2021高考数学一轮复习《滚动评估检测(四)》

滚动评估检测(四)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )

A.∪

B. ∪

C.?

D.

【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].

2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )

A.1

B.

C.

D.5

【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得

z=--i,==1.

3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.

4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于 ( )

A.1

B.

C.2

D.3

【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.

5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )

A.-

B.-

C.

D.

【解析】选A.如图,

因为=2,所以=+,

所以·(+)=-,

因为AM=1且=2,所以||=,

所以·(+)=-.

6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是

( )

注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A 选项结论正确;

B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,超过20%,故B选项结论正确;

C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;

D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.

7.(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是

( )

A.158

B.162

C.182

D.32

【解析】选B.由三视图可知,俯视图可以补充为完整的正方形,边长为6,所以底面五边形的面积为S=62-×2×3-×4×3=27,所以V=Sh=27×6=162.

8.如图是一程序框图,若输入的A=,则输出的值为( )

A. B. C. D.

【解析】选C.运行程序框图,A=,k=2;A=,k=3;A=,k=4>3,输出A=.

9.(2020·佛山模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为 ( )

【解析】选A.令g(x)=x-l n x-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得00,则f(x)>0,故排除B、D.由g(x)在(1,+∞)上单调递增,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,故排除C,故选A.

10.已知sin x=,x为第二象限角,则sin 2x=( )

A.-

B.-

C.±

D.

【解析】选B.因为sin x=,x为第二象限角,所以cos x=-

=-=-,所以sin 2x=2sin xcos x=2××=-.

11.如图,正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),及抛物线

y=-(x+1)2和y=(x-1)2,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是世纪金榜导学号( )

A. B. C. D.

【解析】选B.因为A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以正方形ABCD的面积S=2×2=4,

根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积

S=2[1-(x-1)2]dx=2

=2=2×=,

则由几何概型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是=.

12.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是世纪金榜导学号( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图像可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.(2020·宿州模拟)已知实数x,y满足约束条件则z=x+2y 的最大值是________________.

【解析】作出实数x,y满足的约束条件

对应的平面区域,

由z=x+2y,得

y=-x+z,

平移直线y=-x+z,

由图像可知当直线y=-x+z经过点A时,

直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.

由得A,

此时z的最大值为z=-+2×=-.

答案:-

14.的展开式中x2y3的系数为________________.

【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为

T r+1=(-2y)r,

要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20. 答案:-20

15.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则

S6=________________. 世纪金榜导学号

【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,

所以数列{a n}是公比为2的等比数列,

又因为a1=S1=2a1+1,

所以a1=-1,所以a n=-2n-1,

所以S6==-63.

答案:-63

16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________________. 世纪金榜导学号

【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度

=×2π×1×6+×2π××3=.

答案:

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.

(1)求角B的大小.

(2)求cos2-sin cos的取值范围.

【解析】(1)由=得到=,即2sin Acos B=sin(B+C),

即2sin Acos B=sin A.

又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,

所以cosB=,从而B=.

(2)cos2-sin cos=(cos C+1)-

sin A=cos C-sin+

=cos C-sin C+=cos(C+)+,

因为0

所以-

所以

所以cos2-sin cos的取值范围为.

18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.

(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.

(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥

AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD ⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.

(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x 轴,过点H且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,

在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,

因为PH·AD=MD·PA,

所以3PH=4×,解得PH=,

则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD 的一个法向量为n=(0,0,1),

所以cos<,n>==-,

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.

19.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=

c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.

【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,

所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,

联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0?k≠

0,x1+x2=-,x1x2==,

因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.

20.(12分)(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=(k=0,1,2,3).

所以,随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3

P

所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.

②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=

P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.

所以,事件A发生的概率为.

21.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数. 世纪金榜导学号

(1)求曲线y=g在点处的切线方程.

(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,求实数m的取值范围.

(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.

【解析】(1)依题意得f=sin x,g=e x·cos x.

g=e0cos 0=1,g′=e x cos x-e x sin x,

g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.

(2)原题等价于对任意x∈,

m≤[g-x·f]min.

设h(x)=g-x·f,x∈.

则h′=e x cos x-e x sin x-sin x-xcos x=cos x-sin x,

因为x∈,

所以cos x≥0,sin x≤0,

所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值,

h=-;

所以m≤-,即实数m的取值范围是.

(3)设H(x)=g-x·f,x∈.

当x∈时,

H′(x)=e x(cos x-sin x)-sin x-xcos x<0,

所以函数H(x)在上单调递减,

故函数H(x)在上至多只有一个零点,

又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的,

因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解. (请在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)

22.(10分)(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(t为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=-2sin θ.世纪金榜导学号

(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程.

(2)设点P(1,-),直线l与曲线C相交于两点A,B,求+的值.

【解析】(1)消去参数得直线l的普通方程为x+y+2=0;因为ρ=-2sin θ, 所以ρ2=-2ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程是x2+y2+2y=0.

(2)点P(1,-)是直线l上的点,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2-t-2=0,判别式Δ>0,可得t1+t2=,t1·t2=-2.

于是+====.

23.(10分)(不等式选讲)设函数f(x)=|2x-1|+|2x-a|,x∈R. 世纪金榜导学号

(1)当a=4时,求不等式f(x)>9的解集.

(2)对任意x∈R,恒有f(x)≥5-a,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=4时,f(x)=

所以f(x)>9的解集为.

(2)f(x)=|2x-1|+|2x-a|≥|2x-1-(2x-a)|=|a-1|,由f(x)≥5-a恒成立,

有|a-1|≥5-a,当a≥5时不等式恒成立,

当a<5时,由|a-1|2≥(5-a)2得3≤a<5,

综上,a的取值范围是[3,+∞).