解直角三角形及其应用(1)
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解直角三角形及其应用
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
方法模型 (1)若求边，一般用未知边比已知边，去寻找已知角 的某个三角函数值； (2)若求角，一般用已知边比已知边(斜边放在分母 上)，去寻找未知角的某个三角函数值．
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
热考2 解有关高度(宽度)的问题 例 2 如图 25－2，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测 一条东西流向的河流的宽度(把河两岸看做平行线，河宽即两岸之 间的垂线段的长度)．某同学在河南岸 A 处观测到河对岸水边有一 棵树 P，测得 P 在 A 北偏东 60°方向上，沿河岸向东前行 20 米到 达 B 处，测得 P 在 B 北偏东 45°方向上．求河宽(结果保留一位 小数 2≈1.414， 3≈1.732)．
如果某人沿坡度 i＝1∶3 的斜坡前进 10 m，那 么他所在的位置比原来的位置升高了___1_0____m.
图 25－3
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
解：方案一： (1)示意图如图①所示：
选用工具：测角仪、皮尺． (2)①用测角仪测出∠ACE的角度； ②用皮尺测量DB的长；
③AE＝DBtan∠ACE；
④AB＝AE＋1.5.
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
方案二 (1)示意图如图②所示．
选用工具：长为2 m的标杆、皮尺． (2)①把2 m的标杆EF按如图所示的方式放置；
答：河宽约为27.3米．
第25课时┃ 解直角三角形及其应用
如图 25－3，为了测量某电线杆(底部可到达)的
高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为 2 m 的标杆；④高为 1.5 m 的测角仪(测量仰角、俯角的仪器)．请
根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1)画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所 选用的测量工具； (2)结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
2020年浙江中考数学一轮课件：35第九章 第二节解直角三角形及其应用
【分析】根据方向角的定义即可得到结论． 【自主解答】由图可得，目标A在南偏东75°方向5 km处，故选D.
例5 (2019·宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400 米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方 向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米．(精确到1米，参 考数据： ≈1.414， ≈1.732)
墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为
(2)该文化墙PM不需要拆除． 理由如下： 如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．
易错易混点一 构造直角三角形解三角函数问题
例1 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都 在格点上，则sin∠ACB的值为( )
解：(1)如图，过点C作CE⊥BD于点E，
则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°， ∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.
(2)由题意得，CE＝AB＝30(m)， 在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°≈10.80(m)， 在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°≈9.60(m)， ∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60≈20.4(m)． 则教学楼的高BD约为20.4 m.
考点二 利用解直角三角形解决测量问题
【要点知识拓展】 已知角度及其三角函数值时，可以构造直角三角形，通过解直角三角形帮 助解决长度计算问题．
例2 (2019·金华)如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简 易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°， 则此时观察楼顶的仰角度数是________．
解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 理由如下：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°. ∵∠ACD＝∠ABC＋∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC， ∴CB＝CA＝20. 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，
2022中考数学第一轮考点系统复习第四章三角形第19讲解直角三角形及其应用讲本课件
AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是( )A
1 A.
B.2
C. 6
D.
6
2
3
4
命题点2 解直角三角形的应用
5.(2021·十堰)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆EC的高度
，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地
面的距离)，那么旗杆EC的高度是( D)
2 3
2 3.
CD 2 3 (2 3)(2 3)
类比这种方法，计算tan22.5°的值为( B )
A. 2+1 C. 2
B. 2-1
1 D. 2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月12日星期六下午2时3分37秒14:03:3722.3.12 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时3分22.3.1214:03March 12, 2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月12日星期六2时3分37秒14:03:3712 March 2022
谢谢观赏
You made my day!
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6×tan60°＝ 6 3(m) .
在Rt△AFD中，∠AFD＝45°，∴AD＝DF＝(3 3 ＋6)m， ∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3 ≈4.3(m).
答：宣传牌的高度AB约为4.3m.
命题点1 直角三角形的边角关系
△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( D )
人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】
∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【 例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后 必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正 以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风 中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货 物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=
华师版九年级上册数学作业课件 第24章解直角三角形 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用
夹角 ° ° ° ° A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
16．(2018·齐齐哈尔)四边形 ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC＝90°，tan ∠ABD＝43，AB＝20，BC＝10，AD＝13，则线段 CD＝ 17 或 89 .
17．如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求 AB 的长．
解：(1)sin2A1＋cos2A1＝(12)2＋( 23)2＝14＋34＝1，sin2A2＋cos2A2＝( 12)2＋( 12)2＝12＋ 12＝1，sin2A3＋cos2A3＝(35)2＋(45)2＝295＋1265＝1，故答案为：1，1，1 (2)1 (3)在图②中，∵sinA＝ac，cosA＝bc，且 a2＋b2＝c2，则 sin2A＋cos2A＝(ac)2＋(bc)2 ＝ac22＋bc22＝a2＋c2b2＝cc22＝1，即 sin2A＋cos2A＝1
在
Rt △ BCH
中
，
∵
BC
＝
12
，
∠
B
＝
30
°
，
∴
CH
＝
1 2
BC
＝
6
，
BH
BC2－CH2 ＝ 6
3，在
Rt △ ACH
中
，
tanA
＝
3 4
＝
CH AH
，
∴
AH
＝
8
，
∴
AC
AH2＋CH2＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 3
知识点三：解直角三角形的简单应用 9．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小 河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( C ) A．100sin35° 米 B．100sin55° 米 C．100tan35° 米 D．100tan55° 米
16．(2018·齐齐哈尔)四边形 ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC＝90°，tan ∠ABD＝43，AB＝20，BC＝10，AD＝13，则线段 CD＝ 17 或 89 .
17．如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求 AB 的长．
解：(1)sin2A1＋cos2A1＝(12)2＋( 23)2＝14＋34＝1，sin2A2＋cos2A2＝( 12)2＋( 12)2＝12＋ 12＝1，sin2A3＋cos2A3＝(35)2＋(45)2＝295＋1265＝1，故答案为：1，1，1 (2)1 (3)在图②中，∵sinA＝ac，cosA＝bc，且 a2＋b2＝c2，则 sin2A＋cos2A＝(ac)2＋(bc)2 ＝ac22＋bc22＝a2＋c2b2＝cc22＝1，即 sin2A＋cos2A＝1
在
Rt △ BCH
中
，
∵
BC
＝
12
，
∠
B
＝
30
°
，
∴
CH
＝
1 2
BC
＝
6
，
BH
BC2－CH2 ＝ 6
3，在
Rt △ ACH
中
，
tanA
＝
3 4
＝
CH AH
，
∴
AH
＝
8
，
∴
AC
AH2＋CH2＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 3
知识点三：解直角三角形的简单应用 9．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小 河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( C ) A．100sin35° 米 B．100sin55° 米 C．100tan35° 米 D．100tan55° 米
28.2.1 解直角三角形 课件(共16张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册
2
1
x x 52.
3
2
C
A
合作探究
15 2
15 2
x1
, x2
（舍去）
.
4
4
B
∴ AB的长为 15 2 .
4
C
A
典例精析
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，
则下列各式正确的是( C )
A. b = a·tanA
<
>
m
<
>
/m
已知 = ， = ，则 的值为____.
课堂总结
勾股定理
依据
两锐角互余
锐角的三角函数
解直角三角形
解法：只要知道五个元素中的两
个元素（至少有一个是边），就
可以求出余下的三个未知元素
/m
随堂练习
2.如图，在 △ 中， = ， = ， = ，则 的值为( C
2)
@
A. <
><
m
>
/m
B. <
><
m
>
/m
C. <
><
m
>
/m
D. <
></m
m
>
3.在 △ 中， ∠ = ∘ ， ∠ ， ∠ ， ∠ 所对的边分别为 ， ， ，
sin B , c
sin B sin 35
c
a
C
合作探究
1
x x 52.
3
2
C
A
合作探究
15 2
15 2
x1
, x2
（舍去）
.
4
4
B
∴ AB的长为 15 2 .
4
C
A
典例精析
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，
则下列各式正确的是( C )
A. b = a·tanA
<
>
m
<
>
/m
已知 = ， = ，则 的值为____.
课堂总结
勾股定理
依据
两锐角互余
锐角的三角函数
解直角三角形
解法：只要知道五个元素中的两
个元素（至少有一个是边），就
可以求出余下的三个未知元素
/m
随堂练习
2.如图，在 △ 中， = ， = ， = ，则 的值为( C
2)
@
A. <
><
m
>
/m
B. <
><
m
>
/m
C. <
><
m
>
/m
D. <
></m
m
>
3.在 △ 中， ∠ = ∘ ， ∠ ， ∠ ， ∠ 所对的边分别为 ， ， ，
sin B , c
sin B sin 35
c
a
C
合作探究
解直角三角形及其应用
（1）三角关系： <m></m> _____；
（2）三边关系： ；
（3）边角关系： <m></m> ； <m></m> ______； <m></m> __ <m></m> ；
（4）在 中，五个量 ， ， ， ， ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量.
（2013年考查）
求 长：
续表
1.在 中， ， ， ，则直角边 的长是( )A. B. C. D.
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，则 ( )
第2题图
A. B. C. D.
第四章 三角形
命题点10 解直角三角形及其应用（必考）
2022版课标要求
1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 ,知道 ， ， 角的三角函数值；
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；
求 长：
常见模型
关系式
（2015年考查） （2022年考查）
求 长:
续表
常见模型
关系式
（2016年考查） （2020年考查）
求 长:
续表
常见模型
关系式
.
求 长：
√
√
3.若锐角 满足 ，则 的度数是( )A. B. C. D.
√
4.如图，要测量小河两岸相对的两点 ， 的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点 ，测得 ， ，则小河宽 为( )
（2）三边关系： ；
（3）边角关系： <m></m> ； <m></m> ______； <m></m> __ <m></m> ；
（4）在 中，五个量 ， ， ， ， ，知道两个（其中含一边），即可根据三边关系、三角关系或边角关系公式求解出其他三个量.
（2013年考查）
求 长：
续表
1.在 中， ， ， ，则直角边 的长是( )A. B. C. D.
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，则 ( )
第2题图
A. B. C. D.
第四章 三角形
命题点10 解直角三角形及其应用（必考）
2022版课标要求
1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 ,知道 ， ， 角的三角函数值；
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；
求 长：
常见模型
关系式
（2015年考查） （2022年考查）
求 长:
续表
常见模型
关系式
（2016年考查） （2020年考查）
求 长:
续表
常见模型
关系式
.
求 长：
√
√
3.若锐角 满足 ，则 的度数是( )A. B. C. D.
√
4.如图，要测量小河两岸相对的两点 ， 的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点 ，测得 ， ，则小河宽 为( )
解直角三角形及其应用
l
α为坡角
h
α
l
铅
α =tan
垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
二、题型探究：
问题导入1： 直接考查解直角三角形知识 例 1 如图 X3－1，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，
AC＝2 3，求 AB 的长．
图 X3－1
例2： 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间 选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔 顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40 m.求塔高CD(结 果用根号表示)．
考点聚焦
归Hale Waihona Puke 探究回归教材三、综合运用
A
D
4
B
CQ E
总结：本节课你学到了那些知识？
作业：完成练习册P130-131(2，3，4， 5)
中考探究：
D A
B
C
专题复习 解直角三角形及应用
一、知识点回顾：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角
Ａ
sinA＝
a c
形
3.边角之间
cosA＝
b c
的关系
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
2023年数学中考试题精选：解直角三角形应用(一)
1.（2023.营口21题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B地在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程。
（参考数据：√2≈1.41，√6≈2.45）2.（2023.本溪铁岭辽阳22题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F 在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33）3.(2023.大连21题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景，已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC=10.4m，BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？（结果保留整数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）4.（2023.贵州省22题）贵州旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m，索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F. （图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）。