高中数学 第一章 常用逻辑用语章末综合检测 苏教版选修1-1

唐玲 学 习 资 料 专 题 第一章 常用逻辑用语

(时间：120分钟；满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________． 解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个． 答案：1 2．下列命题中，真命题是________． ①∃x0∈R，ex0≤0； ②∀x∈R,2x>x2；

③a＋b＝0的充要条件是ab＝－1； ④a>1，b>1是ab>1的充分条件． 解析：因为∀x∈R，ex>0，故排除①；取x＝2，则22＝22，故排除②；a＋b＝0，取a

＝b＝0，则不能推出ab＝－1，故排除③；应填④. 答案：④ 3．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是________． 解析：命题的条件为“x2≥1”，结论为“x≥1或x≤－1”，否定结论作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题． 答案：若－14．下列命题： ①G＝ab(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件； ②若角α，β满足cos αcos β＝1，则sin(α＋β)＝0； ③若不等式|x－4|0； ④函数y＝sin x＋sin |x|的值域是[－2,2]． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)． 解析：当G＝ab(G≠0)时，有G2＝ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－ab，所以G＝ab(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件，故①正确； 当cos αcos β＝1时，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z)，β＝2k4π(k4∈Z)，这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z)或α＋β＝2(k3＋k4)π(k3，k4∈Z)，必有sin(α＋β)＝0，故②正确； 由于|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|等式|x－4|0，故③正确；

函数y＝sin x＋sin |x|＝ 2sin x，x≥00， x<0，所以该函数的值域为[－2,2]，故④正唐玲

确． 答案：①②③④ 5．给出命题：①∀x∈(－∞，1)，使x3<1；②∃x∈Q，使x2＝2；③∀x∈N，有x3>x2；④∀x∈R，有x2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)． 解析：方程x2＝2的解只有无理数x＝±2，所以不存在有理数x使得方程x2＝2成立，故②为假命题；比如存在x＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确． 答案：①④ 6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件． 解析：x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能推出x∈A. 答案：必要不充分

7．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的________条件．

解析：a＝18⇒2x＋ax＝2x＋18x≥22x×18x＝1，另一方面对任意正数x,2x＋ax≥1只要2x＋ax≥22x×ax＝22a≥1⇒a≥18. 答案：充分不必要 8．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对∀x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(4－2a)x是R上的减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由x2＋2ax＋4>0对∀x∈R恒成立，得 Δ＝(2a)2－4×4<0，解得－2所以p：－2由y＝－(4－2a)x是R上的减函数，

得4－2a>1，解得a<32.

所以q：a<32. 由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．

所以 －2从而得32≤a<2或a≤－2. 答案：[32，2)∪(－∞，－2] 9．已知函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的________条件． 解析：由f(x)、g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如

h(x)＝x2是偶函数，而f(x)＝x2x－1，g(x)＝x－1都不是奇函数．

答案：充分不必要 10．a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件． 解析：若|a·b|＝|a||b|， 若a，b中有零向量，显然a∥b； 若a，b均不为零向量，则 |a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|， ∴|cos〈a，b〉|＝1， 唐玲

∴〈a，b〉＝π或0， ∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b. 若a∥b，则〈a，b〉＝0或π， ∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|， 其中，若a，b有零向量也成立， 即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|. 综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件． 答案：充分必要 11．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________． 解析：p：x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，

 Δ＝4m2－4＞0，－2m＞0，即m＜－1.

q：x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，

Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋10)＝4(m2－m－6)＜0， 即－2＜m＜3. 分两种情况：①p真q假，m≤－2；②p假q真，－1≤m＜3. 综上可知使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)． 答案：(－∞，－2]∪[－1,3) 12．给出下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角． 其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题； ③∵b≤－1，∴Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；

④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题． 答案：①③ 13．已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z，则使得x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题的x组成的集合M＝________. 解析：x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假且q真．故令x2

－x<6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，从而所求的集合M＝{－1,0,1,2}． 答案：{－1,0,1,2}

14．已知“关于x的不等式x2－ax＋2x2－x＋1<3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1，a2)”，则a1＋a2＝________.

解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化为x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0. ∵∀x∈R时，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立， ∴Δ＝(a－3)2－8<0. ∴3－22∴a1＋a2＝6. 答案：6 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)将命题“ab＝0，则a，b中至少有一个为0”改写为“若p则q”唐玲

的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． 解：原命题：若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.是真命题； 逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab＝0.是真命题； 否命题：若ab≠0，则a，b都不为0.是真命题； 逆否命题：若a，b都不为0，则ab≠0.是真命题． 16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，都有|x|＝x； (2)p：∀x∈R，x3＞x2； (3)p：至少有一个二次函数没有零点； (4)p：存在一个角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1. 解：(1)綈p：∃x∈R，有|x|≠x. 如x＝－1，|－1|＝1≠－1，所以綈p是真命题． (2)綈p：∃x∈R，x3≤x2. 如x0＝－1时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1， 即(－1)3≤(－1)2，所以綈p是真命题． (3)綈p：所有二次函数都有零点． 如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2＞0.∀x∈R， y＝x2＋2x＋3≠0.因为p是真命题，所以綈p是假命题．

(4)綈p：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1. 设任意角α终边与单位圆的交点为P(x，y)． 则sin α＝y，cos α＝x，显然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1， 所以綈p是真命题． 17．(本小题满分14分)已知两个命题r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．

解：∵sin x＋cos x＝2sinx＋π4≥－2， ∴当r(x)是真命题时，m<－2. 又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立， 有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2； 当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2即－2≤m<2. 综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m<2.

18．(本小题满分16分)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13m的取值范围． 解：由不等式|x－m|<1得m－1

因为不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是13



 m－1≤

1

3

m＋1≥

1

2

⇒－12

≤m≤43；经检验知，等号可以取得；所以－12≤m≤43. 19．(本小题满分16分)已知x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|的成立的充要条件是xy≥0. 证明：充分性： 如果xy＝0，那么x＝0，y≠0或x≠0，y＝0或x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|； 如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0， 当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|， 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|，