投资组合的风险与报酬重点

第07 讲投资组合的风险与酬劳
知识点投资组合的风险与酬劳
〔一〕投资组合理论
1.投资组合的收益是组合内各证券收益以其投资比重为权数的加权平均数。

（提示）某证券的期望酬劳率是该证券全部可能的酬劳率的加权平均数，其权数为出现的概率。

——参见“预期值〞
2.投资组合的风险〔指整体风险即标准差〕通常小于组合内各证券风险〔即标准差〕的加权平均数，投资组合能分散〔或者说降低〕风险。

（提示）
一般情况下，对投资组合来说，以各种证券在组合中的投资比重为权数的“加权平均〞代表“没有分散〞效应。

具体来说：
投资组合的收益等于组合内各证券的收益的加权平均值，说明投资组合没有分散收益。

投资组合的标准差〔即风险〕小于组合内各证券的标准差〔即风险〕的加权平均值，说明投资组合能分散〔或者说降低〕风险。

（例如）
某投资组合由 10 种股piao组成。

这 10 种股piao的期望酬劳率均为 10％；标准差均为 5％。

由于组合的期望酬劳率是组合内各股piao的期望酬劳率的加权平均值，显然无论如何安排 10 种股piao的投资比重，权数〔投资比重〕之和始终为 1，因此组合的期望酬劳率始终是 10％不变。

但是组合的标准差通常小于组合内各股piao的标准差的加权平均值〔5％〕，因此组合能够在不分散收益的前提下分散风险。

〔二〕证券酬劳率之间的相关性〔共同变动程度〕与风险分散
1.衡量两种证券酬劳率之间相关性的指标
（1）相关系数——衡量相关性的相对数指标
①公式
②取值范围：－1≤相关系数≤1〔通常：0＜相关系数＜1〕
（2）协方差——衡量相关性的绝对数指标
①公式：σ AB＝r AB·σ A·σ B
②协方差的正负方向与相关系数一致
③ 某证券与其本身的协方差等于该证券的方差
2.证券酬劳率的相关性与风险分散的关系
（例如）
假设某投资组合由 A 汽车公司和 B 石油公司的股piao组成，投资比重各为 50%，两支股piao的酬劳率均受到原油市场价格变动的影响，有关情况如下：
完全负相关，所构成的投资组合，期望酬劳率不变，而标准差〔风险〕为 0。

（推论 1）
两种证券的酬劳率完全负相关〔相关系数＝－ 1 〕时，存在唯—的组合可以抵消全部风险〔使组合的标准差＝0〕。

（例如）
假设某投资组合由 A 汽车公司和 C 汽车公司的股piao组成，投资比重各为 50%，两支股piao的酬劳率均受到原油市场价格变动的影响，有关情况如下：
完全正相关，所构成的投资组合，期望酬劳率不变，标准差〔风险〕不变。

（推论 2）
两种证券的酬劳率完全正相关〔相关系数＝＋ 1 〕时，投资组合不产生任何风险分散效应，即：组合的标准差〔风险〕等于组合内各资产标准差〔风险〕的加权平均值。

（推论 3）
（1）理论上，－1≤相关系数≤＋1，由此可推出：0≤组合风险≤加权平均〔无法分散〕。

即：从理论上说，在投资组合不会分散收益的前提下，投资组合的最差结果是风险无法被分散〔完全正相关〕，最好结果是风险被全部抵消〔完全负相关〕，因此，理性投资者肯定会选择投资组合。

（2）相关系数越接近于＋1〔完全正相关〕，风险分散效应越弱；相关系数越接近于－1〔完全负相关〕，风险分散效应越强。

（推论 4）
（1）现实中，不存在酬劳率完全正相关或完全负相关的证券，即：－1＜相关系数＜＋1 〔通常：0 ＜相关系数＜1〕，因此：0＜组合风险＜加权平均〔无法分散〕。

即：现实中，构建组合肯定能够分散风险〔非系统风险、可分散风险、特别风险〕，但不能够完全排除风险〔系统风险、不可分散风险、市场风险〕。

jk （2） 一般而言，投资组合内股piao 的种类越多，风险越小。

但是，当股piao 的个数增加到肯定程度
时， 投资组合风险的降低将非常缓慢直到 不再降低。

（结论）
证券组合的标准差〔风险〕，并不是单个证券标准差〔风险〕的简单加权平均。

证券组合的风险不仅取决于组合内各证券的风险，还取决于各个证券酬劳率的相关性〔起到相互抵消风险的效果〕。

（例题·单项选择题）〔2022 年〕
一项投资组合由两项资产构成。

以下关于两项资产的期望收益率、相关系数与投资组合风险分散效应的说法中，正确的选项是〔 〕。

A. 相关系数等于－1 时，才有风险分散效应
B. 相关系数等于 1 时，不能分散风险
C.相关系数大小不影响风险分散效应
D.相关系数等于 0 时，风险分散效应最强 （正确答案）B
（答案解析）相关系数＝1 时，两项资产完全正相关，不能分散风险，选项 B 正确。

相关系数的取值范围为－1，＋1]，相关系数小于 1，就具有风险分散效应，当相关系数＝－1 时，风险分散效应最强。

因此选项 ACD 不正确。

〔三〕投资组合的风险计量
1. 投资组合酬劳率的方差与标准差 （1） 投资组合酬劳率的方差
组合内各证券两两之间〔包含某证券自己和自己之间〕的协方差σ 〔共n 2
个〕，乘以两者的投资比重 A j 、A k ，然后加总。

（2） 投资组合酬劳率的标准差 2. 协方差矩阵
组合内各证券两两之间〔包含某证券自己和自己之间〕一共有 n 2
个协方差，构成“ n 行×n 列〞的协方差矩阵。

（例如）三种证券的组合的协方差矩阵为： σ A ，A σ A ，B σ A ，C
σ B ，A σ B ，B σ B ，C
σ C ，A σ C ，B σ C ，C
沿矩阵对角线共有 3 个方差〔即：各证券自己和自己的协方差〕，其它不在对角线上的协方差共有 6 个，且两两相等〔如：σ A ，B ＝σ B ，A 〕。

（结论）
（1） 对于由 n 种证券构成的组合，组合内各证券两两配对的协方差矩阵共有 n 2
个元素，其中包含：
①n 个方差〔对角线上的元素〕，代表个别证券的风险；
②〔n 2－n〕个协方差〔非对角线上的元素〕，代表证券之间的共同变动程度〔相关性〕。

（2）随着组合内证券数量的增加，方差元素所占的比重〔n/n 2〕越来越小，说明个别证券风险对投资组合风险的影响越来越小，直至可以忽略不计；而协方差元素所占比重〔n 2－n〕/n 2]越来越大，说明投资组合风险主要决定于组合内各证券酬劳率的相关性。

（3）充分投资组合的风险，只受证券之间协方差〔即相关性或共同变动程度〕的影响，而与各证券本身的方差〔个别风险〕无关。

（例如）两种证券的组合的标准差及风险分散原理。

①协方差矩阵
σ A ，A σ A ，B
σ B ，A σ B ，B
②方差
假设两种证券完全正相关，即 r AB＝＋1，则：
两种证券组合的方差＝
＝〔W A·σ A＋W B·σ B〕2
两种证券组合的标准差＝W A·σ A＋W B·σ B
即：两种证券完全正相关时，投资组合的标准差〔风险〕是组合内个别证券的标准差〔风险〕的加权平均值，说明没有风险分散效应。

假设两种证券完全负相关，即 r AB＝－1，则：
两种证券组合的方差＝〔W A·σ A－W B·σ B〕2
两种证券组合的标准差＝|W A·σ A－W B·σ B|
令：|W A·σ A－W B·σ B|＝0，得：W A/W B ＝σ B/σ A
即：两种证券完全负相关时，只有一种组合〔满足 W A/W B＝σ B/σ A〕能够完全抵消风险。