【易错题】高中必修五数学上期末试题(含答案)

【易错题】高中必修五数学上期末试题(含答案)

一、选择题

1．数列{}n a 满足()11n

n n a a n ++=-?，则数列{}n a 的前20项的和为( )

A ．100

B ．-100

C ．-110

D ．110

2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-

B ．242-

C ．162-

D ．243

3．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥??

+-≤??+-≥?

，则3z x y =+的最大值是（ ）

A ．9

B ．8

C ．3

D ．4

4．已知实数,x y 满足0{20

x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2 5．已知函数223log ,0

(){1,0

x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )

A ．[]1,1-

B ．[]2,4-

C ．(](),20,4-∞-?

D ．(][]

,20,4-∞-?

6．在△ABC 中，若1tan 15013

A C

BC ?

===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．

33

8

- B ．

33

4

- C ．

33

8

+ D ．

33

+ 7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33?的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ?的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，

315N =)，则10N =（ ）

A ．1020

B ．1010

C ．510

D ．505

8．已知数列{}n a 满足112,0,2

121,1,

2n n n n n a a a a a +?

≤

若135a =，则数列的第2018项为 （ ）

A．1

5

B．

2

5

C．

3

5

D．

4

5

9．变量,x y满足条件

10

1

1

x y

y

x

-+≤

?

?

≤

?

?>-

?

，则22

(2)

x y

-+的最小值为（）

A．

32

2

B．5C．5D．

9

2

10．已知x、y满足约束条件

50

{0

3

x y

x y

x

-+≥

+≥

≤

，则24

z x y

=+的最小值是（）

A．6-B．5C．10D．10

-

11．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为=40

h的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为=60

βo，=30

αo，若山坡高为=35

a，则灯塔高度是（）

A．15B．25C．40D．60

12．ABC

?中有：①若A B

>，则sin sin

A>B；②若22

sin A sin B

=，则ABC

?—定为等腰三角形；③若cos

acosB b A c

-=，则ABC

?—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（）

A．0B．1C．2D．3

二、填空题

13．设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则

(4)(2)

x y

xy

++

的最小值为_________.

14．若变量,x y满足约束条件

12,

{20,

20,

x y

x y

x y

+≤

-≥

-≤

则z y x

=-的最小值为_________.

15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升；16．已知数列{}n a的前n项和n s=23n-2n+1,则通项公式.n a=_________

17．若正项数列{}n a满足11

n n

a a

+

-<,则称数列{}n a为D型数列,以下4个正项数列{}n a

满足的递推关系分别为:①22

1

1

n n

a a

+

-=②

1

11

1

n n

a a

+

-=③

121

n

n

n

a

a

a

+

=

+

④2

121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.

18．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤??

-+≥??-+≤?

，则2z x y =+的最大值为______.

19．已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14

=a 2

，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．

20．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a

和

都是等差数列，且公差相等，则

1a ＝_______．

三、解答题

21．设函数()1

12

f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；

(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11

m n

+的最小值. 22．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1

n n

b na =

，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．设}{

n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.

（2）设11a =，*2()n

a n

b n N =∈，数列}{

n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有

20n T ≤，求d 的取值范围.

24．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

25．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知

3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC

的面积为求b c 、

26．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}

n b 满足*2,21,

()2,2,

n a n n k b k N n n k ?=-=∈?

=?． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

数列{a n }满足1(1)n

n n a a n ++=-?，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．

【详解】

∵数列{a n }满足1(1)n

n n a a n ++=-?，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．

则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()

101192

?+=-=-100．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+

--=-，即113

22

n n a a -=，即()1

32n

n a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113

a q S q

---∴==

=---，故选B.

3．A

解析：A 【解析】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点

()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+?=.

本题选择A 选项.

4．C

解析：C 【解析】

作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，

2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =?-=是最大值．故选C ．

5．B

解析：B 【解析】

分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．

详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>?=?--≤?

，

当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．

点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

由正弦定理求出c ， 【详解】

A 是三角形内角，1tan 3A =

，∴sin A =

由正弦定理sin sin a c A C

=

得sin sin 2a C c A ===

， 又2222cos c a b ab C =+-

，即

225

12cos15012

b b b =+-?=+，

2302b +-

=

，b =

（b =

∴11sin 122ABC S ab C ?=

=??=

． 故选：A ． 【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．

7．D

解析：D 【解析】

n 阶幻方共有2

n 个数，其和为(

)2221

12...,2

n n n n ++++=

Q 阶幻方共有n 行，∴每行的

和为

()

(

)

222

1

122

n n n n n

++=

，即(

)(

)2210

1

10101

,5052

2

n n n N N

+?+=

∴=

=，故选D.

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】

1112,032

15

21,1

2n n n n n a a a a a a +?

≤

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221

5

a a a ?+===

. 故选A . 【点睛】

本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

9．C

解析：C 【解析】

由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

作出不等式50

{03

x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，

作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{

x x y =+=，解得3{

3

x y ==-，结合图象知，

当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =?+?-=-，故选A. 考点：线性规划

11．B

解析：B 【解析】 【分析】

过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ?中由正弦定理求得

AD ，在Rt ADF ?中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】

过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，

如图所示，在ABD ?中，由正弦定理得，sin sin AB AD

ADB ABD

=∠∠，

即

sin[90(90)]sin(90)

h AD

αβα=?--?-?+，

cos sin()h AD αβα∴=

-，在Rt ADF ?中，cos sin sin sin()

h DF AD αβ

ββα==-，

又山高为a ，则灯塔CD 的高度是

3340cos

sin 22356035251sin()

2

h CD DF EF a αβ

βα?

?=-=

-=

-=-=-． 故选B ．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2

A B π

+=可得到结论不正确；③可由余弦

定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】

①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理

sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2

A B π

+=ABC ?是直角三角形或等腰三角形；所以②错

误；③由已知及余弦定理可得222222

22a c b b c a a b c ac bc

+-+--=，化简得222a b c =+，

所以③正确. 故选C. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

二、填空题

13．9【解析】【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件

解析：9 【解析】 【分析】

将分式展开，利用基本不等式求解即可 【详解】

(4)(2)8241616

1x y xy x y xy xy xy xy xy

++++++===+

又x ＋2y ＝422,xy ≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9 【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件

14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-

【解析】

由约束条件12,

20,20,x y x y x y +≤??

-≥??-≤?

作出可行域如图，

联立12 {20

x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，

时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：

67

66

【解析】

试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得

137,2266a d =

=，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 16．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式

解析：n

a =2,1{65,2

n n n =-≥ 【解析】

试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[2

3(1)n --2（n-1）

+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n

a =2,1{65,2

n n n =-≥. 考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.

17．①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定

解析：①②③④ 【解析】 【分析】

根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可. 【详解】

对①,因为22

11n n a a +-=,且正项数列{}n a .

故()2

222

11211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故1

1n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,

111111

1

11

1n n n n n n n a a a a a a a +++-=?

=T++, 故22

10111

1n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a +--=

---++==<<+成立. 对③, 1122

21101111n n

n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++??=

?-=-=-<< ?+++??

成立 对④, ()2

222

112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=?=+<++=+.

故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立. 综上, ①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】

本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.

18．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （

解析：5 【解析】 【分析】

画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】

画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122

z y x =-

+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线30

10x y x y +-=??-+=?

得A （1,2），故

max 145z =+=

故答案为：5

【点睛】

本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题

19．2【解析】【分析】根据题意由tanB ＝3tanC 可得3变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB 结合正弦定理可得sinBcosC ﹣sinCcosBsinA×a 变形可得：sinBcosC ﹣sinCc

解析：2 【解析】 【分析】

根据题意，由tan B ＝3tan C 可得

sinB cosB =3sinC

cosC

?，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=

sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 1

4

=sin （B +C ）×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 1

4

=

?a ×（sin B cos C +sin C cos B ），将sin B cos C ＝3sin C cos B 代入分析可得答案． 【详解】

根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinC

cosC

?，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ， 又由bcosC ﹣ccosB 14=

a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 1

4

=sinA ×a ， 变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 1

4

=sin （B +C ）×a ， 即sinBcosC ﹣sinCcosB 1

4

=

?a ×（sinBcosC +sinCcosB ）， 又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×

a ， 由题意可知：2

B π

≠，即sinCcosB≠0，

变形可得：a ＝2； 故答案为：2． 【点睛】

本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．

20．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：

14

【解析】

分析：设公差为d ，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a ，

Q {}n a 和

都是等差数列，且公差相等，

∴=，

即=，

两边同时平方得：()1114233a d a a d +=+++

()1114233a d a a d +=+，

两边再平方得：()2

2

1111168433a a d d a a d ++=+，

∴2211440a a d d -+=，

12d a =，又两数列公差相等，

212112S S a a d a ∴-=-==，

即1111222a a a a +-=， 解得：11

4

a =

或10a =， Q {}n a 为正项数列，

∴114

a =.

故答案为：

14

. 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.

三、解答题

21．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：

（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：

(1)f(x)＝

当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，

由于m>0，n>0， 则＋≥2

≥2

，当且仅当m ＝n ＝

时取等号.

∴＋的最小值为2.

22．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311

n n

S n n n =-+-++-=++L

【解析】 【分析】 【详解】

(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.

因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，

＝（）

. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝1

2

n +. (2)b n ＝

1n na ＝222

11

n n n n -++＝（），

所以S n ＝2

222222()122311

n n n n ????++?+ ? ?+????

－－－＝＋ 23．（1）2020（2）29-,log 10?

?∞ ??

?

【解析】 【分析】

（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；

（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】

（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 612

55

a a -=

=-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）22

20120

+，

由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；

（2）设()*

11

2n

a n a

b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n

，

可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n (

)21221212dn d

d

-=

--＜

，

对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得202

12d

≥

-，且d ＜0，

解得d ≤29

log 10

． 【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题． 24．（1）证明见解析 （2）()11222

n n n n S ++=--

【解析】 【分析】

(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.

(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】

（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+

所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则

1

2n n

b b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.

（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n

n a n =-,

所以()()(

)()

2

3

2122232n

n S n =-+-+-+???+-

()

()232222123n n =+++???+-+++???+

(

)()()1

212112

2122

2

n

n n n n n +-++=

-=-

--

【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.

25．：（1）1

cos 3

A =（2）3{2b c ==或23b c =??=? 【解析】

：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-

从而cos A 1

cos()3

B C =-+= （2）由于0,A π<<1cos 3A =

，所以sin A =

又ABC S =V

1

sin 2

bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213

{6

b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =??=? 26．（1）n a n =；（2）22(41)

2(1)3

n n T n n -=

++ 【解析】 【分析】

（1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列{}n a 的通项公式；（2）根据分组求和法得结果. 【详解】

（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，

可得2

319a a a =，313a a a =，可得2111(2)(8)a d a a d +=+，11a =，化简可得11a d ==，

即有n a n =；

（2）由（1）可得2,21

2,2n n n k b n n k ?=-=?=?

，*k N ∈；

前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++?+++++?+

2(14)12(41)

(44)2(1)1423

n n n n n n --=++=++-． 【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.