人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_103
《函数)sin(ϕω+=x A y 及函数)cos(ϕω+=x A y 的周期》教学设计1．教学任务分析（1）从诗歌和歌词中发现和探索出函数的周期性。
让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程．加深对函数周期定义的理解和体会。
（2）运用周期函数的定义，结合诱导公式（一）研究正弦函数x y sin =，R x ∈的周期性，通过类比的方法，让学生自己动手研究余弦函数x y cos =，R x ∈的周期性，体会知识形成的过程。
（3） 通过例题的教学，学生的练习、讨论、归纳出函数)sin(ϕω+=x A y 与)cos(ϕω+=x A y (其中)0,0≠≠ωA 的周期公式ωπ2=T ，并用此公式解决正弦型、余弦型函数的周期，让学生形成系统的认识。
（4）通过本节课的学习，使学生加深对周期函数的定义认识，完善函数性质，并能够利用周期函数的定义解决简单的函数周期问题。
2．教学重点与难点：重点：利用周期函数的定义和周期公式求函数的周期。
难点：对周期函数的理解及运用定义求函数的周期。
3．教学基本流程4．教学情景设计问 题设计意图师生活动 1．观察诗句，发现数学知识，探索歌词，创造数学文化。
创设情境，让学生感受周期现象丰富的实际背景，教师让学生找到诗歌中的周期，然后由回顾周期 函数定义巩固周期 函数定义定义运用总结公式当堂检测 总结求周 期的方法布置作业创设情景 引入新课类比研究 深化理解课堂小结激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离．学生复习周期函数的定义。
2．利用定义和诱导公式复习x y sin =与x y cos =的周期的由来。
利用定义和诱导公式复习x y sin =与x y cos =的周期的由来。
教师引导学生回答问题．3．例1. 求下列函数的周期：让学生掌握定义法求函数的周期学生根据定义求函数的周期。
学生回答对错的同时，解释理由．教师进行点评，引导学生结合定义分析．学生谈体会： 周期的定义是对定义域中的每一个值来说的；周期T 是自变量x 的增加值；周期函数的周期不唯一．4．小组内相互编题，求周期。
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_28
§1.2 应用举例－海伦与秦九韶公式教学设计一、教学内容与学情分析本节课教学内容是，高中数学必修五第一章1.2解三角形应用举例“阅读思考海伦与秦九韶”.这是学生已经掌握三角形的相关面积公式的基础上来拓展学习的海伦与秦九韶公式，本班部分学生的运算能力较为薄弱，甚至有的同学对学习数学没有太大的兴趣.本节课的设计是为了提高班上同学对数学文化的了解和一题多解的数学认识，从一定程度上提高他们对数学的学习兴趣，也能启到培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力.二、教学目标(1)理解海伦公式与三斜求积术公式的本质相同，证明三斜求积术公式.(2)会用海伦与秦九韶公式，解决已知三角形三边求三角形面积这类数学问题.(3)培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力.三、教学重难点(1)重点：了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心;秦九韶公式的证明及应用.(2)难点：秦九韶公式的证明与应用.四、数学核心素养这节课主要培养学生的抽象概括能力，逻辑推理能力，数学建模能力，运算求解能力.五、教学过程1、问题引领，合作探究.“我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261），在他的著作《算数九章》卷五“田域类”里有这样一个题目：“问有沙田一段三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知几何.”意思是已知一个三角形的三边长分别为13里，14里，15里，则这个沙田的面积为多少？”你能利用已学知识来解决这个数学问题吗？这个问题的主要目的：①学生探讨，教师指导.②培养学生的数学建模能力，运算能力，抽象概括能力.③引出海伦公式.()()()cpbpappS---=其中2cbap ++=教师介绍：古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.在解三角形问题中.一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a, b, c,直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式:()()()c p b p a p p S ---=其中2c b a p ++= 但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式.总结：海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在已知三角形的三边而不知道高和角的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出三角形面积.2、学习中国文化，增强民族自信心我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）在他的著作《算数九章》也提到了与海伦公式等价的从三角形的三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，《算数九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方的积.”如果把以上这段文字写成公式，就是：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S 教师介绍： 秦九韶，字道古.鲁郡（今河南范县）人. 中国古代数学家.南宋嘉定元年（1208年）生；约景定（1261年）被贬至梅州，咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世，时年61岁.《算数九章》 全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备.”正负开方术”和”大衍求一术”对数学发展产生了广泛的影响，他被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所以时代最伟大的数学家之一”.秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的成就之一，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年.总结：从数学史角度看，世界上每一个民族都有自己的数学史，用自己本民族的语言叙述同一数学问题能从一定程度上提高学生的学习兴趣，同时让学生了解本民族的数学文化，增强对本民族数学文化的认同感，其次，让学生通过等式变形，学会知识间的融会贯通，感受数学变中之不变的美感，东西方数学家为数学的发展都作出应有的贡献，不同的表达方式，讲述了相同的内容，学生可从中感受数学统一性之美.3、师生探究，公式证明.古希腊数学家海伦运用平面知识，证明海伦面积公式.中国古代数学家秦九韶只给出公式，用来解决已知三角形三边求三角形面积这类问题的计算.你能通过已学知识给出秦九韶面积公式的证明吗？教师介绍：证明方法有两种(1)用以下三个公式c ab S ABC sin 21=∆，1sin cos 22=+c c ，ab c b a c 2cos 2222-+=.来证明海伦公式. (2)用三角形面积公式ah S ABC 21=∆和方程思想来证明海伦公式. 设计意图：通过海伦公式定理的证明，加强知识的综合运用，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生认识到中西知识背后蕴藏的深刻文化意涵.4、公式应用，体现价值.例1：南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S 若ABC ∆的周长为()()12:5:12sin :sin :sin ,522+-=+C B A 且 用“三斜求积术”求 ABC ∆面积=________;例2：中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b,c.三角形的面积可由公式 ()()()c p b p a p p S ---=求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 则此三角形面积的最大值=_________.六、师生小结(1) 海伦（Heron ）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式： ()()()c p b p a p p S ---=其中2c b a p ++= (2) 秦九韶:南宋著名数学家，代表作《算数九章》''三斜求积术“已知三边长求三角形面积：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S 七、思维深化，拓展延伸.若将海伦公式推广到四边形，即设四边形ABCD 的四边长分别为a ，b ， c, d,则这个四边形的面积为： ()()()().2,d c b a p d p c p b p a p p S +++=----=其中 思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？设计意图：这个问题可供有余力的学生课后钻研，提高自学能力.八、课后作业[针对训练]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式 即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S 在ABC ∆中，若,15,14,13===AC BC AB D 在AC 上，且BD 平分ABC ∠则ABC ∆的面积=________; BD=____________.[针对训练]南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式 即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b a c a c S 已知ABC ∆的三边分别a,b,c.面积为S.若A C a sin 24sin 2=且 ()()()A a b c B C a sin 27sin sin 2-=+-则 ABC ∆的面积为=_______.设计意图：加强学生对本节课知识的理解与回顾，培养学生的运算能力,学会知识之间的融会与贯通.。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_29
1.2 阅读与思考：海伦和秦九韶一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解秦九韶公式与海伦公式；证明秦九韶公式与海伦公式；（2）会用海伦—秦九韶公式解决数学中的三角形三边与面积之间关系的问题。
（3）培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力．2、过程与方法：（1）经历探究证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用能力，会解决传统数学文化中涉及三角形三边与面积之间关系问题。
3、情感态度价值观：（1）通过中西结合，使学生了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心；激发学生的数学学习兴趣，培养学生的探究精神.（2）通过阅读材料中背后隐藏的思想方法，启发学生的人格成长，实施优秀传统数学文化的渗透。
二、教学重点：了解我国优秀的传统数学文化，增强民族自豪感和民族文化自信心；三、教学难点：海伦—秦九韶公式的证明与应用。
四、教学方法：引导探究、实例运用。
五、教学过程：1.引入：今天我们来认识1个计算三角形面积的公式，海伦-秦九韶公式。
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。
它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
表达式为：它的特点是形式漂亮，便于记忆。
“三斜求积术”2.背景介绍：古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。
这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_33
海伦与秦九韶教学设计【教材分析】本节内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第一章阅读与思考，教材中只用了一页篇幅，叙述了海伦公式与秦九韶公式的记载历史，但是并未给出证明和应用。
本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续和拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。
本节的主要设置对象是数学学习程度较好的学生——在完成课程标准中要求的学习之后仍学有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦——秦九韶公式进行证明，并让学生体会到数学之美。
【学情分析】学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已经学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式等内容。
【教学目标】知识与技能：（1）理解海伦公式与秦九韶公式的本质相同；（2）会证明海伦公式与秦九韶公式，会理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。
过程与方法：（1）经历证明海伦公式与秦九韶公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积问题之间关系的问题的能力。
情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】秦九韶公式的证明，海伦公式地证明，【教学难点】海伦——秦九韶公式本质【教学方法】引导探究、小组讨论、软件演示【教学过程】我把整个教学过程分解为课前、课上和课后三个部分。
一、课前准备提前推送微课：秦九韶介绍；阿基米德介绍；海伦公式的证明（余弦定理）布置学习任务：探究海伦公式的证明（其他方法）；秦九韶公式的证明；【设计意图】二、情景引入（秦九韶公式）复习课本例题，回顾已知三角形三边的具体值求三角形面积的方法。
利用已知三角形三边具体值求三角形面积的方法推导出已知三角形a,b,c求三角形面积的一般公式，即秦九韶公式。
【板书】在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。
【微课】展示并讲授秦九韶的著作《九章算术》及其伟大成就。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_50
教学重点：通过分析实际问题的情境，能找到适当地测量方法。
教学难点：掌握分析测量问题的方法，能解决实际问题。
五、教学策略选择与设计
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本节将采用“引导探究”
式的教学模式。在课堂教学中，我将贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，积极主动的参与教学的全过程。本节课以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比找到测量距离的方法，构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐。
二、教学目标
1、认知目标：会选择恰当地测量量，运用正弦定理、余弦定理解决测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题；
2、过程与方法目标：经历对实际问题的探索，通过讨论研究，将实际问题数学化；
3、情感目标：引导学生进一步体会转化的思想，通过对测量距离的问题的解决，体会正、余弦定理的应用价值以及建模的思想，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。
三、课堂练习
检测学生对知识和方法的掌握程度，同时巩固学习成果。
教师让学生独立完成，并展示自己的思路。
四、课堂小结
让学生总结反思本节课的收获，达到总结提升和对知识升华的作用。
教师引导学生回答，师生互动，教师予以适当地评价。
五、课后练习
我国著名的建筑之一——悬空寺，如何测量它的高度。
通过练习体会数学的应用价值。
2、讲授新知
问题4：在美丽的衡水湖中有座小岛（B点），岸边有一A点，为了提升游客的旅游体验，计划从A点到B点建一座天桥。请你用提供的两种器材设计一种测量A、B之间距离的方法。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_9
应用举例—海伦和秦九韶【教学目标】1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解公式的本质；（3）会用公式解决三角形三边与面积之间关系的问题。
2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。
3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。
【教学难点、关键】海伦公式的本质。
【教学方法】翻转课堂、引导探究、实例运用。
【教学过程设计】一、复习回顾：1.正弦定理：2.余弦定理：3.三角形面积公式：二、课前准备：三、学生探究（资源共享，展示课前学习成果）：1、海伦公式的知识背景【学生展示演讲ppt】2、秦九韶背景故事【学生展示演讲ppt】3、秦九韶的数学成就【学生展示演讲ppt】4、思考：那让我们来看看已知三边的情况下，同学们都会用哪些方法来求三角形的面积【通过智慧课堂学生平板拍照展示不同学生的不同解题方法】四、合作探究：你能够根据已学知识给出上述两个公式的证明吗？1、秦九韶三斜求积术【通过微视频讲解公式的证明过程】2、 转换到海伦公式【学生推导公式变换过程】五、公式应用，体现价值：1、在ABC ∆中，若a= ，b= ，c=3，求ABC ∆的面积【让学生思考应该选择使用哪一个公式】2、在ABC ∆中，若a+b=12，c=8，求ABC ∆面积的最大值【让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程，培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识】六、小结与反馈：海伦—秦九韶公式优秀传统数学文化七、强化练习，融会贯通：【设计意图：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。
】 35。
人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_74
海伦与秦九韶导学案学习目标 ：1．掌握等比数列前n 项和公式及其推导思路；2．通过公式的推导和运用，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律； 3．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．知识要点 ：在等比数列{}n a 中，1≠q 时，=n S = ；1=q 时，=n S 。
◎ 思维启迪1．等比数列前n 项和公式推导的方法是什么？教材中用错位相减法推导出等比数列的前n 项和公式．错位相减法是数列求和的一种基本方法．2．公式的使用情形：(1)当q ＝1时，等比数列的前n 项和不能用以上几种方法推导，因为此时等比数列是常数列，所以S n ＝na 1.(2)当q ≠1时，等比数列前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时用a 1(1－q n )1－q 较方便；当已知a 1，a n 与q 时用a 1－a n q1－q较好．(3)公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 还可写成S n ＝a 1(q n －1)q －1.前者更适用于当q <1时，而当q >1时用后者更简便．典型例题 ：【例1.】在等比数列{}n a 中： （1） ,81,41,21，求8S （2）0,2431,2791<==q a a ，求8S例2：如果一个等比数列的前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？当堂检测 ：1.在等比数列}{n a 中，11-=a ，644=a ，则=n S 。
2.在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝12，a n ＝12，则S n=3.在等比数列}{n a 中，232=a ，293=S ，则1a = ，=q(2017新课标全国2理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加赠，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
人教版一般高中课程标准实验教科书必修5第一章解三角形
一、教材剖析
本节内容选人教A版一般高中数学必修五的阅读与思虑“海伦与秦九韶”。主假如
学习怎样利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思想活跃的课程。在初中
数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思虑的形式出现，但
《初中数学新课程标准》中并无作要求。在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本
关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间互相转变的工具。在必修五第一章《解三角
形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三
角形的面积，为本节课供给了理论依照，为学生的思想发展供给了很好的空间和平台。
本节课内容在教材中固然不过一个阅读资料，但是是三角形面积公式的持续与拓
展，意在增补课外知识，为解决问题供给更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感觉
数学的魅力，培育学生对数学的兴趣，弘扬数学文化，让学生享受此中的中西方文化盛
宴，教师要注意指引学生察看、思虑、对照、转变与化归，找寻解决问题的思路。二、
学情剖析
学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和
利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，拥有必定的运算能力和推理能力，初中对
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
海伦秦九韶公式也有所认识，但是公式的出处还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝
知此事要躬行”
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
的原则，追根寻由，同时着重对学生数学文化修养的培育。
三、教课目的
1.知识与技术
1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。
2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，理解它们之间的数学实质是相同的。
3）应用海伦公式与三斜求积解决实质问题。
2.过程与方法：经过海伦—秦九韶公式的证明，感觉察看、思虑、
对照、转变与化归等数学思想，逐渐培育学生剖析问题和解决问题的
能力。
3.感情态度
1）从不同的文化中感觉数学文化的丰富内涵，领会中西方文化的多样性，领会到数
学的不变性。
2）从海伦公式中领会到数学公式的简短美。四、教课重、难点
1.要点：掌握海伦公式与秦九韶公式的证明及应用
2.难点：理解海伦公式与秦九韶公式之间的联系
五、教法、学法
教课
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
流程 情形设计 设计企图
问题1：上节课我们推导了三角形的面积公式：
指引回想
起已知三
S
1acsinB 1absinC 1
bcsinA
角形的两
边以及夹
2 2 2
复习问题2：余弦定理的推论
角推导出
的求三角
回首
b2 c2 a2 a2c2b 2
形面积的
公式。
cosA 2bc cosB
2ac
a2 b2 c
2
cosC 2a
b
1.我国古代传统数学文化介绍
利用数学
史吸引了
秦九韶（约1202-1261），字道古，四川安岳人。
学生的兴
趣，而且
对
南宋官员、有名数学家，著有巨著《数书九章》，
有关人物
的介绍，
可
《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，
以更好的
认识有关
情境在《数书九章》中给出了用三角形的三边表达三
的数学历
史，激发
学
问题角形的面积的公式——三斜求积术。
生的学习
兴趣
引入2.
提出问题
《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问
沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百
步。欲知为田几
何。”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，则该沙田的面
积为多少。①你能转变以上数学语言为图形吗？②你可否直接运用含三角形三边的公式
求出三
角形的面积？
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
3.三斜求积术
教师指引学生经过已学的面积公式求解问题 1 ∵S△ABC=2acsinB（sinB>0）① 秦九 sinB=1 cos2B ② 韶公 a2 c2 b2 cosB 2ac ③ 式 将②③代入①获得 S 1ac1(c2 a2 b2)2] 1a2c2[1(c2 a2 b2)2] 2 2ac 4 4a2c2 1[c2a2 (c2 a2 b2)2] 4 2 秦九韶的“三斜求积”固然从三角形三边求出了三 角形的面积，但是三斜求积形式较为繁琐，公式 不简短，也不便于记忆。 海伦公式历史介绍 不足为奇的是，在世界上的另一个国家的另一个数学家，也相同求出了已知三角形三边求面积的公式，他就是古希腊的数学家海伦，海伦在其著作《测地术》中就记录了从三角三边求面积的一个公式减每一条边后的乘积，能够发现，海伦求出的这个公式比秦九韶的三斜求积形式美丽多了，特别简短，也便于记忆。 1. 海伦公式与三斜求积的联系 由已有知识推导
秦九韶公式，培育
学生的剖析问题能
力和运算能力，培
育学生的转变和化
归思想。海伦公式
的引入，西方数学
史与数学文化的介
绍，进一步吸引兴
趣。
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
问：海伦公式与三斜求积相同是已知三角形的三
边求三角形的面积的公式，那么这两条公式有没
有什么样的联系呢？
由秦九韶
海
1ac 2 2 2 1[c2a2 2 2 2 2 2公 2式推导2 2 2 S 1 (c a b )2] (c a b )2
] 1 (cac a b )(cac a b )
2 2ac 4 2 4 2 海伦公式， 2
伦
1 2ac-(c2 a2 b2) 2ac+c2 a2 b
2
) 培育学生 4 2 (
2
的转变和
化归思
想。
公
1 b2-(a c)2 (a c)2 b
2
4 2 2
式
1 (b-a c)(b+a c) (a c b)(a c b)
4 2 2
b-a c b+a c a c b a c b
2 2 2 2
p
a b c
2
b-a c p b+
a c p ac b
p b 2 a, 2 c,
2
S= p(p a)(p b)(p c)
文化盛宴
中西方的文化固然不同，但知识确是举一反三的，能够看到海伦公式与三斜求积形
式上是不相同的，但经过等式变形，能够看到他们的实质倒是相同的。海伦公式与三斜
求积的提出，无疑是两个不同时空的伟大数学家之间的完满沟通。同时，我们也能够看
到数学在变化中的不变性。这两个数学家真的给我们带来了一个丰厚的文化
盛宴
例1：
在
ABC 中，若 a+b=12c=8 ABC
， ，请用海伦公式求
面积的最大值.
解：
ab
12，p
ab c
10
2
人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13
S= p(p a)(pb)(p c) 20(10 a)(10b)
2 5 (10a)(a2) 25 2 12a20 a
2 5 (a-6)2 16,a (0,12)
公式
当a
6时，S有最大值，Smax=8
5
应用
例：在 ABC 中，若
b2 ， sinC 3sinA，请用秦九 2
韶公式（三斜求积术）
求
ABC面积的最大
值.
【分析】由sinC 3sina得
a 3c，
S 1[a2c2 (a2 c2 b2)2] 1[a23a2 (a2 3a2 22)2
]
4 2 4 2
1 [3a4 (4a4 8a2 4)] 1 (a4 8a2 4) 1 (a2 4)2 3
4 4 4
当
a2 4即a
2时，S
max
3.
经过详细问题，
剖析题目中的已知
量，结合公式解决
问题，提高学生疏
析问题，解决问题
的能力。
小结 1. 海伦公式：
S= p(p a)(pb)(pc)
使学生对
自己所学
概括 2. 秦九韶公式（三斜求积术）
知识有更
深刻的认
12 c2 a2 b2 识。 S 2 2
]
[c a ( 2 )
4
作业是课
堂的持
续，
课
见PPT
除了查验
学生对本
节课知识
后
的理解程
度，还在于
作
指引学生
对本课知
业
识的进一步研究思考。