方面的问题：
1．线段的定比分点的坐标公式记住了吗？λ的取值与分点P 和21P P 的位置有何关系？（重点）
2．平移公式记准了吗？平移前函数的解析式、平移向量、平移后函数的解析式，三者知二求另外一。

（什么得到的？）
3．函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ 4．向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
5．直线的斜率公式，点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗？ 6．记住直线的倾斜角的范围、两直线到角的范围、夹角的范围，能正确区别吗？ 7．何为直线的方向向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 8．在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到k 不存在的情况？
9．两直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 平行与垂直的充要条件分别是什么？ 10．解析几何中的对称有哪几种？（中心对称、轴对称）分别如何求解？
11．求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线的方程与求曲线的轨迹有什么不同？有哪些求轨迹的方法？
12．直线和圆的位置关系利用什么方法判定？（圆心到直线的距离与圆的半径的比较）直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？
13．解析几何问题求解中，平面几何知识利用了吗？题目中是否已经有了坐标系，是否需要建直角坐标系？解答题的一般方法（湖北06，07，08）
14．截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？
15．利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？ 16．圆锥曲线方程中c b a 、、与e 的关系记住了吗？
17．弦长公式记住了吗？通径长是多少？知识点:直线的设法 18．圆锥曲线的焦半径公式分别是什么？如何应用？
★19．在直线与圆锥曲线的有关计算中，经常由二次曲线方程与直线方程联立消元得形如
02
=++C By Ax
的方程，在后面的计算中务必要考虑两个问题：①A 与0的关系，②∆与0
的关系，你想到了吗？（2010年湖北省试卷中以考查）
20．解应用题应注意的最基本要求是什么？（审题，找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式（或线性约束条件及目标函数），代入初始条件注明单位，写好答语等）
（四）参考答案：
79～86 CDBD DABA 87、12-≥
c 88、2 89、 8 90、),25[]34,(+∞⋃-
-∞ 91、 0723064=-+=-+y x y x 或 92、223+ 93、 4 94、)16
1,
41(
95、082=-+y x 96、)0(0)0(82
<=>=x y x x y 或 97、)5
5
3,553(-
98、 2 99、 5 100、)1,2
1(
101、 2。