安徽省安庆一中、安师大附中2017届高三1月阶段性测试理科数学试题 Word版含答案
【安徽省安庆】2017届高三模拟考试二模(理科)数学年试题
安徽省安庆市2017届高三模拟考试二模（理科）数学试卷答 案1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C 13．1-14.16 151617．（1）由112(1)n n n S S S +-+=+,得12,1n n a a n +=+>． 因为12a =,24a =,所以122a a -=,所以数列{}n a 为首项为2,公差为2的等差数列,所以2n a n =,*n ∈N ． （2）因为42n n a n nb ==, 所以121212444n n n n T b b b =+++=+++, 2311124444n n n T +=+++, 所以:2311111(1)111111144(1)1444444434414n n n n n n n n n n n T T +++--=++++-=-=---,所以143494n n nn T +--=.18.（1）取AD 的中点N ,连接,NB NE ,依题意易知NE AD ⊥,平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥．又π4ANB NAC AC BN ∠=∠=⇒⊥,所以AC ⊥平面BNE ,所以AC BE ⊥. 在Rt AEF △和Rt ABE △中,1tan tan 2AEB AFE BE AF ∠=∠=⇒⊥．因为AF AC A =,,AF AC ⊂平面ACF ,所以BE ⊥平面ACF ．（2）分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴,N 点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,依题意有：(1,1,0)B ,(1,2,0)C -,F ,设平面BCF 的一个法向量1(,,)n x y z =,由1n BC ⊥,得2y x=, 由1n BF ⊥,得30x y -+=,令1x =-,可得1(1,n =--. 又平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =,所以225cos ,4n n <>==.所以二面角A BC F --的余弦值为注：用其他方法同样酌情给分. 19．（1）计算可得：5x =, 1.072y =,521()10i i x x =-=∑,所以0.640.06410b ==, 1.0720.06450.752a y bx =-=-⨯=, 所以从3月份至6月份y 关于x 的回归方程为0.060.75y x =+．将2016年的12月份12x =代入回归方程得：0.060.750.06120.75 1.47y x =+=⨯+=, 所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米. （2）根据题意,X 的可能取值为1,2,331241(1)55P X C ===, 334312327(3)55C P X C ⨯===, 27(2)1(1)(X 3)55P X P X P ==-=-==, 所以的分布列为因此,的数学期望12727136()12355555555E X =⨯+⨯+⨯=． 20．（1）依题意可得,直线的斜率存在,故设其方程为：2py kx =+,设点1122(,),(,)A x y B x y ,动点(,)C x y , 由2222122202x py p y kx x pkx p x x p⎧=⎪⎨=+⇒--=⇒=-⎪⎩, 111:2y xOA y x x x p==,2:OB x x =, 由122x y x p x x⎧=⎪⎨⎪=⎩,得1222x p y x p ==-,即点C 的轨迹方程为2p y =-.（2）设直线m 的方程为：y kx m =+由2222222048x py y kx m x pkx pm p k pm ⎧=⎪⎨=+⇒--=⇒∆=+⎪⎩∵m 与抛物线C 相切,∴2020(,)pk m P pk m ∆=⇒+=⇒-又由2(,)222y kx m p p m p y Q k =+⎧⎪+⎨=-⇒--⎪⎩l k22(,)(,)(2)02222p p m p p FP FQ pk m p p m pm k +=----=-+++=FP FQ ⇒⊥,∴以PQ 为直径的圆过点F .21.（1）由已知,21(1)()(12)1'()e e xxa a x x ax a x a a f x ---+-+-=-=-(0)a ≠,则①当0a >时,由于11a a -<,当1(,1)a x a-∈时,'()0f x >,故函数()f x 的单调递增区间为1(,1)a a -； ②当0a <时,由于11a a->,当1(,1)(,)a x a -∈-∞+∞时,'()0f x >；故函数()f x 的单调递增区间为1(,1)(,)a a--∞+∞和.（2）0a =,则()ex xf x =,122x x x <<<,欲证121121()()()()f x f x f x f x x x x x -->--,即证11()()()f x f x g x x x -=-在1(,2)x 上单调递减,∵1111122111()'()()[()()]e e '()()()x x x x x x x x f x x x f x f x e g x x x x x ---+---==--, 令1111()()e e e x x x x x x h x x x -=--+, 则2111(2)2()(2)'()0e e x xx x x x x x x h x -++--==<∴()h x 在1(,2)x 上为减函数,1()()h x h x <而1()0h x =∴()0h x <,则g'()0x <, ∴11()()()f x f x g x x x -=-在1(,2)x 上单调递减,又122x x x <<<,∴121121()()()()fx f x f x f x x x x x -->--.22.（1）由sin())4πρθρθθ+=+=将cos ,sinx y ρθρθ==代入即可得到直线的直角坐标方程是40x y +-=.（2）P 到直线l 的距离π42sin()d θ-+== l∴min max d d ==23.（1）由绝对值不等式的性质知,|1||2||(1)(2)|3x x x x -++≥--+=因为2()f x a >恒成立,所以23a <,即a <所以(T =.（2）2222|)(|3|)3()(3)m n mn m n mn +-+=+-+222236369m mn n m n mn =++---22(3)(3)m n =---因为,m n T ∈,所以23m <,23n <,故22(3)(3)0m n ---<．所以22|)(|3|)m n mn +<+．。
安徽省2017届安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试
安徽省2017届安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A. B. C. D.2. “”是“直线与互相平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为，，则输出的A. B. C. D.4. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别是A. ，B. ，C. ，D. ，5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.6. 已知点，，在双曲线上，直线过坐标原点，且直线，的斜率之积为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.7. 在边长为的正中，，是边的两个三等分点（靠近点），则等于A. B. C. D.8. 已知函数的部分图象如图所示，若将的图象上所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为A. ，B. ，C. ，D. ，9. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.10. 函数（为自然对数的底数）的图象可能是A. B.C. D.11. 当，满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.12. 已知底面是边长为的正方形，侧棱长是的直四棱柱中，是平面上的动点．给出以下三个结论，则正确结论的个数是与点距离为的点形成一条曲线，且该曲线的长度是；若 平面，则与平面所成角的正切值的取值范围是；若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则．14. 若，，则 .15. 在数列和中，，，，．设，则数列的前项和为．16. 已知点在椭圆上，点满足（是坐标原点），且，则线段在轴上的投影长度的最大值为．三、解答题（共7小题；共91分）17. 如图，在中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值．18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．年“”期间，某购物平台的销售业绩高达亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为次．附：临界值表的观测值：（其中）．关于商品和服务评价的列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计（1）请完成关于商品和服务评价的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关?（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量．①求对商品和服务全为好评的次数的分布列；②求的数学期望和方差．19. 已知四棱锥中，底面是梯形，，，且，，顶点在平面内的射影在上，．（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角为，求二面角的余弦值．20. 已知焦点为的抛物线，圆，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点．（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）记，分别为，的面积，求的最小值．21. 已知函数在（为自然对数的底数）时取得极值，且有两个零点记为，．（1）求实数的值，以及实数的取值范围；（2）证明：．22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与轴，轴分别交于，两点，点是圆上任意一点，求，两点的极坐标和面积的最小值．23. 已知函数．（1）解不等式：；（2）若，求证：．答案第一部分1. B 【解析】由已知得，所以．2. A 【解析】当时，直线，，所以直线；若，则，解得或．所以“”是‘‘直线与互相平行”的充分不必要条件．3. C 【解析】该程序框图是求与的最大公约数，由，，，所以与的最大公约数是，所以输出的．4. A 【解析】由题意得事件包含的基本事件个数为，事件包含的基本事件个数为，在发生的条件下发生包含的基本事件个数为，在发生的条件下发生包含的基本事件个数为，所以，．5. C【解析】由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积．6. A 【解析】根据双曲线的对称性可知点，关于原点对称，设，，，所以，，两式相减得，即，因为直线，的斜率之积为，所以，所以双曲线的离心率为．7. C 8. A 【解析】由图可知，，所以．因为由图可得点在函数图象上，可得：，解得：，，所以由，可得：，所以．因为若将的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：．所以由，，可得，，所以函数的单调增区间为：，．9. A 【解析】因为是首项为，公差为的等差数列，所以，因为，又对任意的，都有成立，所以，即对任意的恒成立，因为是公差为的等差数列，所以是单调递增的数列，所以即解得．10. A【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B，D．又，故选A．11. D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：设，则，由解得即，由解得即，由解得即，要使恒成立，则即解得．12. C 【解析】如图，与点的距离为的点形成一个以为圆心，半径为的圆弧，其长度为，所以正确；因为平面 平面，所以点必须在面对角线上运动，当点在（或）时，与平面所成的角为（或），，此时与平面所成的角最小，当点在时，与平面所成的角为，，此时与平面所成的角最大，所以与平面所成角的正切值的取值范围是，所以错误；设，则，所以在前后、左右、上下面上的投影长分别是，，，所以在个面上的正投影长度之和为．第二部分13.【解析】因为，又是定义在上的奇函数，且当时，，所以．14.【解析】法1 由得 .因为，所以，所以，两边平方得，所以 .法2 由得 .因为，所以，从而，因此，所以 .15.【解析】由已知，得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，即，将，相乘得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，因为，所以，数列的前项和为．16.【解析】因为，所以，即，，三点共线，因为，所以，设，与轴正方向的夹角为，线段在轴上的投影长度为当且仅当时取等号．第三部分17. （1）在三角形中，因为，所以．在中，，又，，，所以．（2）因为，所以，，又，所以，因为，所以，因为，，，所以，在中，，所以，所以．18. （1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计，故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且取值可以是，，，．其中；；；．所以的分布列为②由于，则，．19. （1）因为平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为平面，所以轴 ．则，，，设，（，）．则．所以，，．因为，所以．因为与所成角为，所以，所以，所以，因为，所以．因为，所以，所以．所以，，，，设平面的法向量为，由得平面的一个法向量为，设平面的法向量为．由得平面的一个法向量为．所以．因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．20. （1）设点，由得，，求得，因为直线的斜率为，所以且，解得．所以抛物线的方程为．（2）点处的切线方程为，即，的方程为．，化简得，由方程组解得．所以，点到切线的距离，所以．，而由知，，得，所以当且仅当时取等号，即时取等号，此时．所以的最小值为．21. （1），由，且当时，，当时，，所以在时取得极值，所以．所以，，函数在上单调递增，在上单调递减，．又时，；时，，有两个零点，，故解得．（2）不妨设，由题意知则，．欲证，只需证，只需证，即证．即证，设，则只需证．即证．记，则．所以在上单调递增，所以，所以原不等式成立，故，得证．22. （1）由消去参数，得，所以圆的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）直线与轴，轴的交点分别为，，化为极坐标为，，设点的坐标为，则点到直线的距离为．所以，又所以面积的最小值是．23. （1）由题意，得．因此只要解不等式．当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即．综上，原不等式的解集为．（2）由题意得所以成立．。
安徽省安庆市2017届高考二模试卷(理)含答案
安徽省安庆市2017届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{1，3，4}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q 4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y 轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m 的最小值是（）A．B．C．πD．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x ﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A、PB的斜率之积等于﹣，则P 到直线QM的距离为．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，a cos B+b cos A=2cos C，设h是边AB上的高，则h的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．C二、填空题13．﹣114．15．16．三、解答题17．解：（1）对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1），S n+2+S n=2（S n+1+1），相减可得：a n+2+a n=2a n+1．（*）又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．∴n=1时（*）也满足．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和T n=+…+，=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，∴T n=﹣．18．证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由题意=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为E（X）=1×+2×+3×=．20．解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y），由，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2．OA：y==；OB：x=x2；由可得y=，即点C的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，由可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），又由，可得Q（），=（pk，﹣m﹣）（）=﹣（p+2m）+pm+=0，可得FP⊥FQ，∴以线段PQ为直径的圆过点F．21．（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．22．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．23．（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．。
安徽省安庆市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
安徽省安庆市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学一、选择题：共10题1．已知全集错误！未找到引用源。
则正确表示集合和错误！未找到引用源。
关系的韦恩(Venn)图是【答案】B【解析】本题主要考查集合的表示.由题意,集合错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
,故错误！未找到引用源。
,且错误！未找到引用源。
故选B.2．设全集错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
A.错误！未找到引用源。
B.(2,3)C.错误！未找到引用源。
D.(-1,4)【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算.由题意,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,选C.3．集合错误！未找到引用源。
下列不表示从A到B的函数是A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】本题主要考查函数的概念.由题意,集合错误！未找到引用源。
则对于C,x=4时,B中没有对应的元素,故不满足从A到B的函数,选C.4．已知函数错误！未找到引用源。
那么错误！未找到引用源。
的表达式是A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】本题主要考查函数的解析式的求解.由题意,函数错误！未找到引用源。
那么错误！未找到引用源。
,选A.5．根据表格中的数据,可以断定方程错误！未找到引用源。
的一个根所在的区间是A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【解析】本题主要考查函数零点的存在性定理.由题意,方程错误！未找到引用源。
的根,可以转化为错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的图象的交点问题.根据表格可知,在区间(1,2)上,两个函数都是递增函数,且两个图象相交,故选C.6．下列函数中,在(0,2)上为增函数的是A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
安徽省安庆一中、安师大附中2017届高三1月阶段性测试理综化学试题含答案
2017届1月份高三阶段性测试理科综合可能用到的相对原子质量H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Ca 40 Fe 56第I卷（选择题共126分）7．化学与生活密切相关，下列有关说法正确的是（）A．生活中常用热的小苏打溶液去污，利用了水解吸热的特点B．氮化硅陶瓷是一种新型的无机非金属材料C．做衣服的棉和麻均与淀粉互为同分异构体D．糖类、油脂、蛋白质的水解产物都是非电解质8．设N A为阿伏伽德罗常数的值.下列有关叙述错误的是（）A．100g质量分数为46％的乙醇水溶液中氧原子数为4N AB．1mol NaBH4与足量水反应(NaBH4+H2O→NaBO2+H2↑，未配平)时转移的电子数为4N AC．标准状况下，2.24LD2中所含中子的数目是0。
2N AD．常温下,向1L0.2mol/L的盐酸溶液通入氨气,当溶液PH=7时，溶液中NH4+的数目小于0.2N A9．分子式为C5H12O其中含有3个甲基的醇与分子式为C5H10O2的酸发生酯化反应得到的有机物可能的结构有（不包括立体异构）（）A．20种B．16种C．12种D．8种10．仅用提供的硅酸盐仪器（非硅酸盐仪器任选），不．能．达到相应实验目的的是( ）A．提纯粗盐:烧杯、玻璃棒、酒精灯、蒸发皿、漏斗B．中和热的测定：量筒、温度计、环形玻璃搅拌棒、胶头滴管C．用CCl4提取碘水中的碘：分液漏斗、烧杯D．用18.4 mol•L—1浓硫酸配制100mL 1。
0 mol•L—1硫酸:10mL量筒、烧杯、玻璃棒、100mL容量瓶、胶头滴管11．X、Y、Z、M、R为五种短周期元素，其原子半径和最外层电子数之间的关系如下图所示。
下列说法不正确的是（）A．简单阳离子半径：X〈RB．热稳定性：ZX3>YX4，沸点：ZX3〉YX4C．X、M、Z三种元素形成的化合物中不可能含离子键D．YM2分子中每个原子最外层均满足8电子结构12．25℃时,pH＝1的HA、HB两溶液各10 mL，分别加水稀释至1000 mL,其pH变化关系如图所示,下列有关叙述正确的是（）A．稀释后，HA溶液的酸性比HB溶液的酸性弱B．HA一定是强酸,HB一定是弱酸C．当a=3时，向上述10 mL pH＝1的HB溶液中加入10 mL pH＝13的KOH溶液，溶液中有：c（K＋)>c（B－）〉c(OH－）>c(H＋) D．当1<a<3时，HA、HB两溶液起始浓度相等13．铬是用途广泛的金属元素，可以根据2CrO42-＋2H＋Cr2O72-＋H2O的反应原理，设计如图装置（均为惰性电极）电解Na2CrO4溶液制取Na2Cr2O7.下列叙述错误的是( )A．Na2Cr2O7和Na2CrO4中铬元素的化合价均为+6B．图中右侧电极反应式为2H2O–4e–=O2+4H+C．通电后，当2mol Na＋通过Na＋交换膜时，会有1mol H＋生成D．若2CrO42-＋2H＋Cr2O72—＋H2O平衡体系的pH＝0，该溶液显黄色27．（15分）俗名摩尔盐，能溶于水，几乎不溶于乙醇。
安徽省安庆市2017届高三高考数学二模试卷(理科)
2017年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N| x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{3，4}2．设i是虚数单位，复数1a ii++为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），013xx+>；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．22D．237．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．134-D．52-8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．12B．12-C．22D．212-9．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）+ B（A＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m （m ＞0）个单位后，得到的图象关于点（6π，﹣1）对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π10．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （x +1）=f （x ﹣1），且当﹣1＜x ＜0时，f （x ）=2x ﹣1，则()2log 20f 等于（ ） A ．14B ．14-C ．15-D ．1511的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≥u u u r u u u r的概率为（ ）A ．24ππ- B ．2ππ- C ．324ππ- D ．2π 12．已知函数()[]()32sin 2,1,322,(,1)(3,)x x f x x x x π⎧∈⎪=⎨--+∈-∞+∞⎪⎩U ，若存在x 1、x 2、…x n 满足()()()121212222n n f x f x f x x x x ====---L ，则12n x x x ++⋯+ 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中常数项为20，则a = ．14．正四面体ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为 ．15．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）短轴的端点P （0，b ）、Q （0，﹣b ），长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A 、PB 的斜率之积等于14- ，则P 到直线QM 的距离为 ． 16．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且c =1，cos cos 2cos a B b A C +=，设h 是边AB 上的高，则h 的最大值为 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1， n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2(S n +1)．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设2nn a nb =，求{b n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD =∠ADC=2π，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF =2DC =4AB =4，△ADE 是边长为2的正三角形． （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．19．（本小题满分12分）据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：5125ii x==∑ ，515.36i i y ==∑，51()()i i i x x y y =--∑=0.64回归方程^^^x a y b =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()^()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，^^y x a b =- ．20．（本小题满分12分）已知抛物线x 2=2py （p ＞0），F 为其焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，过点B 作x 轴的垂线，交直线OA 于点C ，如图所示． （Ⅰ）求点C 的轨迹M 的方程；（Ⅱ）直线m 是抛物线的不与x 轴重合的切线，切点为P ，M 与直线m 交于点Q ，求证：以线段PQ 为直径的圆过点F ．21．（本小题满分12分）已知函数()2xax x a f x e ++=，a ∈R ． （1）若a ≠0，求函数f （x ）的单调递增区间； （2）若a =0，122x x x <<< ，证明：()()()()121121f x f x f x f x x x x x -->-- ．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l 的极坐标方程是sin()4πρθ+=，且点P 是曲线C ：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数）上的一个动点． （Ⅰ）将直线l 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知()12||f x xx =++﹣． （1）若不等式()2f x a ＞ 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值的集合T ；（Ⅱ）设m 、n ∈T 3n mn ++＜．2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a 的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC ⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式T r+1==（﹣a）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得r=3．∴（﹣a）3=20，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF==CE=CF，EM=，CM=．∴cos∠CEM==．故答案为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线的斜率公式，求得k P A•k PB==﹣，由A在椭圆上，则=﹣，即可求得=，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即•丨PQ丨•丨OM丨=•丨PQ丨•d，即可求得d的值．【解答】解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，﹣b），设A（x，y），B（﹣x，﹣y），由直线P A、PB的斜率之积为﹣，则k P A•k PB=•==﹣，由A在椭圆上可得+=1，则=﹣∴=，即a=2b，△PMQ的面积S=•丨PQ丨•丨OM丨=×2b×a=2b2，设P到直线MQ的距离d，则S=•丨PQ丨•d=וd=•d=2b2，解得：d=，∴P到直线QM的距离，故答案为：．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB 上的高，则h的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．【解答】解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，可解得：sinC=，可得：cosC==，∴ab=a2+b2﹣1≥2ab﹣1，即ab≤1，等号当a=b时成立，∴可得：S△ABC=absinC≤．又∵h是边AB上的高，S△ABC=ch=h≤．∴解得：h≤，则h的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2（S n +1）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出． （2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2（S n +1），S n +2+S n =2（S n +1+1）， 相减可得：a n +2+a n =2a n +1．（*）又n =2时，S 3+S 1=2（S 2+1），即2a 1+a 2+a 3=2（a 1+a 2+1），a 1=2，a 2=4，解得a 3=6． ∴n =1时（*）也满足．∴数列{a n }是等差数列，公差为2， ∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ． （2）b n ===，∴{b n }的前n 项和T n =+…+，=++…++，可得： =+…+﹣=﹣，∴143494n n nn T +--=⋅18．在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD =∠ADC =，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF =2DC =4AB =4，△ADE 是边长为2的正三角形． （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意月份x 3 4 5 6 7均价y0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为X 1 2 3PE（X）=1×+2×+3×=．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x1x2═﹣p2．求出OA；OB方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m的方程为：y=kx+m，由，得△=4p2k2+8pm，利用直线m与抛物线相切，得P（pk，﹣m），求出Q（），通过=0，说明以线段PQ为直径的圆过点F．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y），由，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2．OA：y==；OB：x=x2；由可得y=，即点C的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，由可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），又由，可得Q（），=（pk，﹣m﹣）（）=﹣（p+2m）+pm+=0，可得FP⊥FQ，∴以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．2017年4月5日。
2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE 所成角的余弦值为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k ∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣a）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得【解答】解：通项公式T r+1r=3．∴（﹣a）3=20，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF==CE=CF，EM=，CM=．∴cos∠CEM==．故答案为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线的斜率公式，求得k PA•k PB==﹣，由A在椭圆上，则=﹣，即可求得=，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即•丨PQ丨•丨OM丨=•丨PQ丨•d，即可求得d的值．【解答】解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，﹣b），设A（x，y），B（﹣x，﹣y），由直线PA、PB的斜率之积为﹣，则k PA•k PB=•==﹣，由A在椭圆上可得+=1，则=﹣∴=，即a=2b，△PMQ的面积S=•丨PQ丨•丨OM丨=×2b×a=2b2，设P到直线MQ的距离d，则S=•丨PQ丨•d=וd=•d=2b2，解得：d=，∴P到直线QM的距离，故答案为：．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．【解答】解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，可解得：sinC=，可得：cosC==，∴ab=a2+b2﹣1≥2ab﹣1，即ab≤1，等号当a=b时成立，∴可得：S△ABC=absinC≤．又∵h是边AB上的高，S△ABC=ch=h≤．∴解得：h≤，则h的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1），S n+2+S n=2（S n+1+1），相减可得：a n+2+a n=2a n+1．（*）又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．∴n=1时（*）也满足．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和T n=+…+，=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，∴T n=﹣．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为E（X）=1×+2×+3×=．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B （x2，y2），动点C（x，y）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x1x2═﹣p2．求出OA；OB方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m的方程为：y=kx+m，由，得△=4p2k2+8pm，利用直线m与抛物线相切，得P（pk，﹣m），求出Q（），通过=0，说明以线段PQ为直径的圆过点F．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y），由，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2．OA：y==；OB：x=x2；由可得y=，即点C的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，由可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），又由，可得Q（），=（pk，﹣m﹣）（）=﹣（p+2m）+pm+=0，可得FP⊥FQ，∴以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．2017年4月5日。
安徽省合肥市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3}A =，{4,5}B =，{|,,}M x x a b a A b B ==+∈∈，则M 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.幂函数()y f x =经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数3.已知条件:0p a <，条件2:q a a >，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4.已知函数1()42x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)5.函数()f x =）A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．1(,1]2 D ．1(,)2+∞ 6.设:p 函数1y x =在定义域上为减函数，:,(0,)q a b ∃∈+∞，当1a b +=时，113a b+=，以下说法正确的是（ ）A ．p q ∨为真B ．p q ∧为真C ．p 真q 假D ．,p q 均假 7.函数ln ||||x x y x =的图象可能是（ ）8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=，当102x <<时，()4x f x =，则5()4f -=（ ）A ．B ．2-C ．-1D ．29.若()x x f x e ae -=+为偶函数，则1(1)f x e e --<+的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(0,2) D ．(,0)(2,)-∞+∞10.函数y =的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,0)(0,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,1)-11.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2016)(2016)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(,2016)-∞-B ．(,2018)-∞-C ．(2018,0)-D ．(2016,0)-12.设函数()24x f x e x =+-，2()ln 25g x x x =+-，若实数,a b 分别是(),()f x g x 的零点，则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.：“若0a ≠，则20a >”的否是 .14.函数212log (43)y x x =-+-的单调递增区间是 .15.函数y x =的值域是 . 16.若函数()||xxaf x e e =+在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知1:2123x p --≤-≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在[2,3]上有最小值1和最大值4，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式(2)20x x f k -∙≥在[1,1]-上有解，求实数k 的取值范围. 19. 设函数211()ln 42f x x x x =--. （1）求()f x 的极值； （2）若21()(()1)4g x x f x x =++，当1x >时，()g x 在区间(,1)n n +内存在极值，求整数n 的值.20.已知函数21()(2)2xf x a x e x x =-∙-+. （1）若1a =，求函数()f x 在(2,(2))f 处切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间.21. 市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放a （14a ≤≤且a R ∈）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中161,048()15,4102x xf x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用. （1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放a 个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.11.4）.22.已知函数()xf x ae x b =-+，()ln(1)g x x x =-+，（,,a b R e ∈为自然对数的底数），且曲线()y f x =与()y g x =在坐标原点处的切线相同. （1）求()f x 的最小值；（2）若0x ≥时，()()f x kg x ≥恒成立，试求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题BDAAC DBACA BA 二、填空题13. 若0a =，则20a = 14. (2,3) 15. (8,1]- 16. 22(8,][,8)e e --+三、解答题17.（10分）解不等式12123x --≤-≤，得：210x -≤≤； 解不等式22210x x m -+-≤，得：11m x m -≤≤+.故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩，解得1,0a b ==.（2）由（1）知，2()21g x x x =-+，∴1()2f x x x=+-， ∴(2)20x xf k -∙≥可化为2111()222x x k +-∙≥，令12x t =，则221k t t ≤-+，∵[1,1]x ∈-，∴1[,2]2t ∈，∴2max (21)1t t -+=，所以k 的取值范围是(,1]-∞.19.（12分）（1）2'1112(),(0)222x x f x x x x x--+=--=>，令'()0f x =，解得1x =（-2舍去），根据',(),()x f x f x 的变化情况列出表格：由上表可知函数()f x 的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，在1x =处取得极大值34-，无极小值. （2）2211()(()1)ln 42g x x f x x x x x x =++=-+， '()ln 11ln 2g x x x x x =+-+=-+，令()ln 2h x x x =-+，∴'11()1x h x x x-=-=，∵1x >，∴'()0h x <恒成立， 所以()h x 在(1,)+∞为单调递减函数，∵(1)10h =>，(2)ln 20h =>，(3)ln31h =-，(4)ln 420h =-<. 所以()h x 在(3,4)上有零点0x ，且函数()g x 在0(3,)x 和0(,4)x 上单调性相反， 因此，当3n =时，()g x 的区间(,1)n n +内存在极值，所以3n =.20.（1）'()1()x x f x e x e x x R =--+∈，故切线斜率'2(2)1f e =-，(2)0f =，所以，切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=. （2）令'()0f x =，(1)(1)0xx ae --=，当(,0]a ∈-∞时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， 当1(0,)a e ∈时，()f x 在(,1)-∞，1(ln ,)a +∞上为增函数，在1(1,ln )a上为减函数 当1a e=时，()f x 在R 上恒为增函数当1(,)a e ∈+∞时，()f x 在1(,ln )a -∞，(1,)+∞上为增函数，在1(ln,1)a上为减函数 21.（1）由题意知有效去污满足4y ≥，则04164(1)48x x≤≤⎧⎪⎨-≥⎪-⎩或41014(5)42x x <≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 得08x ≤≤，所以有效去污时间可能达8分钟. （2）1112(5)2y x =-，1(610)x ≤≤，2216(1)8y a x =--，2(04)x ≤≤ 令1226,[0,4]x x x =+∈，2122162(2)(1)428x y y a x +=-+-≥-，2(04)x ≤≤ ∴2288x a x x -≥∙+，若令28,[8,12]t x t =+∈，128()24a t t ≥-++，又128()2424 1.6t t-++≤-≈， 所以a 的最小值为1.6.22.（12分）（1）因为'()1xf x ae =-，'1()1(1)1g x x x =->-+， 依题意，''(0)(0)f g =，且(0)0f =，解得1,1a b ==-，所以'()1x f x e =-，当0x <时，'()0f x <；当0x >时，'()0f x >. 故()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞. ∴当0x =时，()f x 取得最小值为0.（2）由（1）知，()0f x ≥，即1xe x ≥+，从而ln(1)x x ≥+，即()0g x ≥. 设()()()ln(1)(1)1xF x f x kg x e k x k x =-=++-+-，则'()(1)1(1)11xk k F x e k x k x x =+-+≥++-+++， （1）当1k =时，因为0x ≥，∴'1()1201F x x x ≥++-≥+（当且仅当0x =时等号成立） 此时()F x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0F x F ≥=，即()()f x kg x ≥. （2）当1k <时，由于()0g x ≥，所以()()g x kg x ≥，又由（1）知，()()0f x g x -≥，所以()()()f x g x kg x ≥≥，故()0F x ≥， 即()()f x kg x ≥.（此步也可以直接证1k ≤）（3）当1k >时，令()(1)1xk h x e k x =+-++，则'2()(1)x k h x e x =-+，显然'()h x 在[0,)+∞上单调递增，又'(0)10h k =-<，'11)10h =->，所以'()h x 在1)上存在唯一零点0x ，当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，∴()h x 在0[0,)x 上单调递减，从而()(0)0h x h <=，即'()0F x <，所以()F x 在0[0,)x 上单调递减， 从而当0(0,)x x ∈时，()(0)0F x F <=，即()()f x kg x <，不合题意. 综上，实数k 的取值范围为(,1]-∞.。
安徽省马鞍山二中、安师大附中2017届高三12月阶段性测试理数试题 Word版含答案
数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数)5z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +2.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5C ． 45D ． 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()()|,|P A B P B A 分别是（ ） A ．601,912 B ．160,291 C ．560,1891 D ．911,21625. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306. 已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上，直线AB 过坐标原点，且直线PA PB 、的斜率之积为13，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．27.在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．138. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,7--B ．[)8,7--C ．(]8,7--D ．[]8,7--10.函数4cos xy x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 当,x y 满足不等式组22472x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是面1111A B C D 上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线 ，且该曲线的长度是2；②若//DP 平面1ACB ，则DP 与平面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎫+∞⎪⎪⎣⎭；③若DP ，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共4小题 ，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f =____________．14.若0,,cos 224ππααα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ____________． 15.在数列{}n a 及{}n b 中，1111b 1,1n n n n n n a a b a b a b ++=+=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为 ____________．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，有72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，第17题 至21题每题 12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，12,cos 3AB B ==，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ACD =∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列： ②求X 的数学期望和方差． 附临界值表：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的22⨯列联表：19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知焦点为F 的抛物线()21:20C x py p =>，圆222:1C x y +=，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q ．（1）当直线l的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为12,x x ．（1）求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； （2）证明: 12ln ln 2x x +>．选做题 （在第22、23两题中任选一题作答，若两题都做，按第22题 记分.）22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求,A B 两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-．（1）解不等式：()()12f x f x ++≤；（2）若0a <，求证：()()()2f ax af x f a -≥．参考答案一、选择题二、填空题 13. 13-14. 151615. 4034 16. 15 三、解答题17.（1）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又ADC S ∆=ADC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=∠=∠，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴AC =sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0，1，2，3．其中()()()32211233327235423360;1;25125551255512P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2622183,31555525E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．12分19.解析：（1）∵PH ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，∴PH AB ⊥， ∵,,,AB AD ADPH H AD PH ⊥=⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴x 轴//PH ．则()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0A C D ，设(),02,0AH a PH h a h ==<<>， ∴()0,,P a b ，()()()0,,,0,2,,1,1,0AP a h DP a h AC ==-=， ∵PA PD ⊥，∴()220AP DP a a h =-+=， ∵AC 与BD 所成角为60°． ∴()21cos ,222AC DP a ==-， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-，设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1， ∴1cos ,3m nm n m n ==． ∵二面角A PC D --的平面角为钝角，∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()220x py p =>得，22x y p =，求导x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为1，所以01x p =且2002x x p-=，解得p = 所以抛物线1C的方程为2x =．（2）因为点P 处的切线方程为：()20002x x y x x p p-=-，即200220x x py x --=，根据切线与圆切，得d r =1=，化简得4220044x x p =+，由方程组20022422002201440x x py x x y x x p ⎧--=⎪+=⎨⎪--=⎩，解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以002P Q PQ x x =-=-=，点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到切线PQ的距离是d ==所以2220010211224p x p x S PQ d p x +-==⨯=，20122Q pS OF x x ==， 而由4220044x x p =+知，24200440p x x =->，得02x >，所以()()()()()() ()222242222 222000000000012422 20000 222442222422424443324x p x x x x x x xxx p xSS p x p p x x xxx+-+---+-=⨯===---=++≥-当且仅当224424xx-=-时取“=”号，即24x=+p=所以12SS的最小值为3．21.（1）()()21ln1lnax x a a xxf xx x--+-'==，由()10af x x e+'=⇒=，且当1ax e+<时，()0f x'>，当1ax e+>时，()0f x'<，所以()f x在1ax e+=时取得极值，所以10ae e a+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以()()()2ln1ln,0,x xf x m x f xx x-'=->=，函数()f x在()0,e上递增，在(),e+∞上递减，()1f e me'=-，()00x x→>时，();f x x→-∞→+∞时，()(),f x m f x→-有两个零点12,x x，故101,0mmeem⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）不妨设12x x<，由题意知1122lnlnx mxx mx=⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln,lnxx xx x m x x m x x mx x x=+=-⇒=-．需证12ln ln2x x+>，只需证明212x x e>，只需证明：()12ln2x x >，只需证明：()122m x x+>，即证：()122211ln2x x xx x x+>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+．也就是证明：1ln 201t t t -->+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >，则12ln ln 2x x +>得证．．．．．．．．．．．．12分22.（1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=， 由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，化为极坐标为()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==∴min d ==AB = 所以PAB ∆面积的最小值是1222242S '==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.（1）由题意，得()()112f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式122x x -+-≤，当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤． 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得()()()222222222f ax af x ax a x ax a ax ax a ax a f a -=---=-+-≥-+-=-=，所以()()()2f ax af x f a -≥成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
(安徽)高三数学-安徽省安庆市2017届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，∁A B={1，3，5}，则集合B=（）A．{2，4}B．{0，2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}2．设集合M={x|x2≥x}，N={x|log（x+1）＞0}，则有（）A．N⊆M B．M⊆∁R N C．M∩N=∅D．M∪N=R3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2x+2﹣x B．y=lg C．y=2|x|D．y=lg（x+）4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=5．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=2﹣x C．y=D．y=cosx7．在三角形中，“三条边长为3，4，5”是“三条边长为连续整数的直角三角形”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．下列说法正确的是（）A．若x，y∈R，且，则B．设命题p：∀x＞0，x2＞2x，则￢p：∃x0≤0，x02≤2C．△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分必要条件D．命题“若a=﹣1，则f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真9．已知a是常数，函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣ax+2的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B． C．D．10．若函数为奇函数，则a=（）A．B．1 C．D．11．设函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．f（）＜f（）＜f（2）B．f（2）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（2） D．f（）＜f（2）＜f（）12．已知f（x）=2（）x﹣3log2x，实数a，b，c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若实数x0是函数y=f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0”是假命题，则a的取值范围是．14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣2，0）时，，则f=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.5%，若初时含杂质10%，每过滤一次可使用杂质含量减少，至少应过滤次才能达到市场要求，其中：lg2=0.3010，lg3=0.4771．三．解答题（共6小题，其中第17小题10分，18-22题每小题10分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）解关于x的不等式；（2）记（1）中不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，（a ＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．18．已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+（a+2）（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式．（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题q：函数g （x）是减函数．如果命题￢p，p∨q都是假命题，求a的取值范围．20．函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．（1）当x∈[1，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）若∃x∈[﹣1，1]，对∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≥m2﹣2am﹣2恒成立，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．2016-2017学年安徽省安庆市高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，∁A B={1，3，5}，则集合B=（）A．{2，4}B．{0，2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】根据题意，先用列举法表示集合A，进而由补集的性质，可得B=∁A（∁B），计算可得答案．A【解答】解：根据题意，集合A={x∈N|0≤x≤5}={0，1，2，3，4，5}，若C A B={1，3，5}，则B=∁A（∁A B）={0，2，4}，故选B．2．设集合M={x|x2≥x}，N={x|log（x+1）＞0}，则有（）A．N⊆M B．M⊆∁R N C．M∩N=∅D．M∪N=R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合M和N，根据集合的基本运算依次判断即可．【解答】解：集合M={x|x2≥x}={x|x≥1或x≤0}，N={x|log（x+1）＞0}={x|﹣1＜x＜0}．∴N⊆M，故A正确．故选A．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2x+2﹣x B．y=lg C．y=2|x|D．y=lg（x+）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用是奇函数或是偶函数的必要条件是定义域关于原点得出，即可得出．【解答】解：A．∵f（﹣x）=2﹣x+2x∴f（x）=﹣f（﹣x）∴y=2x+2﹣x是偶函数，不满足条件对于B：∵y=lg的定义域为[﹣1，+∞），关于原点不对称，∴此函数既不是奇函数也不是偶函数．C．关于原点对称，y=2|x|∵f（﹣x）=2|x|，∴f（x）=f（﹣x）∴y=2|x|是偶函数故选：B．4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D5．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A6．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=2﹣x C．y=D．y=cosx【考点】函数单调性的性质．【分析】逐一判断各个选项中函数在区间（﹣1，1）上的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于y=ln（x+1）在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除A；由于函数y=2﹣x =在区间（﹣1，1）上为减函数，故满足条件；由于函数y==﹣在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除C；由于函数y=cosx在区间（﹣1，1）上没有单调性，例如cos（﹣）=cos，故排除D，故选：B．7．在三角形中，“三条边长为3，4，5”是“三条边长为连续整数的直角三角形”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设直角三角形三边长分别为n，n+1，n+2．n＞0．则（n+1）2+n2=（n+2）2，解得n即可判断出结论．【解答】解：设直角三角形三边长分别为n，n+1，n+2．n＞0．则（n+1）2+n2=（n+2）2，化为：n2﹣2n﹣3=0，解得n=3．∴三条边长为连续整数的直角三角形只能为3，4，5．∴“三条边长为3，4，5”是“三条边长为连续整数的直角三角形”的充要条件．故选：A．8．下列说法正确的是（）A．若x，y∈R，且，则B．设命题p：∀x＞0，x2＞2x，则￢p：∃x0≤0，x02≤2C．△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分必要条件D．命题“若a=﹣1，则f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】A，若x，y∈R，且，则是假命题，比如x=1，y=5；B，设命题p：∀x＞0，x2＞2x，则￢p：∃x0＞0，x02≤2；C，△ABC中，A＞B⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b；D，f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点，⇒a=0或a=﹣1；【解答】解：对于A，若x，y∈R，且，则是假命题，比如x=1，y=5，故错；对于B，设命题p：∀x＞0，x2＞2x，则￢p：∃x0＞0，x02≤2，故错；对于C，△ABC中，A＞B⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b，故正确；对于D，f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点，⇒a=0或a=﹣1，故错；故选：C9．已知a是常数，函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣ax+2的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．10．若函数为奇函数，则a=（）A．B．1 C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（﹣1）=﹣f（1），代入计算，求出a的值．【解答】解：由题意，f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴a=，故选C．11．设函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．f（）＜f（）＜f（2）B．f（2）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（2） D．f（）＜f（2）＜f（）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）=f（x），可得函数的对称轴为x=1，当x≥1时，f（x）=lnx，根据f（x）的单调性可得答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大．∴f（）＜f（）＜f（2）．故选A12．已知f（x）=2（）x﹣3log2x，实数a，b，c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若实数x0是函数y=f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c【考点】函数零点的判定定理．【分析】有f（a）f（b）f（c）＜0可得①f（a），f（b），f（c）都为负值；②（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，对这两种情况利用图象分别研究可得结论【解答】解：∵f（x）=2（）x﹣3log2x，在定义域上是减函数，∴0＜a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c）又∵f（a）f（b）f（c）＜0，∴一种情况是f（a），f（b），f（c）都为负值，①，另一种情况是f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0．②在同一坐标系内画函数y=（）x与y=log2x的图象如下，对于①要求a，b，c都大于x0，对于②要求a，b都小于x0是，c大于x0．两种情况综合可得x0＞c不可能成立故选D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0”是假命题，则a的取值范围是[0，3）．【考点】特称命题．【分析】“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0”是假命题，可得∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0，是真命题，对a分类讨论，利用不等式的解集与判别式的关系即可得出．【解答】解：“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0”是假命题，∴∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0，是真命题，a=0时，化为3＞0，成立．a≠0时，则，解得0＜a＜3．综上可得：a的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣2，0）时，，则f=f（x+2），∴f（x+4）=f（x）．∴f=f（0），又在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣1）=﹣f（1），又x∈（﹣2，0）时，，∴f（﹣1）=2﹣1+=1．∴f=f（1）=﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【考点】函数的零点．【分析】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.5%，若初时含杂质10%，每过滤一次可使用杂质含量减少，至少应过滤8次才能达到市场要求，其中：lg2=0.3010，lg3=0.4771．【考点】对数的运算性质．【分析】设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则10%×（1﹣）x≤0.5%，由此能求出结果．【解答】解：设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则10%×（1﹣）x≤0.5%，即（）x≤，．两边取对数，得x（lg2﹣lg3）≤﹣（1+lg2），∴x≥，据实际情况知x∈N，解得x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．故答案为：8．三．解答题（共6小题，其中第17小题10分，18-22题每小题10分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）解关于x的不等式；（2）记（1）中不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，（a ＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；对数函数的定义域；其他不等式的解法．【分析】（1）不等式可化为≥0，进而根据分式不等式的解法，可化为，解不等式组，即可得到答案．（2）根据对数函数的真数部分大于0，我们可以求出函数g（x）的定义域B，进而根据B⊆A，根据集合包含关系的定义，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可求出满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得：≥0，即解得x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0由a＜1得a+1＞2a，∴B=（2a，a+1）∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1即或a≤﹣2，而a＜1，∴或a≤﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是18．已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据绝对值不等式及一元二次方程的解法，分别化简对应条件，若非p 是非q的充分不必要条件，则q 是p的充分不必要条件，从而求出m的范围；【解答】解：∵由p：|x﹣4|≤6⇒﹣2≤x≤10；命题q：得x2﹣2x+1﹣m2≤0，得1﹣|m|≤x≤1+|m|因为¬p是¬q的充分不必要条件所以q是p的充分不必要条件，所以，得﹣3≤m≤3．∴m的范围为：﹣3≤m≤319．已知函数f（x）=x2+（a+1）x+（a+2）（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式．（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题q：函数g （x）是减函数．如果命题￢p，p∨q都是假命题，求a的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；复合命题的真假．【分析】（1）由得g（x）和h（x）的解析式．（2）要使命题¬p，p∨q都是假命题，即p真q假，分别求出相应命题为真时，a的范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，．（2）由p真得，，即或a≥﹣1．由q真得，a＜﹣1．要使命题¬p，p∨q都是假命题，即p真q假．所以a∈[﹣1，+∞）．20．函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．（1）当x∈[1，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】（1）令t=log4x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]，此时y=f（x）=（2t﹣2）（t ﹣）=2t2﹣3t+1，由二次函数的图象和性质，可得函数的值域；（2）若f（x）＞mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，令t=log4x，即2t2﹣3t+1≥mt 对t∈[1，2]恒成立，进而可得答案．【解答】解（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣），令t=log4x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]，此时y=f（x）=（2t﹣2）（t﹣）=2t2﹣3t+1，当t=时，y取最小值﹣，当t=0时，y取最大值1，∴即函数的值域为：；（2）若f（x）＞log4x对于x∈[4，16]恒成立，令t=log4x，即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对t∈[1，2]恒成立易知在t∈[1，2]上单调递增∴g（t）min=g（1）=0，∴m＜0．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）若∃x∈[﹣1，1]，对∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≥m2﹣2am﹣2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，根据已知判断f（x1）﹣f（x2）的符号，结合增函数的定义，可得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）若∃x∈[﹣1，1]，对∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≥m2﹣2am﹣2恒成立，只须f（x）max≥m2﹣2am﹣2，进而得到实数m的取值范围．【解答】（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；（2）要使存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≥m2﹣2am﹣2对所有a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≥m2﹣2am﹣2，即1≥m2﹣2am﹣2对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am﹣3≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2﹣3，只须，解得m∈[﹣1，1]22．已知函数f（x）=﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2x，若g（x）在[1，e]上不单调且仅在x=e处取得最大值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）可求得f′（x）=（x＞0），对参数a分a≤0与a＞0讨论，即可得到f′（x）的符号，从而可求得f（x）的单调区间；（Ⅱ）可求得g′（x）=（x＞0），设h（x）=x2+2x﹣a（x＞0），利用g （x）在[1，e]上不单调，可得h（1）h（e）＜0，从而可求得3＜a＜e2+2e，再利用条件g（x）仅在x=e处取得最大值，可求得g（e）＞g（1），两者联立即可求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣=（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a≤0，则f′（x）≥0，所以此时只有递增区间（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，当f′（x）＞0时，得x＞，当f′（x）＜0时，得0＜x＜，所以此时递增区间为：（，+∞），递减区间为：（0，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）g′（x）=x﹣+2=（x＞0），设h（x）=x2+2x﹣a（x＞0）若g（x）在[1，e]上不单调，则h（1）h（e）＜0，∴（3﹣a）（e2+2e﹣a）＜0∴3＜a＜e2+2e，同时g（x）仅在x=e处取得最大值，∴只要g（e）＞g（1）即可得出：a＜+2e﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a的范围：（3， +2e﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
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2017届 1月份高三阶段性测试
理科数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z}，则（ ）
A．AB B． BA C．B=A D．
2．已知11mnii,其中m，n是实数， i是虚数单位，则m-n= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．128 B．1283 C．643 D．323
4．已知圆O的一条弦AB的长为4，则（ ）.
A. 4 B .8 C. 12 D. 16
5．已知，则（ ）.
A. 38 B. 83 C. 34 D. 43
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S2n=3(a1+a3+a5+„a2n-1),a2a3a4=8，则a7=（ ）
A．32 B．64 C．54 D．162
7．直线(m2+1)x-2my+1=0（其中m∈R）的倾斜角不可能为（ ）.
A. 6 B. 3 C. 2 D. 23
8．过抛物线C：y2=8x焦点F的直线与C相交于P,Q两点，若，则=（ ）
A．72 B．52 C． 3 D． 2
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9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA=a，OB=b，其中a=(3,1)，b=(1,3)．若
，且，那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
10．若将函数y=的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向
右平移6个单位长度，得到函数y= f(x)的图象，若y= f(x)+a在x∈上有两个不同的零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．[32,3] D． (-3, 32]
11．已知a,b,c∈R ，则“a+b>c”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知函数f(x)= ，若函数g(x)= f2(x)+mf(x)有三个不同的零点，则实
数m的取值范围为（ ）.
A.(0,e) B.(1,e) C.(e,+∞) D.(- ∞,-e)
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，
第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．= ．
14. 如果实数x,y满足不等式组，且z= 的最小值为14，则正数a的值为
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__________________.
15．已知三角形ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，设B=2A,则ba的取值范围是 ．
16．已知函数y=-2sin2x+4cosx+1的定义域为，其最大值为32，则实数的取值范围是
_________________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}是单调递增的等差数列，首项a1=2，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项
b1=1，且a2b2=12，S3+b2=15.
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和为Tn .
18．（本小题满分12分）
已知f(x)= 3sin4xcos4x+ cos24x- 12．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足(2a- c)cosB=bcosC，求函数f(A)
的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为梯形，四边形ADEF为正方形，其中
AB∥CD，CD=2AB=2AD=4,AC=EC=2
（Ⅰ）求证：平面EBC平面EBD；
（Ⅱ）若M为EC的中点，求二面角M-DB-E余弦值.
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20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)= xxe-axlnx(aR)（其中e≈2.71828„„是自然对数的底数）的图象在点
(1,f(1))处的切线为y=-x+1e+b-1(bR).
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）求证：对任意的x(0, +∞)，都有f(x)< be.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C: =1(a>b>0)，点B是其下顶点，直线x+3y+6=0与椭圆C交于AB两点
（点A,
在x轴下方），且线段AB的中点E在直线y=x上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于AB的动点，且直线AP, BP分别交直线y=x于点M,N，证明：
为定值．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中为参数，r为常数且
r>0），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标
系，直线l的极坐标方程为sin()224.
（Ⅰ）求圆C的标准方程与直线l的一般方程；
（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为5？
23.（不等式选讲）（本小题满分10分）
设函数f(x)=|kx-2|(k∈R).
（Ⅰ）若不等式f(x) ≤3的解集为{x|13≤x≤53}，求k的值；
（Ⅱ）若f(1)+ f(2)<5，求k的取值范围.
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