圆的证明和计算
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
圆的概念公式及推导(完整版)
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。
2021年中考数学专题四 圆的证明与计算(65PPT)
∴ 2 6 , 6
2 EF
∴EF= 6.
考点二 与四边形有关的证明和计算 【示范题2】
(2020·桂林中考)如图,将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一 平面内,其中∠CAB=30°,∠DAB=45°,点O为斜边AB的中点,连接CD交AB于点E. (1)求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上; (2)求证:CD平分∠ACB; (3)过点D作DF∥BC交AB于点F,求证:BO2+OF2=EF·BF.
∴△ABE∽△DEF, ∴ DF ,DE
AE AB
∴ 2 , x
x 2x
即得:x=2 2,
即DE=22 .
4.(2020·北京顺义区一模)如图,在▱ABCD中,∠B=45°,点C恰好在以AB为直径 的☉O上. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)连接BD,若AB=8,求BD的长.
【解析】(1)连接OC. ∵OB=OC,∠B=45°, ∴∠BCO=∠B=45°. ∴∠BOC=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠OCD=∠BOC=90°, ∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线.
专题四 圆的证明与计算
与切线有关的证明和计算的考查,一般作为几何压轴题出现,常利用圆的知 识,与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等结合在一起考查.
考点一 与三角形有关的证明和计算 【示范题1】(2020·咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA 为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F. (1)求证:BF=DF; (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
2
(2)连接OF,OB,如图2, ∵AB是切线,∴∠OBF=90°, ∵BF=3 3,OB=3, ∴tan∠BOF= BF , 3
圆的计算与证明
解：(1)如图，作 OF⊥BD 于点 F，联结 OD. ∵∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°. 又∵OB＝OD，∴∠OBD＝30°. ∵AC 为⊙O 的直径，AC＝4，∴OB＝OD＝2. 在 Rt△BOF 中，∵∠OFB＝90°，OB＝2，∠OBF＝30°， ∴OF＝OB· sin∠OBF＝2sin30°＝1， 即点 O 到 BD 的距离等于 1.
专题圆计算
例 2[2012· 北京] 已知：如图 Z4－4，AB 是⊙O 的直 径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E， 联结 BE. (1)求证：BE 与⊙O 相切； (2)连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB＝9，sin∠ABC 2 ＝ ，求 BF 的长． 3
解：(1)证明：联结 OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC 平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC.∵点 C 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过 O 作 OF⊥AB 于 F， ∴∠OFA＝90°. ∵AB＝8，∴AF＝4. 在 Rt△AFO 中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2. ∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°， ∴四边形 DFOC 是矩形， ∴OC＝DF，OF＝CD. ∵AD∶DC＝1∶3， ∴设 AD＝x，则 DC＝OF＝3x， OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4， ∴(x＋4)2＝42＋(3x)2， 解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.则 OA＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
求证圆形面积的方法有哪些
求证圆形面积的方法有哪些
根据定义，圆的面积可以用下列方法进行证明：
1. 平行四边形法：将圆分为多个小的扇形，然后将这些扇形按顺序排列，形成一个平行四边形。
证明这个平行四边形的面积等于圆的面积。
2. 近似法：将圆划分为多个小的扇形，每个扇形的面积可以通过其对应的圆心角的正弦值来近似计算。
然后将这些小的扇形面积相加，得到圆的面积的近似值。
随着扇形划分的越细，近似值越接近准确值。
3. 解析几何法：使用代数方法，假设圆的半径为r，然后利用微积分的知识，将圆的面积表达式转化为一次或二次多项式进行计算。
4. 集合论法：将圆看作是一个点的集合，然后通过集合论中的定义和性质来证明圆的面积。
这些方法可以用来证明圆的面积，不同方法的适用程度取决于所需的证明的具体要求和背景知识的掌握程度。
圆中的计算和证明
1、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝24，ON＝1，求⊙O的半径。
2、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。
知识点（圆相关概念和性质）知识点一：垂径定理1．垂径定理：于弦的直径这条弦且这条弦所对的。
2．推论（1）：①平分（）的垂直于弦且弦所对的；②弦的经过且弦所对的两条弧；③弦所对的一条的直径弦且平分弦所对的另一条弧。
推论（2）：圆的两条弦所夹的弧。
知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系1．定理：在或中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，相等。
2．推论：同圆或等圆中，如果①两个相等，②两条相等，③两条相等，④两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
知识点三：圆周角定理及其推论1．定理：在同圆或等圆中，或所对的相等，都等于这条弧所对的的。
2．推论①：同弧或等弧所对的相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是。
推论②：或所对的是直角；是直角（90°的）所对的弧是，所对的弦是。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。
知识点四：圆内接四边形性质定理1．概念：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
2．定理：圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的。
知识点五：直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称知识点六：圆的切线1．切线的性质（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。
拓展：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；③切线与圆只有一个公共点；④圆心到切线的距离等于半径。
专题27 涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题
圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律
1.圆的性质：
（1）圆具有旋转不变性；
（2）圆具有轴对称性；
（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆的计算与证明之圆与勾股定理
圆的计算与证明之圆与勾股定理
一、预备知识
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900,CD ⊥AB 于点D ，完成下面问题：
⑴若AC=8，BC=6，则AB= ；CD= ；AD= 。
⑵若AD=9，BD=3，则CD= ；AC= ；BC= 。
⑶若AD=3，BC=2，则AC= ；CD= ；BD= 。
2．如图，在△ABC 中，AC=13， BC=14，AB=15，AD ⊥BC ，求AD ，CD 的长。
二、典型问题分析
例1．如图，△ABC 中，∠ACB=900，以BC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 经过AB 上一点D ，且AD=AC 。
⑴求证：AB 与⊙O 相切；
⑵过点D 作DE ⊥BC 于点F ，若⊙O 的半径为5，FC ：FD=2：1，求DE
做一做：如图，以Rt △ABC 的直角边AC 为为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过D 作DH ⊥
AC 于H ，E 为BC 边上的一点，∠HDE=2∠A 。
⑴求证：DE 是⊙O 的切线； ⑵若DH=8，4
1
AH CH ，求⊙O 的半径。
例2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，弧AE=弧CE 。
⑴求证：OE ∥BC ；
⑵AC 交BE 于点M ，若AM=3CM=6，求AEM S 。
例3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接AC 、BC ，E 为⊙O 上一点，且BE=CE ，点F 在BE 上，CF ⊥AB 于D 。
⑴求证：CB=CF ；
⑵若CB=3，BF=1，求BD 的长。
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明是数学中一个重要的部分，它涉及到许多基本的数学概念和技巧。
以下是一些与圆有关的计算和证明的解题技巧：
1. 确定圆心和半径：在解决与圆有关的问题时，首先需要确定圆心和半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆周的距离。
知道这些信息可以帮助你找到圆的方程，或者解决与圆有关的问题。
2. 使用圆的性质：了解并利用圆的性质是解决与圆有关问题的关键。
例如，圆的对称性、切线的性质、弦的性质等。
3. 利用勾股定理：勾股定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助你解决与圆有关的问题。
特别是当涉及到弦、切线、半径等时，勾股定理是非常有用的。
4. 使用圆的方程：圆的方程是解决与圆有关问题的另一个重要工具。
通过圆的方程，你可以找到圆心和半径，或者找到与圆有关的特定点的坐标。
5. 利用三角函数：在解决与圆有关的问题时，三角函数是非常有用的工具。
例如，当涉及到角度、弧长等时，三角函数可以帮助你找到解决方案。
6. 利用几何推理：几何推理是解决与圆有关问题的另一个重要技巧。
通过观察和推理，你可以找到解决问题的方法。
7. 练习和反思：最后，要提高解决与圆有关问题的能力，你需要不断地练习和反思。
通过练习，你可以熟悉各种问题类型和解题技巧，而反思则可以帮助你发现自己的弱点并加以改进。
希望这些技巧能帮助你更好地理解和解决与圆有关的问题！。
圆的有关证明及计算
2015圆的有关证明及计算1.如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为22，CD=4. 求弦EF的长.2.如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接P A．设P A=x，PB=y.求（x﹣y）的最大值．3.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，求AM的长．4.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB 的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．5.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．6.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．8.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接A D．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．9.如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC 沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．11如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O 于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．12.如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）13.如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．14.如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．（1）求⊙O2的半径；（2）求△ADB内切圆的面积；15.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，求证：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．16.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD•BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．18如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，求图中两个阴影部分的面积．19.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．（1）求证：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．20.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C 作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．21．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．23.已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=，求EF的长．24.如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM 相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）25.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．1. 解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=CD=×4=2，∵⊙O的半径为，∴OA=OC=，∴OH==，∴AH=OA+OH=+=4，∴AC==2．∵∠CDE=∠ADF，∴=，∴=，∴EF=AC=2．故选B．2.作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=18x2，所以x﹣y=x﹣18x2=﹣18x2+x=﹣18（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．3.解：连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为：4.解答：解：（1）①如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC===8，②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=AB=×10=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．5.解答：（1）证明：连接O C．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为．解：（1）证明：连接OD、OE，6.解答：∵OD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，又∵弧DE的长度为4π，∴，∴n=60，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥B C．（2）连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=90°，∴FD是⊙0的直径，由（1）得：∠EFD=30°，FD=24，∴EF=，又因为∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．7.（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．8.解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．9.解答：（1）证明：连结OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．10.解答：解：（1）连结OG，如图，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，∵EF与半圆O相切于点G，∴OG⊥EF，∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，∴OB=OG=2，∵∠GEO=∠DEF，∴Rt△EOG∽Rt△EFD，∴=，即=，解得OE=，∴BE=OE﹣OB=﹣2=；（2）BD=DE﹣BE=4﹣=．∵DF∥AC，∴，即，解得：DH=2．∴S阴影=S△BDH=BD•DH=××2=，即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OP A，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OP A=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OP A，∵∠OP A+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．解答：（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC =2，∴S阴影=×2×2﹣=2﹣．13.解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EF B．∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，∴OG⊥DG．∴∠DGO=90°．∵DH=OH=OG，∴sin∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．∴S扇形OEG==3π．在Rt△DGO中，cos∠ODG===．∴DG=3．在Rt△DEF中，tan∠EDF===．∴EF=3．∴S△DEF=DE•EF=×9×3=，S△DGO=DG•GO=×3×3=．∴S阴影=S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG =﹣﹣3π=.9﹣3π≈9×1.73﹣3×3.14=6.15≈6.2∴图中阴影部分的面积约为6.2．14.解答：解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，∵⊙O1与⊙O2外切与点D，∴直线O1O2过点D，∴MO2=MD+O2D=4+R，∵直线l与两圆分别相切于点A、B，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，∵tan∠AM01=，∴∠AM01=30°，在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，∴4+R=2R，解得R=4，即⊙O2的半径为4； （2）∵∠AM02=30°， ∴∠MO2B=60°， 而O2B=O2D ，∴△O2BD 为等边三角形， ∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°， ∴∠ABD=30°， ∵∠AM01=30°， ∴∠MO1A=60°， 而O1A=O1D ，∴∠O1AD=∠O1DA ，∴∠O1AD=∠MO1A=30°， ∴∠DAB=60°， ∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°， 在Rt △ABD 中，AD=BD=4，AB=2AD=8，∴△ADB 内切圆的半径===2﹣2，∴△ADB 内切圆的面积=π•（2﹣2）2=（16﹣8）π；15.解答： 解：∵点A 是劣弧的中点，OA 过圆心， ∴OA ⊥BC ，故①正确；∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A 是点A 是劣弧的中点，∴BC=2CE ， ∵OA=OB ，∴OB=OB=AB=6cm ， ∴BE=AB •cos30°=6×=3cm ，∴BC=2BE=6cm ，故B 正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin ∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B．16.解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．17.证明：（1）如图，连接O D．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=D B．∴EB=EC，即点E为边BC的中点；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC为等腰直角三角形．18.解答：解：如图作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△HAG，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴==，在RT△ONC中，∠OCN=60°，∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，∵OC=OA=2，∴ON=，∴AM=2，∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE，连接OE，在RT△ONE中，NE===，∴GE=2NE=2，∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6，∴图中两个阴影部分的面积为6，故答案为6．19.解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG；（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，∴FE=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．20.解答：证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形；（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．21.解答：解：（1）∵∠BPC=60°，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，∴∠ACP=∠ACB=30°，∴∠PAC=90°，∴tan∠PCA==tan30°=，∴AC=PA；（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，∵AB=AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连结OB，则∠BOD=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，∴OD==7x，在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，∴AB==40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，在Rt△AEO中，OE==15x，∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x，在Rt△APE中，tan∠PAE===，即tan∠PAB的值为．22.解答：（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=．23.解答：解：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，∴OB=OA=4，BC=BD=CD，∴在Rt△OBD中，BD==4，∴CD=2BD=8；（2）∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO=90°，∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，∵OE=OA，∴∠A=∠AEO，∴∠PEF=∠PFE，∴PE=PF；（3）过点P作PG⊥EF于点G，∴∠PGF=∠ABF=90°，∵∠PFG=∠AFB，∴∠FPG=∠A，∴FG=PF•sinA=13×=5，∵PE=PF，∴EF=2FG=10．24.解答：（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，∵⊙A与OM相切与点B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴EF=AF•tan60°=2，∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．25.解答：解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．。
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圆的证明和计算部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑圆的证明和计算题型一：图形主要以圆和三角形<多为等腰三角形或直角三角形）组成；依据所给条件判定圆的切线或已知圆的切线，求图中线段长度或角的度数；主要考查知识有切线的判定、切线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、直角三角形性质<斜边中线等于斜边一半、30°所对直角边等于斜边一半等）及解决圆的问题中常加辅助线<已知切线连半径、见直径想直角等）等等。
b5E2RGbCAP 教材原型题：<基本图形为圆和等腰三角形）1、<P45页例1）已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。
求证：直线AB 是⊙O 的切线。
2、<P73页第4题）如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ，⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 长．p1EanqFDPw3、<P45页练习1）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，求证：AT 是⊙O 的切线。
配套练习：<1、2、3、4题针对原型题1、2； 5、6、7、8针对原型题3） 1、<2009新疆乌鲁木齐市）如图5，在中，，以为直径的交于点，于点．<1）求证是的切线；<2）若，求图中阴影部分的面积．2、<2009年漳州）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，， <1）求证：是的切线；<2）若的半径为3，求的长．<结果保留）3、(08福建厦门23题>已知：如图，中，，以径的交于点，于点．<1）求证：是的切线；<2）若，求的值． 4、<2009武汉市） 如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．<1）求证：直线是的切线；<2）连接交于点，若，求的值． 5、如图，中，，为直角边上一点，以为圆心，为半径的圆恰好与斜边相切于点，与另一点． <1）求证：； <2）若，，求的半径及图中阴影部分的面积．6、<2009年枣庄市）如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点 D ，已知，．<1）求⊙O 的半径；<2）求图中阴影部分的面积．C E BAOFD BA O BCE D7、<2008泰安）如图所示，是直角三角形，以为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．<1）求证：与⊙O 相切；<2）若⊙O 的半径为，，求．8、<2009年中考咸宁）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径的 ⊙O 交AC 于点D ，过点D 作切线交BC 于点E ．(1>求证：DE ＝错误!BC ； (2>若tanC ＝错误!，DE ＝2，求AD 的长．DXDiTa9E3d 2018天津第22题：已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于C ． <1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP 的长<结果保留根号）； <2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线．RTCrpUDGiT题型二： 图形是以切线长定理的基本图形所构成；依据所给条件求图中线短长或角的度数；主要考查知识有切线长定理、切线的性质、圆的性质、勾股定理、直角三角形性质及解决圆的问题中常加辅助线等等。
5PCzVD7HxA 教材原型题：1、<P52页第3题）如图，一个钢管放在V 形架内，钢管的半径为25cm 。
COABDTU W V第23题图OGCABDN MFE<1）如果量得UV=28cm,VT 是多少？<2）如果∠UVW=60 ，VT 是多少？2、<P52页第5题）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=25°，求∠P 的度数。
3、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠P=70°，则∠C 等于<）4、<P53页第12题）如图,AB,BC,CD 分别是与圆O 相切于E,F,G ，且AB平行CD ，BO 等于6cm ，CO 等于8cm ，求BC 的长。
配套练习：1、<2009年辽宁省朝阳市）如图，是的外接圆，点在上，，点是垂足，，连接．求证：是的切线．2、<2008湖北省）如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ，且AB∥CD．连接OB 、OC ，延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作 MN∥OB 交CD 于N ．⑴求证：MN 是⊙O 的切线； ⑵当0B=6cm ，OC=8cm 时，求⊙O 的半径及MN 的长 ☆3、<2008年潍坊市） 如图，是圆的直径，DBAOC <第20题C是圆的切线，为切点．过作，交于点，连结．<1）求证；<2）若切线的长为12厘M ，求弦的长．☆4、如图，是的两条切线，切点分别为，连结在外作，交的延长线于点．<1）在图中找出一对全等三角形，并进行证明； <2）如果的半径为3，，试求切线的长；<3）试说明：分别是由，经过哪种变换得到的<直接写出结果）．☆5、<2009年中考聊城市分>如图，⊙O 是△ABC CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DEF＝45º．连接BO 点G ，AB ＝4，AG ＝2．(1>求∠A 的度数； (2>求⊙O 的半径． 2008天津第21题：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点，<Ⅰ）求的度数；<Ⅱ）若cm ，cm ，求OE 的长．2009天津第22题如图，已知为的直径，是的切线，为切点， <Ⅰ）求的大小；<Ⅱ）若，求的长<结果保留根号）．ABDCE O PCAOB题型三：图形是以两个圆<同心圆或两圆相交）为基本图形所构成；两圆为同心圆时，一般已知小圆切线与大圆相交；相交两圆为等圆时实际上构成了两个等边三角形，可以得出许多线段和角；jLBHrnAILg 此类型题圆的知识考查的比较全面。
教材原型题<同心圆） ：<P52页第4题）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点， 求证：AP=BP配套练习：1、<2009年常德市）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为< ）xHAQX74J0X A ．4cm B ．5cmC ．6cmD ．8cm2、<2009湖北荆州年）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是<） A ．B ．C ．D ．3<2009兰州市）如图,在以⊙O 为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,于大圆相交于点D ，小圆切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACBLDAYtRyKfE<1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； <2）试判断线段AC ，AD ，BC 之间的数量关系，并说明理由； <3）若AB=8cm ，BC=10cm ，求大圆与小圆围成的圆环的面积。
<结果保留π）教材原型题<两圆相交）：<P53页13题）如图所示,等圆⊙O1 和⊙O2相交于A 、B 两点，⊙O1经过点O2， 求< O1AB 的度数。
配套练习：1、<2009年遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于 A.B ，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是Zzz6ZB2Ltk A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-322、<益阳市中考题12）.如图，分别以A 、B 为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D 两点，则∠CAD的度数为．3、<2008年赤峰市24） 如图<1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．dvzfvkwMI1 21<1）猜想点与<2）猜想的形状，并给出证明；<3）如图<2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么<2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．☆4、已知，如图，⊙O 与⊙相交于点A 、B ，过点A 的直线交⊙于C ，交⊙O 于点D ，⊙的弦BG 的延长线CD 于点F ，交⊙O 于点E ，⊙的直径BC = CF ，求证：<1）∠DEF = ；<2）∠EDF = ∠GCB；<3）；rqyn14ZNXI ☆5、已知，如图⊙P 与⊙0相交于点A 、B ，并且⊙P 经过点O ，点C 是⊙P 的优弧AB 上任意一点<不与点A 、B 重合），弦OC 交公共弦AB 于点D ，连结CA 、CB 。
<1）求证：CD·CO=CA·CB<2）当点C 在⊙P 上什么位置时，直线CA 与⊙O 相切？并说明理由； <3）当∠ACB 等于60°时，两圆的半径有什么关系？并说明理由。
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图<1）图<2）。