【厦门市3月质检】福建省厦门市2014届高三3月质检数学(文)试题及答案
14年高考真题——文科数学(福建卷)-推荐下载
：
（D）240 元
x y 7 0
x
y 0
y
3
0
（D） 4OM
。若圆年高考真题文科数学（解析版） 卷
福建
只有一个正确，则100a 10b c 等于________。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
|| P1P2 ||| x1 x2 | | y1 y2 | ，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“ L 距离”之和
等于定值（大于 || F1F2 || ）的点的轨迹可以是（ ）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案写在答题卡相应位置上。
19．（本小题满分 12 分）如图 16 所示，三棱锥 A BCD 中，
M
AB ⊥平面 BCD ， CD ⊥ BD 。⑴求证： CD ⊥平面 ABD ；⑵若
AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体 B
D
积。 20．（本小题满分 12 分）根据世行 2013 年新标准，人均
17．（本小题满分 12 分）在等比数列an中， a2 = 3 ， a5 = 81 。⑴求 an ；⑵设
bn log3 an ，求数列bn的前 n 项和 Sn 。
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 cos x sin x cos x。⑴求 f 5 4的值；
福建
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
下列函数正确的是（ ）
9．要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每
平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )
2014-2015学年福建省厦门二中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．35．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1∴M={x|﹣2＜x＜1}∵解得：x＜﹣1∴N={x|x＜﹣1}∴M∩N=（﹣2，﹣1）故选：C．2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【解答】解：y=是偶函数，在（0，+∞）单调递减，故排除A，y=e x是增函数，但不具备奇偶性，故排除B，y=﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，故排除C，y=lg|x|是偶函数，且x＞0时，y=lgx单调递增，故选：D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选：A．5．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=log cos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥1，得f（a）=2a≥1，解得0≤a≤1，若a＞1，则由f（a）≥1，得f（a）=a2﹣4a+5≥1，即a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，解得a＞1，综上a≥0，故选：D．9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，∴A（0，1），C（0，﹣1），P．则•=•（0，﹣2）=2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．【解答】解：由于函数f（x）=x•sinx，∴f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴函数f（x）=x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．且当x时，函数f（x）=x•sinx是增函数，当x时，函数f （x）=x•sinx是减函数．∴若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＜x2，故A选项错；若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＞x2，故B、C选项错；根据排除法，正确的是D．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是：．故答案为：（写成∃x∈R，x2+2x+1＜0也给分）12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=30．【解答】解：由等差数列{a n}，a3+a8=6，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=…，∴==a1+a2+…+a10=5（a3+a8）=5×6=30．故答案为30．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．【解答】解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．【解答】解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2，a3+1，a6成等比数列．∴，即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），解得d=3或d=﹣1．由已知数列{a n}各项均为正数，∴d=3，故a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）∵，∴．∴S n=1﹣=．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵=，∴函数f（x）的最小正周期为．（II）令，∵，∴，即，∴sint在上是增函数，在上是减函数，∴当，即，时，．当或，即x=0或时，．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？【解答】解：（1）由已知可得CD=40×=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC==﹣，∴sin∠BDC==．（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．△ABD中，由正弦定理可得．又BD=21，∴AD==15，∴t==22.5分钟．即这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，∴k=f′（1）=0所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0；（2）①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当.．∴（3）存在a∈（0，e3），使得方程f（x）=2有两个不等的实数根．理由如下：由（1）可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，方程f（x）=2不可能有两个不等的实数根；由（2）得，，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）。
2014福建省高三(文科)数学模拟试卷6
2014福建省高三数学文模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集{}{}4,3,2A ,5,4,3,2,1U ==集合，则集合A C U 等于 （ ） A. {}4,3,2,1 B. {}4,3,2C. {}5,1D. {}52. 命题“设a 、b 、c R ∈，若22bc ac >，则a>b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 3. 函数)10(≠>-=a a b a y x 且的图象经过第一、三、四象限，则 （ ）A ．1,10><<b aB ．1,10<<<b aC ．1,1>>b aD ．1,1<>b a4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且64a ,4a 84==，那么公比q 等于 （ ） A.21B. 2C. 2D. 45．已知直线l ，m ，平面βα,，则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若βα⊂βα//l ,l ,//则 B. 若β⊥α⊥βαl ,l ,//则 C. 若m //l ,m ,//l 则α⊂αD. 若β⊥⊥α⊂=βαβ⊥αm ,l m ,m ,l ,则6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac 3B tan )b c a (222=-+，则角B 的值是 ( ) A.6πB.3πC.656ππ或 D.323ππ或 7．已知Z=4sin4cosππi +, i 为虚数单位，那么平面内到点C （1，2）的距离等于Z 的点的轨迹是 （ ）A ．圆B ．以点C 为圆心，半径等于1的圆C ．满足方程122=+y x 的曲线 D ．满足21)2()1(22=-+-y x 的曲线8．若函数f(x)=3x +ax 的递增区间为)()(+∞--∞，22,与，则此函数的极大值为（ ） A ． -16 B ． 16C ． 4D ． 89．如图，程序框图所进行的求和运算 ( )A ．10131211++++ B ．19151311++++ C ．201614121+++ D ．103221212121+++10．函数3cos 3cos sin 2-+=x x x y 的图象的一个对称中心是 （ ）A.)23,32(-π B.)23,65(-π C.)23,32(π- D.)3,3(-π11．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2，3,4，5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．则事件“3≤+y x ”的概率为( ) A.121 B. 91 C.31 D. 151 12．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数()x x f y 3log -=的零点个数是 ( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个 二、填空题：（每小题4分，共16分）13. 某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为 . 14．已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________.15．已知点)4,1(P 在圆042:22=+-++b y ax y x C 上，点P 关于直线03=-+y x 的对称点也在圆C 上，则__________,==b a 。
福建省厦门市2014届高三质量检查数学(理科)试题
福建省厦门市2014届高三质量检查数学（理科）试题2014.3第I卷（选择题：共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1.执行右边的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是A、8B、6C、1D、－12.已知集合A＝{x|x2－x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y＝1－2sin2x是A最小正周期为π的奇函数 B.最小芷周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数4.学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在［10,50)，其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30,50）的学生有67人，则n的值是A.100B.120C.130D.390比为12，则点P到x5.已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之轴的距离是A、14B、12C、1D、26.已知,αβ是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是7．设是平面内两个不共线的向量，若A，B，C三点共线，则的最小值是A ．2B ．4C 、6D ．88已知x ，y 满足4027020x y x y ax y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x 2＋y 2的最小值为8，则正实数a 的取值范围是A ．（0，2］B ．［2，5］C 、［3，＋∞）D ．（0，5］9、已知a 是实数，则函数f （x ）＝－2的图象不可能是10．如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆A ：（x ＋2）2＋y 2＝36，点B （2，0），点D 是圆A 上的动点，线段BD 的垂直平分线交线段AD 于点F ，设m ，n 分别为点F ，D 的横坐标，定义函数m ＝f （n ），给出下列结论：①f （一2）＝一2；②f （n ）是偶函数；③f （n ）在定义域上是增函数；④f （n ）图象的两个端点关于圆心A 对称．其中正确的个数是A 、1B ．2C 、3D ．4第II 卷（非选择题：共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．若复数z 满足（l ＋2i ）z ＝｜3＋4i ｜（i 为虚数单位），则复数z 等于＿＿＿＿12、二项式的展开式中常数项等＿＿＿＿13．已知数列｛n a ｝中，1n a +＝2n a ，a 3＝8，则数列{log 2n a ｝的前n 项和等于＿＿＿14记曲线y ＝x 2与y =D ，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数 x ，y ，则点（x ，y ）恰好落在区域D 内的概率等于＿＿＿．15、已知函数，则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿三、解答题：本大助共6小题．共80分．．16（本小题满分13分）如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD／／BC, AF／／BE，∠DAB＝∠FAB＝90°,且平面ABCD⊥平面ABEF，DA＝AB＝BE =2，BC＝1.（I)证明,DA⊥EF;（II）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17.（本小题满分13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是13，第3次投中的概率12；乙每次投中的概率都是25，甲乙每次投中与否相互独立（I〕求乙直到第3次才投中的概率；（II）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数（I）若a＝－1，求函数f（x）的单调递增区间；（II）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19.（本小题满分13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P（如图）．已知cos∠ACP，cos∠APC＝45，cos∠APE＝23，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6(单位：百米）．（I）求滑道CP的长度；（B)由于C,E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC＋DE最短，最短为多少百米？20.（本小题满分14分）如图，点A，B分别是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右顶点，圆B:（x一2）2十y2=9经过椭圆E的左焦点F1．（I）求椭圆E的方程；（II）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A).（i）求的取值范围；（ii ）是否存在定圆，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由21．本题设有（1）(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．(1）〔本小题满分7 分}) 选修4 -2：矩阵与变换已知点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A'(6,7).（I）求矩阵M;（II）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量(2）（本小题满分7分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为．（I）写出圆C的直角坐标方程；（II）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数（I）若a=2,求不等式f(x)＜1的解集；（Q)若不等式f（x）＋｜x＋1｜≥3在R上恒成立，求实数a的取值范..。
福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷(带解析)
福建省2014届高三高考压轴文科数学试卷（带解析）1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则A C B U =( ) A ．{5} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，3，5} D ．∅ 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得{1,5}U C A =.所以A C B U {5}=.故选A. 考点：1.集合的概念.2.集合的运算.2．已知i 为虚数单位，则i1i+＝（ ）A ．1i 2-B ．1i 2+C .1i 2-- D.1i 2-+【答案】B 【解析】试题分析：i 1i +(1)11222i i i -==+.故选B. 考点：复数的运算.3．已知平面向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b , 则=b ( )A ．． 【答案】C 【解析】试题分析：由向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b .所以4m =-.即(2,4),416b b =--∴=+=故选C.考点：1.向量平行的性质.2.向量的模的运算4．已知命题p ：∃x ∈R ，2340-+≤x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 B ．p ⌝：∃x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题 C ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 D ．p ⌝：∀x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题【答案】D 【解析】试题分析：由于特称命题的否定要改成全称命题，原命题与命题的否定的真假是相反的.由命题p 可知91670=-=-<.所以命题p 为假命题.所以p ⌝为真命题.故选D 考点：1.二次函数的根的问题.2.特称命题与全称命题的否定. 5．如图给出的是计算11113511++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．12i <B ．11i >C ．11i <D ．6i ≤【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知，i 的变化是以2i i =+的形式改变.由于原题中是六个数的和,i 的值分别是1,3,5,7,9,11.故选A.考点：1.程序框图.2.递推的数学思想.6．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A.y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 【答案】D 【解析】试题分析：设直线l 为y kx =，联立圆22430x y x +-+=的方程.可得22(1)430x k x +-+=.由直线与圆相切，所以得21612()0,k k =-+=∴=由于切点在第四象限，所以直线l 的方程为y x =.故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.二次方程的判别式.7．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ- 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可得1Ω为圆心在原点，半径为4的圆面．2Ω是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点．若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为21441242P ππ⨯⨯==⨯.故选A. 考点：1.集合的概念.2.概率问题.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为a ,最小值为b ，则b a +的值是( )A ．10B ．20C ．4D ．12【答案】C 【解析】试题分析：变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，目标函数过点A 时z 最小，目标函数过点B 时z 取最大.所以4a b +=.故选C.考点：1.线性规划.2.数形结合.9．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【答案】A 【解析】试题分析：第一个图象是关于y 轴对称，所以只能对①的解析式.第二个图象是递增，所以只能对④个解析式.第三个图象在x>0部分的图象有大于零的也有小于零的，所以只能对②个解析式.所以顺序为①④②③.故选A.考点：1.函数图象.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.10． 若某多面体的三视图（单位: cm ）如图所示, 则此多面体的体积是 （ ） A ．21cm 3 B ．32cm 3 C ．65cm 3 D ．87cm 3【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体相当于一个正方体切去一个三个侧棱长为1的三棱锥.所以该几何体的体积为115111326-⨯⨯⨯=.故选C. 考点：1.三视图.2.空间想象力.3.几何体的体积.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（ ） AB． CD【答案】D 【解析】侧视图俯视图x试题分析：由函数1ln ln 2y x =++，(0)x >.可得1'y x=.假设渐近线与函数的切点为00(,)P x y .则渐近线的斜率为y a b x =所以可得0001ln ln 21x x x ++=.解得012x =.所以可得12,212b b a a ==∴=.又因为222c a b =+.即可解得c a =故选D.考点：1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想. 12．已知函数)(x f y =的定义域为A ，若常数C 满足：对任意正实数ε，总存在A x ∈，使得ε<-<C x f )(0成立，则称C 为函数)(x f y =的“渐近值”．现有下列三个函数：① 1)(-=x x x f ；② ⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(；③ x x x f sin )(=．其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：依题意函数)(x f y =的“渐近值” 对任意正实数ε，总存在A x ∈ε<-<C x f )(0，即可理解为函数的值域趋近一个常数.由1)(-=x x x f 111x =+-.所以()(,1)(1,)f x ∈-∞+∞.故①存在C=1符合条件.由⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(，(){0,1}f x ∈.假设存在C ，对任意正实数ε，总存在A x ∈使得ε<-<C x f )(0即0C ε<<或01C ε<-<.对于一个常数C 没办法满足任意的正数ε.所以②不符合．xxx f sin )(=的图象如图所示.所以存在C=0，符合条件.所以①③正确.故选C.x考点：1.新定义.2.函数的范围.3.函数图象.13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为3:2，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，则样本中高一学生人数为__ ____人. 【答案】24 【解析】试题分析：由题意得高一高二高三人数为480 ，720 ，800 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为61002425⨯=人 考点：1.统计知识.2.分层抽样.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 【答案】3【解析】试题分析：由分段函数(3)f =1 , (1)f =3 所以((3))f f =3 考点：1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算. 15．已知sin =+)6(απ31，则2cos(2)3πα-= . 【答案】79- 【解析】 试题分析：2cos(2)3πα-=227cos 2()2(cos())12(sin())13369πππααα-=--=+-=-. 考点：1.三角恒等变换.2.二倍角的公式.16．设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ其中真命题是____________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ，即a b c -=.显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ，当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时，向量a 没办法按,b c 分解，所以③不正确.存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,由于λμ=+a b c ，向量b 、c 的模为1，由三角形的三边关系可得2λμ+>..由336λμ+≥>.所以④成立.综上①②④.考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.17．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率；（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩． 【答案】（1）0.016;（2）0.6;（3）73.8 【解析】 试题分析：（1）有茎叶图以及频率分布直方图，可知在50-60段的人数和所占的频率，即可求出该班参加数学测试的人数.80-90段的人数有总人数减去其他四段的人数和，计算出频率以及频率除以组距的值，即得到频率直方图的高.（2）由（1）可得在[90,100]的人数总共为6人，从中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率的计算，可通过计算没有一份在[90,100]内，再用总数1减去即可.（3）计算出各段的频率，再将各段的中点值乘以本段的频率相加即可.（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=， 2分 ∴分数在[80,90)之间的人数为25214-=人，则对应的频率为40.1625=． 3分所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=． 4分 （2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． 6分其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=． 8分. 25所以估计这次测试的平均成绩为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分考点：1.茎叶图.2.概率问题.3.频率直方图估算平均数.18．已知实数0a >，且3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列． （1）求实数a 的值；（2）若等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，且23822->+n nn S T ，求满足条件的自然数n 的最大值． 【答案】（1）2a =；（2）14 【解析】试题分析：（1）由3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列，通过分类判断值的大小得到两类，再根据等差数列中项的性质，即可得到结论.（2）由于等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，所以分别求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式.根据通项公式分别求出两个数列的前n 项和的公式.再由23822->+n nn S T 求出结论. （3）解法一：由已知三个数有：2231,32a a a +>+>， 1分不妨设排列成递增的等差数列，则①3,2,12+a a 依次成等差数列，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 3分②若3,1,22+a a 依次成等差数列，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 5分综上得2a =. 6分解法二：分三种情况讨论：①若2a 为等差中项，则有442+=a a 解得2=a ，符合题意； 2分②若1为等差中项，则有3222++=a a 解得1-=a ，由0a >不符合题意； 4分③若23a +为等差中项，则有22(3)21a a +=+，即22250a a -+=，0∆<方程无解； 6分综上得2a =．（2）解：由（1）知n n a n 22)1(2=⨯-+=，n n b 2=， 8分22),1(1-=+=+n n n T n n S ， 10分由已知23822->+n nn S T 可得238)1(2-+>n n ，即240)1(<+n n , 11分 即1615n -<<，又n N +∈，故n 的最大值为14． 12分考点：1.等差等比数列的通项公式.2.求和公式.3.不等式的交汇.19．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ．（1）求椭圆的方程；（2）若点C 为曲线E :422=+y x 上任一点（C 点不同于B A ,），直线AC 与直线2=x 交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）2214x y +=；（2）相切【解析】试题分析：（1）由椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点分别为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ，即可求出,a b 的值.即可得到结论.（2）依题意假设点C 坐标，以及点R 的坐标，由点A ，C ，R 三点共线即可求得点R 的坐标表示.从而表示出点D 的坐标，写出直线CD 的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C 在圆上，即可判断直线与圆的位置关系. （1）由题意可得2a =，c e a ==， ∴c = 2分 ∴2221b a c =-=， 3分所以椭圆的方程为2214x y +=． 4分 （2）解法一：曲线E 是以(0,0)O 为圆心，半径为2的圆. 设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， 5分 ∵A C R 、、三点共线， ∴//AC AR ， 6分 而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， 7分 ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， 8分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244n n m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--， 10分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 11分所以直线CD 与曲线E 相切． 12分 解法二：同解法一得2mn mk n n==--， 10分 又OC nk m=，故1OC k k ⋅=-，即CD OC ⊥， 所以直线CD 与圆E 相切． 12分考点：1.待定系数法求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.方程的思想.20．如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．（1）证明：//DE ABC 面；（2）证明：AC A B A 111面⊥；（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥11C ABB A - 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析；（3） 23π【解析】试题分析：（1）由于点E 是A 1C 是的中点，点O 是BC 的中点，连接OE ，OA ，由三角形的中位线可得OE ∥BB 1，并且OE=112BB .又DA ∥1BB ,并且112DA BB =.所以EO 与DA 平行且相等.所以四边形EOAD 是平行四边形.所以DE ∥AO.即可得到结论.（2）由1A A 是母线，所以1A A ⊥平面ABC.所以可得1A A AB ⊥,又BC 是圆得直径，所以090BAC ∠=.由此可得结论.（3）由1DE CBB ⊥面，即可得到AO ⊥面1CBB .即AO BC ⊥.所以AC AB =.设圆的半径为r ，圆柱的高为h ，所以1121233C ABB A hr V -==.圆柱的体积为2V r h π=.所以鱼被捕的概率为23π. （1）证明：连结EO ，OA ，O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO ．又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形， 即ABC DE OA DE 面⊄,//．∴ABC DE 面//． 4分（2） 证明：1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 因为1AA 垂直于圆O 所在平面，故AB AA ⊥1，又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥， 由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥. 8分（3）解：鱼被捕的概率等于四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比， 由1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥， ∴ BC AO ⊥，∴AB AC =．因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1， ∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ，则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥， ∴锥V ：=柱V π32，即23P π= . 12分 考点：1.线面平行.2.线面垂直.3.体积的计算.。
2014福建省高考压轴卷 文科数学 Word版含答案
2014福建省高考压轴卷文科数学卷面总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1、已知全集U R =，2{|2}M x x x =<，则 U M =ð（ ）A.{|2}x x ≥ B. {|2}x x > C. {|0x x ≤或2}x ≥ D. {|02}x x << 2、已知34,,cos ,25αππα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭则tan α=（ ） A ．43B ．34 C ．43- D ．34- 3、已知平面向量, a b 满足=⋅ a b 1-，且||=2,||=1a b ，则向量 a 与 b 的夹角为（ ）A.6π B. 3π C. 65π D.32π 4、已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则（ ）A. iB. 1i +C.1i -D.i -5、“3a ≥”是“[1,2]x ∃∈，使得20x a -≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件6、执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）A. 2n >B. 4n >C. 6n >D. 8n >7、设变量x 、y 满足线性约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则目标函数2log (2)z x y =+的最大值为（ ）A. 23log 2B. 2log 3C. 1D. 不存在 8、函数()3,0,1∈+=x x y 的值域为A ，函数2-=x y 的定义域为B ，在A 中任取一个元素，求其属于B 的概率（ ） A 、21 B 、32 C 、0.3 D 、31 9、某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是正方形,该正三棱柱的侧视图的面积是（ ）A．B ．4C．D ．210、已知向量(,1)xa e = ，向量(1,1)b x =- ，设函数()f x a b =⋅ ，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个11、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）A ．20件B ．30件C ．40件D ．50 件12、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a+->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ） A.若45m =，则53a = B.若32a =，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答卷相应位置上）13、抛物线22y x =的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______； 14、若圆22240(3)x y x y m m ++-+=<的一条弦AB 的中点为(0,1)P ，则垂直于AB 的直径所在直线的一般式．．．方程．．为___________； 15、无限循环小数可以化为分数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ，请你归纳出0.1999 = ；16、以下5个命题：①对于相关系数r ,r 越接近1,则线性相关程度越强；②空间直角坐标系中，点(2,1,9)-关于x 轴对称的点的坐标是(2,1,9)--；③某人连续投篮投3次, 设事件A ：至少有一个命中,事件B ：都命中，那么事件A 与事件B 是互斥且不对立的事件；④推理“半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=”是类比推理；⑤定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y x =上的各点映到这点本身，而把直线3y x =上的各点映到这点关于原点对称的点，则3,2p q ==-；其中的真命题是 . (写出所有真命题．．．的序号)三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答） 17．（本题满分12分） 设{}n a 是各项均为正数的等比数列，已知132,8a a ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2log n a 的前n 项和n T . 18．（本题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取．．．．．．．．．．组，用剩下的．．．．．．组数据求线性回归方程，再．．．．．．．．．．．．用被选取的．．．．．2组数据进行检验．．．．．．．．．（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（其中718=b ） （Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的．试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==， 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面CDE ；（Ⅱ）当CDE ∠取何值时，三棱锥E ABD -的体积取最大值？并求此时三棱锥E ABD -的侧面积.20．（本题满分12分） 某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请求出上表中的123，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[0,]x m ∈（其中(2,4)m ∈）上的值域为[，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q ，求OQ 与QP夹角θ的大小.21．（本题满分12分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，右焦点到直线y x = (Ⅰ)求椭圆E 的方程；（Ⅱ）已知点(2,1)M ，斜率为12的直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B ,设直线MA 与MB 的斜率分别为12,k k ；① 若直线l 过椭圆的左顶点，求12,k k 的值； ② 试猜测12,k k 的关系，并给出你的证明.A BCD E22．（本题满分14分）已知函数2()ln 23f x x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：存在(0,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =；（Ⅲ）记函数()y f x =的图象为曲线Γ．设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线Γ在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()f x 存在“中值伴随切线”，试问：函数()f x 是否存在“中值伴随切线”？请说明理由．2014福建省高考压轴卷文科数学一、 选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、B 8、B 9、A 10、A 11、C 12、D 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．）13、2 14、10x y +-= 15、1999999916、① ⑤ 三、解答题（本大题有6小题，共74分．） 17. 解：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公差为q由231a a q = 解得2q =或2q =-{}n a 是各项均为正数的等比数列 2q ∴= 1222n n n a -∴=⋅= ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22log log 2n n a n ==∴(1)1232n n n T n +=++++= ………12分18. 解：（Ⅰ）由数据求得24,11==y x ，由公式x b y a -=，得730-=a ， ∴y 关于x 的线性回归方程为1830ˆ77yx =-．…………6分 （Ⅱ）当10=x 时，7150=y ，有274227150<=-；当6=x 时，778=y ，有27612778<=-； ∴该小组所得线性回归方程是理想的． …………12分19. 解：（I ）在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=222,BD AB BD AD AB DE∴==∴+=∴⊥ ∵//AB CD ∴B D C D ⊥，B D D E ⊥又 CD DE D = ，CD 、DE ⊂平面CDE ∴BD ⊥平面C D E …………6分ABD E（Ⅱ）设E 点到平面ABCD 距离为h ，则2h ED ≤=. 由（I ）知BD DE ⊥ 当ED CD ⊥时，∵BD CD D = ，CD 、ED ⊂平面CDE ∴ED ⊥平面ABCD∴当090CDE ∠=时，2h ED ==，三棱锥E ABD -的体积取最大值. 此时ED ⊥平面ABCD ，∴ED AD ⊥、ED BD ⊥ 在R t D B E ∆中，,2D B DE D C A B ====12ABE S DB DE ∆∴=⋅= 在Rt △ADE 中，142ADE S AD DE =⋅=∵A B B D ⊥，B D D E ⊥，B D D E D = ，BD 、DE ⊂平面B D E∴AB ⊥平面B D E ∴A B B E ⊥14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅=综上，090CDE ∠=时，三棱锥E A B D -体积取最大值，此时侧面积8S =+ …………12分20. 解：（Ⅰ）123x =-，243x =，3103x =∴()s i n ()23f x x ππ=+…………5分 （Ⅱ）将()f x 的图像沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π=由于()g x 在[0,]((2,4))m m ∈上的值域为[，则3m ≥，故最高点为(1P ，最低点为(3,Q .则(3,OQ =,(QP =-，则cos 2||||OQ QP OQ QP θ⋅==⋅故56πθ= …………12分21. 解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点(,0)c ，由右焦点到直线y x =c =，c a ∴=，解得228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y += ………4分 (Ⅱ) ①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =+，联立方程组2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩故1211,22k k =-=. ………8分 ②设在y 轴上的截距为b ,所以直线l 的方程为12y x b =+. 由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= . 设11(,)A x y 、22(,)B x y ,则212122,24x x b x x b +=-=-. 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又112211,22y x b y x b =+=+, 所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++--21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----= ， 故120k k +=.所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补. ………12分22．解：（I ）21431(1)(41)'()43(0)x x x x f x x x x x x -++--+=-+==>，'()01f x x =⇒=， (0,1)x ∈时'()0,f x >(1,)x ∈+∞时'()0,f x <故1x =时()f x 有极大值1，无极小值． ………4分(Ⅱ)构造函数：22113()()()ln 23(ln 2)ln 23ln 21222F x f x f x x x x x x =-=-+---+=-++-，由（I ）知1(1)()2f f >，故(1)0F >，又2()23ln 2(32)ln 20F e e e e e =-++=-+<，所以函数()F x 在区间(1,)e 上存在零点．即存在(1,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =． ………8分（Ⅲ）22121212121212121212()()ln ln 2()3()ln ln 2()3AB f x f x x x x x x x x x k x x x x x x x x ----+--===-++---120001212'()43432x x f x x x x x +=-+=-++ ，假设存在“中值伴随切线”，则有0'()AB k f x =，可得1121121211212212221ln ln 2ln 2ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⇒=⋅⇒=⋅-+++，令12xt x =，则1ln 21t t t -=⋅+，构造1()ln 2,1t g t t t -=-⋅+ 有22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=≥++恒成立，故函数()g t 单调递增，无零点，所以函数()f x 不存在“中值伴随切线” ． ………14分。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·福建(文科数学)
2014·福建卷(文科数学)1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析]把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.2．[2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．13．A[解析]由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.4．[2014·福建卷] 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1-1A．1B．2C．3D．44．B[解析]当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05．C[解析]“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.6．[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.7． [2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析]将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-28． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析]由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C [解析]设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4m 3，高为1m ．得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C. 10． [2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →10．D [解析]如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.11． [2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析]作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||) )AC图1-412．A [解析]设M (x ，y )是轨迹上任意一点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，||MF 1|＋|MF 2||＝2a ，其中a 为常数，且a >c >0，由“L －距离”定义，得|x ＋c |＋|y |＋|x －c |＋|y |＝2a ，即|y |＝12(2a －|x ＋c |－|x －c |)，当y ≥0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x <c ；－x ＋a ，x ≥c ，当y <0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，－a ＋c ，－c ≤x <c ，x －a ，x ≥c .则满足上述关系的图像只有选项A.13． [2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-513．0.18 [解析]设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18， 所以可以估计阴影部分的面积为0.18.14． [2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． (这是边文，请据需要手工删加)14．1 [解析]由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.15． [2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析]当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 16． [2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 17． [2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.18． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19． [2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个． 所以所求概率为P (M )＝310.21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 22． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 22．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x ＜ln2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，第 11 页 共 11 页 所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， 则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。
福建省厦门双十中学2014届高三数学热身考试试卷 文 新人教A版
第4题图福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学〔文〕试卷第1卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，总分为60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，如此B A ⋃ 等于 A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}420，，D ．{}4210，，， 2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩假设直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，如此实数m 的取值范围是A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m 4．某程序框图如下列图，该程序运行后输出的x 值是A ．3B ．4C ．6D ．85．双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P 〔2,1〕在C 的渐近线上，如此C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =16．设1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图〕，以下结论中正确的答案是〔 〕 A ．x 和y 正相关B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定一样7.如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =， 假设DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，如此FE FD •的值是〔 〕 A.34-B. 89-C. 14- D. 不确定 8．假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，如此3x+4y 的最小值是 A.245 B.285C.5D.6 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0,||2A πϕ><〕的图象如下列图，为了得到x x g 2sin )(=的图像，如此只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位10．函数()xx ex f -=sin ，有如下四个结论：①是奇函数 ②是偶函数 ③在R 上是增函数 ④在R 上是减函数 其中正确的个数为 〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．311．假设x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点〔1，0〕处取得最小值，如此实数a 的取值范围是A ．(]0,4-∈aB ． [)2,0∈aC ．(4,2)a ∈-D 。
数学_2014年福建省某校协作校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案)
2014年福建省某校协作校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合A ={x|x ≤2}，B ={x|x(3−x)>0}，则A ∩B =( )A {x|0<x ≤2}B {x|x <0}C {x|x ≤2, 或x >3}D {x|x <0, 或x ≥2} 2. 在复平面内，复数z =2i−1i−1的共轭复数对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 5等于（ ） A 25 B 16 C 11 D 94. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图由直径为2的半圆和等边三角形构成，则该几何体的体积为（ ） A 4π3+2√33 B 2π3+2√3 C 2π3+2√33 D 2π3+4√335. 已知a 为常数，则使得a >∫1x e 1dx 成立的一个充分而不必要条件是（ ） A a >0 B a <0 C a >e D a <e6. 已知O 为坐标原点，直线y =x +a 与圆x 2+y 2=4分别交于A ，B 两点．若OA →⋅OB →=−2，则实数a 的值为（ ）A 1B √2C ±1D ±√27. 若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 到x 轴的距离为（ ）A 18B √24C 14D 128. 函数f(x)={x +1x 2+2x +1x ≥0x <0的图象和函数g(x)=e x 的图象的交点个数是（ ）A 4B 3C 2D 19. 已知不等式1x +9y >kx+y 对任意正数x 、y 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A k <16 B k >16 C k >12 D k <1210. 对于函数y =f(x)，如果存在区间[m, n](m <n)，当定义域是[m, n]时，f(x)的值域也是[m, n]，则称f(x)在[m, n]上是“和谐函数”，且[m, n]为该函数的“和谐区间”．现有以下命题：①f(x)=(x −1)2在[0, 1]是“和谐函数”；②恰有两个不同的正数a 使f(x)=(x −1)2在[0, a]是“和谐函数”； ③f(x)=1x +k 对任意的k ∈R 都存在“和谐区间”；④由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y =f(x)必存在“和谐区间”． 其中正确的命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11. 已知i →，j →分别是平面内互相垂直的两个单位向量，设向量a i →+b j →与i →，j →的夹角分别为α，β，则cos 2α+cos 2β的值等于________．12. 已知程序框图如图所示，执行相应程序，输出y 的值为1，则输入的整数x 的值等于________．13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤2x +y ≥6x ≥0，则目标函数z =x +2y 的最小值等于________．14. (2−√x)8展开式中不含x 3项的系数的和为________．15. 已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A(−p, 0)和C(p, 0)，顶点B 在椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0,p =√m 2−n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA+sinC sinB=1e ，试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：________________．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 若直线y =m(m >0)是函数f(x)=√3cos 2ωx −sinωxcosωx −√32(ω>0)的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列． （1）求ω和m 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边．若(A2, 0)是函数f(x)图象的一个对称中心，且a =4，求b +c 的最大值．17. 莆田四中高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为23，且每道题正确完成与否互不影响．（1）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；（2）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；（3）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平．18.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC =90∘，AB =AC =AA 1=1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点．（1）求证：PB 1 // 平面A 1BD ；（2）求二面角A −A 1D −B 的平面角的余弦值；（3）在直线B 1P 上是否存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在请说明理由．19.如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆Γ的离心率为√32，焦距为2√3，点A ，B 分别是椭圆Γ的右顶点和上顶点，点D 是线段AB 上的一动点，点C 是椭圆Γ上不与A ，B 重合的一动点．（1）求椭圆Γ的方程和△CAB 的面积的最大值； （2）若满足：OD →=λOC →(λ<0)，求λ的取值范围．20. 若斜率为k 的两条平行直线l ，m 与曲线C 相切并至少有两个切点，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间（也可在直线l ，m 上），则把l ，m 称为曲线C 的“夹线”，把l ，m 间的距离称为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为d(k)．已知函数f(x)=x +3cosx ． （1）若点P 横坐标为0，求f(x)图象在点P 处的切线方程；（2）试判断y =x +3和y =x −3是否是f(x)的“夹线”，若是，求d(1)；若不是，请说明理由；（3）求证：函数F(x)=−13x 3+x 的图象不存在“夹线”．本题有（21）、（22）、（23）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】 21. 已知矩阵M =[2a 21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P′(−4, 0)．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(−1, 5)，点M的极坐标为(4, π2)．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心，半径为4．(I)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(II)试判定直线l和圆C的位置关系．【选修4-5：不等式选讲】23. 【选修4−5：不等式选讲】已知实数x，y，z满足x2+y2+z2=1．（1）求x+2y+2z的取值范围；（2）若不等式|a−3|+a2≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．2014年福建省某校协作校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）答案1. A2. A3. D4. C5. C6. D7. B8. C9. A10. C11. 112. −1或213. 814. −11115. 平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(−p, 0)和C(p, 0)，顶点B在双曲线,x2m2−y2n2=1(m>0,n>0,p=√m2+n2)上，双曲线的离心率是e，则|sinA−sinc|sinB =1e16. 解：（1）由f(x)=√3cos2ωx−sinωxcosωx−√32，得f(x)=√3×1+cos2ωx2−12sin2ωx −√32=cos(2ωx +π6)，由f(x)的图象与直线y =m(m >0)相切，得m =1． ∵ 切点横坐标依次成公差为π的等差数列， ∴ 周期T =2π2ω=π， ∴ ω=1；（2）由（1）知f(x)=cos(2x +π6)，令2x +π6=π2+kπ，得x =π6+kπ2，k ∈Z ，∵ 点(A 2, 0)是函数f(x)图象的一个对称中心，又A 是△ABC 内角， ∴ A2=π6，A =π3．又a =4，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc ，即(b +c)2−3bc =16， 又bc ≤(b+c 2)2， ∴ −3bc ≥−3(b+c)24，∴ (b +c)2−3bc ≥(b+c)24，则(b+c)24≤16，∴ (b +c)≤8，当且仅当b =c =a =4时，(b +c)max =8． 17. 解：（1）∵ 考生甲要通过实验考查，就必须正确完成所抽三道题中的2道或3道． ∴ 所求概率为P =C 42C 21+C 43C 63=45（2）由已知，ξ=0，1、2、3，P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15，P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35，P(ξ=3)=C 43C 63=15．所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：Eξ=1×15+2×35+3×15=2（3）乙考生正确完成题数η的概率分布列为：Eη=0×127+1×29+2×49+3×827=2 ∴ Eξ=Eη，表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同． ∵ Dξ=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25Dη=(0−2)2×127+(1−2)2×29+(2−2)2×49+(3−2)2×827=23∴ Dξ<Dη，这表明ξ的取值比η的取值相对集中于均值2的周围， 因此甲生的实际操作能力比乙生强．18. （1）证明：连接AB 1，设AB 1∩A 1B =M ，连接MD ， ∵ CD =C 1D ，∠ADC =∠PDC 1，∴ Rt △ACD ≅Rt △PC 1D ，∴ AD =DP ． 又∵ AM =MB 1，∴ MD // PB 1，又∵ MD ⊂平面A 1BD ，PB 1⊄平面A 1BD ， ∴ PB 1 // 平面A 1BD ．…（2）解：如图，以A 1为原点，A 1B 1、A 1C 1、A 1A 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，由已知得A 1(0, 0, 0)，B 1(1, 0, 0)，C 1(0, 1, 0)， B(1, 0, 1)，D(0,1,12)，P(0, 2, 0)，∴ A 1B →=(1, 0, 1)，A 1D →=(0, 1, 12)， 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(x, y, z)， 则{n ⋅A 1B →=x +z =0n ⋅A 1D →=y +12z =0， 取z =−2，得n =(2, 1, −2)；又m =A 1B 1→=(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴ cos <m,n >=m⋅n|m||n|=23，∴ 二面角A −A 1D −B 的平面角的余弦值为23．… （3）解：设存在Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →=λB 1P →=λ(−1,2,0)=(−λ,2λ,0)， 则DQ →=DB 1→+B 1Q →=(1−λ,−1+2λ,−12)， 由DQ ⊥平面A 1BD 知，DQ →也是平面A 1BD 的法向量， 这样n →=(2,1,−2)与DQ →=(1−λ,−1+2λ,−12)共线， 于是有1−λ2=−1+2λ1=−12−2=14成立，但此方程关于λ无解．故在直线B 1P 上不存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD ．… 19. 解：（1）依题意设椭圆Γ的方程为x 2a2+y 2b 2=1，(a >b >0)，∵ 椭圆Γ的离心率为√32，焦距为2√3， ∴ {e =ca =√322c =2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．∵ 点A ，B 分别是椭圆Γ的右顶点和上顶点， ∴ A(2, 0)，B(0, 1)，∴ 线段AB:x2+y =1，(0≤x ≤2)设直线l 与直线AB 平行与椭圆相切于x 轴下方的P 点， 由题意知当C 点与P 点重合时， △CAB 的面积取到最大值． 设直线AB 的方程为y =−12x +m ，由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y 得x 2−2mx +2m 2−2=0．…令△=(−2m)2−4(2m 2−2)=0，解得m =−√2，或m =√2（舍去）．… 所以直线l 方程为x +2y +2√2=0，点C 到直线AB 的距离d 等于直线l 与直线AB 的距离， 即d =2√10+2√55， 所以△CAB 的面积的最大值： S =12⋅|AB|⋅d =12×√5×2√10+2√55=√2+1．…（2）设D(x 0, y 0)，x 0∈[0, 2]，C(x 1, y 1)，∵ OD →=λOC →，∴ {x 0=λx 1y 0=λy 1，则{x 1=x0λ (1)y 1=y 0λ (2)… ∵ 点C(x 1, y 1)在椭圆Γ：x 24+y 2=1上， ∴x 124+y 12=1，…③将①、②代入③，得x 024λ2+y 02λ2=1，即λ2=x 024+y 02，…④∵ D(x 0, y 0)在线段AB:x2+y =1，(0≤x ≤2)上，∴ y 0=2−x 02，∴ ④式化为λ2=x 024+(2−x 0)24=12(x 0−1)2+12，∵ 0≤x 0≤2，∴ 12≤λ2≤1，又λ<0， ∴ −1≤λ≤−√22，∴ λ的取值范围是[−1, −√22]． 20. （1）解：由f(x)=x +3cosx ，得f′(x)=1−3sinx ，∴ k =f′(0)=1−3sin0=1， 又f(0)=0+3cos0=3， ∴ P 点坐标为p(0, 3)，∴ f(x)图象在点P 处的切线方程是y −3=x −0，即y =x +3； （2）解：y =x +3和y =x −3是f(x)的“夹线”．由（1）知y =x +3是f(x)图象在点P 处的切线，切点为(0, 3)． ∵ f′(x)=1−3sinx =1， ∴ sinx =0．当x =2π时，y =2π+3，f(2π)=2π+3cos2π=2π+3，∴ (2π, 2π+3)是函数y =x +3和f(x)=x +3cosx 图象的另一个切点． y =x +3和f(x)=x +3cosx 的图象相切且至少有两个切点．同理，(π, π−3)，(3π, 3π−3)是y =x −3和f(x)=x +3cosx 图象的两个切点． 因此，两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点． 令g(x)=x +3，ℎ(x)=x −3．对任意x ∈R ，g(x)−f(x)=(x +3)−(x +3cosx)=3−3cosx ≥0， ∴ g(x)≥f(x)．ℎ(x)−f(x)=(x −3)−(x +3cosx)=−3−3cosx ≤0， ∴ ℎ(x)≤f(x)．y =x +3和y =x −3是f(x)的“夹线” ∴ d(1)=√12+12=3√2；（3）证明：设F(x)=−13x 3+x 的图象上任一点为P(x 0, y 0)，∴ F′(x)=−x 2+1，k =F ′(x 0)=−x 02+1， 又F(x 0)=−13x 03+x 0，∴ F(x)在点P(x 0, y 0)处的切线方程为y −(−13x 03+x 0)=(−x 02+1)(x −x 0)，即y =(−x 02+1)x +23x 03．联立{y =(−x 02+1)x +23x 03y =−13x 3+x，得−13x 3+x =(−x 02+1)x +23x 03， ∴ (x −x 0)2(x +2x 0)=0，解得：x =x 0或x =−2x 0．∴ k =F ′(x 0)=−x 02+1，k′=F ′(−2x 0)=−(−2x 0)2+1=−4x 02+1，∴ k =k′时，当且仅当x 0=0时取到，此时切线与F(x)=−13x 3+x 的图象只有一个交点． ∴ F(x)=−13x 3+x 的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点．∴ 函数F(x)=−13x 3+x 的图象不存在“夹线”．21. 解：（1）由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．（2）由（1）知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)=|λ−2−3−2λ−1|=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．22. 解：(1)∵ 直线l 过点P(−1, 5)，倾斜角为π3，∴ 设l 上动点坐标为Q(x, y)，则y−5x+1=tan π3=√3， 因此，设{y −5=√3t x +1=t，得直线l 的参数方程为{y =√3t +5x =t −1（t 为参数）．∵ 圆C 以M(4, π2)为圆心，4为半径，∴ 圆心坐标为(0, 4)，圆的直角坐标方程为x 2+(y −4)2=16 ∵ {x 2+y 2=ρ2y =ρsinθ，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=8sinθ．(2)将直线l 化成普通方程，得√3x −y +5+√3=0，∵ 点C 到直线l 的距离d =√3|√1+3=12(1+√3)<4=r ，∴ 直线l 和圆C 相交． 23. 解：（1）由柯西不等式可得9=(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)≥(1×x +2×y +2×z)2，∴ −3≤x +2y +2z ≤3，当且仅当{x 1=y 2=z 2x 2+y 2+z 2=1，即y =z =2x =23时，右边取等号；同理当且仅当y =z =2x =−23时左边取等号．（2）由（1）可知：−3≤x +2y +2z ≤3，∴ (x +2y +2z)max =3．∴ 不等式|a −3|+a2≥x +2y +2z 对一切实数x ，y ，z 恒成立⇔|a −3|+a2≥(x +2y +2z)max =3．∴ {a ≥3a −3+a 2≥3或{a <33−a +a 2≥3，解得a ≥4或a ≤0．。
【VIP专享】2014届高三数学文科高考模拟试卷及答案
1 V 3 h(S1 S1S2 S2 )
(k
=
0,1,2,…,
其中 S1, S2 分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 的高
n)
选择题部分(共 50 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1.如图，全集 I {1,2,4,6,7,9}, 其中 M {2,4,7,9}， P {1,4,7,9} , S {2,4,7} 是 I 的 3 个子集，
考生须知：
2014 届高三数学文科高考模拟试卷
1、全卷分试卷 I、II，试卷共 4 页，有三大题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
2、本卷答案必须做在答卷 I、II 的相应位置上，做在试卷上无效。
3、请用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷 I、II 的相应位置上，用
2B 铅笔将答卷 I 的准考证号和学科名称所对应的方框内涂黑。
3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高
球的表面积公式
S = 4πR2
球的体积公式
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
（B）必要不充分条件
（D）{9}
（D）既不充分也不必要条件
3.已知 , 是不同的两个平面， m, n 是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是（ ▲
）
（A）若 m // ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, m ，则 n
（C）若 m , m ，则
4.下列函数中，既是偶函数又在 (0 , ) 上单调递增的是（ ▲ ）
（A） y ln | x | （B） y x 2
5. 某中学高三理科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学 竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如右图，其中甲