线控课件第七章-状态空间分析_第七章状态空间分析

状态变量
确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量 状态变量选取不唯一，物理上不一定可量测 符号 x1(t),x2(t),……xn(t)
第七章 状态空间分析
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7－1 概念－状态向量、空间

状态向量
描述系统状态的n个状态变量看作向量即 x(t)=[ x1(t), x2(t), ……xn(t)]T 则向量 x(t) 称为n维状态向量 给定 t=t0时的初始状态向量x(t0 )及t t0 的输入向 量u(t)，则t t0的状态由状态向量x(t)唯一确定
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第七章 状态空间分析
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7－1 状态方程与传递函数关系

传递函数 状态空间法
Y 1 G( s) U an s n ... a1 s 1 a0 an y ( n ) an1 y ( n1) ... a1 y a0 y u
0 A 0 a0 an

经典控制理论 与现代控制理论
数学模型
分析方法
时域、根轨迹、频域 传递函数
状态方程
研究内容
稳定性
特点
单I/O外部特性
单、多I/O内、外特性
第七章 状态空间分析

状态空间模型 状态方程求解 系统的可控性和可观测性 线性变换与标准形 极点配置和状态观测器
7－1 系统数学描述的基本类型

外部描述－输入-输出描述
反映外部变量间即输入与输出之间的因果 关系－传递函数

内部描述－状态空间描述
基于系统内部结构分析的一类数学模型， 通常由状态方程和输出方程组成，对系统 进行一种完全的描述，表征系统的所有动 力学特征
第七章 状态空间分析
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7－1 概念－状态、状态变量


状态
系统在时间域中的行为或运动信息的集合
1 x1 0 x1 0 a a u 1 x2 1 x2 0 X A X BU
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第七章 状态空间分析
7－1 概念－状态方程
例题2：n 阶微分方程化成一阶n维向量微分 方程表示 y ( n ) a n1 y ( n1) ... a1 y a0 y u
用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性
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第七章 状态空间分析
7－1 概念－状态方程

例题1：二阶微分方程化成一阶微分方程表 a1 y a0 y u y 示 x 2 a1 x 2 a0 x1 u x1 y 令 则 x 2 x1 y x1 x 2
C [b0 b1 ...bm 0 0...0]n1 Y CX X AX BU
第七章 状态空间分析 19
7－1 状态方程与传递函数关系

例题5：传递函数 状态空间法
Y s 2 4s 1 G( s) 3 U s 9 s 2 8s1 0 1 0 0 A 0 0 1 B 0 0 8 9 1 C [1 4 1] ( n 3)
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7－1 状态方程与传递函数关系

传递函数 状态空间法
Y bm s m ... b1 s 1 b0 G( s) mn n 1 U a n s ... a1 s a0 Y Y X U X U X U 1 an s n Y bm s m X
y( t ) bm x ( m ) bm 1 x ( m 1) ... b1 x b0 x( t )

状态空间
以n个状态向量作为基底所组成的n维空间
第七章 状态空间分析
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7－1 概念－状态方程

状态方程
描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微 分方程组（连续）或一阶差分方程组（离散）

一般形式 x( t ) f [ x( t ), u( t ), t ] x( k 1) f [ x( t k ), u( t k ), t k ] 状态方程表征了系统由输入所引起的内部 状态变化 状态空间法
第七章 状态空间分析 11
7－1多输入－多输出的状态方程
x1 a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b11u1 b12u2 ... b1m um x 2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b21u1 b22u2 ... b2 m um ......... x n a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn1 u1 bn 2 u1 ... bnm um x1 a11 a12 ...a1n x1 b11 b12 ...b1m u1 x 2 a 21 a 22 ...a 2 n x 2 b21 b22 ...b2 m u2 ... .................. ... .................. ... x n a n1 a n 2 ...a nn x n bn1 bn 2 ...bnm um Ax Bu x
第七章 状态空间分析
x1 2 0 1 x1 1 0 x 0 3 u1 x 2 0 3 3 2 u x3 2 2 x 3 0 0 2 0
Gij为第i个输出对第j个输入的传递函数
第七章 状态空间分析 13
7－1 传递矩阵
状态、输出方程与传递矩阵 x Ax Bu : 状态方程 y Cx Du：输出方程 sX ( s ) x(0) AX ( s ) BU ( s ) Y ( s ) CX ( s ) DU ( s )
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7－1 输出方程

输出方程
描述系统输出变量与系统状态变量和输入变 量之间的函数关系的代数方程

一般形式
x Ax Bu : 状态方程 y Cx Du：输出方程

输出方程表征了系统内部状态变化和输 入所引起的系统输出变化－动态特性
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第七章 状态空间分析
7－1 多输入－多输出的输出方程
1 1
第七章 状态空间分析
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7－1 闭环系统的传递矩阵

多入－多出反馈系统
B H Y ( s ) HG D E Y G D E G D (U B ) G D (U HY ) ( I G D H )Y ( s ) G DU ( s ) G ( s ) [ I G D H ( s )] G D
第七章 状态空间分析 8
7－1 概念－状态方程

1 x3
1/3 1 x2 u2
例题3：求状态方程
2
1/2
u1
i1
x1
i2
x1 i1 2i1 x1 x3 u1 令 x2 i2 则 1 x u 2( i i ) x3 3 x2 i2 u2 c 1 2 3 x1 2 x1 x3 u1 x2 3 x2 3 x3 3u2 x 2x 2x 1 2 3

1 0 ... 0 a u x1 y 0 x n a0 x1 a1 x 2 ... n 1 x n 0 0 n x 2 x1 y x n 1 x A 则... 0 B 令 x3 x2 y ...... x x ... ... 0 1 2 0 0 3 1 ) a1 x a2 ... an1 ( n1a 0 x n x n 1 y x1 2 Ax Bu x
x1 u1 y 1 2 0 x 2 u2
第七章 状态空间分析
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7－1 传递矩阵

例题4：单入－单出系统
G ( s ) C ( sI A) B D s 5 1 2 [1 2] 5 0 3 s 1 12 s 59 ( s 2)( s 4)
y1 c11 x1 c12 x 2 ... c1n x n d 11u1 d 12u2 ... d 1m um y2 c21 x1 c22 x 2 ... c2 n x n d 21u1 d 22u2 ... d 2 m um ......... yk ck 1 x1 ck 2 x 2 ... ckn x n d k 1 u1 d k 2 u1 ... d km um y1 c11 c12 ...c1n x1 d 11 d 12 ...d 1m u1 y2 c21 c22 ...c2 n x 2 d 21 d 22 ...d 2 m u2 ... .................. ... .................. ... yk ck 1 ck 2 ...ckn x n d k 1 d k 2 ...d km um y Cx Du

x(0) 0 X ( s ) ( sI A) 1 BU ( s ) Y ( s ) [C ( sI A) B D]U ( s ) G ( s ) C ( sI A) B D
第七章 状态空间分析 14
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7－1 传递矩阵

例题4：单入－单出系统 x1 5 x1 x 2 2u x 2 3 x1 x 2 5u y x 2x 1 2 x1 5 1 x1 2 u1 x 5 u x 2 3 1 2 2
第七章 状态空间分析
1
0
... ... a1 a2 an an AY BU Y
0 0 1 a n 1 ... an ... 0
0 0 B 0 1 / a n
第七章 状态空间分析 12
7－1 传递矩阵

多变量系统与传递矩阵
Y ( s ) G ( s )U ( S ) y1 G11 G12 ...G1r u1 y2 G21 G22 ...G2 r uபைடு நூலகம் ... .................. ... ym Gm 1 Gm 2 ...Gmr mr ur