人教版初三数学下学期：锐角三角函数知识点总结及单元测试题

初三下学期锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 222c b a =+

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义

表达式

取值范围

关 系

正弦 斜边的对边

A A ∠=

sin c

a

A =sin

1sin 0<

(∠A 为锐角)

B A cos sin = B A sin cos =

1cos sin 22=+A A

余

弦 斜边

的邻边A A ∠=cos c b

A =cos

1cos 0<

(∠A 为锐角)

正切 的邻边的对边

A tan ∠∠=

A A b

a

A =tan

0tan >A

(∠A 为锐角)

B A cot tan = B A tan cot =

A

A cot 1

tan =

(倒数) 1cot tan =?A A

余切

的对边的邻边

A A A ∠∠=

cot a

b

A =cot

0cot >A

(∠A 为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

)

90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?=

B A cot tan = B A tan cot =

)

90cos(sin A A -?=)

90sin(cos A A -?=

B

A cos sin =B

A sin cos =A

90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A

对

边

邻边

斜边 A

C

B

b

a c

A

90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°

45°

60°

90° αsin 0 2

1 2

2 2

3 1 αcos

1

2

3 2

2

2

1 0

αtan 0 3

3 1 3 不存在 αcot

不存在

3

1

3

3 0

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当

0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大

而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l

=。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线俯角

:i h l =h

l

α

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h

i l

α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

锐角三角函数 单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ）

A ．sinA=sin

B B ．cosA=sinB

C ．sinA=cosB

D ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（ ） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）

A ．c =

sin a A B ．c =cos a A

C ．c =a ·tanA

D ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( )

A 、20°

B 、30°

C 、35°

D 、50°

5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜32

6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．

3 米 C ．2

3 米 D ．

2

33 米

7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4

3 ，BC=8，则AC 等于（ ）

A ．6

B ． 32

3 C ．10 D ．12

8．sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2θ

9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 3

5 ，则BC 的长是（ ）

A 、4 cm

B 、6 cm

C 、8 cm

D 、10 cm

10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α)

（附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米

二、填空题：（每题3分，共30分）

1．已知∠A 是锐角，且sinA= 3

2 ，那么∠A ＝ .

2．已知α为锐角，且sin α =cos500，则α ＝ .

B

N A

C D

M （第9题）

D

C

B

A

（附加题）

3．已知3tanA-3=0，则∠A ＝ .

4．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ ． 5．直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 6．已知tan α＝5

12

，α是锐角，则sin α＝ .

7．如图，在坡度为1:2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 8．cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ . 9．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 .

10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3

．

则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

（附加）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离

NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 米。 三、解答题（共60分）

1、计算（每题5分，共10分）： (1) 4sin30°－2cos45°＋

3tan60° (2) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°

A

B

C

D

O （第10题）

N

M

A

B

C

45°

75°

（附加题）

2、(8分) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知c＝

83，∠A＝60°，解这个直角三角形．

3．（8分）如图，一个等腰梯形的燕尾槽，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1:1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．

A B D

C

E

4．（8分）如图，矩形ABCD 中AB=10，BC=8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，点D 正好落在AB 边上的F 处，求 tan ∠AFE ？

5．（8分）如图①，一栋旧楼房由于防火设施较差，需要在侧面墙外修建简易外部楼梯，由地面到二楼，再由二楼到三楼，共两段（图②中AB 、BC 两段），其中BB ′=3.2 m ，BC ′=4.3m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯A B 与BC 的长度之和（结果保留到0.1 m ）． （参考数据sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82）

A B

D C

E

F

A

①

B

C

B C ′ C

30°

35°

A

B ′

E

D

②

6．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南东34°方向上的B 处。这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远（精确到1海里）？（参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin34°≈0.56,cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

7．（10分）如图山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50m 到达点D ，用高为

B

P C

65°

34

A

1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高.(精确到0.1m )（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)

A

B

D

C

E

10°

15°

P

第28章锐角三角函数单元测试(参考答案)

A B D

C

E F

一、选择题:

1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．D （附加题:D ） 二、填空题：

1．60° 2．40° 3．30° 4．3313；3313； 32 5．45 6．5

13 7．3

5

8．0 9．125 10．35 ；4

5 （附加题:a ）

三、解答题：

1．（1）解：原式＝4×1

2

－

2×22

＋3×3＝2－1＋3＝4

（2）解：原式=33×32＋(32)2－(22)2×1＝12＋34－12＝3

4

2.解：∵ ∠A ＝60° ∴∠B ＝90°－∠A ＝30°

∴ b ＝12c ＝1

2×8

3＝4

3

∴ a ＝

c 2－b 2＝(83)2－(43)2＝12

3. 解：如图，作DF ⊥BC 于点F ．由条件可得四边形AEFD 是矩形，AD=EF=10．

∵ AB 的坡角为1:1，∴ AE

BE

＝1，∴ BE=10． 同理可得CF=10．

∴ 里口宽BC ＝BE+EF+FC ＝30 cm ． ∴ 截面积为 1

2×（10+30）×10=200 cm 2

4．解：由题意可知 ∠EFC ＝∠D ＝90°， CF ＝CD ＝10

∴ ∠AFE ＋∠BFC ＝90° ∵ ∠BCF ＋∠BFC ＝90°

A B

E

F

∴ ∠AFE ＝∠BCF

在Rt △CBF 中，∠B ＝90°，CF ＝10，BC ＝8 ∴ BF ＝

CF 2－BC 2＝

102－82＝6

∴ tan ∠BCF ＝

BF CF ＝68＝3

4

∴ tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34

5．解：在Rt △AB ′B 中，∠AB ′B ＝90°，∠B ′AB ＝30°，B ′B ＝3.2

∵ sin30°＝

B ′B AB

∴ AB ＝B ′B

sin30°＝3.2

0.5

≈6.4

在Rt △BC ′C 中，∠BC ′C ＝90°，∠CBC ′＝35°，BC ′＝4.3 ∵ cos35°＝ BC ′BC

∴ BC ＝

BC ′

cos35°≈4.30.82

≈5.24

∴ AB ＋BC ＝6.4＋5.24＝11.6 （m ） 答：两段楼梯A B 与BC 的长度之和约为11.6 m .

6．解：在Rt △ACP 中，∠ACP ＝90°，∠A ＝65°，AP ＝80

∵ sinA ＝PC

AP

∴PC ＝AP ·sinA ＝80×sin65°≈80×0.91≈72.8 在Rt △BCP 中，∠BCP ＝90°，∠B ＝34°，PC ＝72.8

∵ sinB ＝PC

PB

∴ PB ＝PC sinB ＝72.8

sin34°≈72.8

0.56≈130（海里）

答：这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 约有130海里.

7．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB

在Rt △BFD 中，∠BFD ＝90°，∠FBD ＝15°，BD ＝50 ∵ sin ∠FBD ＝DF

BD cos ∠FBD ＝BF

BD

∴ DF ＝BD ·sin ∠FBD ＝BD ·sin15°≈50×0.26=13.0 BF ＝BD ·cos ∠FBD ＝BD ·cos15°≈50×0.97＝48.5

在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠ACE ＝10°，CE ＝BF ＝48.5 ∵tan ∠ACE ＝AE

CE

∴ AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝CE ·tan10°≈48.5×0.18＝8.73 ∴ AB ＝AE+CD+DF ＝8.73+1.5+13≈23.2（米） 答：树AB 高约为23.2米. 一、选择题：（30分）

1、已知α为锐角，则m=sin α+cos α的值（ ）

A ．m ＞1

B ．m=1

C ．m ＜1

D ．m ≥1

2、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值 （ ）

A 也扩大3倍

B 缩小为原来的

3

1

C 都不变

D 有的扩大，有的缩小 3、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，

A B

D

C

E

10°

15°

P F

且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为 （ ）

A (cos α,1)

B (1,sin α)

C (sin α,cos α)

D (cos α,sin α) 4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5

3

，则BC 的长是 （ ） A 、4cm

B 、6cm

C 、8cm

D 、10cm 5、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于

（ ）

A 20°

B 30°

C 40°

D 50° 6、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是

( )

A 、20°

B 、30°

C 、35°

D 、50°

7、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是

（ ）

A 、sin(α+β)=sin α+sin β

B 、cos(α+β)=

2

1

时，α+β=60° C 、若α≥β时，则cos α≥cos β D 、若cos α>sin β,则α+β>90° 8、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ）

A ．9米

B ．28米

C ．()37+米 D.()

3214+米 9、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a, 测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为

( )

B N

A

C

D

M

D C

B

A

A.a m

B.(a ·tan α)m C .(a/tan α)m D.a(tan α－tan β)m 10、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90°

二、填空题：（30分）

11、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ .，sinB ＝ ，tanB ＝ .

12、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 13、已知tan α＝

12

5

，α是锐角，则sin α＝ . 14、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ .

15、如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B

点后观察

到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 . （结果保留根号）．

16、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 17、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。

18、如图，在坡度为1：2

的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水

x

O

A

y B

平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 19、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cosA=

3

3

，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为 .

20、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距

地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是 米。 三、解答题：（60分）

21、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°

(2)

50cos 40sin 0cos 45tan 30cos 330sin 145tan 41222-+-+．

22、(6分)△ABC 中，∠C ＝90°(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c.

23、(6分) 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h （即

3

50m/s ）．交通管理部门在离该公路100 m 处设置了一速度监测点A ，在如图所示的坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．

（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC ，

并标出点C 的位置；

（2）点B 坐标为 ，点C 坐标为 ；

（3）一辆汽车从点B 行驶到点C 所用的时间为15 s ，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中7.13取）

24、 (6分) 已知Rt △ABC 的斜边AB 的长为10cm , sinA 、sinB 是方程m(x 2－

y/m x/m

A （0, -100） B

O 60°

东

北

2x)+5(x2+x)+12=0的两根。（1）求m的值；（2）求Rt△ABC的内切圆的面积。

25、(8分)如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作

DE⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin∠ACE的值.

26、(8分) （08庆阳市）如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o≈0.47，tan28o≈0.53）

27、(8分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从

M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？

28、(10分)如图，点A(tan α，0)，B(tan β，0)在x 轴的正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角； (1)若二次函数y=－x 2－

2

5

kx+(2+2k －k 2)的图象经过A 、B 两点，求它的解析式。 (2)点C 在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由。 参考答案

一、1、A 2、C 3、D 4、A 5、C 6、D 7、B 8、D 9、D 10、C 二、11、

13133，13133，2

3

12、

5

4

13、

13

5 14、0 15、(0,4+

334) 16、5

12

17、25 18、35

19、

3

2

32 20、a 21（1）

4

3

（2）2