1.1.2 余弦定理
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5)
鹿邑三高 史琳
2021/4/6
1
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a :b :c sA i:s n B i:s n C in
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
解：在AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61, B
C
∴ |a – b|＝√61.
b 120° O aA
2021/4/6
19
例 4：已知向量a、b夹角为120°， B
C
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、 b 120°
coB s a2c2b2 2ac
coC sa2 b2 c2 2ab
应用：已知三条边求角度．
2021/4/6
9
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
正弦定理可解决的几类问题: (1)已知两角和任,一 解边 三角;形 (2)已知两边和其中一角 边,解 对三角形 .
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：B2 C |A|2B |A|2 C 2 |A|A B|C cA os
教学设计7：1.1.2 余弦定理
1.1.2余弦定理如果已知△ABC 的三边长a 、b 、c ，能否分别求出三个内角A 、B 、C 的值？ 【提示】 能．用余弦定理变形可得公式．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .已知两边一角解三角形在三角形ABC 中，根据下列条件解三角形，(1)a ＝2，b ＝22，C ＝15°；(2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.【思路探究】 (1)中已知角C 是已知边a 、b 的夹角，可以直接用余弦定理求边c 吗？其他元素如何求？(2)中已知角B 是已知边b 的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？解：(1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角． 由正弦定理，得sin A ＝a c sin C ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ，即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A ＝3×6－2432＝6－22.规律方法1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦． 互动探究若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形． 解：法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形例2 在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？ (2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？解：由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角． 由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°， 即最大内角为120°. 规律方法1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角． 变式训练边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 【解析】 设边长为5、7、8的对角分别为A 、B 、C . 则A <B <C .由题意cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°.【答案】 B 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断A (或B )为直角的直角三角形. 正余弦定理的综合应用典例 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B . 解：(1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角． 巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513 C.0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．。
【公开课课件】1.1.2余弦定理(第2课时)
法一：由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 2 32＋ 6－ 22－2 22 2 cos A＝ ＝ ＝ . 2bc 2 2×2 3× 6－ 2 ∵0° ＜A＜180° ，∴A＝45° ，从而 B＝120° .
例题解析
[例 1] 在△ABC，已知 a＝2 2，b＝2 3，C＝15° ，
[变式训练]
3 5 已知： 在△ABC 中， cos A＝ ， a＝4， b＝3， 则 c＝________. 5
例题解析
解析：A 为 b，c 的夹角，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 3 ∴16＝9＋c －6× c， 5
2
整理得 5c2－18c－35＝0. 7 解得 c＝5 或 c＝－ (舍)． 5
得b2+c2=a2，故△ABC是直角三角形。
说说这节课你学到了什么？
1．已知两边及夹角解三角形：用余弦定理求解出 第三边，再用正弦定理或余弦定理求解另外两角；
2.
已知两边及其一边的对角，可用正弦定理求
解，也可用余弦定理求解，但都要注意对解的情况进
行讨论．利用余弦定理求解相对简捷；
3 ．判断三角形形状：用正弦定理或余弦定理实 现边角互化。
解此三角形．
解： c2＝ a2＋ b2－ 2abcos C＝ (2 2)2＋ (2 3)2－ 2×2 2×2 3 ×cos(45° －30° )＝8－4 3＝( 6－ 2) 2 ∴c＝ 6－ 2.
asin C 2 2 sin15 2 法二：由正弦定理得 sin A＝ c ＝ 6 2 = . 2 ∵a＜b，∴A＜B，又∵0° ＜A＜180° ，∴A 必为锐角， ∴A＝45° ，从而得 B＝120° .
练习巩固
2. 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc· cosBcosC，试判断三 角形的形状。
1.1.2余弦定理黑底白字
变式训练3 如图所示,在△ABC中,已知BC=15 4 3 AB:AC=7:8,sinB= , 求BC边上的高AD的长. 7
思悟升华
1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定 理有机结合起来,要根据条件灵活选用正,余弦 定理. 2.要注意三角形中常见的结论: (1)A+B+C=π; (2)大边对大角,反之亦然; (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
余弦定理习题
1.在△ABC中, 角B, C的对边分别是a ,b,c,则 下列等式不成立的是( A.a =b +c -2bccosA B.b =c +a -2acosB b +c -a C.cosA= 2bc 2 2 2 a +b +c D.cosC= 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2
)
2.已知△ABC满足B 60 , AB=3,AC= 7, BC的长等于( ) A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
3 4.在△ABC中, AB 2, BC 1, cos C , 4 则AC .
5.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角 形为 .
6.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和sinC.
典例导语
类型一 例1 利用余弦定理解三角形 在 ABC中,已知b=3,c=2 3,A =30 ,
求边a, 角C和角B.
变式训练1 已知在 ABC中,a:b:c=2: 6:( 3+1), 求 ABC的各角度数.
类型二
判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=2bc且 sinA=2sinBcosC,是确定△ABC的形状.
1.1.2余弦定理
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
1.1.2 余弦定理
1、余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2、余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
3、利用余弦定理，可以解决三类有关三角形 的问题：
执教：邱贵泉
1、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A，b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ，sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
A B a b sin A sin B
2、正弦定理可以解决哪两类有关三角形的问 题?
(1)已知两角和任一边; (2)已知两边和一边的对角.
在ABC中，已知 a 4 3，b 3，角C 300，求c.
A
c=?
b=3
B
a=4 3
30° C
思考：如何用已知的两边及其所夹得角来表示 第三条边呢？
1、探究余弦定理
在任意的ABC中，已知a、b及角C，求边c. B
设
CB
a，CA
b，AB
和sin C.
练习2：已知在ABC中，a : b : c 2 : 6 : ( 3 1),求
ABC 各角的大小.
类型三、判断三角形的形状
例题3： 在ABC中，若(a c cosB) sin B (b c
cos A) sin A, 判断ABC的形状.
练习3： 在ABC中，已知 a cos A b cos B, 判断ABC
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边
1.1.2余弦定理
每个式子中有几个量？从方程的角度看 已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一 角？
式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出第四个量，
当然能由三边求出一角.
二、余弦定理的推论：
a 2 b2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
∴A＝90° ， 故△ABC 为直角三角形.
又 0° <B＋C<180° ，
方法二：将已知等式 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C， 变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C，
2 2 2 2 2 2 a ＋ b － c a ＋ c － b 即有 b2＋c2－b2· ( )2－c2· ( )2 2ab 2ac
c 2 a 2 b2 2ab cosC
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出三角形的 三个角.
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2, c= 3 1 , 解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得
2 2 2 2 ( 3 1 ) ( 6 ) cos A b c a 1 2bc 2 2 2 ( 3 1) 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3cos 30 3
2
C
a
b
A
2
B
c
1 3 a b b sin A 3 2 由正弦定理 得 sin B sin A sin B a 2 3
a 3
Q b c,B 60
o
C 180 A B 90
解三角形的四种基本类型
已知条件 定理选用 正弦定理 一般解法 由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b与c. 由余弦定理求出第三边c，再由正弦 定理求出剩下的角. 由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解. 先由余弦定理求出其中两个角,再利用 内角和为180°求出第三个角.
1.1.2 余弦定理ppt课件
解析：因为A＝120° ，b＝3，c＝5， 栏 目 所以根据余弦定理，得 链 2 2 2 a ＝b ＋c －2bccos A＝9＋25－2×3×5×cos 120°接 ＝49，所以a＝7. 答案：7
跟踪 训练 2．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求AC.
解析：由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos 30° ， ∴AC2－2 3AC＋3＝0， ∴AC＝ 3.
栏 目 链 接
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题 的关键． 2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角， 栏 再用正弦定理或余弦定理求出另一角， 最后用三角形的内角和定 目 链 理求第三角． 接
跟踪 训练
3．E、F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝( ) 16 2 3 3 A. B. C. D. 27 3 3 4
自测 自评
2．(2013· 上海卷)在△ABC中，角A、B、C所对边长 7 分别为a、b、c，若a＝5，c＝8，B＝60° ，则b＝________.
栏 目 链 接
自测 自评
3．△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为( A ) A．60° B．45° 或135° C．120° D．30°
栏 目 链 接
题型2
已知三边解三角形
例2 已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 的各内角度数．
栏 目 链 分析：由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a、b、c， 接
再由余弦定理求解各角．
解析：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k. 由余弦定理，有 b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2 2· 6k· 3＋1k ∴A＝45° . 2 2 2 2 2 2 2 a ＋c －b 4k ＋ 3＋1 k －6k 1 cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2 2×2k 3＋1k ∴B＝60° . ∴C＝180° －A－B＝180° －45° －60° ＝75° .
1.1.2 余弦定理
解： c2 a2 b2 2ab cosC c2 48 222 2 6 2 8 4 3
4
2 sin A
6 4
2 1
6 2 2
c 6 2
ab A B
由 c a sin A a sin C
sin C sin A
c
A 30
2.已知△ABC 的三边长a 4,b 9,c 12
必修5 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理
1 知识归纳
PART ONE
面积公式
SABC
1 2
absin C
1 2
ac sin
B
1 2
bc sin
A
两边及夹角正弦值之积的一半
正弦定理
正弦定理： c b a 2R sin C sin B sin A
（R为ABC外接圆半径）
正弦定理常见变形
分析：S 1（a2 b2 c2） 4
SABC
1 2
absin C
1 2
ac sin
B
1 2
bc sin
A
解：1 absin C 1（a2 b2 c2）
2absin C a2 b2 c2
2
4
2ab
2ab
2absin C a2 b2 c2
sin C cosC tanC 1 C 45
解：b cosC c cos B b a2 b2 c2 c a2 c2 b2
2ab
2ac
a2 b2 c2 a2 c2 b2
2a
2a
2a2 2a
a
【例 2】在△ABC 中，a2 b2 c2 bc ，则 A 等于（ ）
A.60°
B.45°
C.120
1.1.2余弦定理
思考
在解三角形的过程中，求某一个角 有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方法有什么利弊呢？
正弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要 进行判断取舍。 (2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
（六）课堂小结，类比升华
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求 BC 的长．
[解] 在△ABD 中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD· BD· cos∠ ADB， 设 BD＝x，则有 142＝102＋x2－2×10xcos60° ， 即 x2－10x－96＝0， 解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60° ， ∴∠CDB＝30° . 在△BCD 中，由正弦定理得 16 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2.
定理 内 容 定理
正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ b2＝
b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcosC
； ；
c2 ＝
.
正弦定理 ①已知两角和任一边，求另
余弦定理 ①已知三边，求各
解决的 一角和其他两条边； 问题 ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.
2018/4/12
B
C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C，求边c.
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配人教版 数学 必修5
【方法规律】已知三角形的边或角的关系式解三角形或判 断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取 变形方法，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定 理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑 用余弦定理变形等等．
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(2019 年广东广州综合测试)在△ABC 中，若 lg
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由三角形已知的边和角求未知的边和角的过程叫解三角 形．解三角形可以分成以下四种类型：
(1)已知两角及一边，解三角形(先用正弦定理求出一边， 再求其余边和角)；
(2)已知两边及一边的对角，解三角形(先用正弦定理求出 另一边的对角．再用正弦定理或余弦定理求第三边)；
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(2)由已知 S△ABC＝12absin C＝323，又 C＝π3， ∴ab＝6. 由余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7. 化简得 a2＋b2＝13，即(a＋b)2＝25. ∴a＋b＝5. ∴△ABC 的周长为 5＋ 7.
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【点评】三角形中的三角变换常用到公式：sin (A＋B)＝ sin C，cos (A＋B)＝－cos C，tan (A＋B)＝－tan C．另外利用 正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对 其实施“边化角”或“角化边”．
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【方法规律】已知两边及一角解三角形的方法： (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三 边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一 解； (2)当已知两边及其一边的对角时，可用正弦定理求解，也 可用余弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定 理求解相对简便．
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1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
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目标定位
重点难点
1.了解余弦定理与勾股定理的区
别与联系．
重点：掌握余弦定理的两种
2．理解余弦定理的推导过程． 表示形式及其推导过程．
3．掌握余弦定理及其变式，用 难点：利用余弦定理解决具
余弦定理解决一些简单的三角 体问题.
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4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个
新的三角形的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度决定
【答案】A
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【解析】设增加同样的长度为 x，原三边长为 a，b，c，且 c2＝a2＋b2，c 为最大边；新的三角形的三边长为 a＋x，b＋x， c＋x，知 c＋x 为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－ (c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大 角的余弦值为a＋x22＋a＋b＋xxb＋2－xc＋x2＞0，则其为锐角，那么 它为锐角三角形．故选 A．
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(2017 年北京模拟)在△ABC 中，a＝2，c＝1，
∠B＝60°，那么 b 等于( )
A． 5
B． 3
C．1 【答案】B
D．
3 2
【解析】∵在△ABC 中，a＝2，c＝1，∠B＝60°，∴由余
弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋1－2×2×1×12＝3，解得 b
形度量问题.
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1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平__方__的_和___减去这两边与它们的夹角的余弦的_积___的两倍，即
a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_cc_o_s__A___， b2＝_c_2_＋__a_2－__2_a_c_c_o_s_B____， c2＝_a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s _C____.
(2)根据12absin C＝323及 C＝π3得 ab＝6，再利用余弦定理得 (a＋b)2＝25，再根据 c＝ 7可得△ABC 的周长为 5＋ 7.
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【解析】(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin (A＋B)＝sin C， 而 sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， ∴2sin Ccos C＝sin C． 解得 cos C＝12，∴C＝π3.
A．
10 10
B．
10 5
C．3
10 10
D．
5 5
【答案】C 【解析】由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π4＝
2＋9－2× 2×3× 22＝5，∴AC＝ 5.由正弦定理，得sAinCB＝
sBinCA，∴sin源自A＝BCAsCinB＝3×
2 2 ＝3
5
10 10 .
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已知两边和一角解三角形 【例 1】 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解 三角形． 【解题探究】已知两边及其中一边的对角，先由余弦定理
列方程求c，然后由余弦定理的推论求A，C．
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【解析】由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B，
3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2
＋c2－b2)tan B＝ 3ac，则角 B 的值为( )
A．π6
B．π3
C．π6或56π
D．π3或23π
【答案】D 【解析】依题意得a2＋2ca2c－b2·tan B＝ 23，∴sin B＝ 23.∴B
＝π3或 B＝23π.故选 D．
＝ 3.故选 B．
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已知三边解三角形
【例 2】 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，
求角 A，B，C．
【解析】在△ABC 中，
cos
C
＝
a2＋b2－c2 2ab
＝
2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
＝
24 24 2
3＋3＋11＝
2 2.
sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC 的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由已知条件得cossBin·sAin C＝2，即 2cos Bsin C＝sin A．由正、余弦定理得 2·a2＋2ca2c－b2·c＝a，整理得 c＝b，故△ABC 为等腰三角形．
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在△ABC 中，a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角． 【解析】∵ 37＞4＞3，边 c 最大，∴角 C 最大．又 cos C ＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12，∴C＝120°.
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判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么这个三角形
一定是( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【解题探究】利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
【答案】C
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【解析】∵a＝2bcos C＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2，∴a2 ＝a2＋b2－c2，即 b2＝c2.又 b，c 为三角形的边长，∴b＝c.∴△ ABC 是等腰三角形．故选 C．
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1．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么 B 等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【答案】C
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2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a
＝ 5，c＝2，cos A＝23，则 b＝( )
A． 2
B． 3
C．2
配人教版 数学 必修5 2．从余弦定理，可以得到它的推论：
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c____，
c2＋a2－b2 cos B＝____2_c_a____，
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b____.
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3．余弦定理与勾股定理 (1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三 边所对的角是__锐__角__． (2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三 边所对的角是_钝__角___． (3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三 边所对的角是__直__角__．
() A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形 【答案】B
D．不存在
【 解 析 】∵c2 ＜ a2 ＋ b2 ， ∴ ∠ C 为 锐 角 ． ∵ a ＜ b ＜ c ， ∴∠C为最大角．∴△ABC为锐角三角形．
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2．在△ABC 中，B＝π4，AB＝ 2，BC＝3，则 sin A＝( )
D．3
【答案】D
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3．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab， 则∠C＝________.
【答案】60°
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4．在△ABC 中，BC＝2 5，AC＝2，△ABC 的面积为 4， 则 AB 的长为________．
【答案】4 或 4 2 【解析】∵BC＝2 5，AC＝2，△ABC 的面积为 4，∴4＝ 12×2 5×2×sin C，解得 sin C＝ 25.∴cos C＝± 15.∴AB2＝22＋ (2 5)2－2×2×2 5× 15＝16 或 AB2＝22＋(2 5)2－2×2×2 5 ×－ 15＝32，解得 AB＝4 或 4 2.
当 c＝